参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1.A 【解析】通过数轴易得答案．2.C 【解析】A+B 表示“朝上一面的数有2，4，5，6”，所以选择C ．3.C 【解析】样本数据落在区间（10，40]的频数有52，所以选择C ．4.C 【解析】运行7次即得答案．5.D 【解析】分类求零点，累加即得零点个数3．6.A 【解析】去掉一个最高分，一个最低分，从小到到大排序，容易得选项A ．7.D 【解析】几何概型8.D 【解析】画散点图，或逆推验证选择D ．9.C 【解析】循环运算3次，输出4n =．10.B 【解析】122011()8f x x x = ，即122011log ()8a x x x = ，∴222122011()()()f x f x f x +++ =222122011log ()a x x x =1220112log ()16a x x x = ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．11．52 【解析】由214m -=，得52m =． 12．785 667 199 507 175 【解析】第8行第7列的数是7，第一个三位数是78513．2 【解析】由图(3)1,(1)2f f ==，所以[(3)]2f f =．14．5 【解析】画出函数()f x 的图象，可求得函数的最大值是2，最小值是3-．三、解答题：本大题共3小题，共34分．15．（本题满分10分）解：（Ⅰ）依题意，得101110x x x +>⎧⇔-<<⎨->⎩， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以，函数()f x 的定义域为{}11x x -<<．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（Ⅱ）∵函数()f x 的定义域为{}11x x -<<， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分又∵()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分∴函数()f x 为偶函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分16．（本题满分12分）解：（I ）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）．┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），事件A 包含的基本事件数为3， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为3()8P A =．┈12分 17．（本题满分12分）解：（I ）∵xx f 11)(-= ， 其定义域为}{0≠x x ， ∴)(x f 的增区间为)0,(-∞和),0(+∞． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈４分（Ⅱ）2)1()(--=x x g ．（不唯一） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分（Ⅲ）1211122)12(+-=+=+x x x xf ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 ∵11121x -<+， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 ∴ (21)1x f +< ， ∵)12(+x f 31m <-对任意x R ∈恒成立，∴ 311m -≥，┈┈┈┈11分 解得23m ≥， ∴实数m 的取值集合是23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分B 卷（共50分）甲 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．18．12【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得． 19．14π-【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．12 【解析】由偶函数条件得0b =，由112a a a -=-⇒=． 21．908a <<【解析】由99808a a ∆=->⇒<，又0a >，所以908a <<． 五、解答题：本大题共3小题，共34分．22．（本题满分10分）解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时， y kt =，图像过点（0.1，1），┈┈┈┈┈┈┈1分∴10.110k k =⇒=， ∴10y t =； ┈┈┈┈┈┈┈2分当0.1t ≥时，1()16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,00.11(),0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物释放完毕后，且达到一定标准，学生才能回到教室．当0.1t >，有0.11()16t y -=，由0.25y <得0.111()0.6164t t -<⇔>，┈┈9分 答：从药物投放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室． ┈10分23．（本题满分12分）解：（Ⅰ）茎叶图如图：┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分甲种树苗高度的中位数为2529272+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 平均数为40101001202710+++=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 乙种树苗高度的中位数为273028.52+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 平均数为403040301603010++++=． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知27x =，记事件A 为“从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x ”，则事件A的结果有30，44，46，46，47共5种，┈┈┈┈┈┈6分 ∴51()102P A ==， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 答：从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x 的概率为12．┈┈8分 （Ⅲ）由框图可知：222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10S =-+-+-+-+- 22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-1(1003616494642516436)10=+++++++++35=，┈┈┈┈┈10分 输出的S 大小为35， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分24．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1x =时，()f x 有最大值，所以12b a-=，即2b a =-， ┈1分 因为函数()()g x f x x =-只有一个零点，所以2(21)0ax a x -+=有等根． 所以2(21)0a ∆=+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 即1,12a b =-=．所以21()2f x x x =-+． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）①当1m n <<时，)(x f 在[, ]m n 上单调递增，所以()3,()3,f m m f n n ==所以,m n 是方程2132x x x -+=的两根． 解得4,0m n =-= ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分②当1m n ≤≤时，132n =，解得16n =， 不符合题意；┈┈┈┈┈9分 ③当1m n <<时，)(x f 在[, ]m n 上单调递减，所以()3,()3,f m n f n m == 即22113,322m m n n n m -+=-+=， 相减得221()()3()2m n m n n m --+-=-， 因为m n ≠，所以1()132m n -++=-，即8m n +=， ┈┈┈┈┈┈11分 将8n m =-代入213,2m m n -+= 得213(8),2m m m -+=- 但此方程无解， 所以4,0m n =-=时，)(x f 的定义域为[, ]m n ，值域是[3, 3]m n ．┈┈12分乙 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．18．7 【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得．19．1【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．2010 【解析】取1,1a b ==，代入条件得(2)4f =，以此类推分别求(3),(4),f f ，发现规律，也可以构造函数()2x f x =．21．210<<a 【解析】由条件知,对任意的实数b ,方程()0212=--+b x b ax 总有两个相异的实数根.∴()0812>+-=∆ab b 恒成立 ，即对任意实数b , ()01282>+-+b a b 恒成立.从而()04282<--=∆'a , 解得210<<a ．五、解答题：本大题共3小题，共34分．22．（本题满分10分）解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，可设y kt =， ┈┈┈┈┈┈┈1分由图可知，当0.1x =时，1y =，∴10.110k k =⇒=，∴10y t =；┈2分当0.1t ≥时，1()16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,00.11(),0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物投放后，当00.1t ≤≤时，10y t =，由0.25y ≥得100.25t ≥，∴0.025t ≥； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分当0.1t >，有0.11()16t y -=， 由0.25y ≥得0.111()0.6164t t -≥⇔≤， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 答：从药物投放开始，0.025小时至0.6小时这段时间，学生必须离开教室．┈10分23．（本题满分12分）解：（Ⅰ）茎叶图如图；┈┈┈┈┈2分统计结论： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（1）甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；（2）甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；（3）甲种树苗高度的中位数为27，乙种树苗高度的中位数为28.5；（4）甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．（Ⅱ）40101001202710x +++==，由框图可知： 222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10S =-+-+-+-+- 22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-1(1003616494642516436)10=+++++++++35=， ┈┈┈┈┈7分 输出的S 大小为35，S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分（Ⅲ）从甲、乙两种树苗高度在30厘米以上（含30厘米）中各抽取1株的所有可能结果为：（37，30），（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），（31，30），（31，47），（31，46），（31，44），（31，46），（32，30），（32，47），（32，46），（32，44），（32，46），（33，30），（33，47），（33，46），（33，44），（33，46），可能结果数为20种， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分记事件A 为“样本平均数不小于40”，事件A 包含的结果有：（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），（33，47）共5种结果，┈┈10分 ∴51()204P A ==； 答：各样本平均数不小于40的概率为14． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分24．（本题满分12分）解：（Ⅰ）当0=a 时，44)(2+=x x x f ， 对任意),(+∞-∞∈x ，)(444)()(4)(22x f x x x x x f -=+-=+--=-， )(x f ∴为奇函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分当0≠a 时，4)(4)(2+-=x a x x f ， 取1±=x ，得058)1()1(≠-=+-a f f ，058)1()1(≠-=--f f ， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（Ⅱ）证明：4)(4)(2+-=x a x x f ,任取],[,21n m x x ∈且21x x <，┈┈┈┈┈6分 则1212121212222212124()4()4()[()4]()()44(4)(4)x a x a x x a x x x x f x f x x x x x ---+-+-=-=++++ ┈┈┈┈┈7分设12)(2--=ax x x g ，则,0)(,0)(21≤≤x g x g即221122210,210x ax x ax --≤--≤， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分02)(2212221≤-+-+∴x x a x x ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 又∵12x x ≠∴212()0x x -> 2212122x x x x ∴+> 02)(222121<-+-∴x x a x x ，即01)(2121<-+-x x a x x ┈┈┈┈┈┈10分 又0,01)(4)(2121212121<->+-+>+-+x x x x x x a x x x x a ， 0)()(21<-∴x f x f ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分 即12()()f x f x <,故)(x f 在区间],[n m 上是增函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈12分。
厦门市—高二上学期期末质量检测化学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共48分）17．（15分）（1）0.16 mol·L-1·min-1（3分）（2）C （2分）（3）[C]3/（[A] 2[B]）（2分） 2（3分）（4） 40% （3分）（5）吸热（2分）18．（15分）（1）N（2分）（2）负极（1分） O2+ 2 H2O + 4e-＝ 4OH-（3分）（3）铁（1分） 4OH- - 4e-＝ O2 ↑+ 2 H2O（3分）（4）0.224（2分）（5）C2H5OH（l）+3O2（g）=2 CO2（g）+ 3H2O（l）；△H=－1366.66kJ·mol —1（3分）19．（12分）（1）铁丝发生吸氧腐蚀消耗氧气，使瓶内气体分子数减少，导致瓶内压强减小，因此导气管中水面上升。
（3分）（2）B>C>A=D（2分）(3)水、电解质（或电解质溶液）（2分）（4）4Fe（OH）2+O2+2H2O 4 Fe（OH）3（3分）(5)洗净、擦干、涂油等（2分）10分）（1）K = 1/9 （4分）（2） 14.29% （或1/7）（6分）B卷（50分）21．（14分）（1）-33.42℃（1分） N2，H2（2分）（2）AD（3分）（3）16/15（或1.07或1.1）（2分）（4）N2 + 6H+ + 6e-＝ 2NH3（3分）（5）＞（2分）＞（1分）22．（12分）（1）化学（1分）热（1分）（2）Mg(s)+ 2H2O(l) = Mg(OH)2(s)+ H2(g) △H= - 352.8 kJ·mol-1（2分）（3）探究在其它条件相同的情况下，金属镁的接触面积对反应速率的影响。
（2分）（4）C （2分）（5）D （2分）（6）O2+ 2 H2O + 4e-＝ 4OH-（2分）23．（12分）（1）﹤（2分）（2）0.025mol·L-1·min-1（2分）（3）增加H2浓度（2分）0.5（2分）（4）75%（2分）（5）<（2分）24．（12分）（1）Al+4OH—→[Al(OH)4]—+3e—（2分）（2）分）（3）①N2H4（l）+2H2O2（l）=N2（g）+4H2O（g）△H=－641.5kJ·mol —1（3分）②Cu- 2e—Cu2+（2分）112（3分）25．（12分）（1）①1.0×（2分）②1.0×10-3（2分）（2）CO32—+H2 O HCO3—+OH—HCO3—+H2O H2CO3+OH—（2分）(3) AC（2分）（4）3CO32—+2A13++3H2O=2A1（OH）3↓+3CO2↑（2分）（5）向纯碱溶液中滴入酚酞溶液，溶液显红色；若再向该溶液中滴入过量氯化钙溶液，产生白色沉淀，且溶液的红色褪去。
2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m 的值 【详解】由221x my +=，得2211y x m+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以2211,a b m==， 因为长轴长是短轴长的两倍， 所以224a b =，即41m=，得4m =， 故选：D2．已知双曲线222:1x C y a-=的一个焦点为()2,0-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A．0x = B0y += C．0x = D0y +=【答案】A【分析】根据双曲线中,,a b c 的关系，即可求得双曲线的标准方程，并写出对应的渐近线方程. 【详解】由题意可知，1,2==b c ， 则由222c a b =+得a =所以，渐近线方程为by x a =±=，即0x ±=故选：A.3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于（ ）A ．221332a b c ++B ．111222a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用OA 、OB 和OC 表示出MN 即可. 【详解】由题意知，MN MA AC CN =++ ()1132OA OC OA CB =+-+ ()2132OA OC OB OC =-++-211322OA OB OC =-++211322=-++a b c 故选：C.4．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2022a =（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】由111n n a a +=-，且112a =，得到所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为数列{}n a 满足111n n a a +=-，且112a =， 所以()2341211112,1,11112a a a a a ====-==----，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2022367401a a ⨯+==-， 故选：A5．圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（ ）A ．2B ．32C ．26D ．23【答案】A【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆1O 的圆心到公共弦的距离，再由公共弦长公式=d .【详解】联立两个圆的方程222222260820x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩， 两式相减可得公共弦方程3120x y -+=，圆()()221:1128O x y -+-=的圆心坐标为()11,1O ，半径为r =圆心()11,1O 到公共弦的距离为1==d公共弦长为==d 故选：A.6．已知点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上运动，则yx的最大值是（ ）A B ．12C D 【答案】D 【分析】令yk x=，即为0kx y ，可知直线与圆有交点，由此列出不等式求出k 的范围，即可得到结果.【详解】圆22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 圆心为()2,0C ，半径=1r ， 则yx的几何意义就是圆上一点(),P x y 与原点()0,0之间连线的斜率， 令yk x=，即为0kx y ， 可知直线0kx y 与圆有公共点，即相交或相切，1≤，解得k ≤≤，所以y x 故选：D.7．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.8．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值.【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z==-，故其方向向量为()3,2,1m =-，故直线l 与平面a=，故选：B.【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.二、多选题9．已知椭圆22:198x y C +=的左､右两个端点分别为12,,F F P 为椭圆上一动点，()1,1M 则下列说法正确的是（ ）A ．12PF F △的周长为6B ．12PF F △的最大面积为C ．存在点P 使得120PF PF ⋅=D ．1PMPF 的最大值为7【答案】BD【分析】对于A ，利用椭圆的定义可得12PF F △的周长为8，由此判断即可；对于B ，根据椭圆的几何性质，当P 为椭圆短轴顶点时，可得12PF F △的面积最大，从而得以判断； 对于C ，由120PF PF ⋅=可得点P 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点P 的轨迹与椭圆C 没有交点，由此得以判断；对于D ，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得17PM PF +≤，从而得以判断.【详解】对于A ，因为椭圆22:198x y C +=，所以229,8a b ==，则23,22,1,1a b c c ====，所以12PF F △的周长为1212228PF PF F F a c ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆C 短轴顶点时，点P 到12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大， 所以121122222222PF F Sc b =⨯⨯=⨯⨯=，故B 正确； 对于C ，假设存在点P 使得120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥， 所以点P 的轨迹是以原点O 为圆心，12F F 为直径的圆O ，则12112r F F ==， 因为椭圆C 上的任一点到原点O 的最小距离是短轴顶点与原点O 的距离，即22b =， 由r b <可知，圆O 与椭圆C 没有交点，所以假设不成立，即不存在点P 使得120PF PF ⋅=，故C 错误； 对于D ，由选项A 易得()21,0F ，又()1,1M ，所以()()22211011MF =-+-=，所以12222667PM PF PM a PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，故D 正确. 故选：BD..10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法正确的是（ ） A ．0d <B ．120S >C ．数列{}n S 的最大项为11SD ．67a a >【答案】ABD【分析】由675S S S >>判断出70a <，60a >，求出760d a a =-<，即可判断A ；利用等差数列的性质求出()126760S a a =+>，可以判断B ； 由60a >，70a <，可判断出6S 最大，可以判断C ； 由60a >，70a <，670a a +>，可以判断D.【详解】因为7670S S a -=<，6560S S a -=>，所以760d a a =-<，A 正确； 75670S S a a -=+>，所以()()112126712602a a S a a +==+>，B 正确； 因为60a >，70a <，所以数列{}n S 的最大项为6S ，C 不正确；因为60a >，70a <，670a a +>，所以670a a >->，即67a a >，D 正确． 故选：ABD ．11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160,DAB DAA BAA ∠∠∠===则下列说法中正确的有（ ）A ．1AC BD ⊥B ．16BDC ．BD ⊥平面1ACC D ．直线1BD 与AC 6【答案】ACD【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11,AC AB AD AA BD AD AB =++=-， ()()11AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-11AB AD AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅ 221111111111*********=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯=，所以1AC BD ⊥，A 选项正确.111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2211BD AD AA AB =+-222111222AD AA AB AD AA AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅2221111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以12BD =，B 选项错误.依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 由于1AC AC A =，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以1BD ⊥平面1ACC ，C 选项正确. 设直线1BD 与AC 所成角为π,02θθ≤≤， AC AB AD =+，11BD AD AA AB =+-，()222212121113,32AC AB ADAB AB AD AD AC =+=+⋅+=+⨯⨯⨯+==，()()11AC BD AB AD AD AA AB ⋅=+⋅+-11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅221111111111*********=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以1116cos 632AC BD AC BD θ⋅===⨯⋅，D 选项正确. 故选：ACD12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点F ，使得1A F AE ⊥B ．线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C ．四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D ．设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4【答案】BCD【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项；求出b 与a 的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用等积法可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()12,0,2A 、()10,2,2B 、()10,0,2C 、()0,1,2E ，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤.对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()12,2,2A F a =--，()2,1,2AE =-，()142220A F AE a ⋅=++-=，解得1a =-，不合乎题意，A 错；对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中m 、R n ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即22=2+2=02+=2m n b m n m an ---⎧⎪⎨⎪⎩，可得424b a =+-，02a ≤≤，则442a -≤-≤-，所以，[]420,14b a =+∈-，B 对； 对于C 选项，2C AFEG C AGE C AFE V V V ---=+=， 其中11233C AGE E ACG ACGV V SEC --==⋅⋅=，故43C AFE V -=， 又124333C AFE A CEF CEFCEFV V AC SS --==⋅⋅==，故2CEFS =即11122CEFCBB C SS ==正方形，故点F 只能与点B 重合，C 对； 对于D 选项，()2,1,2AE =-，()2,2,AF a =-，则点F 到直线AE 的距离为221AE AF d AF AE ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪⎝⎭()2,0,2AG b =-，则点G 到直线AE 的距离为222AG AE d AG AE ⎛⎫⋅⎪- ⎪⎝⎭==所以，223124S d S d a ==-，故()2223312232332242242S SS S S a S S S S S S a +-==++=++-， 24≥=，当且仅当=2a 时，等号成立，故2123S S S 的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.三、填空题13．已知直线l10y ++=，则直线l 的倾斜角为__________. 【答案】2π3【分析】先求得直线l 的斜率，然后求得其倾斜角. 【详解】10y ++=的倾斜角为()0πθθ≤<， 10y ++=的斜率为tan θ=2π3θ=所以倾斜角为2π3. 故答案为：2π314．已知空间三点坐标分别为()()()1,1,1,0,3,0,2,1,4A B C --,点()3,,3P x -在平面ABC 内,则实数x 的值为___________. 【答案】1【分析】根据题意,存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.【详解】点()3,,3P x -在平面ABC 内,∴存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立, ()()()4,1,21,2,13,2,3x λμ∴--=--+--, 4=31=222=+3x --λ-μ∴-λ-μ-λμ⎧⎪⎨⎪⎩, 解得=1=1=1x λμ⎧⎪⎨⎪⎩.故答案为:1.15．已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为_________. 【答案】152【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可． 【详解】12n n a a n +-=， 212a a -=， 324a a -=，⋯()121n n a a n --=-，由累加得()()()12124212123122n n n a n n n n a -=++⋯+-=⨯+++⋯+-==-⨯-，所以12218n a n n n n a ==-+-+ ∴181n a n n n=+-， ()18f x xx=+在()0,32上单调递减，在()32,+∞上单调递增， ∴na n在(]0,4上单调递减，在[)5,+∞上单调递增，且N n *∈， 4n ∴=或5时最小，4n =时，21814145n a n +-==； 5n =时，31285581515n a n +==>-； 所以na n 的最小值为152故答案为：152． 16．如图，已知斜率为2-的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C ，且=45ABC ∠︒，则该双曲线的离心率为______.【答案】153##1153 【分析】取AB 的中点M ，连接OM ，求得直线OM 的斜率，再利用点差法求得2223b a =，进而求得该双曲线的离心率【详解】如图，设直线AB 与x 轴交于点D ，取AB 的中点M ，连接AC ，OM ， 由双曲线的对称性可知O 为线段AC 的中点，则OM BC ∥，所以45OMD ∠=︒.由直线AB 的斜率2AB k =-，得tan 2ODM ∠=-，则直线OM 的斜率()()tan tan45211tan 1tan tan451213OM ODM k ODM OMD ODM ∠∠∠∠+︒-+=+===--︒--⨯.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减，得22221212220x x y y a b---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-， 即()2212233OM ABb k k a ⋅==-⨯-=，所以该双曲线的离心率e ==四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+.【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． （2）由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．已知ABC 的边AB 边所在直线的方程为()36020x y M --=，满足BM MC =, 点()11T -，在AC边所在直线上且满足0AT AB ⋅=．（I ）求AC 边所在直线的方程； （II ）求ABC 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点()20N -，，且与ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 【答案】（I ）320x y ++=；（II ）22(2)8x y -+=；（III ）221(2)22x y x -=≤-.【分析】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意直线和圆的位置关系的合理运用． （I ）由0AT AB ⋅=，T 在AC 上，知ABC 是直角三角形．由AB 边所在的直线方程是360x y --=，知直线AC 的斜率是-3，再由T(1,1)-在直线AC 上，能求出AC 边所在的直线方程;（II ）AC 与AB 的交点为A ，由360{320x y x y --=++=，，解得A （0，-2）．由BM MC =，知()2,0M 为Rt ABC 外接圆的圆心，再由r=22||(20)(02)22AM -++=能求出ABC 外接圆的方程． （III ）由动圆P 过点N ，知|PN|是该圆的半径，再由动圆P 与圆M 外切，知|PM ||PN |22=+P 的轨迹． 【详解】（I ）（I ）∵0AT AB ⋅=，∴AT ⊥AB ， ∵T 在AC 上，∴AC ⊥AB ，△ABC 是直角三角形．又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AC 上， 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）AC 与AB 的交点为A ，所以由360{320x y x y --=++=，解得点A 的坐标为(02)，-， ∵BM MC =，∴M （2，0）为Rt △ABC 外接圆的圆心， 又r=22(20)(02)22AM =-++从ABC ∆外接圆的方程为:22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =． 所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=≤-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法①求M 的轨迹方程的.19．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AC =4，BD =2，且侧棱AA 1=3.其中O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点.（1）求点B 1到平面D 1AC 的距离；（2）在线段BO 1上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与CD 1垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（13105（2）存在，10BP =【分析】（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出11D B →的方向向量和平面D 1AC 的法向量，最后根据距离公式求解即可.（2）设1BP BO λ→→=⋅，分别求出直线AP 与CD 1的方向向量，根据数量积等于0求出λ的值，最后确定点P 的位置.【详解】解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与BD 的交点O 为原点， 以射线OA ､OB ､OO 1分别为x ､y ､z 轴，建立空间直角坐标系.由已知条件，相关点的坐标为A (2，0，0)，B (0，1，0)，C (﹣2，0，0)，O 1(0，0，3)，B 1(0，1，3)，D 1(0，﹣1，3)，设平面D 1AC 的法向量为n (x,y,z)→=， 由(4,0,0)AC →=-，1(2,1,3)AD →=--， 得1.4003·230n AC x x y z n AD x y z ⎧=-==⎧⎪⇒⎨⎨==--+=⎩⎪⎩，令z =1，则(0,3,1)n →= 因11(0,2,0)D B →=，故点B 1到平面D 1AC 的距离为11||6310510||D B n d n →→→⋅===. （2）设1BP BO λ→→=⋅，则由(2,1,0)AB →=-，1(0,1,3)BO →=-， 得(2,13)AP AB BP λλ→→→=+=--，. 又1(2,1,3)CD →=-，故当1AP CD →→⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)10502AP CD λλλλ→→⋅=--⋅-=-=⇒=. 于是，在线段BO 1上存在点P ，使得AP ⊥CD 1， 此时111022BP BO ==.【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.20．已知抛物线()2:20C y px p =>，点()2,4P 在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若以线段PQ 为直径的圆过原点，求m 的值.【答案】(1)28y x = (2)8-【分析】（1）将点()2,4P 代入抛物线C 方程即可求得p 的值，进而可求出抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的12120x x y y +=，得到关于m 的方程，解之即可．【详解】（1）因为点()2,4P 在抛物线()2:20C y px p =>上，所以2422p =⨯，即4p =， 故抛物线C 的方程为28y x =. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得22(28)0x m x m +-+=，所以1282x x m +=-，212x x m =，22(28)40m m ∆=-->，则2m <，因为以线段PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y +=⋅=，所以222121212121212()()2()2(82)0x x y y x x x m x m x x m x x m m m m m +=+++=+++=+-+=，解得8m =-或0m =，当0m =时，直线l 为y x =，显然直线l 过原点O ，不满足题意，舍去； 当8m =-，满足2m <，且有12120x x y y +=，即OP OQ ⊥，满足题意； 综上：m 的值为8-．21．如图，在平面四边形ABCD 中，=AB AD ，BC CD =且BC CD ⊥，以BD 为折痕把ABD △和CBD △向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）.(1)求证：EF BD ⊥；(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点G 为ABD △的重心，EG ⊥平面ABD ，且直线EF 与平面FBD 所成角为60°，求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）作出辅助线，证明出EH ⊥BD ，FH ⊥BD ，从而证明线面垂直，得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. 【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ，FH ， 因为AB =AD ，BC =DC ， 所以EB =ED ，FB =FD ， 故EH ⊥BD ，FH ⊥BD ， 因为EHFH H =，,EH FH ⊂平面EFH ，所以BD ⊥平面EFH 。
2011-2012学年高二下学期模块考试数学试题（本试题共120分，时间100分钟）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．设zz i i z 2),(12+-=则为虚数单位=（A ）i --1 （B ）i +-1 （C ）i -1（D ）i +12．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（A ）28 （B ）32 （C ）33 （D ）273. 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（A ）r 2<r 1<0 （B ）0<r 2<r 1 （C ）120r r << （D ）r 2＝r 1 4. 若()sin cos f x x α=-，则'()f α等于 （A ）sin α （B ）cos α （C ） sin cos αα+ （D ）2sin α 5. 函数xy 1=在点4=x 处的导数是(A)81 (B) 81- (C)161 ( D) 161-6. ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =， 则()f x 与()g x 满足(A) ()f x =()g x (B ) ()f x -()g x 为常数函数 (C) ()f x =()0g x = ( D) ()f x +()g x 为常数函数 7. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为 （A ）4π（B ）3π（C ）43π （D ）2π8. 若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则它在A 点处的切线方程为（A ）0144=++y x （B ）0144=+-y x （C ）02=-y x （D ）02=+y x9. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象可能是10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)2(=f ,当0>x 时，有)()(x f x x f '>恒成立，则不等式x x f >)(的解集是 （A ） （2-，0）∪（2，∞+） （B ） （2-，0）∪（0，2） （C ） （∞-，2-）∪（2，∞+） （D ） （∞-，2-）∪（0，2）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）11. 若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=_________。
