线性代数第13讲

《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》阅读随笔目录一、矩阵基础篇 (2)1.1 矩阵的定义与性质 (3)1.2 矩阵的运算 (4)1.3 矩阵的秩与行列式 (5)二、矩阵应用篇 (6)2.1 矩阵在物理学中的应用 (7)2.2 矩阵在计算机科学中的应用 (8)2.2.1 图像处理 (9)2.2.2 机器学习 (10)2.3 矩阵在经济学中的应用 (11)三、矩阵可视化篇 (13)3.1 利用图表展示矩阵 (14)3.2 利用动画展示矩阵运算 (15)3.3 利用交互式工具探索矩阵世界 (16)四、矩阵挑战篇 (17)4.1 解决矩阵方程 (19)4.2 矩阵分解技巧 (20)4.3 矩阵的逆与特征值问题 (21)五、矩阵与艺术篇 (22)5.1 矩阵在艺术设计中的应用 (23)5.2 矩阵与音乐的关系 (25)5.3 矩阵与建筑的空间结构 (26)六、矩阵学习策略篇 (27)6.1 如何选择合适的矩阵学习材料 (28)6.2 矩阵学习的有效方法 (29)6.3 如何克服矩阵学习的障碍 (31)七、矩阵趣味问答篇 (32)7.1 矩阵相关的趣味问题解答 (33)7.2 矩阵在日常生活中的实际应用 (33)7.3 矩阵的趣味故事与趣闻 (34)八、结语 (35)8.1 阅读随笔总结 (36)8.2 对矩阵未来的展望 (38)一、矩阵基础篇在《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》作者以一种通俗易懂的方式向我们介绍了矩阵的基本概念和性质。

矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。

我们将学习矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，并通过实际的例子来理解这些运算的含义。

我们来学习矩阵的基本运算，矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。

每个元素用一个位于其行列索引处的小写字母表示，例如矩阵A [13 4]中，A[1][2]表示矩阵A的第一行第三列的元素，即3。

Python--线性代数篇讲解Python在线性代数中的应⽤，包括：⼀、矩阵创建先导⼊Numpy模块，在下⽂中均采⽤np代替numpy1import numpy as np矩阵创建有两种⽅法，⼀是使⽤np.mat函数或者np.matrix函数，⼆是使⽤数组代替矩阵，实际上官⽅⽂档建议我们使⽤⼆维数组代替矩阵来进⾏矩阵运算；因为⼆维数组⽤得较多，⽽且基本可取代矩阵。

1 >>> a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使⽤mat函数创建⼀个2X3矩阵2 >>> a3 matrix([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])5 >>> b = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])#np.mat和np.matrix等价6 >>> b7 matrix([[1, 2, 3],8 [4, 5, 6]])9 >>> a.shape #使⽤shape属性可以获取矩阵的⼤⼩10 (2, 3)1 >>> c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使⽤⼆维数组代替矩阵，常见的操作通⽤2 >>> c#注意c是array类型，⽽a是matrix类型3 array([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])单位阵的创建1 >>> I = np.eye(3)2 >>> I3 array([[ 1., 0., 0.],4 [ 0., 1., 0.],5 [ 0., 0., 1.]])矩阵元素的存取操作：1 >>> a[0]#获取矩阵的某⼀⾏2 matrix([[1, 2, 3]])3 >>> a[:, 0].reshape(-1, 1)#获取矩阵的某⼀列4 matrix([[1],5 [4]])6 >>> a[0, 1]#获取矩阵某个元素7 2⼆、矩阵乘法和加法矩阵类型，在满⾜乘法规则的条件下可以直接相乘1 >>> A = np.mat([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])#使⽤mat函数2 >>> B = np.mat([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>> A #注意A, B都是matrix类型，可以使⽤乘号，如果是array则不可以直接使⽤乘号4 matrix([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>> B8 matrix([[5, 4, 2],9 [1, 7, 9],10 [0, 4, 5]])11 >>> A * B#学过线性代数的都知道：A * B != B * A12 matrix([[ 7, 30, 35],13 [ 19, 60, 67],14 [ 37, 105, 115]])15 >>> B * A16 matrix([[ 29, 40, 51],17 [ 76, 93, 110],18 [ 42, 51, 60]])如果是使⽤数组代替矩阵进⾏运算则不可以直接使⽤乘号，应使⽤dot()函数。

《高等代数》课 程 教 案(另有电子多媒体制作的课件教案)(一) 课程概况课程名称: 高等代数I，高等代数II课程学时：两学期，课内周４学时，共计128学时。

课外另有讨论课。

课程性质：必修基础课。

讨论交流：每周安排1次讨论课。

考核方法： 多种形式结合。

平时表现 (课堂讨论、作业、思考题)占10%， 期中考试占20%，期末考试(和小论文小答辩)占70%.开课学期：秋季学期、春季学期。

(二) 使用教材：1.《高等代数学》(第一、二版), 张贤科，许甫华编著，清华大学出版社(主教材)2.《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编著，清华大学出版社(辅导教材)3.《Theory and Problems of Linear Algebra》，S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版.4.《Linear Algebra》，S.Berberian著，Oxford Univ. 出版5. 《Advanced Linear Algebra》，S. Roman著，Springer出版社。

(以上3本为参考书)(三) 内容合进度安排 (带星号*的是简单介绍性内容)第一部分 基 础 内 容 (第一学期上课)第1章 数与多项式1.1 数的进化与代数系统 (第1大节上课)*1.2 整数的同余与同余类 (第2大节上课)1.3 多项式形式环 (第3大节上课)1.4 带余除法与整除性1.5 最大公因子与辗转相除法 (第4大节上课)1.6 唯一析因定理1.7 根与重根 (第5大节上课)1.8 与 (第6大节上课)1.9 与1.10 多元多项式 (第7大节上课)1.11 对称多项式习题1 (4 次讨论课)第2章 行列式2.1 排列 (第8大节上课)2.2 行列式的定义2.3 行列式的性质2.4 Laplace 展开 (第9大节上课)2.5 Cramer 法则与矩阵乘法 (第10大节上课)2.6 矩阵的乘积与行列式 (第11大节上课)2.7 行列式的计算习题2 (2次讨论课)第3章 线性方程组3.1 Gauss消元法 (第12大节上课)3.2 方程组与矩阵的秩3.3 行向量空间和列向量空间 (第13大节上课)3.4 矩阵的行秩和列秩3.5 线性方程组解的结构 (第14大节上课)3.6 例题*3.7 结式与消去法习题3 (2次讨论课)第4章 矩阵的运算与相抵4.1 矩阵的运算 (第15大节上课)4.2 矩阵的分块运算4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课)4.4 矩阵运算举例 (第17大节上课)4.5 矩阵与映射 (第18大节上课)*4.6 矩阵的广义逆*4.7 最小二乘法习题4 (2 次讨论课)-------------------复习, 期中考试 (第19大节)第5章 线性(向量)空间5.1 线性(向量)空间 (第20大节上课)5.2 线性映射与同构 (21大节上课)5.3 基变换与坐标变换 (第22大节上课)5.4 子空间的和与直和 (第23大节上课)*5.5 商空间习题5 (两次讨论课)第6章 线性变换6.1 线性映射及其矩阵表示 (第24大节上课)6.2 线性映射的运算 (第25大节上课)6.3 线性变换 (第26大节上课)*6.4 线性表示介绍6.5 不变子空间 (第27大节上课)6.6 特征值与特征向量 (第28大节上课)6.7 方阵的相似 (第29大节上课)习题6 (两次讨论课)------------------------复习, 期末考试 (第30-32大节)第二部分 深 入 内 容(第二学期上课)第7章 方阵相似标准形与空间分解7.1 引言: 孙子定理 (第1大节上课)7.2 零化多项式与最小多项式 (第2大节上课)7.3 准素分解与根子空间 (第3大节上课)7.4 循环子空间 (第4大节上课)7.5 循环分解与有理标准形 (第5大节上课)7.6 Jordan 标准形 (第6-7大节上课)7.7 矩阵与空间分解 (第8大节上课)7.8 矩阵的相抵与Smith标准形 (第9大节上课)7.9 三种因子与方阵相似标准形 (第10大节上课) *7.10 方阵函数 (第11大节上课)*7.11 与可交换的方阵*7.12 模分解基本定理7.13 若干例题习题7 (讨论课4次)第8章 双线性型、二次型与方阵相合8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)8.2 对称方阵的相合 (第13大节上课)8.3 正定实对称方阵 (第14大节上课)8.4 交错方阵的相合及例题 (第15大节上课)8.5 线性函数与对偶空间 (第16大节上课)8.6 双线性函数 (第17大节上课)8.7 对称双线性型与二次型 (第18大节上课)*8.8 二次超曲面的仿射分类*8.9 无限维线性空间习题8 (讨论课 3次)-------------------------复习, 期中考试 (第19大节上课)第9章 欧几里得空间与酉空间9.1 标准正交基 (第20大节上课)9.2 方阵的正交相似 (第21大节上课)9.3 欧几里得空间的线性变换 (第22大节上课)9.4 正定性与极分解 (第23大节上课)*9.5 二次超曲面的正交分类 (第24大节上课)9.6 杂例 (第25大节上课)9.7 Hermite型 (第26大节上课)9.8 酉空间和标准正交基 (第27大节上课)9.9 方阵的酉相似与线性变换 (第28大节上课)*9.10 变换族与群表示9.11 型与线性变换 (第29大节上课)习题9 (讨论课 4次)-------------------------复习, 期末考试 (第30-32大节) 第三部分 选 学 内 容(课外阅读材料, 不在课内讲课, 或稍作介绍)第10章 正交几何与辛几何10.1 根与正交补10.2 正交几何与辛几何的结构10.3 等距变换与反射10.4 Witt定理10.5 极大双曲子空间习题10第11章 Hilbert空间11.1 内积与度量空间11.2 内积空间与完备11.3 逼近与正交直和11.4 Fourier展开11.5 等距同构于11.6 有界函数与Riesz表示习题11第12章 张量积与外积12.1 引言与概述12.2 张量积12.3 线性变换及对偶12.4 张量及其分量12.5 外积12.6 交错张量习题12(四)课程的定位和作用《高等代数》是数学的核心基础课程。

四行列式的计算公式四行列式是线性代数中的一个重要概念，它的计算公式可不简单哦！咱们先来说说啥是四行列式。

简单来讲，就是一个由四行四列数字组成的方阵，通过特定的规则算出一个值来。

那这个特定规则是啥呢？比如说，咱们有一个四行列式：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}\]它的计算公式就是把这 16 个数按照一定的规律进行运算。

具体来说，就是先选定某一行（或某一列），然后把这一行（或列）中的每个数乘以它对应的代数余子式，最后把这些乘积加起来。

听起来是不是有点晕？别着急，咱们来举个例子。

假设这个四行列式是：\[\begin{vmatrix}1 &2 &3 &4 \\5 &6 &7 &8 \\9 & 10 & 11 & 12 \\13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}\]咱们就选定第一行来计算。

先算第一个数 1 对应的代数余子式。

代数余子式就是把这个数所在的行和列划掉，剩下的部分组成的行列式乘以一个正负号。

1 对应的正负号是正的，划掉第一行第一列后剩下的行列式是：\[\begin{vmatrix}6 &7 &8 \\10 & 11 & 12 \\14 & 15 & 16\end{vmatrix}\]然后按照三阶行列式的计算方法算出这个值。

同样的方法算出 2、3、4 对应的代数余子式的值，再分别乘以 2、3、4，最后把这四个乘积加起来，就是这个四行列式的值啦。

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。

行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。

本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。

行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。

掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。

对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。

二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。

选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。

【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。

考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。