2020年北京初三数学一模分类汇编：几何综合 27题 (学生版);

2020年北京初三各区上学期期末几何综合学生版1西城27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有并说明理由．图1 备用图解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵ M为线段BQ的中点，∴ 四边形BNQP是平行四边形．∴ BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵ 以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ， ∴ PQ =PC ． ∴ BN =PC ． ∴△ABN ≌△ACP ． ∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ． ∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ，∴ MP． ············································································ 7分2东城区27．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ． （1）如图1，当△ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE 与∠BCD 之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ，CE ，DE 的数量关系．图1图2解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示. 猜想：∠BAE =∠BCD. 理由如下：12∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD, 图2 ∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE. …………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.……………………………7分3朝阳27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B 重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC +∠ACO=60°.∴∠OAC=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH =60°+∠H =60°+∠OAC . ∴∠DCH =60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC .∵CA =CD ，∠ACD =120°， ∴∠CAD =30°. ∴∠DCH =2∠DAH .4大兴区27.已知：如图，B,C,D 三点在 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角 △ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ； (2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系， 并证明.5石景山区27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于 直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明． （1）………………………… 2分（21．4分 （3FEP DC BA图1NMA………………………… 5分 2．，………………………… 7分6丰台区26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，；（2）写出一个∠ACB 的度数，并证明．解：（1）正确补全图形；………………1分………………3分（2 ……………………………………………………4分图2……………………………………………………………5分∠…………………………………………………………7分7顺义区27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．CCF BC D E A（备用图）解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ， ∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分8平谷区27．如图，正方形ABCD ，将边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE ，CE ． （1）求∠BAE 的度数；（2）连结BD ，延长AE 交BD 于点F ． ①求证：DF=EF ；②直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系．（1）解：∵AB=BE ，∴∠BAE =∠BEA ． ······································································· 1 ∵∠ABE =90°－60°=30°∴∠BAE =75°． (2)（2）证明：∴∠DAF =15°． (3)连结CF ．由正方形的对称性可知，∠DAF =∠DCF =15°． ······························· 4 ∵∠BCD =90°，∠BCE =60°， ∴∠DCF =∠ECF =∠DAF =15°． ∵BC=EC ，CF=CF ，∴△BCF ≌△ECF ． ···································································· 5 ∴BF=EF ． ··············································································· 6 （3 (7)9昌平区27.已知等边△ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD .（1）若点E 是AC 上一点，且CE ＝BD ，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE 的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明.（1）补全图形. ………………………………………………………… 1分 ∠APE =60° ……………………………………………………………… 2分（2）补全图形.………………………………………………………………3分ABDCDCBA..………………………………………………………………4分证明：在△ABD 和△BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CEBD C ABD BC AB 60∴△ABD ≌△BEC （SAS ）∴∠BAD =∠CBE .∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.∵AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到，∴AF =AD ，∠DAF =120°. ∵∠APE =60°， ∴∠APE +∠DAP =180°.∴AF ∥BE...……………………………………………………………………………………………5分 ∴∠1=∠2∵△ABD ≌△BEC ， ∴AD =BE . ∴AF =BE .在△AQF 和△EQB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BEAF EQB AQF 21△AQF ≌△EQB （AAS ）∴AQ =QE ..……………………………………………………………………………………………6分∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，且AE=BC，CD=BD.∴AE=CD...……………………………………………………………………………………………7分10通州11门头沟27．如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ． （1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明；（3）连接AP ，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值，备用图（本小题满分7分）（1）补全图形正确．………………………………1分 （2）AB =PB ．………………………………………2分证明：如图，连接BQ ．∵BC 的垂直平分OQ ，∴ OB =BQ ，……………………3分 ∴∠BOP =∠BQP ． 又∵ OF 平分∠MON ， ∴∠AOB = ∠BOP ．∴∠AOB = ∠BQP ．…………4分 又∵PQ=OA ，∴ △AOB ≌△PQB ，…………………………………………………………5分 ∴AB =PB ．（37分12房山区27.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B 上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________.（3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________27-1 备用图备用图（1）如图27-1，补全图形…………1分证明：⸪∠ACB＝∠MCN＝90°∴∠MCB＝∠NCA …………2分⸪CM＝CN，CB＝CA∴△MCB≌△NCA∴BM＝AN…………3分图27-1（2） 45°或135°…………4分（3） 1 ； 3 …………6分13密云区27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接EC ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上． ① 依据题意补全图1；② 求∠MCE 的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．(1) ① 补全图1：………………………………2分② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME ………………………………3分在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45°图1∴FM=MC ………………………………4分在△FMA和△CME中∴∴∠MCE=∠F=45°……………5分（2……………7分14海淀27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA 绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，① 依题意补全图1；② PQ 的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，, 求证：PD =PQ ；（3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作PF BQ ⊥于F ，AH PF ⊥于H .∵PA AD ⊥, ∴∠PAD =90°.由题意可知∠1=45°. ∴2901451∠=︒-∠=︒=∠. ∴PA AD =. ∵90ACB ∠=︒, ∴90ACD ∠=︒∵AH PF ⊥，PF BQ ⊥， ∴90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ACFH 是矩形.∴90,CAH AH CF ∠=︒=.图 121 ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒∴3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒. ∴34∠=∠.又∵90,ACD AHP ∠=∠=︒∴ACD AHP ≌△△.∴1AH AC ==.∴1CF AH ==.B ，Q 关于点D 对称，∴F 为DQ 中点.∴PF 垂直平分DQ .∴PQ =PD .（3。

1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为____________.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）2 / 12A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2-B. (0,1)-C. (0,2)-D. (0,4)-（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ） A.13B.43D. 33 / 12（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.12D.（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.4 / 12给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________.（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝15 / 12（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________.（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. B. 8 C. 4 D. 1（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )6 / 12A.B.C.32D.92（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.（2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.7 / 12(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.（2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.8 / 12（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9 / 12（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.10 / 12（2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .11 / 12 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x ya ba bG+=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于,P Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（1）求椭圆G的标准方程；（2）若3PQ=，求直线l的方程；（3）若BOP△的面积是BMQ的面积的4倍，求直线l的方程.12/ 12。

2023北京初三二模数学汇编 几何综合（第27题）一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），点F 与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点P ，设ADP α∠=．（1）用含α的代数式表示DCP ∠；（2）连接AP AF ，．求证：APF 是等边三角形；（3）过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．补全图形，猜想线段CH 与PH 之间的数量关系，并加以证明． 2.（2023·北京西城·统考二模）如图，在ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒−得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，． ①依题意补全图形，并证明AC DG =； ②求证：DGB ACB ∠=∠； （2）若60α=︒，且FHBC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．3.（2023·北京海淀·统考二模）如图，在ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒−得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，． ①依题意补全图形，并证明AC DG =； ②求证：DGB ACB ∠=∠； （2）若60α=︒，且FHBC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．4.（2023·北京朝阳·统考二模）在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到线段AE ，连接DE ．（1）根据题意补全图形，并证明：EAC ADC ∠=∠；（2）过点C 作AB 的平行线，交DE 于点F ，用等式表示线段EF 与DF 之间的数量关系，并证明．5.（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC = 90°，AB = AC ，点D 是BA 延长线上一点，连接DC ，点E 和点B 关于直线DC 对称，连接BE 交AC 于点F ，连接EC ，ED ，D F 。

专题28 几何证明综合复习（判定四边形形状）教学重难点1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。

【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概 5-8 分钟左右。

【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的" 因为"、"所以 " 逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。

2020初三数学一模分类汇编 几何综合（27题）1.（2020东城一模27题）27．如图，在正方形ABCD 中，AB =3， M 是CD 边上一动点（不与D 点重合），点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，连接AE ，ME ，延长CB 到点F ，使得BF =DM ，连接EF ，AF . （1） 依题意补全图1； （2） 若DM =1，求线段EF 的长；（3） 当点M 在CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan ∠DAM的值.图1DM备用图DCBA27.解：（1）补全图形如图1所示.-----------------1分（2）如图2，连接BM．∵点D与点E关于AM所在的直线对称，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°.又∵DM = BF，图1∴△ADM≌△ABF.∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．∴∠FAB=∠MAE.∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．∴∠FAE=∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF=BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3．图2∵DM=1，∴CM=2．∴在Rt△BCM中，BM2213CM BC+=∴EF13-----------------5分（3）当点M在CD边上运动时，若使△AEF为等腰三角形，则tan∠DAM=1或12. …………………………………7分2.（2020西城一模27题）27. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°. 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ =CP ，连接AP ，AQ . 过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段AD 上的一个动点（与点A ，D 不重合），过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ． （1）依题意补全图1； （2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图C B AP Q D F E C AP QDFE27．（1）补全图形，如图1.证明：（2）∵ CQ =CP ，∠ACB = 90°，∴ AP =AQ ． ∴ ∠APQ =∠Q ． ∵ BD ⊥AQ ，∴∠QBD +∠Q =∠QBD +∠BFC = 90°． ∴ ∠Q =∠BFC ． ∵∠MFN =∠BFC ， ∴∠MFN =∠Q ．同理，∠NMF =∠APQ ． ∴ ∠MFN =∠FMN ． ∴ NM =NF ． （3） 连接CE ，如图2．由（1）可得 ∠P AC =∠FBC ， ∵ ∠ACB =90°，AC =BC ， ∴ △APC ≌ △BFC ． ∴ CP =CF ． ∵ AM =CP ， ∴ AM =CF ．∵ ∠CAB =∠CBA =45°． ∴ ∠EAB =∠EBA ． ∴ AE =BE ． 又 ∵ AC =BC ，∴ CE 所在直线是AB 的垂直平分线． ∴ ∠ECB =∠ECA =45°． ∴ ∠GAM =∠ECF =45°． 由（1）可得 ∠AMG =∠CFE ， ∴ △AGM ≌ △CEF ． ∴ GM =EF ．∵ BN =BE + EF + FN =AE +GM + MN ． ∴ BN =AE + GN ．··························································································· 7分图2图1CBAP N DM GHKFECBAP QN DM GHKFE3.（2020朝阳一模27题）27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(045)α︒︒＜＜,得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 交DE 的延长线于F ,连接BE ． （1）依题意补全图1； （2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1备用图27．解：（1）①补全图形，如图所示．②∠FBE =45︒；（2）2=．DE AF证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，设DF与AB交于点G，根据题意可知，CD= CE，∠ECD =2α,∠ABC =∠BCD =∠CDA=∠DAB=90︒．∴∠EDC=90︒-α, CB= CE,∠BCE =90︒-2α．∴∠CBE =45︒+α,∠ADF=α．∴∠ABE =45︒-α．∵BF⊥DE,∴∠BFD=90︒．∵∠AGD =∠FGB，∴∠FBG =α．∴∠FBE =∠FEB =45︒．∴FB = FE ．∵AH⊥AF，∠BAD=90︒，∴∠HAB =∠F AD．∴△HAB≌△F AD．∴HB= FD, AH=AF．∴HF= DE,∠H =45︒．∴2=．HF AF∴2=．DE AF3.（2020朝阳一模27题）27.已知∠MON=α,A为射线OM上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O，B不重合)，满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求∠BAD的度数(用含α的代数式表示);(3)若tanα=3,点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得4BP//OD，并证明.5.（2020丰台一模27题）27. 已知∠AOB =120°，点P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），点C 为∠AOB 内部一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，且点Q 恰好落在射线OB 上，不与点O 重合. （1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO 与∠CQO 的数量关系，并证明；（3）连接OC ，写出一个OC 的值，使得对于任意点P ，总有OP+OQ =4，并证明.OABOAB 图1备用图27. 解：（1）正确补全图1：……………………………………………2分（2） ∠CQO +∠CPO =180°. …………………………………3分 理由如下：∵四边形内角和360°，且∠AOB =120°，∠PCQ =60°，∴∠CQO +∠CPO =∠1+∠2=180°. ………………………4分（3）OC =4时，对于任意点P ，总有OP+OQ =4. ………………………5分证明：连接OC ，在射线OA 上取点D ，使得DP=OQ ，连接CD . ∴OP+OQ =OP+DP =OD . ∵∠1+∠2=180°，∵∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. ∵CP =CQ∴△COQ ≌△CDP （SAS ）. ………………………………………6分 ∴∠4=∠6，OC=CD. ∵∠4+∠5=60°， ∴∠5+∠6=60°.即∠OCD =60°. ∴△COD 是等边三角形.∴OC =OD=OP+OQ =4. ……………………………………………7分654321O D PC BA Q6.（2020石景山一模27题）27．如图，点E 是正方形内一动点，满足90AEB ∠=°且45BAE ∠<°，过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段EF ，DF ，BE 之间的 数量关系，并证明．（3）连接CE，若AB = 段CE 长度的最小值．ABCD EDCBA27．（1）依题意补全图形，如图1． ……… 1分 （2）线段EF ，DF ，BE 的数量关系为：EF DF BE =+． ……………… 2分 证明：过点A 作AM FD ^交FD 的延长线于 点M ，如图2． ……………… 3分 ∵90AEFF M °???，∴四边形AEFM 是矩形． ∴3290°??．∵四边形ABCD 是正方形， ∴1290°??，AB AD =，∴13??． 又∵90AEBM °??，∴AEB AMD △≌△． …………… 5分 ∴BE DM =，AE AM =． ∴矩形AEFM 是正方形．∴EF MF =． ∵MF DF DM =+，∴EF DF BE =+． ………………………………… 6分 （3）5 ………………………………… 7分图2图1MF321EDCBA8.（2020通州一模27题）27.已知线段AB，过点A的射线l⊥AB.在射线l上截取线段AC=AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点.以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE,B的对应点为D,N的对应点为E.(1)当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形;②证明:以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形.(2)连接EM，若AB=4，从下列3个条件中选择1个:①BP=1，②PN=1，③BN=√2，当条件(填入序号)满足时，一定有EM=EA，并证明这个结论.9.（2020顺义一模27题）27．已知，如图，△ABC 是等边三角形.（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，连接CE . ①求∠AED 的度数；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，∠BAC 的平分线交DB 的延长线于点E ，连接CE . ①依题意补全图2；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明.图2图1ABCEDCBA图1EDCB A654321F CBA图3E D27．（1）解：①∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°． ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC = 30°． 由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°． ∴AB=AD ，∠BAD =150°．∴∠ABD =∠D =15°．∴∠AED =∠ABD +∠BAE =45°．……………………………………2分②用等式表示线段AE 、CE 、BD………………………………………………………………………3分 （2）解：①依题意补全图2．……………………………………………………4分②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系为2BD CE =-．………………………………………………………………………5分 证明：过点A 作AF ⊥AE ，交ED 的延长线于点F （如图3）．∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC =60°． ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1=12∠BAC = 30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°． ∴AB=AD ，∠2=∠CAD -∠BAC =30°． ∴∠3=∠4=75°． ∴∠5=∠4-∠1=45°． ∵AF ⊥AE ，∴∠F =45°=∠5．∴AF=AE ． ∴AE ．DE 图2ABC∵∠6=∠EAF-∠1-∠2=30°，∴∠6=∠1=30°．又∵∠F=∠5=45°，AD=AB，∴△ADF≌△ABE．∴DF=BE．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC．∴CE=BE．∵BD=EF-DF-BE，∴BD AE-2CE．……………………………………………7分10.（2020大兴一模27题）27. 已知：如图，QAN ∠为锐角， H 、B 分别为射线AN 上的点， 点H 关于射线AQ 的对称点为C, 连接AC ，CB. （1）依题意补全图；(2) CB 的垂直平分线交AQ 于点E ，交BC 于点F ．连接CE ，HE ，EB. ①求证：△EHB 是等腰三角形.②若2AC AB AE +=，求cos ∠EAB 的值．27.（1）1分（2）①证明：∴△ACE≌△AHE．∴CE=EH． ··········································································2分∵ EF垂直平分BC，∴CE=EB．∴EB=EH．∴△EHB是等腰三角形……………………………………………………3分②作EM⊥AB于点M由①可知△EHB是等腰三角形．11.（2020房山一模27题）27．如图27-1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M为BC中点. 点P为AB 边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC.（1）当点P与点A重合时，如图27-2.①根据题意在图27-2中完成作图；②判断EC与BC的位置关系并证明.（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM EC，并证明.27.（1）①如右图……………………………………1分②判断：EC ⊥BC.………………………………2分 证明：∵PD 绕点P 逆时针旋转90°，得到PE. ∴∠DPE=90°，PD=PE. ∵AB=AC ，∠BAC=90°.∴∠B=∠ACB=45°，∠BPD=∠EPC ∴△PBD ≌△PCE ………………3分 ∴∠PCE=∠B=45°∴∠ECB=90°，即EC ⊥BC.………………4分 （2）23=BP ……………………………………5分 证明：如图，过点P 作PS ⊥BC 于点S,过P 作PS 的垂线PN ，并使PN=PS ，……………6分连接NE 并延长交BC 于点Q.∵PD=PE ∠DPE=90°∴∠DPS=∠NPE.∴①DPS ≌①EPN.∴PN=PS ，∠N=90°，∠SPN=90°. ∴四边形PSQN 是正方形。

2023北京初三一模数学汇编 几何综合（第27题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）如图，直线AB ，CD 交于点O ，点E 是BOC ∠平分线的一点，点M ，N 分别是射线OA ，OC 上的点，且ME =NE . （1）求证：MEN AOC ∠=∠；（2）点F 在线段NO 上，点G 在线段NO 延长线上，连接EF ，EG ，若EF =EG ，依题意补全图形，用等式表示线段NF ，OG ，OM 之间的数量关系，并证明.2.（2023·北京东城·统考一模）如图，在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 在BC 边上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接BE.（1）求证：BA 平分EBC ∠；（2）连接DE 交AB 于点F ，过点C 作CG AB ∥，交ED 的延长线于点G .补全图形，用等式表示线段EF 与DG 之间的数量关系，并证明.3.（2023·北京朝阳·统考一模）如图，∠MON=α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平 分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得 到线段AD ，连接BD.（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB=∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F. 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.4.（2023·北京海淀·统考一模）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE=CF ，AE ，BF 交于点G .（1）求∠AGF 的度数；（2）在线段AG 上截取MG=BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明.备用图5.（2023·北京房山·统考一模）如图，正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的一点，连接AE ，将射线AE 绕 点A 逆时针旋转90°交CD 的延长线于点F ，连接EF ，取EF 中点G ，连接DG . （1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG 与∠CDG 的数量关系，并证明； （2）若DG，用等式表示线段BC 与BE 的数量关系，并证明.6.（2023·北京丰台·统考一模）在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，点E 在对角线AC 上，连接EB ，点F 在直线AD 上（点F 与点D 不重合），且EF = EB. （1）如图1，当点E 在线段AO 上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE = ∠ABE ；②用等式表示线段AB ，AE ，AF 的数量关系并证明；（2）如图2，当点E 在线段OC 上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB ，AE ，AF 的数量关系.G FED CBA G FEDCBA ABCD E图1 图27．（2023·北京门头沟·统考一模）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图1；=；②求证：BE DF（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE 与DM的数量关系，并证明．8．（2023·北京顺义·统考一模）已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．（1）设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．9．（2023·北京通州·统考一模）直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，△，连接OD．连接AC．以AC为斜边作等腰直角ACD（1）如图1，若CO AB =，求AOD ∠的度数；（2）如图2所示，点E 是直线MO 上一点，且CE AB =，连接DE ，延长DO 至点F ，使得OF OD =， 连接AF ．根据题意补全图2，写出线段,DE AF 之间的关系，并证明．10.（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 是边 AB 上的一动点（不与点A ，B重合），连接CE 交AD 于点F ．将线段CF 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CG ，连接AG ． （1）如图1，当CE 是∠ACB 的角平分线时，①求证：AE=AF ；②直接写出∠CAG= °．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF ，AC ，AG 之间的数量关系，并证明．图1 图2 11．（2023·北京燕山·统考一模）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为边BC 上一点(不与点B ， C 重合)，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ， 交直线CE 于点F ．(1) 依题意补全图形；用等式表示线段CE 与BF 的数量关系，并证明； (2) 点G 为AB 中点，连接FG ，用等式表示线段AE ，BF ，FG 之间的数量关系，并证明．DBDB12.（2023·北京平谷·统考一模）在ABC ∆中，BD ⊥AC 于点D ，E 为AB 边中点，连接CE ，BD 与CE 相交于点F ，过E 作EM ⊥EF ，交线段BD 于点M ，连接CM.（1）依题意补全图形； （2）求证：∠EMF=∠ACF ；（3）判断BM 、CM 、AC 的数量关系，并证明.13．.（2023·北京石景山·统考一模）在△ABC 中，90ACB ∠=°，CA CB =，点D 为射线CA 上一点，过点D 作DE CB ∥且DE CB =（点E 在点D 的右侧），射线ED 交射线BA 于点F ，点H 是AF 的中点， 连接HC ，HE .（1）如图1，当点D 在线段CA 上时，判断线段HE 与HC 的数量关系及位置关系；（2）当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2.用等式表示线段CB ，CD ，CH 之间的数量关系，并证明.DC BAFH ACBE D 图 1图2图1图2 参考答案1． （1）证明：作EH ⊥CD ，EK ⊥AB ，垂足分别是H ，K ，如图1． ∵ OE 是∠BOC 的平分线， ∴ EH ＝EK ． ∵ ME ＝NE ，∴ Rt △EHN ≌Rt △EKM ． ∴ ∠ENH ＝∠EMK ． 记ME 与OC 的交点为P ，∴ ∠EPN ＝∠OPM ．∴ ∠MEN ＝∠AOC ． ····························································· 3分 （2）OM ＝ NF ＋OG ．证明：在线段OM 上截取OG 1＝OG ，连接EG 1，如图2．∵ OE 是∠BOC 的平分线，∴ ∠EON ＝∠EOB ． ∵ ∠MOF ＝∠DOB ， ∴ ∠EOM ＝∠EOD ． ∵ OE =OE ，∴ △EOG 1≌△EOG ．∴ EG 1=EG ，∠EG 1O =∠EGF ．∵ EF ＝EG ，∴ EF =EG 1EFG =∠EGF ． ∴ ∠EFG =∠EG 1O ． ∴ ∠EFN =∠EG 1M ． ∵ ∠ENF =∠EM G 1．∴ △ENF ≌△EM G 1． ∴ NF ＝M G 1． ∵ OM ＝M G 1＋O G 1，∴ OM ＝NF ＋OG ． ······························································· 7分2.(1)证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE , ∴,EAD a AD AE ∠==. ∵BAC a ∠=,∴BAC EAD ∠=∠.∴BAC BAD EAD BAD ∠−∠=∠−∠,即DAC EAB ∠=∠, 在ACD 和ABE 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD ABE SAS ≅. ∴ABE C ∠=∠. ∵AB =AC ,∴ABC C ∠=∠. ∴ABE ABC ∠=∠. ∴BA 平分EBC ∠·········3分(2)解：补全图形如图，EF =CG .理由如下: 在AB 上取一点M ,使得BM =CG ,连接EM . ∵CG ∥AB ,∴,ABC DCG BFG CGD ∠=∠∠=∠. ∴EBM DCG ∠=∠. 由(1)知ACD ABE ≅, ∴EB =CD .在EBM 和DCG 中,,.EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EBM DCG SAS ≅,∴EM =DG ，EBM DCG ∠=∠.∵180,180EMB EMF EFM DFM ∠+∠=︒∠+∠=︒, ∴EMF EFM ∠=∠.∴EM =EF . ∴EF =DG . ·········7分3．解：（1）AO =AB.证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ， ∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB.根据题意，得AC=AD ，∠OAB=∠CAD.∴∠CAO=∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA=∠DBA. ∴∠MOB=∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH=BE ，连接CH.∵△OAC ≌△BAD ， ∴OC=BD. 又OH=BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ， ∵OM//AB ， ∴∠MFC=∠BED. ∴∠MFC=∠OHC. ∴CF=CH. ∴CF=DE. ∴CD=EF. ∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°， 作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK=30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD .∴EF =.4.（本题满分7分）（1）∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°. 又∵ BE =CF ，∴ △ABE ≌△BCF （SAS ）. ………………………………………………………1分 ∴ ∠BAE =∠FBC . ∵ ∠FBC +∠ABG =90°， ∴ ∠BAE +∠ABG =90°.∴ ∠AGF =90°. …………………………………………………………………2分 （2）① 依题意补全图形.…………………………………………………………………………………3分 ② 线段MN 与ND 的数量关系为MN =ND . …………………………………4分M NG F EDC BA证明：过点A 作AH ⊥AE 交GN 延长线于点H ，连接DH . ∵ ∠AGF =90°，GN 平分∠AGF ， ∴ ∠AGN =12∠AGF =45°. ∵ AH ⊥AE ， ∴ ∠GAH =90°. ∴ ∠AHG =∠AGH =45°. ∴ AG =AH .∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠BAD =90°，AB =AD .∵ ∠GAH =90°，∴ ∠BAG =∠DAH .∴ △BAG ≌△DAH （SAS ）. ∴ BG =DH ，∠AHD =∠AGB =90°. ∵ BG =GM ，∠AHG =45°， ∴ GM =DH ，∠DHN =∠NGM =45°.∵ ∠HND =∠GNM ，∴ △HND ≌△GNM （AAS ）.∴ MN =ND . ……………………………………………………………7分5.（1）补完图形如下：……………………1分∠ADG =∠CDG . ……………………2分证明：如图，连接AG 、CG ∵∠EAF =90° ，点G 是EF 中点， ∴AG =12EF ∵正方形ABCD ，∠ECF =90° ，∴CG =12EF∴AG =CG ……………………3分H M NG F EDCBA∵AD=CD，DG=DG∴△ADG≌△CDG∴∠CDG=∠ADG ……………………4分（2）BC=3BE ……………………5分过点G作GH⊥CD于点H，易证GH是△CEF的中位线，∴CE=2GH.……………………6分易证△GDH是等腰直角三角形，∴DG .又∵DG=DF，∴DF=GH.易证△ADF≌△ABE∴DF=BE，∴BE=GH.∵CE=2GH，∴CE=2BE∴BC=3BE ……………………7分（其它证法酌情给分）6.（1）①证明：连接DE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵点E在对角线AC上，∴∠BAC=∠DAC=45°.∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE.∴BE=DE,∠ABE=∠ADE.∵EF=BE,∴DE=EF.∴∠F=∠ADE.∴∠F=∠ABE. ……2分②AB=AF+2AE; ……3分证明：过点E作EG⊥AE交AB于点G.∴ ∠AEG =90°. ∵∠BAE =45°， ∴ ∠AGE =∠BAE =45°. ∴AG =2AE ,∠EGB =135°. ∵∠F AE =∠F AB +∠BAE =135°, ∴ ∠EGB =∠F AE . ∵∠F =∠ABE ,EF=EB , ∴△AEF ≌△GEB . ∴BG=AF . ∴AB=BG+GA=AF +2AE . ……5分 （2）正确补全图形；AB+AF=2AE . ……7分 7．（本小题满分7分）解：（1）① 图1；……………………………………………1分②∵正方形ABCD ，∴BC =DC ，∠BCD =90°. ……………………2分∵线段CE 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CF ，∴CE =CF ，∠ECF =90°. ∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD =90°.∴∠BCE =∠DCF . ……………………………3分 图1 ∴△BCE ≌△DCF .∴BE =DF . …………………………………………………………………………4分（2）猜想：AE =2DM .证明：如图2，延长AD 到N ，使得DN =AD .∵M 是AF 中点，∴NF =2DM .………………………5分 ∵由（1）得△BCE ≌△DCF ， ∴∠EBC =∠FDC ，EB =FD .又∵正方形ABCD ， ∴AB =AD ，∠ABC =∠ADC = 90°. ∵DN =AD ，∠ADC +∠CDN =180°，∴AB =DN ，∠CDN = 90°.NEADBM∴EBC ABC FDC CDN ∠−∠=∠−∠， 图2即：∠ABE =∠NDF .∴△ABE ≌△NDF . ……………………………………………………………6分 ∴AE =NF .∴AE =2DM .……………………………………………………………………7分8．（1）解：∵A 、E 关于直线CD 对称，∴∠ACF =∠ECF =α，AC =CE ． ∵∠ACB =90°，∴∠BCE =90°-2α． …………………………………………… 1分 ∵AC =CE ， ∴CB =CE ． ∴∠CBF =∠CEB =12(180°-∠BCE )=45°+α． …………………… 2分 ∠CFB =∠CEB -∠ECF =45°+α-α=45°． …………………… 3分（2）线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系AF +BF CF ． ……………… 4分证明：过C 作MC ⊥CF 于C 交F A 的延长线于点M ． ∵A 、E 关于FC 对称 ∴∠AFC =∠CFE =45°． ∵MC ⊥CF∴∠M =∠AFC =45°． ∴MC =FC ．∵∠ACB =∠MCF =90° ∴∠MCA =∠BCF ． 又∵AC =BC ∴△MCA ≌△FCB ． ∴MA =FB ．∴MF =AF +MA =AF +BF ．∵MC =FC ，∠MCF =90° ∴MF．∴AF +BF ． …………………………………………………… 7分 9.【答案】（1）135︒（2）见解析；DE AF ⊥，DE AF = 【解析】【分析】（1）先证明全等三角形，得到等角，然后直接计算角度即可；（2）先按要求画图，然后证明两组全等三角形，即可得到边相等且平行的关系．【小问1详解】∵直线MO 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点O ， ∴MO AB ⊥，∵ACD 是等腰直角三角形， ∴90ADC ∠=︒，CD AD =，∵ADC DAB O O D M A C ∠=∠+∠∠+， ∴B OCD DA =∠∠， ∵在CDO 和ADB 中，CD AD OCD DAB CO AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)CDO ADB ≌， ∴,OD BD DBO DOC =∠=∠， ∴DOB DBO ∠=∠， ∴DOB DOC ∠=∠， ∵MO AB ⊥，∴45DOB DOC ∠=∠=︒， ∴135AOD ∠=︒； 【小问2详解】 如图，连接BD ，与（1）同理可得：(SAS)CDE ADB ≌， ∴DE DB =，EDC BDA ∠=∠， ∴90CDA BDE ∠=∠=︒， ∴DE DB ⊥，∵在ODB △和OFA 中，OD OF DOB AOF OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ODB OFA ≌， ∴AF DB =，B BAF ∠=∠， ∴DB AF ∥，DE AF =， ∴DE AF ⊥．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是通过已知条件判定全等三角形，得到边和角的关系． 10．（本小题满分7分）（1）①证明：∵在△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ， ∴∠ACB =∠B = 45°． ∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD =∠CAD = 45°． ∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴∠ACE =∠BCE ． ∵∠AFE =∠CAD +∠ACE ， ∠AEF =∠B +∠BCE ． ∴∠AFE =∠AEF ． ∴AE = AF ．②∠CAG = 45°． （2）依题意补全图形．AC =AF +AG ．证明：过点C 作CM ⊥AC 于点C ，交AD 的延长线于点M ．∵∠CAD = 45°， ∴∠M= 45°． ∴CA = CM ． ∴AM． ∵∠ACM= 90°， ∴∠ACF +∠MCF = 90°． ∵∠FCG= 90°， ∴∠ACF +∠ACG = 90°． ∴∠MCF =∠ACG ． ∵CF = CG ， ∴△MCF ≌△ACG ．GFEDCBAB………… 2分 ………… 3分∴MF = AG．∴AM =AF +AG．AC=AF+AG．11．(本题满分7分)解：(1)依题意补全图形，如图．线段CE与BF的数量关系：CE＝BF．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CDE＝90°．∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠CAE＝∠DCE．在△ACE和△CBF中，∠AEC＝∠CFB＝90°，∠CAE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF．……………………………………………3分(2)线段AE，BF，FG之间的数量关系：AE－BF．证明：连接CG，EG，设CF与AB交于点H．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点G为AB中点，∴CG⊥AB，CG＝BG＝12 AB．∵∠CGH＝∠BFH＝90°，∠CHG＝∠BHF，∴∠GCH＝∠FBH．由(1)得△ACE≌△CBF，∴AE＝CF，CE＝BF．在△GCE和△GBF中，CG＝BG，∠GCE＝∠GBF，CE＝BF，∴△GCE≌△GBF，∴GE＝GF，∠CGE＝∠BGF，∴∠EGF＝∠EGB＋∠BGF＝∠EGB＋∠CGE＝∠CGB＝90°，∴△GEF是等腰直角三角形，∴EF．∵CF－CE＝EF，CF＝AE，CE＝BF，∴AE－BF．……………………………………………7分………… 7分GFEDCBAH12.(1)补全图形......................................................................1 (2) 证明：∵∠BDC=90°∴∠DCF+∠DFC=90°..................................2 ∵EM ⊥EF∴∠EMF+∠EFM=90° ∵∠EFM=∠DFC∴∠EMF=∠DCF (3)（3）222AC BM MC +=结论： .....................................4 延长ME 到G 使EG=EM ，连接AG 、CG ∵∠GEA=∠MEB ，EG=EM ，AE=BE∴△AGE ≌△BME （SAS ）..................................................5 ∴BM=AG,BM ∥AG ∵BD ⊥AC∴∠GAC=∠BDA=90°.........................................................6 ∵CE ⊥EM ，EM=EG ∴CE 垂直平分MG ∴CG=CM在Rt △AGC 中，222AC AG GC +=222AC BM MC ∴+= (7)13．（1）数量关系：HE HC =；位置关系：HE HC ⊥. ………………………… 2分 （2）依题意补全图形，如图1.数量关系：2222CB CD CH +=. 证明：连接DH ，CE ，如图2.∵△ABC 中，90ACB ∠=°，CA CB =， ∴145B ∠=∠=°. ∵DE CB ∥，∴290ADF ACB ∠=∠=∠=°，345B ∠=∠=°.又∵145DAF ∠=∠=°∴DA DF =.∵点H 是AF 的中点， ∴AH DH FH ==，DH AF ⊥，14452ADF ∠=∠=°.∴14∠=∠.∴HAC HDE ∠=∠. 又∵AC CB DE ==， ∴HAC △≌HDE △． ∴HC HE =，65∠=∠.612435HF ED CBA图2图1HFED CBA∴90EHC DHA ∠=∠=°.∴CE =.在Rt CDE △中，由勾股定理，得222DE CD CE +=.∵DE CB =，CE ，∴2222CB CD CH +=. ………………………… 7分。

2020届**市初三中考一诊联考试卷数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。

2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

4.考试时间：120分钟。

一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．20192018(2)3(2)-+⨯-的值为（ ）A ．20182-B ．20182C ．20192-D ．201922．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为（a ，2b ﹣1），则a ，b 的数量关系是（ ）A ．a ＝bB ．a +2b ＝1C ．a ﹣2b ＝1D ．a +2b ＝﹣13．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数4．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( )A ．45B ．35C ．25D ．155．两个袋子中分别装着写有1，2，3，4的四张卡片，卡片除数字外其余都相同，从每一个袋子中各抽取一张，则两张卡片上的数字之和不小于5的概率是（ ）A ．316B ．58C ．34D ．1316 6．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，1tan 2ACB ∠=，且2AB =，则O 的半径为（ ）A B C ．D ．7．如图是三个反比例函数y ＝1k x ，y ＝2k x ，y ＝3k x在x 轴上方的图象，由此观察k 1、k 2、k 3得到的大小关系为（ ）A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 2＞k 3＞k 1C ．k 3＞k 2＞k 1D ．k 3＞k 1＞k 28．如图，一架长2.5米的梯子AB 斜靠在墙上，已知梯子底端B 到墙角C 的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cos α的值为( )A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，AB//CD ，∠CDE=1400，则∠A 的度数为A ．1400B ．600C ．500D ．40010．下列命题中，错误的是( )A．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两条对角线相等的平行四边形是菱形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．四边形相等的四边形是菱形二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF 重合，BC＝EF＝12cm，点P为边BC（EF）的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α（如图2），设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为_____（结果保留根号）12．如图所示，在平面直角坐标系中，点A0）、B（0，12），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为_____．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于_____．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点E 是对角线AC 上的动点EH ⊥AD ，垂足为H ，以EH 为边作正方形EFGH ，连结AF ，则∠AFE 的正弦值为_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．计算：（π﹣3）0﹣（13）﹣116．如图，四边形ABCO 为矩形，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且点B 的坐标为（2,1），将此矩形绕点O 逆时针旋转90°得矩形DEFO ，抛物线y=-x 2+bx+c 过B 、E 两点.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）将矩形DEFO 向右平移，当点E 的对应点E ’在抛物线上时，求线段DF 扫过的面积.（3）若将矩形ABCO 向上平移d 个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d的值.17．如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，OD．（1）求证：△OAC≌△ODC；（2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形；②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形．18．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．19．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．（1）判断与是否相似？请说明理由；。

2020年北京市初三一模分类汇编（全）几综汇编1、海淀27.已知∠MON=α,A为射线OM上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O，B不重合)，满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求∠BAD的度数(用含α的代数式表示);,点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BP//OD，并证(3)若tanα=34明.2、丰台27.已知∠AOB =120°，点P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），点C 为∠AOB 内部一点，连接CP，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q 恰好落在射线OB 上，不与点O 重合.（1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO 与∠CQO 的数量关系，并证明；（3）连接OC，写出一个OC 的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明.图1 备用图3、西城4、朝阳27.四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(0︒＜α＜45︒) ,得到线段CE，连接DE，过点B 作BF⊥DE 交DE 的延长线于F,连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1图1 备用图5、房山27．如图 27-1，在等腰 Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点 M 为 BC 中点. 点 P 为 AB 边上一动点，点 D 为 BC 边上一动点，连接 DP ，以点 P 为旋转中心，将线段 PD 逆时针旋转 90°，得到线段 PE ，连接 EC .（1） 当点 P 与点 A 重合时，如图 27-2.根据题意在图 27-2 中完成作图；判断 EC 与 BC 的位置关系并证明.（2） 连接 EM ，写出一个 BP 的值，使得对于任意的点 D 总有 EM EC ，并证明.1 26、密云27.已知∠MCN=45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）.点B 关于CN 的对称点为点D，连接AB、AD 和CD，点F 在直线BC 上，且满足AF=AB. 小明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD 始终成立.（1）如图1，当0°＜∠BAC＜90°时.① 求证：AF⊥AD② 用等式表示线段CF、CD 与CA 之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD 与CA 之间的数量关系是.27.已知，如图，△ABC 是等边三角形.（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC 的平分线交BD 于点E，连接CE.①求∠AED 的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD 之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC 的平分线交DB 的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE、CE、BD 之间的数量关系，并证明.27.如图1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边AB 上取一点D（点D 不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE.把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2.（1）请你在图2 中，连接CE 和BD，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3 中，画出当α=45°时的图形，连接CE 和BE，求出此时△CBE 的面积；（3）若AD=1，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是．图3图1 图210、燕山27. △A B C 中，∠A C B ＝90°，A C ＝B C ＝，M 为B C 边上的一个动点(不与点 B ，C 重合)，连接A M ，以点 A 为中心，将线段 A M 逆时针旋转 135°，得到线段 A N ，连接BN ．(1) 依题意补全图 1；(2) 求证：∠B A N ＝∠A M B ；(3) 点 P 在线段B C 的延长线上，点 M 关于点 P 的对称点为 Q ，写出一个 P C 的值，使得对于任意的点 M ，总有 A Q ＝B N ，并证明．备用图图1211、通州12.东城13.石景山27．如图，点E 是正方形内一动点，满足90AEB ∠=°且45BAE ∠<°，过点D作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段EF ，DF ，BE 之间的数量关系，并证明．（3）连接CE，若AB =段CE 长度的最小值．ABCD E D CB A14.大兴15.门头沟27．在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°，点D 在AB 上，连接CD ，并将CD 绕点D 逆时针旋转60°得到DE ，连接AE .（1）如图1，当点D 为AB 中点时，直接写出DE 与AE 长度之间的数量关系；（2）如图2，当点D 在线段AB 上时，① 根据题意补全图2；② 猜想DE 与AE 长度之间的数量关系，并证明.图1 图2 E D C B A D BA C。

2020北京各区一模数学试题分类汇编一解析几何（2020海淀一模）已知双曲线x1(b 0）的离心率为则b的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】由题知a2e22 . 2a +b 厂厂=5，ab 2.故选：B.（2020海淀一模）已知点P（1, 2）在抛物线C：y22px上，则抛物线C的准线方程为【答案】x 1【解析】P（1,2）在抛物线C : y22px上，2p 4, p 2，准线方程为x故答案为：x1.（2020西城一模）2詁1（b 0）的一条渐近线方程为y 2，则该双曲线的离心率为2【答案】一622 【解析】—4 岭1（b 0），一条渐近线方程为：y 2x，故bb 22，° 斥，e = X2故答案为：◎2（2020西城一模） 设A 2, 1 , B 41，则以线段AB 为直径的圆的方程是（A. (x3)2B. (x 3)2 y 2C. (x 3)2D. (x 3)2 y 2【答案】 【解析】 AB 的中点坐标为： 3,0，圆半径为rAB J22 22圆方程为（x 3）2 y 22. 故选：A .（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点 （1,1）， （脅），⑵1）， （4, 2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是【答案】x 2 8y 或y 2 x 【解析】设抛物线的标准方程为:2 x my ，不难验证 ，4,2适合，故2小x 8y ；设抛物线的标准方程为： y 2 nx ， 不难验证1,1，4,22适合，故y x ；故答案为：x 2 8y 或y 2 x （2020东城一模） 已知圆C 与直线y x 及x y 4 0的相切，圆心在直线 y x 上，则圆C 的方程为（） 2 2A. x 1 y 12B.圆C 与直线y4 0都相切,圆心到两直线y2a 42C 的标准方程为故选：A.【答案】B若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足 a即a 0，b 0,满足a b ，即必要性成立,即“ a b ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件故选：B.2C. x 1 y 1D.【答案】A【解析】圆心在y x 上，设圆心为 a,a ,【解析】 若a b 0,则对应的曲线为双曲线,不是椭圆, 即充分性不成立,0的距离相等,圆心坐标为1,1R 22（2020东城一模） 已知曲线 2C 的方程为—a1，则b ”是 曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆的（）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模）抛物线x 2 4y 的准线与y 轴的交点的坐标为（）221 12 21 12 22a ，解得故答案为:A. (0, 1 )B. (0, 1)C. (0, 2)D. (0, 4)2【答案】B【解析】 准线方程为：，•-「，与y 轴的交点为（0, 1），故选B .2已知双曲线M : x 2 - 1的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直 31（ a b 0）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，贝U a设椭圆N 的左焦点为F 1，则斤（1,0），连接AR由椭圆的定义可得 AF 1 AB 2a（2020丰台一模）2 2线.若椭圆N :二厶2 ,2a b2【解析】因为OA 为双曲线x 2工 31的渐近线，所以k OAAOB 60所以 AD AOsin60AO cos60因为OB2OD 1，所以椭圆N 的半焦距c 1【答案】（2020丰台一模）过抛物线C：y2 2px（p 0）的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线C交于两AF个不同的点A，B （点A在x轴上方），则_ 的值为（）BF1 4 - cA. B. C. 3 D. 33 3【答案】D【解析】设A（X A，Y A），B（X B，Y B），过点A分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为M，N，过点B作x轴的垂线，垂足于点Q，直线AB与准线交于点D，准线与x轴交于点E3Q直线AB的倾斜角为60，MDA 30，即AD 2 AM由抛物线的定义知,AM 由于AM 〃EF，贝U AM 设直线AB的方程为y并代入y2 2px中，得:AF，贝y AD 2 EF 2p ,'、3 x —，即22 2 3p Y丁Y 2 AF，即点F为AD中点AF 2p，则YA2 psi n60 3p由于BFQ : AFN，则|AF| Y A|BF| Y Bp20，即YA Y B2 rP ,则Y B_P2"P3p 33故选：Dy 1 0的距离为（A. 2 C.【答案】B【解析】圆x 1 2的圆心坐标为(1,0)则圆心（1,0）到直线x 1 0的距离d故选：B（2020朝阳区一已知抛物线C : y22px(p 0）的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点, 模）AD l 于D.若AF 4，DAF 60，则抛物线C的方程为（A. y28xB. y2 4x 2C. y2 2xD. y2x【答案】【解析】根据抛物线的定义可得AD AF 4，1又 DAF 60，所以 AD p AF ，2所以4 p 2，解得p 2，所以抛物线C 的方程为y 2 4x .故选：B则该双曲线的离心率为（）【答案】C【解析】 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 a,c ，因为 ABC 120，所以AC BC ，因为以A ， B 为焦点的双曲线经过点 C所以 AC BC 2a ，AB BC 2c ，所以2 .3c 2c 2a ，所以2—Ua 2故选：C（2020朝阳区一模）数学中有许多寓意美好的曲线,2 23 2 2曲线C :（x y ） 4x y 被称为 四叶玫瑰线”（如图（2020朝阳区一模） 在VABC 中，AB BC ， ABC 120 若以 A ， B 为焦点的双曲线经过点 C ，A.B."C.D. .3在三角形 ABC 中由余弦定理得cos120oAB 2 BC 2 AC 22 AB BC4c 2 4c 2 AC 28c 2解得AC 212c 2，所以 AC 2.3c ，所示）给出下列三个结论：① 曲线C 关于直线y x 对称；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1;③存在一个以原点为中心、边长为 ,2的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）其中，正确结论的序号是 _________ .【答案】①②1 2 2 2 22，从而可得四个交点，B （22），C （吕吕，D （吕吕，依题意满足条件的最小正方形是各边以A,B,C,D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.【解析】对于①，将（y,x ）代入C:（x 2 y 2）3 4x 2y 2得（y 2 x 2'3 ）3 4y 2x 2成立，故曲线C 关于直线y x 对 称，故①正确;2 23 2 2 2对于②，因为 蛙 d x 2y 2 a d ，所以x 24 41，所以• ,x 2 y 2 1，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确;y x2对于③，联立 22 32 2得x(x y ) 4x y故答案为：①②（2020石景山一模）圆x 2 y 2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1，则a （）因为点M 在抛物线上，则（普）2 4 £ •则y N 8 .4 A. -3B.3 4C.农D. 2【答案】A【解析】由x 2y 2 2x 8y 130配方得(x1)2 (y 4)24 , 所以圆心为（1,4）,因为圆2 2a 4 14 x y 2x 8y 130 圆心到直线ax y 10的距离为 1, 所以- ,2 21，解得av a 13，故选A.1 y N设点N 为N （°,y N ）,因为M 为FN 的中点，所以点M 为（2，一亍），Y 轴于点N .因为F 是抛物线C : y 24x 的焦点，所以点F 坐标为F （1,0）.4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为(2 , ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0的距离为1，a 4 1所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为(？，？)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a 4 1所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .。

顺义区2020届初三第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（A）45.510⨯（B）45510⨯（C）55.510⨯（D）60.5510⨯2．下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则1∠的度数为（A）60︒（B）65︒（C）75︒（D）85︒4．在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若a b=，则a的值为（A）3-（B）2-（C）1-（D）15．箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以毎次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（A）12（B）114（C）115（D）1276．已知直线l及直线l外一点P．1如图，（1）在直线l 上取一点A ，连接PA ； （2）作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，PA 于点B ，O ；（3）以O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线MN 于另一点Q ；（4）作直线PQ ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）△OPQ ≌△OAB（B ）PQ ∥AB（C ）12APBQ =（D ）若PQ=PA ，则60APQ ∠=︒7．用三个不等式a b >，c d >，a cb d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1 图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒； ③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A ）①③ （B ）②④（C ）②③ （D ）①④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 926x -x 的取值范围是 ．10．如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A 处观测，当量角器的0刻度线AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是________________.NMB QOAlP10题图 11题图 11．在如图所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 ．（写出所有正确答案的序号）12．化简分式22231x y x y x y x y⎛⎫--÷ ⎪+--⎝⎭的结果为 ．13．如图，将一矩形纸片ABCD 沿着虚线EF 剪成两个全等．．的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE 的长是 ． 14．已知点(2,3)A -关于x 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为 ．15．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是 ．16．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且2EF =，P 是正方形四边上的任意一点．若PEF ∆是等边三角形，符合条件的P 点共有 个，此时AE 的长为 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：()15tan 30203--+︒--．18．解方程组：2313x y x y +=⎧⎨-=⎩19．已知：关于x 的方程()2220x m x m +--=．．2019年11月，胡润研究院携手知识产权与科创云平台汇桔，联合发布《IP 助燃AI 新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》，白皮书公布了2019中国人工智能企业知识产权竞争力百强榜，对500余家中国人工智能主流企业进行定量评估（满分100分），前三名分别为：华为、腾讯、百度．对得分由高到低的前41家企业的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．得分的频数分布直方图（数据分成60≤x ＜65，65≤x ＜70，70≤x ＜75，75≤x ＜80，80≤x ＜85，85≤x ＜90，x ＜95，95≤x ≤100，）； MCBADb．知识产权竞争力得分在70≤x＜75这一组的是：70.3 71.6 72.1 72.5 74.1c．41家企业注册所在城市分布图（不完整）如下：（结果保留一位小数）北京53.7%深圳7家上海m家杭州2家广州2家苏州1家合肥1家南京1家d．汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分是70.3 . （以上数据来源于《IP助燃AI新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》）根据以上信息，回答下列问题：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第；（2）百度在人工智能领域取得诸多成果，尤其在智能家居、自动驾驶与服务于企业的智能云领域，百度都已进行前瞻布局，请你估计百度在本次排行榜中的得分大概是；（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= ，请用阴影标出代表上海的区域；（4）下列推断合理的是．（只填序号）①前41家企业的知识产权竞争力得分的中位数应在65≤x＜70这一组中，众数在65≤x＜70这一组的可能性最大；②前41家企业分布于我国8个城市. 人工智能产业的发展聚集于经济、科技、教育相对发达的城市，一线城市中，北京的优势尤其突出，贡献榜单过半的企业，充分体现北京在人工智能领域的产业集群优势.24．如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点， P是»AB上一动点，连接B APA，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象过点A(3，2)，与直线l：y kx b=+交于点C，直线l与y轴交于点B(0,-1)．（1）求n、b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k的取值范围．26．在平面直角坐标系x O y中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，-4）和B （-2，2）.（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当-2<x<0时，若二次函数满足y随x 的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．27．已知，如图，△ABC是等边三角形.（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE.①求∠AED的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明.28．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ>0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．①与直线y=3x-5相离的点是；②若直线y=3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线33+=xy、直线33+-=xy及直线y=-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．图1B EDCBA共∴2x =． …………………………………………………… 3分把2x =代入②得1y =-……………………………………… 4分∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分解二：由②得：3x y =+③……………………………………… 1分 把③代入①得2(3)31y y ++=…………………………… 2分解得1y =- …………………………………………… 3分把1y =-代入②得2x = ………………………………… 4分 ∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分19．解：（1）证明：()22224(2)41244(2)b ac m m m m m -=--⨯⋅-=++=+，…1分∵2(2)0m +≥， ∴方程总有实数根．……………………………………………………2分（2）解：∵2(2)2m m x -±+==，∴12222m m x -++==，2222m m x m ---==-．………4分∵方程有一根小于2， ∴-m <2． ∴m >-2．…………………………………………………………5分20．解：（1）作图如图1所示．………… 1分（2）证明：∵AC 平分∠BAM ，∴∠1=∠2．……………2分 ∵AM ∥BC ， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3． ∴AB =BC ．……………… 3分同理可证：AB =AD ． ∴AD =BC ．MB又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………… 4分∵AB=BC，∴□ABCD是菱形．…………………………………………… 5分21．解：（1）他们点了（10-y）份A套餐，（10-x）份B套餐，（x+y-10）份C套餐（均用含x或y的代数式表示）；…………………………3分（2）若x=6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有 5种点餐方案．…………………………………………………………………………5分22．(1)证明：连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°．∴∠BOC=90°．…………………… 1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD=∠BOC=90°．…………2分∵OC是，∴CD是⊙O的切线．……………… 3分(2)解：连接AC，交BD于点E．∵AB是直径，AB=8，∴∠ACB=90°．∴BC AC==．…………4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴12CE AC==∴BE===．………………………………5分∴2BD BE==……………………………6分23．解：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第16； (1)分（2）估计百度在本次排行榜中的得分大概是94；（在90≤x＜95范围内都对）………………………………………………………………………… 2分（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= 5 ， (3)分上海在下图中用阴影标出代表上海的区域：……………… 4分（4）推断合理的是①②．………………………………………………… 6分24．解：（1）表中的所填数值是1.9；…………………………………………… 1分 （2）…………………………2分（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF 为等腰三角形时，AP的长度约为 3.5，3.8，4.6 cm ．………………………………………………………………………………5分25．解：（1）∵点A （3，2）在函数ny x=的图象上， ∴n =6．……………………………………………………………… 1分∵点B （0，-1）在直线l ：y kx b =+上，∴b=-1．……………………………………………………………… 2分（）①区域W 内的整点个数为 1 ， …………………………………… 3分区域W 内的整点的坐标为（3，1） ； ……………………………4分②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点（3，0），结合图象，区域W 内有4个整点， 此时：3k -1=0，∴13k =． 当直线l 与x 轴的交点在（3，0）右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，∴ 0<k <13．（ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点（1，4），结合图象，区域W 内有4 个整点，此时k -1= 4，解得 k = 5．结合图象，可得 k > 5时，区域W 内整点个数不少于5个，综上，k 的取值范围是0<k <13或k > 5．…………………………………6分26．解：（1）把点A （0，-4）和B （-2，2）分别代入y =ax 2+bx +c 中，得c =-4，…………………………………………………………………1分4a -2b +c =2． ∴b=2a -3．……………………………………………………………2分（2）当a <0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≤-2． 解得32-≤a<0．当a >0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≥0． 解得 0< a ≤32． ∴a 的取值范围是32-≤a<0或0< a ≤32．………………………………4分（3）可求直线AB 表达式为y =-3x -4，把C （m ，5）代入得m =-3．∴C （-3，5），由平移得D （1，5）． ①当a >0时，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，(如图1)，则抛物线上的点（1，a +2a -3-4）在D 点 的下方． ∴a +2a -3-4<5． 解得a <4． ∴0<a <4．②当a <0时，若抛物线的顶点在线段CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点．（如图2）∴2454ac b a-=．即()()2442354a a a⨯---=．图1DFD解得3a =-+或3a =--综上，a 的取值范围是0<a <4或3a =-- 6分27．（1）解：①∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°． ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠BAD =150°．∴∠ABD =∠D =15°． ∴∠AED =∠ABD +∠BAE =45°．……………………………………2分 ②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之 ………………………………………………………………………3分 （2）解：①依题意补全图2．……………………………………………………4分CE 、证明：过点A 作AF ⊥AE ，交ED 的延长线于点F （如图3）．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°．∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1=12∠BAC = 30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠2=∠CAD -∠BAC =30°．∴∠3=∠4=75°． ∴∠5=∠4-∠1=45°．DE ABC∵AF⊥AE，∴∠F=45°=∠5．∴AF=AE．∴EF=2AE．∵∠6=∠EAF-∠1-∠2=30°，∴∠6=∠1=30°．又∵∠F=∠5=45°，AD=AB，∴△ADF≌△ABE．∴DF=BE．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC．∴CE=BE．∵BD=EF-DF-BE，∴BD=2AE-2CE．……………………………………………7分28．解：（1）①与直线y=3x-5相离的点是A、C；…………………………… 2分②当直线y=3x+b过点A（1，2）时，3+ b=2．∴b=-1．当直线y=3x+b过点C（2，-1）时，6+ b=-1．∴b=-7．∴b的取值范围是b>-1或b<-7． (4)分（2）t的取值范围是：t<533-或t>53或3-<t<33. …………………… 7分北京市燕山地区2020年初中毕业年级质量监测数学试卷2020年5月考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

2020届**市初三中考一诊联考试卷数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。

2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

4.考试时间：120分钟。

一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．20192018(2)3(2)-+⨯-的值为（ ）A ．20182-B ．20182C ．20192-D ．201922．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x ﹣1 C ．22x x 约分的结果是1D ．化简221x x -﹣211x -的结果是1 3．二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点（-1,0），则代数式-a b 的值为（ ）A ．0B ．-2C ．-1D ．24．下列运算正确的是（ ）A ．a 8÷a 4＝a 2B ．（a 2）3＝a 6C ．a 2•a 3＝a 6D ．（ab 2）3＝ab 65．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度6．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为3，第一次得到的结果为4，第二次得到的结果为2，…第2019次得到的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．下图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴．若直线l与二次函数y＝3x2+a的图象交于A，B两点，与二次函数y＝﹣2x2+b的图象交于C，D两点，其中a，b为整数．若AB＝2，CD＝4．则b﹣a的值为（）A．9B．11C．16D．249．三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11B．13C．11或13D．11和1310．若实数m、n满足20m-=，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．已知112a b+=，求535a ab ba ab b++=-+_____．12．如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝_____．13．如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为___14．已知方程5x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是_____，k＝_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．在某市举办的以“校园文明”为主题的中小学生手抄报比赛中，各学校认真组织初赛并按比例筛选出较好的作品参加全市决赛，所有参加市级决赛的作品均获奖，奖项分为一等奖．二等奖、三等奖和优秀奖．现从参加决赛的作品中随机抽取部分作品并将获奖结果绘制成如下两幅统计图请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）一等奖所占的百分比是多少？三等奖的人数是多少？（2）求三等奖所对应的扇形圆心角的度数；（3）若参加决赛的作品有3000份，估计获得一等奖和二等奖的总人数有多少？16．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则PEPF的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PEPF的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，PEPF的值是否变化？证明你的结论．17．为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）这一调查属于_______（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为_____名；（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的____%（精确到小数点后一位）；（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？18．解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”.题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48．问甲、乙两人各带了多少钱？19．如图，已知△ABC，（1）尺规作图：作AD平分∠BAC交BC于D点，再作AD的垂直平分线交AB于E点，交AC于F点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接DE，DF证明：四边形AEDF是菱形；（3）若BE＝7，AF＝4，CD＝3，求BD的长．20．炎热的夏天来临之际.为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整.。

2020年北京市初三一模分类汇编之几何综合（朝阳）27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(045)α︒︒＜＜,得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 交DE 的延长线于F ,连接BE ．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．（房山）27．如图27-1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点M 为BC 中点. 点P 为AB 边上一动点，点D 为BC 边上一动点，连接DP ，以点P 为旋转中心，将线段PD 逆时针旋转90°，得到线段PE ，连接EC .（1）当点P 与点A 重合时，如图27-2.① 根据题意在图27-2中完成作图；② 判断EC 与BC 的位置关系并证明.（2） 连接EM ，写出一个BP 的值，使得对于任意的点D 总有EM EC =，并证明.图1备用图（丰台）27. 已知∠AOB =120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB 内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合.（1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明.（海淀）27.已知∠MON=α,A为射线OM上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O，B不重合)，满足AC=AB，点C 关于直线OM的对称点为D，连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求∠BAD的度数(用含α的代数式表示);(3)若tanα=34,点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BP//OD，并证明.O A BO AB图1备用图（密云）27. 已知∠MCN=45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）. 点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF=AB. 小明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD始终成立.（1）如图1，当0°＜∠BAC＜90°时.①求证：AF⊥AD②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135° 时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是.（平谷）27.在△ABC中，AB=AC,∠ABC=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转ɑ（0°＜ɑ＜90°）得到线段AD,作射线BD，点C关于射线BD的对称点伪点E，连接AE，CE.（1）依题意不全图形（2）若ɑ=20°，直接显出∠AEC的度数；3，并证明.（3）写出一个ɑ的值，使AE=2时，线段CE的长为1-(顺义)27．已知，如图，△ABC是等边三角形.（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE.①求∠AED的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明.（西城）如图，在等腰直角三角形△ABC 中，∠ACB=90°，点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ=CP ，连接AP ，AQ ，过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ，K 是线段AD 上的一个动点，(与点A ，D 不重合)，过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ，（1）依题意补全图形;（2）求证：NM=NF;（3）若AM=CP,用等式表示线段AE,GN 与BN 之间的数量关系，并证明.\图2图1AB C EDC B A(延庆)27．如图1，在等腰直角△ABC 中，△A =90°，AB =AC=3，在边AB 上取一点D （点D不与点A ，B 重合），在边AC 上取一点E ，使AE =AD ，连接DE . 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2.（1）请你在图2中，连接CE 和BD ，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α =45°时的图形，连接CE 和BE ，求出此时△CBE 的面积；（3）若AD =1，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是________________．（燕山）27．△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC＝2，M 为BC 边上的一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AM ，以点A 为中心，将线段AM 逆时针旋转135°，得到线段AN ，连接BN ．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠BAN ＝∠AMB ；(3)点P 在线段BC 的延长线上，点M 关于点P 的对称点为Q ，写出一个PC 的值，使得对于任意的点M ，总有AQ ＝BN ，并证明．图1 图3 图2 图1 M C B A A BC 备用图（通州）27.线段AB,过点A的射线l⊥AB，在射线l上截取线段AC=AB，连接BC,点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE,B的对应点为D，N的对应点为E.（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形;②证明：以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形.（2）连接EM，若AB=4,从下列3个条件中选择1个:①BP=1,②PN=1,③BN=2当条件（填入序号）满足时，一定有EM=EA,并证明这个结论.。

北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试数学试卷 2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1–8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45 000 000人次， 将45 000 000用科学记数法表示为 （A ）64510⨯（B ）74.510⨯ （C ）84.510⨯（D ）80.4510⨯2. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆锥 （B ）圆柱（C ）长方体 （D ）正三棱柱3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）4．在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB =则点A，点B 表示的数分别是 （A）（B ，（C ）0，（D ）-5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB =65°， 则∠ADC 的度数为 （A ）65° （B ）35° （C ）32.5° （D ）25°6．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲x ，乙x ，射击成绩的方差依次记为2甲s ，2乙s ， 则下列关系中完全正确的是（A ）甲x乙甲乙B ）甲x =乙x ，2甲s ＜2乙s （C ）甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s（D ）甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙s7．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0 m 的竹竿落在地面上的影长为0.9 m ．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7 m ，落在墙面上的影长CD 为1.0 m ，则这棵树的高度是 （A ）6.0 m （B ）5.0 m（C ）4.0 m（D ）3.0 m8．设m 是非零实数，给出下列四个命题：① 若10m -<<， 则21m m m <<； ② 若1m >，则21m m m<<； ③ 若21m m m <<，则0m <； ④若21m m m<<，则01m <<．其中命题成立的序号是（A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ． 10．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是 边形．11．已知y 是以x 为自变量的二次函数，且当x =0时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述 条件的二次函数表达式 ．12．如果21a a +=，那么代数式2111a a a ---的值是 ． 13．如图，在正方形ABCD 中，BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD 于点F .若DE BC 的长为 ．BA14．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上， BD ⊥AC 于点D ，则AC 的长为 ，BD 的长为 ．（第14题图） （第15题图）15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）， ⊙M 是△ABC 的外接圆，则点M 的坐标为 ．16. 某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天； ② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④ 这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为310.三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算： 101() +(132sin602．游客人数/万人18．解不等式组：3(2)22,25.4xx xx19．关于x 的一元二次方程22(21)0xm x m 有两个实数根.（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根． 20．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA =OB ， 过点B 作BE ⊥AC 于点E .（1）求证：□ABCD 是矩形；（2）若AD =cos ABE ∠=求AC 的长．21. 先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知：△ABC ，D 是边AB 上一点，如图1，求作：四边形DBCF ，使得四边形DBCF 是平行四边形.小明的做法如下： 图1请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF 是平行四边形，并证明．22.运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度.为了解A ，B 两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）.在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性.他的测试和分析过程如下，请补充完整. （1）收集数据 两种软件每次识别正确的字数记录如下：（2）整理、描述数据 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：（4）得出结论 根据以上信息，判断 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：____________________（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）． 23. 如图，四边形OABC 中，∠OAB =90°，OA = OC ，BA = BC . 以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若AD AC ，① 补全图形；② 求证：OF =OB .A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 9996 96 96 96 96 96 94 92 8988858078727271655855A B24. 如图，在△ABC中，AB=4 cm，BC=5 cm.P是AB上的动点，设A，P两点间的距离为x cm，B，P两点间的距离为y1 cm，C，P两点间的距离为y2 cm.PAC B小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值:（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，点(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O 时，PC的长度约为cm．25.在平面直角坐标系xOy 中，直线 1:2(0)l y kx k k =+>与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)my x x=>的图象的交点P 位于第一象限. （1）若点P 的坐标为(1，6)，① 求m 的值及点A 的坐标；②PBPA= ； （2）直线 2:22l y kx =-与y 轴交于点C ，与直线l 1 交于点Q ，若点P 的横坐标为1，① 写出点P 的坐标（用含k 的式子表示）； ② 当PQ ≤P A 时，求m 的取值范围.26. 已知抛物线22y ax bx a =+++（0a ≠）与x 轴交于点A （1x ，0），点B （2x ，0）（点A 在点B 的左侧），抛物线的对称轴为直线1x =-.（1）若点A 的坐标为（3,0-），求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为2-，若抛物线恰好经过点C ，直接写出2x 的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，点P 在抛物线上，且∠DOP =45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，结合图象，求a 的取值范围.27. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°. 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ =CP ，连接AP ，AQ . 过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段AD 上的一个动点（与点A ，D 不重合），过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ． （1）依题意补全图1； （2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图C AP Q D F E C AP QDFE28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得AM =2BN ，则称图形W 1和图形W 2 满足限距关系. （1）如图1，点C （1，0），D （-1，0），E （0，，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．① 线段OP 的最小值为 ， 最大值为 ；线段 CP 的取值范围是 ； ② 在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；图1（2）如图2，⊙O 的半径为1，直线(0)y b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）⊙O 的半径为r ( r ＞0 )，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围.数学试卷答案及评分标准2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：101() +(132sin602=212++= 3． ························································································5分18．解：原不等式组为3(2)22,25.4x xxx①②解不等式①，得x<4.解不等式②，得52x.∴原不等式组的解集为542x.·······························································································5分19．解：（1）依题意，得△=22[(21)]41m m．=41m≥0．解得m≥14．（2）答案不唯一，如: 0m，此时方程为20x x．解得1x，21x． ·····························································5分20．（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA =OC ，OB =OD ． ∵ OA =OB ， ∴ OA =OC =OB =OD ． ∴ AC =BD ． ∴ □ABCD 是矩形．（2）解: ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠BAD =∠ADC =90°． ∴ ∠BAC +∠CAD =90°． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BAC +∠ABE =90°． ∴∠CAD =∠ABE ．在Rt △ACD 中， AD=cos ∠CAD =cos ∠ABE， ∴ AC =5． ····························································· 5分21．答案不唯一，如：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （2）如图．（3）证明：∵ CF =BD ，DF =BC ，∴ 四边形DBCF 是平行四边形.························································································· 5分22．解：（2）（3）（4） 答案不唯一，理由须支撑推断的结论．························································································· 6分23．（1）证明：连接AC ，∵ OC = OA ， ∴点C 在⊙O 上． ∵ OA = OC ， BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ． ∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC ⊥BC 于点C ． ∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，C ，∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ． ∴ BD 是AC 的垂直平分线． ∵ OA =OC ， ∴ ∠AOB =∠COB ． ∵ AD AC ，AE 为⊙O 的直径， ∴ CEDE ．B字数1009080706050∴ ∠COE =∠DOE ． ∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°． ∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴ ∠OCB =∠OCF =90°． ∴ ∠OBC =∠OFC =30°．∴ OF = OB ． ······························································ 6分24．解:（1）（2）画出函数y 1的图象；（3）① 0.83或2.49 ． ② 5.32．··························································································· 6分25．解：（1）①令y =0 ，则20kx k +=．∵0k >，解得 x = -2． ∴ 点A 的坐标为(-2，0) ． ∵点P 的坐标为(1，6)， ∴ m = 6． ②13．（2）① P (1，3k ) ．② 依题意，得222+=-kx k kx ，解得22=+x k． ∴点Q 的横坐标为 22k+，∵22k+>1（0k >）， ∴ 点Q 在点P 的右侧．如图，分别过点P ，Q 作PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ， 则点M ，点N 的横坐标分别为1，22k+． 若PQ =P A ，则 1PQPA=． ∴1==PQ MNPA MA． ∴ MN =MA ． ∴ 2213k+-=，解得 k =1． ∵ MA = 3， ∴ 当PQ PA =MNMA≤1时，k ≥1． ∴ 3m k =≥3．∴ 当PQ ≤P A 时，m ≥3． ·················································· 5分。

26．（顺义一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21y ax bx =+-交y 轴于点P . （1）过点P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点Q ，4PQ =，求b a的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点. 在（1）的条件下，记抛物线与x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为W . 若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求a 的取值范围.26.（密云一模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-4ax +1（a >0）. （1）抛物线的对称轴为 ；（2）若当1≤x ≤5时，y 的最小值是-1，求当1≤x≤5时，y 的最大值；（3）已知直线y=-x +3与抛物线y=ax 2-4ax +1（a >0）存在两个交点，设左侧的交点为点P （x 1，y 1），当-2≤x 1<-1时，求a 的取值范围.26．（顺义一模）在平面直角坐标系x O y中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，-4）和B（-2，2）.（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当-2<x<0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．26.（西城一模）已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1,0)，点B(x2，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1.(1)若点A的坐标为(-3,0)，求抛物线的表达式及点B的坐标;(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C,直接写出x2的取值范围;(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D,点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围.26．（朝阳一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M （-2，-a -2），N （0， a ）．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．（燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)=+-≠y ax bx a a 经过点 A (－1，0)．(1) 求抛物线的顶点坐标；(用含a 的式子表示)(2) 已知点B (3，4)，将点B 向左平移3个单位长度，得到点C ．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26.（海淀一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2−2mx +m 2+m 的顶点为A . (1)当m =1时，直接写出抛物线的对称轴;(2)若点A 在第一象限，且OA =√2，求抛物线的解析式;(3)已知点B(m −12，m +1),C(2,2).若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围.26．（延庆零模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（a ≠0）过点A （1，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=－x+4与y 轴交于点B ，与该抛物线的对称轴交于点C ，现将点B 向左平移一个单位到点D ，如果该抛物线与线段CD 有交点，结合函数的图象，求的取值范围．26．（丰台一模）已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ． （1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤ x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式； （3）若a <0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1 ≤ t +1，x 2≥3时，均满足y 1 ≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．2+3y ax bx a =+a（密云一模）26．（1）x =2 ……1分 （2）解：∵抛物线的对称轴是x =2 ∴顶点在1≤x ≤5范围内 ∵y 的最小值是-1∴顶点坐标是（2, -1） …………2分 ∵a >0，开口向上∴x ＞2时，y 随x 的增大而增大 即x =5时，y 有最大值∴把顶点（2, -1）代入y=ax 2-4ax +1 4a - 8a +1=-1a=12∴ y=12x 2-2x +1 ……3分 ∴ 当x =5时，y =72，即y 的最大值是72……………………4分（2） 当x 1=-2时，P （-2，5） 把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax +1 ∴4a +8a +1=5，13a =当 x 1=-1时，P （-1，4） 把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax +1 ∴a +4a +1=4，35a = ∴ 1335a ≤< ……………6分26．（燕山一模）解：(1)∵点A (－1，0)在抛物线23(0)=+-≠y ax bx a a 上，∴30--=a b a ，即2=-b a ， ………………………………1分 ∴223y ax ax a =--＝2(2)3--a x x a ＝2(1)4--a x a ，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4a )． ………………………………2分(2) 223y ax ax a =--＝2(23)--a x x ＝(1)(3)+-a x x ，∴抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，D (3，0)，与y 轴交于点E (0，－3a )． 由题意得点C (0，4)，又B (3，4)，如图，当0a >时，显然抛物线与线段BC 无公共点．综上，a 的取值范围是3-a<，或a ＝－1． ………………………………6分（丰台一模）26.解：（1）对称轴是直线x =1. …………………………………………1分（2）当a >0时，∵对称轴为x =1，当x=1时，y 有最小值为-a ；当x=3时，y 有最大值为3a . .…....……2分 ∴3a -（-a ）=4.∴a =1. ....…......…......….............................…...…......………3分 ∴二次函数的表达式为：22y x x =-. .…........…...….......….....………4分 当a <0时， 同理可得y 有最大值为-a ； y 有最小值为3a . ∴-a -3a =4. ∴a =-1.∴二次函数的表达式为：22y x x =-+. .…........…...….......…...……5分 综上所述，二次函数的表达式为22y x x =-或22y x x =-+.（3）-1≤t ≤2. ....….....................…........…...…............………7分26．（顺义一模）解：（1）把点A （0，-4）和B （-2，2）分别代入y =ax 2+bx +c 中，得c =-4，…………………………………………………………………1分 4a -2b +c =2．∴b=2a -3．……………………………………………………………2分 （2）当a <0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≤-2． 解得32-≤a<0． 当a >0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≥0． 解得 0< a ≤32． ∴a 的取值范围是32-≤a<0或0< a ≤32．………………………………4分（3）可求直线AB 表达式为y =-3x -4，把C （m ，5）代入得m =-3．图1∴C （-3，5），由平移得D （1，5）．①当a >0时，若抛物线与线段CD (如图1)，则抛物线上的点（1，a +2a -3-4）在D 点的下方． ∴a +2a -3-4<5． 解得a <4． ∴0<a <4．②当a <0时，若抛物线的顶点在线段CD 上， 则抛物线与线段只有一个公共点．（如图2）∴2454ac b a -=．即()()2442354a a a⨯---=．解得3a =-+3a =-综上，a 的取值范围是0<a <4或3a =-。

2020北京中考数学一模分类汇编——几何原理1．（2020•房山区一模）下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．作法：①在直线AB上取一点M；②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．④连接PQ，交AB于点O．⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，∴四边形PMQN是．∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（）．（填写推理依据）∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝（填写数值）∴∠PCB＝30°．2．（2020•石景山区一模）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝，PA＝，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．3．（2020•密云区一模）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．已知：△ABC中，AC＞BC．求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．作法：如图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D；③连接AD和BD，④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．所以∠ADB＝2∠C．根据小菲设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD，∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，∴CD＝AD＝．∴⊙D是△ABC的外接圆．∵点C是⊙D上的一点，∴∠ADB＝2∠C．（）（填推理的依据）。