2020年版北京市初三数学分类汇编-上学期期末几何

2020年北京初三各区上学期期末几何综合学生版1西城27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有并说明理由．图1 备用图解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵ M为线段BQ的中点，∴ 四边形BNQP是平行四边形．∴ BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵ 以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ， ∴ PQ =PC ． ∴ BN =PC ． ∴△ABN ≌△ACP ． ∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ． ∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ，∴ MP． ············································································ 7分2东城区27．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ． （1）如图1，当△ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE 与∠BCD 之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ，CE ，DE 的数量关系．图1图2解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示. 猜想：∠BAE =∠BCD. 理由如下：12∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD, 图2 ∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE. …………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.……………………………7分3朝阳27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B 重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC +∠ACO=60°.∴∠OAC=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH =60°+∠H =60°+∠OAC . ∴∠DCH =60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC .∵CA =CD ，∠ACD =120°， ∴∠CAD =30°. ∴∠DCH =2∠DAH .4大兴区27.已知：如图，B,C,D 三点在 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角 △ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ； (2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系， 并证明.5石景山区27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于 直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明． （1）………………………… 2分（21．4分 （3FEP DC BA图1NMA………………………… 5分 2．，………………………… 7分6丰台区26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，；（2）写出一个∠ACB 的度数，并证明．解：（1）正确补全图形；………………1分………………3分（2 ……………………………………………………4分图2……………………………………………………………5分∠…………………………………………………………7分7顺义区27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．CCF BC D E A（备用图）解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ， ∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分8平谷区27．如图，正方形ABCD ，将边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE ，CE ． （1）求∠BAE 的度数；（2）连结BD ，延长AE 交BD 于点F ． ①求证：DF=EF ；②直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系．（1）解：∵AB=BE ，∴∠BAE =∠BEA ． ······································································· 1 ∵∠ABE =90°－60°=30°∴∠BAE =75°． (2)（2）证明：∴∠DAF =15°． (3)连结CF ．由正方形的对称性可知，∠DAF =∠DCF =15°． ······························· 4 ∵∠BCD =90°，∠BCE =60°， ∴∠DCF =∠ECF =∠DAF =15°． ∵BC=EC ，CF=CF ，∴△BCF ≌△ECF ． ···································································· 5 ∴BF=EF ． ··············································································· 6 （3 (7)9昌平区27.已知等边△ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD .（1）若点E 是AC 上一点，且CE ＝BD ，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE 的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明.（1）补全图形. ………………………………………………………… 1分 ∠APE =60° ……………………………………………………………… 2分（2）补全图形.………………………………………………………………3分ABDCDCBA..………………………………………………………………4分证明：在△ABD 和△BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CEBD C ABD BC AB 60∴△ABD ≌△BEC （SAS ）∴∠BAD =∠CBE .∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.∵AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到，∴AF =AD ，∠DAF =120°. ∵∠APE =60°， ∴∠APE +∠DAP =180°.∴AF ∥BE...……………………………………………………………………………………………5分 ∴∠1=∠2∵△ABD ≌△BEC ， ∴AD =BE . ∴AF =BE .在△AQF 和△EQB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BEAF EQB AQF 21△AQF ≌△EQB （AAS ）∴AQ =QE ..……………………………………………………………………………………………6分∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，且AE=BC，CD=BD.∴AE=CD...……………………………………………………………………………………………7分10通州11门头沟27．如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ． （1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明；（3）连接AP ，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值，备用图（本小题满分7分）（1）补全图形正确．………………………………1分 （2）AB =PB ．………………………………………2分证明：如图，连接BQ ．∵BC 的垂直平分OQ ，∴ OB =BQ ，……………………3分 ∴∠BOP =∠BQP ． 又∵ OF 平分∠MON ， ∴∠AOB = ∠BOP ．∴∠AOB = ∠BQP ．…………4分 又∵PQ=OA ，∴ △AOB ≌△PQB ，…………………………………………………………5分 ∴AB =PB ．（37分12房山区27.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B 上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________.（3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________27-1 备用图备用图（1）如图27-1，补全图形…………1分证明：⸪∠ACB＝∠MCN＝90°∴∠MCB＝∠NCA …………2分⸪CM＝CN，CB＝CA∴△MCB≌△NCA∴BM＝AN…………3分图27-1（2） 45°或135°…………4分（3） 1 ； 3 …………6分13密云区27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接EC ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上． ① 依据题意补全图1；② 求∠MCE 的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．(1) ① 补全图1：………………………………2分② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME ………………………………3分在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45°图1∴FM=MC ………………………………4分在△FMA和△CME中∴∴∠MCE=∠F=45°……………5分（2……………7分14海淀27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA 绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，① 依题意补全图1；② PQ 的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，, 求证：PD =PQ ；（3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作PF BQ ⊥于F ，AH PF ⊥于H .∵PA AD ⊥, ∴∠PAD =90°.由题意可知∠1=45°. ∴2901451∠=︒-∠=︒=∠. ∴PA AD =. ∵90ACB ∠=︒, ∴90ACD ∠=︒∵AH PF ⊥，PF BQ ⊥， ∴90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ACFH 是矩形.∴90,CAH AH CF ∠=︒=.图 121 ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒∴3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒. ∴34∠=∠.又∵90,ACD AHP ∠=∠=︒∴ACD AHP ≌△△.∴1AH AC ==.∴1CF AH ==.B ，Q 关于点D 对称，∴F 为DQ 中点.∴PF 垂直平分DQ .∴PQ =PD .（3。

2020北京西城初三（上）期末数学备考几何综合（教师版）一．解答题（共14小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，AD＝2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为2；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．想办法证明△AHD是等腰直角三角形，求出BH，DH即可解决问题；②如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．想办法求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．【解答】解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝2，∴AH＝DH＝2，在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150 °，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD＝AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN＝AB，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD＝MN，EM＝DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF＝∠CDB＝90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND．∴∠FMN＝∠BDN．∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+∠BCN．∴∠EMN＝∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN＝EN，∠1＝∠2．∵∠1+∠3+∠EMN＝180°，∴∠2+∠3+∠FMN＝90°．∴∠2+∠3+∠DNM＝90°，即∠CNE＝90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵CD为AB边上的中线．∴CD＝AB＝，∴CN最大＝CD+＝，CN最小＝CD﹣＝由（2）知，EN＝CN，∴EN最大＝，EN最小＝即：EN的最大值为，最小值为．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的中线，三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，圆的性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道考查知识点比较多的综合题．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD＝2时，AN＝，NM与AB的位置关系是垂直；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【分析】（1）根据已知条件得到CD＝2，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE＝AD＝2，根据直角三角形的性质得到AN＝DE＝，AM＝AB＝2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，求得∠CAN+∠NAM＝45°根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN＝∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠K＝45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC＝4，AB＝4，MB＝2，由ME≥MG，于是得到当ME＝MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，BD＝2，∴CD＝2，∴AD＝＝2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝2，∵N为ED的中点，∴AN＝DE＝，∵M为AB的中点，∴AM＝AB＝2，∵＝，＝＝，∴，∵∠CAB＝∠DAN＝45°，∴∠CAD＝∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN＝∠C＝90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠CAN+∠NAM＝45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC＝45°，∴∠NAM＝∠DAC，在Rt△AND中，DAN＝cos45°＝，同理＝，∴，∵∠DAC＝45°﹣∠CAN＝∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN＝∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝4，MB＝2，∴MG＝2，∵∠G＝90°，∴ME≥MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2，∴DK＝BE＝2，∵CK＝BC＝4，∴CD＝2，∴BD＝6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（m＞0）．（1）①∠QBC＝90 °；②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且m＝3时，点Q到直线l的距离等于2+；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为P1，Q1．在图2中画出此时的线段P1C及△BCQ1，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠QBC＝∠PAC＝90°；（2）根据题意画出图形，利用勾股定理求得m的值；（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．易证四边形ADFG为矩形．由等边△ABC的性质易推知DF＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝30°；根据旋转的性质得到：△ACP≌△BCQ，则其对应边相等：AP＝BQ＝m，对应角相等∠PAC＝∠QBC＝90°，所以通过解Rt△QBF求得QF＝m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：i）如图2，当点P在（2）中的线段P1A上（点P不与点A，P1重合）时，可得0＜m＜，此时点Q在直线l的下方，由三角形的面积公式来求m的值；在直线l的上方，由三角形的面积公式来求m的值．【解答】解：（1）①∵AC⊥l，∴∠PAC＝90°，∴由旋转的性质得到：∠QBC＝∠PAC＝90°．②m＝3时，点Q到直线l的距离等于2+；故答案是：90；2+；（2）所画图形见图1．m＝．（3）如图2，作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．∵CA⊥直线l，∴∠CAP＝90°．易证四边形ADFG为矩形．∵等边三角形ABC的边长为4，∴∠ACB＝60°，DF＝AG＝CG＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝30°．∵将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，∴△ACP≌△BCQ．∴AP＝BQ＝m，∠PAC＝∠QBC＝90°．∴∠QBF＝60°．在Rt△QBF中，∠QFB＝90°，∠QBF＝60°，BQ＝m，∴QF＝m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：l的下方．∴DQ＝DF﹣QF＝2﹣m．∵S△PAQ＝AP•DQ＝，∴m（2﹣m）＝．整理，得m2﹣4m+＝0．解得m1＝，m2＝．经检验，m＝或在0＜m＜的范围内，均符合题意．ii）如图3，当点P在（2）中的线段AP1的延长线上（点P不与点A，P1重合）时，可得m＞，此时点Q 在直线l的上方．∴DQ＝QF﹣DF＝m﹣2．∵S△PAQ＝AP•DQ＝，∴m（m﹣2）＝．整理，得 3m2﹣4m﹣3＝0．解得m＝（舍负）．经检验，m＝在m＞的范围内，符合题意．综上所述，m＝或或时，△PAQ的面积等于．【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．6．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE．（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．【分析】（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得数量关系，利用三线合一定理即可证得位置关系；（2）连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，然后延长BE交AM于点G，交AD于点K，证得∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK，即可证得垂直关系；（3）分当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角和当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，两种情况进行讨论，根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．【解答】解：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1），设DG＝HE＝x，在直角△ADG中，AD＝＝2x，在直角△BEH中，BE＝＝，则＝．连接AM、DM，则AM⊥BC于点M，同理DM⊥BC于点M．则AM和DM重合，则AD⊥BE；（2）证明：连接DM，AM．在等边三角形ABC中，M为BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠BAC＝30°，＝．∴∠BME+∠EMA＝90°．同理，＝，∠AMD+∠EMA＝90°．∴＝，∠AMD＝∠BME．∴△ADM∽△BEM．∴＝＝．延长BE交AM于点G，交AD于点K，过点D作DH⊥BC于点H．∴∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK．∴∠GKA＝∠AMB＝90°．∴AD⊥BE．（3）解：（ⅰ）当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，（如图2），∵△ADM∽△BEM，∴＝（）2＝3．∴S△BEM＝S△ADM∴S＝S△ABM+S△ADM﹣S△BEM﹣S△DEM＝S△ABM+S△ADM﹣S△DEM＝×3×3+××3（x﹣3）﹣×1×＝x+．∴s＝x+（3≤x≤3+）．（ⅱ）当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时（如图3），同理△ADM∽△BEM，∴＝（）2＝．∴S△BEM＝S△ADM．∴s＝S△ABM+S△BEM﹣S△ADM﹣S△DEM＝S△ABM﹣S△ADM﹣S△DEM＝﹣××3（3﹣x）﹣＝x+．∴s＝x+（3﹣≤x≤3）．综上，s＝x+（3﹣≤x≤3+）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，求得函数的解析式是关键．7．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，＝；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为．【分析】（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF＝30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF＝30°即可；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2．【解答】解：（1）①如图1，连接EF，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，∴EF∥AD，FM∥CB，∵∠ABO＝∠DCO＝30°，∴∠CDO＝60°，∴∠EFC＝60°，∠MFD＝30°，∴∠EFM＝90°，∴△EFM是直角三角形，∵EM∥CD，∴∠EMF＝∠MFD＝30°，∴cos30°＝＝，故答案为：；②结论：的值不变，证明：如图2，连接EF、AD、BC，∵Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴．∵Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°，∴．∴．∵∠AOD＝90°+∠BOD，∠BOC＝90°+∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC．∴△AOD∽△BOC．∴，∠1＝∠2．∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且，．∴，∠3＝∠ADC＝∠1+∠6，∠4＝∠5．∵∠2+∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠4+∠6＝90°，即∠3+∠4＝90°．∴∠EFM＝90°．∵在Rt△EFM中，∠EFM＝90°，，∴∠EMF＝30°．∴；（2）如图3，过O作OE⊥AB于E，∵BO＝3，∠ABO＝30°，∴AO＝3，AB＝6，∴AB•OE＝OA•OB，∴OE＝，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2，∴线段PN长度的最小值为，最大值为．故答案为；．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．8．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△NDA，BM•DN＝a2；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．【分析】（1）如图（3）由条件可以得出∠BMA＝∠3，∠ABM＝∠ADN＝135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以的得出BM•DN＝a2．（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA＝AB：ND，再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结论．（3）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BMA＝∠NAD，∴△ABM∽△NDA，∴∴BM•DN＝a2．（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA＝AB：ND．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，DA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°．∴BM：BC＝DC：ND．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM＝∠NDC＝45°．∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM＝∠DNC．∴∠MCN＝360°﹣∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN＝270°﹣（∠DNC+∠DCN）＝270°﹣（180°﹣∠CDN）＝135°．（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2＝MN2．证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．∴∠1＝∠3，AF＝AN，BF＝DN，∠AFB＝∠AND．∴∠MAF＝∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝45°．∴∠MAF＝∠MAN．又∵AM＝AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF＝MN．可得∠MBF＝（∠AFB+∠1）+45°＝（∠AND+∠3）+45°＝90°．∴在Rt△BMF中，BM2+BF2＝FM2．∴BM2+DN2＝MN2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．9．含30°角的直角三角板ABC中，∠A＝30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α＝60 °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S＝时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．【分析】（1）有旋转可得出∠α；（2）①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m＝4．由相似和旋转的性质得出∠A＝∠CBE＝30°．从而得出m的值；（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD＝x，BD＝AB﹣AD＝2﹣x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，得出直线A′C 与⊙E相交．【解答】解：（1）当A′B′过点B时，α＝60°；（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m＝4．证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．∵DE∥A′B′，∴．由旋转性质可知，CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACD＝∠BCE．∴．∴△CAD∽△CBE．∴∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB边上，∠CBD＝60°，∴∠CBD＝2∠CBE，即m＝2．②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．与①同理可得∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB的延长线上，∠CBD＝180°﹣∠CBA＝120°，∴∠CBD＝4∠CBE，即m＝4；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2，，．由△CAD∽△CBE得．∵AD＝x，∴，．①当点D在AB边上时，AD＝x，BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∠DBE＝90°．此时，．当S＝时，．整理，得x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1，即AD＝1．此时D为AB中点，∠DCB＝60°，∠BCE＝30°＝∠CBE．（如图3）∴EC＝EB．∵∠A′CB′＝90°，点E在CB′边上，∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．∴直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，∠DBE＝90°．（如图2）.．当S＝时，．整理，得x2﹣2x﹣1＝0．解得，（负值，舍去）．即．此时∠BCE＝α，而90°＜α＜120°，∠CBE＝30°，∴∠CBE＜∠BCE．∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．∴直线A′C与⊙E相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．10．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；（2）如图2，若PA2+PC2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上．【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形BAC 与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC＝6；（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP＝90°，再证∠BPC+∠APB ＝180°，即点P在对角线AC上．【解答】解：（1）①S阴影＝S扇形ABC+S△BP′C﹣S扇形PBP′﹣S△ABP＝S扇形ABC﹣S扇形PBP′＝，＝（a2﹣b2）；②连接PP′，根据旋转的性质可知：BP＝BP′，∠PBP′＝90°；即：△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′＝45°，∵∠BPA＝∠BP′C＝135°，∠BP′P＝45°，∴∠BPA+∠BPP′＝180°，即A、P、P′共线，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°；在Rt△PP′C中，PP′＝4，P′C＝PA＝2，根据勾股定理可得PC＝6．（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2＝2PB2；∵PA2+PC2＝2PB2＝PP′2，∴PC2+P′C2＝PP′2，∴∠P′CP＝90°；∵∠PBP′＝∠PCP′＝90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC＝180°；∵∠BPA＝∠BP′C，∴∠BPC+∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．11．已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．（1）求证：BC＝BP；（2）求点C到BP的距离．【分析】（1）连接PC．根据SAS证明△PAC≌△PDB，得PC＝PB，∠2＝∠3，再根据有一个角是60°的等腰三角形证明等边三角形即可；（2）作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．根据等边三角形APD求得PF和BF的长，再根据勾股定理求得BP的长，即为BC的长，从而求得等边三角形的一边上的高CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接PC．∵AC＝1，BD＝1，∴AC＝BD．∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC＝60°．∵△PAD是等边三角形，∴PA＝PD，∠D＝60°．∴∠1＝∠D．∴△PAC≌△PDB．∴PC＝PB，∠2＝∠3．∴∠2+∠4＝∠3+∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．（2）解：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．∵AB＝3，BD＝1，∴AD＝4．∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB，∴DF＝AD＝2，PF＝PD•sin60°＝．∴BF＝DF﹣BD＝1，∴BP＝．∴CE＝BC•sin60°＝BP•sin60°＝×＝．即点C至BP的距离等于．【点评】此题要熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的概念．12．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．【分析】通过作辅助线，①证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，再通过面积公式得出AP＝AB；②三角形的周长＝三边之和，由①中三角形的全等，通过等量代换，得出BE+BF′＝EF′．【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，而EF′•AB＝EF•AP，∴AB＝AP．解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF＝EC+CF+EF′＝EC+BE+CF+BF′＝BC+CF+DF＝BC+CD＝2AB＝10．【点评】本题是一道综合题，考查三角形的全等，正方形的性质，以及等量代换的方法和转化的思想．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝6，BC＝，∠A＝45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C、F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA＝x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG 重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了，我们求C的坐标即可．如果过点C向x轴引垂线，那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中，两直角边的长就都应该是2（可根据BC＝2，∠A＝∠C＝45°，用正弦或余弦函数就能求出），那么C点的坐标就应该是（4，2）．而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，F点的纵坐标的绝对值等于C点横坐标的绝对值，因此F的坐标应是（﹣2，4）．（2）在（1）中，我们得出了点C的坐标，那么用同样的方法可得出D点的坐标（2，2），当梯形向左平移x 单位后，设DC与y轴交于H，那么DH＝x﹣2．这样我们可以根据重合部分的面积＝梯形DHOA的面积﹣三角形AQO的面积（设AD、OG交于Q），那么关键是求出三角形AQO的面积，根据旋转的性质可知，∠GQD＝90°，即三角形AQO是个直角三角形，又因为∠AQO＝45°，OA＝x，那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x，那么三角形AQO的面积＝×（x）2＝x2．在上面我们求出了DH的长，那么梯形AOHD的面积＝×（x﹣2+x）×2＝2x﹣2．因此重合部分的面积＝梯形ADHO的面积﹣三角形AQM的面积＝﹣x2+2x﹣2．也就求出了x、y的函数关系式．（3）要分三种情况进行讨论：①以E为顶点，EF、EP为腰的等腰三角形，②以F为顶点，EF、FP为腰的等腰三角形．③以P为顶点，FP、EP为腰的等腰三角形．我们根据（1）的结果不难得出E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．根据P在DC线上那么，可设P点坐标是（m，2）．那么可用坐标系中两点间的距离公式，分别按三种情况进行计算，得出符合条件的m 的值．【解答】解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（﹣2，4）（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，图（1）中，在直角三角形AMD中，AD＝2，∠DOM＝45°，因此DM＝AM＝2．因此D点的坐标是（2，2）．图（2），当OA＝x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH＝x﹣2．所以梯形AODH的面积＝×（DH+OA）×DM＝2x﹣2．△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：∠AQO＝90°，又因为∠QAM＝45°，因此AQ＝QO＝x，所以△AQO的面积＝×AQ×OQ＝x2因此重合部分的面积y＝S梯形AODH﹣S△AQO＝2x﹣2﹣x2即：y＝﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF＝EP＝2，因此（2）2＝m2+（2﹣6）2，即m2+16＝8，此方程无解，因此不存在这种情况．②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF＝FP＝2，因此（2）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）＝0，m＝﹣4，m＝0．当m＝﹣4时，P点坐标为（﹣4，2）．PE＝＝4＝2EF，因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，因此此时P点的坐标应该是（0，2）．③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP＝PF，因此m2+（2﹣6）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m＝2．那么此时P的坐标为（2，2）．综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．【点评】本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，本题中根据梯形的性质得出梯形旋转前后各顶点的坐标是解题的关键．14．如图，在△ABC中，若AB＝5，AC＝2，∠BAC＝120°．以BC为边作等边三角形BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置．（1）求∠BAD的度数；（2）求AE的长．【分析】（1）由旋转的性质得∠ADE＝60°，AD＝DE，得到等边三角形ADE，求出∠E＝60°，根据旋转得出∠BAD＝∠E＝60°；（2）由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，从而得出AE．【解答】解：（1）连接AE，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∴△ADE是等边三角形，四边形ABDC中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，∴∠ECD＝∠ABD，∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°，∴A、C、E三点共线，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°（2）∵A、C、E三点在一条直线上，由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，∴AE＝7．【点评】本题考查了旋转的性质，以及等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．。

2019-2020初三上期末考试几何综合汇总1、（19-20朝阳期末）27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图1备用图2、（19-20东城期末）27．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图23、（19-20西城期末）27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0<n<180）得线段PQ，连接AP，BO.（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；AP，（2）M为线段BQ的中点，连接PM.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=12并说明理由.4、（19-20海淀期末）27．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1, 记∠ABC =α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，① 依题意补全图1； ② PQ 的长为_____________； （2）如图2，当α=45°，且43BD时, 求证：PD =PQ ； （3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）图 1图 2备用图N5、（19-20丰台期末）26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ． （1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE，并证明．6、（19-20石景山期末）27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．FEP DCBA7、（19-20大兴期末）27.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.8、（19-20房山期末）27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________. （3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________图27-1 备用图备用图9、（19-20门头沟期末）27．如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．备用图10、（19-20密云期末）27. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段B C上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．图1（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．图211、（19-20平谷期末）27．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求∠BAE的度数；（2）连结BD，延长AE交BD于点F．Array①求证：DF=EF；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．12、（19-20顺义期末）27．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF.（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．C C（备用图）13、（19-20通州期末）27.如图，MO⊥NO于点O,△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=90°，当△OAB绕点O旋转时，记∠MOA=a(0°≤a≤90°)。

2020上学期期末年代数综合学生版1西城区． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2．（1）若该抛物线与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上．求该抛物线的表达式及点A 的坐标； （2）横坐标为整数的点称为横整点．① 将（1）中的抛物线在 A ，B 两点之间的部分记作G 1(不含A ，B 两点)，直接写出G 1上的横整点的坐标；② 抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2与直线y = –x – 2 交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D 两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．2 东城区 ． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a x 2-4ax 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标；(2)已知点C (2，1)，P (1，-32a )，点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4． ①求Q 点的纵坐标（用含a 的式子表示）；②若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围 ．3朝阳区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.4大兴.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线11-412-=）（x y 与x 轴的交点为A , B （点A 在点B 的左侧）. （1）求点A,B 的坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.①直接写出线段AB 上整点的个数；②将抛物线11-412-=）（x y 沿x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x 轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数.5石景山．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A向右平移2个单位长度，得到点B .直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D . （1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.6丰台区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .（1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．7顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1m x 2+nx −m 与y 轴交于点A ，将点A 向左平移3个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围． 8通州9平谷区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =--?与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，1(,0)Q a-．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．10昌平区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1） ①直接写出抛物线的对称轴是________；①用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A 恰好为整点，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．11门头沟．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.12房山区.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B .（1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.13密云区. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =-++(0a ≠)．（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W14海淀．26在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________； （2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.1西城．解：（1）∵抛物线y=x2-2m x-2m-2与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴-2m -2= 2．∴m = -2．∴抛物线的表达式为y=x2+4x+ 2．∵A，B两点关于直线x =-2对称，∴点A的坐标为（-4，2）．（2）① y=x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．图12东城6.解： (1)令y =0，则a x 2-4ax =0.解得 120, 4.x x ==∴ A (0,0)，B (4,0).…………………………2分 (2)①设直线PC 的解析式为.y kx b =+将点P (1,-32a )，C (2,1)代入上式，解得31,13.2k a b a =+=-- ∴y=(1+32a)x -1-3a.∵点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4， ∴Q 点的纵坐标为3+3a .…………………………4分 ②当a ＞0时，如图1，不合题意；当a ＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0. ∴a≥-1．∴符合题意的a 的取值范围是 -1≤a ＜0．…………………………6分图1 图23朝阳．解：（1）将点（3，3）代入2+=y ax bx ，得9a +3b =3. ∴3+1=-b a .（2）令4+4=4+x a ，得=4-x a . ∴B 4,4)(-a .（3）312=-或＜-a a .4大兴．（1）∵11)(2+--=x m x y 的对称轴为1=x∴121=-m ………………………………1分 ∴3=m ，∴函数的表达式为122+-=x x y …………………2分 （2）①()23-=x y ………3分②29>t ………………………………………………6分 5石景山．解：（1）∵24y ax ax c =-+2(2)4a x a c =--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =． ………………………… 2分 （2）①∵直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ， ∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-． ∵抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称， ∴点A 的坐标为(0,3)．∵将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)． ………………………… 3分 ②抛物线为243(0)y ax ax a =-+≠，顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1.令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． ∵P B y y <∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2.当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-.结合函数图象，可得35a -≤.综上所述，a 的取值范围是35a -≤或0a >. …………………… 6分6丰台.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界)结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分7顺义．解：（1）依题意得：A （0，-m ）．………………………………………………… 1分∴B （-3，-m ）． ………………………………………………………… 2分 （2）∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为x ＝32-；………………………………………… 4分DECB AM N（3）当m ＞0时，点A （0，-m ）在y 轴负半轴， 此时，点P ，Q 位于抛物线内部（如图1）． 所以，抛物线与线段PQ 无交点． ……………………… 5分 当m ＜0时，点A （0，-m ）在y 轴正半轴， 当AQ 与x 轴平行，即A （0，1）时（如图2）， 图1抛物线与线段PQ 恰有一个交点Q （-3，1）．6分 8通州9·················· 1 ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ················································ 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Q a- 时，a =1，此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． ∵抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，∴318a ≤≤． ·............................................................................. 5 当抛物线开口向下时，3a <-．. (6)综上所述，当318a ≤≤或3a <-时，抛物线与线段PQ 恰有两个公共点．10昌平．（1）①对称轴是：x ＝1． …………………………………………………………………… 1分①b ＝－2a ． …………………………………………………………………… 3分 （2）－2≤a ＜－1或1＜a ≤2． …………………………………………………………………… 6分 育新回龙观学校惠红民老师给出的26题解析：育新回龙观学校支颖梅老师第（2）问思路：因为AB=2，点A 是整点，所以点C 到AB 的距离应该是大于1并且小于等于2. 点C 到AB 的距离表示为c —a ，减去c 的差的绝对值，即a 的绝对值。

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。

2024年1月九上期末——几何综合1.【东城】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD)，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．2.【西城】27．在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作//DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．图1图2备用图（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明；（3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．3.【海淀】27.如图，在ABC △中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠∠=.（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF .①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小.4.【朝阳】27．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°-α，得到线段BE ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF ，BF .（1）如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出∠AFB 的度数；（2）如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF =成立，并证明.图1图25.【石景山】27．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ．（1）求CAE ∠的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．6.【丰台】27．已知在△ABC中，AB=AC，0°<∠BAC<90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接ＢD，CD．（1）如图1，当∠BAC=α时，∠ＡBD=（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α=90°时，连接BD，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F，交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．7.【昌平】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F.（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为______________；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明.图1图227题图127题图28.【通州】27．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 的延长线上，取AD 的中点F ，连结CD 、CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连结AE 、BE ．（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 、CF 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．9.【房山】27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.10.【大兴】27.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BA的延长线上一点,连接PC,以点P为中心,将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD,连接BD.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠ACP=∠DPB;(3)用等式表示线段BC,BP,BD之间的数量关系,并证明.11.【门头沟】27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP=α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当α=30°时，直接写出∠CNB的度数；（3）当0°<α<45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．12.【燕山】27．如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．(1)依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；(2)连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．13.【顺义】27．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．14.【密云】27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠A C E+∠B C D的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段A E与CF之间的数量关系，并证明．15.【平谷】27.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.。

代数综合专题西城区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2．（1）若该抛物线与直线y= 2交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在 A，B两点之间的部分记作G1(不含A，B两点)，直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=–x–2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．26．解：（1）∵抛物线y=x2-2m x-2m-2与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴-2m - 2= 2．∴m = -2．∴抛物线的表达式为y=x2+4x+ 2．∵A，B两点关于直线x =-2对称，∴点A的坐标为（-4，2）．（2）①y=x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图1图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．··························································································6分东城区26 ．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a-4ax与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)．(1)求点A，B的坐标；(2)已知点C(2，1)，P(1，-a)，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围海淀区．26在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：2240)y ax ax a=-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.26．解：（1）①1； ②m >2或m <0;（2）∵抛物线G ：224y ax ax =-+的对称轴为x =1，且对称轴与x 轴交于点M ， ∴点M 的坐标为（1，0）. ∵点M 与点A 关于y 轴对称， ∴点A 的坐标为（-1，0）. ∵点M 右移3个单位得到点B , ∴点B 的坐标为（4，0）.依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点， 把点A （-1，0）代入224y ax ax =-+可得43a =-；把点B （4，0）代入224y ax ax =-+可得12a =-；把点M （1，0）代入224y ax ax =-+可得4a =. 根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 恰有一个 公共点时可得 41432a a -<≤-=或.大兴区25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A , B （点A 在点B 的左侧）.（1）求点A,B 的坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点. ①直接写出线段AB 上整点的个数；沿x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x 轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数.25.解：（1）得中，令）（在,01-1412=-=y x y 1,321-==x x ……………………………………………………………..1分∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0）………………………..2分 （2）①5；……………………………………………………………………..3分②6. ……………………………………………………………………..5分石景山26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B .与x 轴，y 轴分别交于点C ，D .（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.26．解：（1）∵24y ax ax c =-+2(2)4a x a c =--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =． ………………………… 2分 （2）①∵直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ， ∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-． ∵抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称， ∴点A 的坐标为(0,3)．∵将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)． ………………………… 3分 ②抛物线为243(0)y ax ax a =-+≠，顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1.令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． ∵P B y y <∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2. 当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-.结合函数图象，可得35a -≤.综上所述，a 的取值范围是35a -≤或0a >. …………………… 6分丰台区25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C . （1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．25.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分顺义区26．在平面直角坐标系 中，抛物线与 轴交于点A ，将点A 向左平移3个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．26．解：（1）依题意得：A （0，-m ）．………………………………………………… 1分 ∴B （-3，-m ）． ………………………………………………………… 2分 （2）∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为x ＝32-；………………………………………… 4分（3）当m ＞0时，点A （0，-m ）在y 轴负半轴， 此时，点P ，Q 位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ 无交点． ……………………… 5分当m ＜0时，点A （0，-m ）在y 轴正半轴，当AQ 与x 轴平行，即A （0，1）时（如图2）， 图1 抛物线与线段PQ 恰有一个交点Q （-3，1）．6分26轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）()0,3-； ················································································· 1 （2）∵212b ax a a-=-=-=； ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ················································ 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Qa-时，a=1，此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，∴318a≤≤． (5)当抛物线开口向下时，3a<-． (6)综上所述，当318a≤≤或3a<-时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．昌平区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．26．（1）①对称轴是：x＝1．…………………………………………………………………… 1分②b＝－2a．…………………………………………………………………… 3分（2）－2≤a＜－1或1＜a≤2．……………………………………………………………………6分门头沟26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线y a=-交于点B，C（点B在点C的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.①当2a=时，请直接写出“W区域”内的整点个数；②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.房山区.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B . （1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.26. （1）抛物线对称轴为直线1=22--=mmx . …………1分 ⸪点A 、B 关于直线1=x 对称，AB =2∴ 抛物线与x 轴交于点（0，0）、（2，0）.…………2分将（0，0）代入1+2-2-=2m mx mx y 中， 得0=1+2-m 即21=m . …………3分 （2）抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴有两个交点∴0>Δ 即()0>1+-2(4-2-2）m m m …………4分 解得： 0<31>m m 或①若0>m ，开口向上，如图26-1当2≥MN 时，有2≤1+2-m 解得21-≥m 图26-1结合※可得31>m …………5分②若0<m ，开口向下，如图26-2当2≥MN 时，有2≥1+2-m 解得21-≤m 结合※可得21-≤m …………6分 综上所述m 的取值范围为31>m 或21-≤m 图26-2密云区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =-++(0a ≠)． （1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．25. （1）4a +8 ………………………………1分（2）①解：∵抛物线的对称轴是x =1又∵ 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，AB =4∴ 点A 和点B 各距离对称轴2个单位 ∵ 点A 在点B 的左侧∴A （-1,0），B （3，0） ………………………………3分 ∴将B （3，0）代入2258y ax ax a =-++ ∴9a -6a +5a+8=0a=-1 ………………………………4分②当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和A （-1,0）时， 当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和B （3，0）时， ∴………………………………6分朝阳区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) . (1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出10k b k b +=-⎧⎨-+=⎩12b =-130k b k b +=-⎧⎨+=⎩32b =-1322b b ≥-≤-或a(a＜0)的取值范围.通州区26.在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.26. （1）顶点坐标为（）·····1分（2）·····2分·····3分(3)如图1抛物线顶点在线段上时，............................... 4分如图2抛物线顶过点时，·····5分综上： 或····6分燕山区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m =-+-． (1) 求抛物线顶点C 的坐标(用含m 的代数式表示)；(2) 已知点A (0，3)，B (2，3)，若该抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．26．解：(1) 2221y x mx m -+-＝＝2()1x m --∴抛物线顶点为C (m ，－1)． ………………………2分(2)把A (0，3)的坐标代入2221y x mx m =-+-得231m -＝， 解得 2m ±＝．把B (2，3)的坐标代入2221y x mx m -+-＝得2232221m m -⨯+-＝， 即240m m -＝， 解得 0m ＝，或4m ＝．结合函数图象可知：20m -≤≤，或24m ≤≤． ………………………6分。

反比例函数专题海淀24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是直线1322y x =+上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C ，反比例函数ky x=的图象经过点A ． （1）若点A 是第一象限内的点，且AB AC =，求k 的值； （2）当AB AC >时，直接写出k 的取值范围．24. 解：（1）依题意，设点(,)A x y ,(,0)B x ,(0,)C y (0,0)x y >>.∴AB y =，AC x =. ∵AB AC =， ∴x y =. ∵点A 在直线1322y x =+上, ∴点A 的坐标为(3,3)A .∵点A 在函数ky x=（k ≠0）的图象上， ∴9k =．（2）190k k -<<≠且.东城22． 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x =>的图象和ABC △都在第一象限内，52AB AC ==，//BC x 轴，且4BC =，点A 的坐标为(3,5)． （1）若反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；（2）若将ABC △向下平移m （m>0）个单位长度，A ，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m 的值．朝阳24．点A是反比例函数1(0)y xx=＞的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数3(0)y xx=＞的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明．石景山22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)my x x=>的图象G 经过点(3,2)A ， 直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ，与图象G 交于点C ． （1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，C 之间的部分与线 段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点(2,0)时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点不少于．．．4个，结合函数图象，求k 的取值范围．22．解：（1）∵函数(0)my x x=>的图象G 经过点(3,2)A ， ∴6m =． ………………………… 1分 （2）① 1； ………………………… 2分 ②∵直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ， ∴点B 的坐标为(0,1)-，如图． （ⅰ）当直线1l 在BA 下方时， 若点(5,1)在直线1l 上， 则511k -=，解得25k =． 结合图象，可得205k <<．（ⅱ）当直线2l 在BA 上方时， 若点(1,3)在直线2l 上， 则13k -=，解得4k =． 结合图象，可得4k >． 综上所述，k 的取值范围是205k <<或4k >． ………………… 5分丰台20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与反比例函数ky x=的图象的两个交点分别为点P (m ，1)和点Q ． （1）求k 的值和点Q 的坐标；（2）如果点A 为x 轴上的一点，且∠90PAQ =︒，直接写出点A 的坐标． 20. 解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上， ∴1m =． ……1分 ∵点P (1，1)在k y x=上，∴1k =． ……2分∵点Q 为直线y x =与ky x=的交点， ∴点Q 坐标为(1-，1-)．……3分 （2）1A,0) , 2A (0)． ……5分顺义25. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，正方形OABC 的顶点B 在函数x k y =(k ≠ 0，x <0) 的图象上，直线l ：y x b =-+与函数xky =(k ≠ 0，x <0) 的图象交于点D ，与x 轴交于点E ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y x b =-+的图象经过点A 时，直接写出△DCE 内的整点的坐标；25．解：（1）依题意知：B （-2，2）．………………………………………………… 1分∴反比例函数解析式为4y x-=． ∴k 的值为-4． …………………………………………………………… 2分 （2）①△DCE 内的整点的坐标为 （-1，1），（-1，2）， （0，1） ；…… 5分 ② 当b =2时，△DCE 内有3个整点，当b =3时，△DCE 内有6个整点， ∴b 的取值范围是2＜b ≤3．…………………………………………… 6分平谷22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线()0ky x x=>经过点A ． （1）求曲线()0ky x x=>的表达式； （2）直线y=ax +3(a ≠0)与曲线()0ky x x=>围成的封闭区域为图象G ．①当1a =-时，直接写出图象G 上的整数点个数是；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G 包含边界．） ②当图象G 内只有3个整数点时，直接写出a 的取值范围．22．解：（1）∵A （1,1），∴k =1． ······························· 1 ∴()10y x x=>． ················· 2 （2）①3； ·································· 3 ②213a -≤<-． (5)门头沟23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线()0ky k x=≠交于点A （2，a ）． （1）求a 与k 的值；（2）画出双曲线()0ky k x=≠的示意图； （3）设点(),P m n 是双曲线()0ky k x=≠上一点（P 与A 不重合），直线PA 与y 轴交于点()0,B b ，当2AB BP =房山22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +2与函数xky =（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，a ）． （1）求k 的值；（2）已知点P （m ，0），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝x +2于点C ，交函数xky =（k ≠0）的图象于点D ． ①当m ＝2时，求线段CD 的长；②若PC ＞PD ，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．密云23．在平面直角坐标系中，直线 y = x 与反比例函数的图象交于点A （2，m ）.（1）求m 和k 的值；（2）点P （x P ，y P ）是函数 图象上的任意一点，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x 于点B .① 当y P = 4时，求线段BP 的长；② 当3BP ≥时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y P 的取值范围．(0)k y x x=>(0)k y x x=>22.（1）把A （1，a ）代入y ＝x +2得a ＝3…………1分把A （1，3）代入xky =得3=k …………2分 （2）① 当m ＝2时，C （2，4），D （2，23）…………3分⸫CD =25=23-4. …………4分② m< -3或m > 1 …………6分燕山23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=(0x <)的图象经过点A (－1，6)． (1) 求k 的值；(2) 已知点P (a ，－2a ) (0a <)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线22y x =--于点M ，交函数ky x=(0x <)的图象于点N ． ① 当a ＝－1时，求线段PM 和PN 的长；② 若PN ≥2PM ，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．23．解：(1) ∵函数ky x=(0x <)的图象经过点A (－1，6)，∴k ＝－1×6＝－6． ………………………1分(2)① 当a ＝－1时，点P 的坐标为(－1，2)． ………………………2分 ∵直线22y x =--，反比例函数的解析式为6y x=-，PN ∥x 轴， ∴M (－2，2)，N (－3，2)，∴PM ＝1，PN ＝2． ………………………4分 ② a ≤－3，或－1≤a ＜0． ………………………6分。

2021.1.24★水平（定）线段交点问题；★斜（动）线段交点问题；★变换图形交点问题；★整点（对称）问题；★对称性问题；★函数与方程及不等式关系问题。

★水平（定）线段交点问题1.（2021.01-门头沟-期末）23．已知：抛物线y=x²+bx+c 经过点A （2，－3）和B （4，5）.（1）求抛物线的表达式；（2）设B 点关于对称轴的对称点为E ，抛物线1G :y＝ax 2（a ≠0）与线段EB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.初三上期末代数综合分类2.（2021.01-顺义-期末）23．在平面直角坐标系xOy 中，有抛物线)0(222≥+-=m m mx x y （1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）过点A (0，1)作y 轴的垂线l ，点B 在直线l 上且横坐标是2m+1．①若m 的值等于1，求抛物线与线段AB 的交点个数；②若抛物线与线段AB 只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．★斜（动）线段交点问题3.（2021.01-东城-期末）23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线221y x bx =-+．（1）若此抛物线经过点（-2,-2），求b 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标（用含b 的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A （m ，m ）和B （n ，n ），且|m|＞2，|n|＜2，求b 的取值范围．5.（2021.01-通州-期末）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点C 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()5,4P -．将点C 向下移动一个单位，得到点D ．若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围．6.（2021.01-密云-期末）23.已知抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点P ，将点P 向右平移4个单位得到点Q ，点Q 也在抛物线上.（1）抛物线的对称轴是直线x =_________;（2）用含a 的代数式表示b ；（3）已知点M (1，1)，N (4，4a-1)，抛物线与线段MN 恰有一个公共点，求a 的取值范围.★变换图形交点问题7.（2021.01-燕山-期末）25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （0，2-），B （3，4）．（1）求抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）线段OB 绕点O 旋转︒180得到线段OC ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象W （包含A ，B 两点）．结合函数图像，①若直线CD 与图象W 有公共点，求S △CMD 的最大值；②若直线CD 与图象W 没有公共点，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.★整点（对称）问题8.（2021.01-昌平-期末）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3=+y ax bx 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线与x 轴交于P、Q 两点，该抛物线在P、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a 的取值范围.9.（2021.01-大兴-期末）23.在平面直角坐标系 ௘୉中，抛物线21y ax bx a a =+++<（0）的对称轴为直线1x =.(1)用含有a 的代数式表示b ；(2)求抛物线顶点M 的坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫整点.过点P (0,a )作x 轴的平行线交抛物线于A ，B 两点.记抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W .1当1a =-时，直接写出区域W 内整点的个数；2若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求a 的取值范围.★对称性问题10.（2021.01-石景山-期末）23．已知关于x 的二次函数222y x tx =-+．（1）求该抛物线的对称轴（用含t 的式子表示）；（2）若点(3,)M t m -，(5,)N t n +在抛物线上，则mn ；（用“＜”，“=”，或“＞”填空）（3）11(,)P x y ，22(,)Q x y 是抛物线上的任意两个点，若对于113x -≤＜且23x =，都有12y y ≤，求t 的取值范围．11.（2021.01-朝阳-期末）12.（2021.01-西城-期末）13.（2021.01-房山-期末）23.已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过点()44A ，．（1）当抛物线与x 轴交于点()20B ，时，求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x 轴两交点之间的距离为d ．当2d >时，求a 的取值范围．14.（2021.01-平谷-期末）23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线：y ＝ax 2﹣2ax +4（a>0）．（1抛物线的对称轴为x ＝；抛物线与y 轴的交点坐标为；(2)若抛物线的顶点恰好在x 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；（3若A（m-1，y 1），B（m，y 2），C（m+2，y 3）为抛物线上三点，且总有y 1＞y 3＞y 2，结合图象，求m 的取值范围．★函数与方程及不等式关系问题15.（2021.01-海淀-期末）23.在平面直角坐标系xOy 中，点1(,)P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数4y x =-+的图象上．（1）若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断0m <时，1y 与2y 的大小关系；（2）若只有．．当1m ≥时，满足120y y ⋅≤，求此时二次函数的解析式．。

2020中考分类北京地区九年级上数学上期末几何综合题精选试题含答案解析1．已知ABC∆（如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是()A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO OD=，可得：AO OC=，=，BO OD进而得出四边形ABCD是平行四边形，故选：B．'''，点C的对2．如图所示的网格是正方形网格，图中ABC∆绕着一个点旋转，得到△A B C应点C'所在的区域在1区~4区中，则点C'所在单位正方形的区域是()A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区【分析】根据旋转的性质连接AA '、BB '，分别作AA '、BB '的中垂线，两直线的交点P 即为旋转中心，从而得出线段AB 和点C 是绕着P 点逆时针旋转90︒，据此可得答案． 解：如图，连接AA '、BB '，分别作AA '、BB '的中垂线，两直线的交点P 即为旋转中心，由图可知，线段AB 和点C 绕着P 点逆时针旋转90︒，∴点C 逆时针旋转90︒后所得对应点C '落在4区，故选：D ．3．如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，若ACD ∆的面积等于3，则ABD ∆的面积为 6 ．【分析】过C 点作DE AB ⊥于E ，CF AC ⊥于F ，如图，利用角平分线的性质得DE DF =，再根据三角形面积公式，利用132ACD S DF AC ∆==得到3DF DE ==，然后利用三角形面积公式计算ABD S ∆．解：过C 点作DE AB ⊥于E ，CF AC ⊥于F ，如图， AD 平分BAC ∠，DE DF ∴=， 132ACD S DF AC ∆==， 2332DF ⨯∴==， 3DE ∴=．1134622ABD S DE AB ∆∴==⨯⨯=． 故答案为6．4．小华遇到这样一个问题，如图1，ABC ∆中，30ACB ∠=︒，8BC =，6AC =，在ABC ∆内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值，并求出此时的APB ∠． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短“，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，他的做法是，如图2，将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到EDC ∆，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）求PA PB PC ++的最小值以及此时的APB ∠．（2）如图3，ABC ∆中，60ACB ∠=︒，3BC =，2AC =，在ABC ∆内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值，并求出此时的APB ∠．【分析】（1）先由旋转的性质得出APC EDC ∆≅∆，则ACP ECD ∠=∠，5AC EC ==，60PCD ∠=︒，再证明90BCE ∠=︒，然后在Rt BCE ∆中，由勾股定理求出BE 的长度，即为PA PB PC ++的最小值，再根据此时B ，P ，D ，E 共线，求出APB ∠．（2）如图3中，将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到EDC ∆，连接PD 、BE ．过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于H ．求出BE 即可解决问题．【解答】解：（1）如图2．将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到EDC ∆，连接PD 、BE ． APC EDC ∴∆≅∆，ACP ECD ∴∠=∠，5AC EC ==，60PCD ∠=︒，ACP PCB ECD PCB ∴∠+∠=∠+∠，30ECD PCB ACB ∴∠+∠=∠=︒，306090BCE ECD PCB PCD ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．在Rt BCE ∆中，90BCE ∠=︒，8BC =，6CE =，10BE ∴=，PA PB PC BP BD DE BE ++=++，10PA PB PC ∴++，即PA PB PC ++的最小值为10，此时B ，P ，D ，E 共线，120CPB CDE APC ∴∠=∠=∠=︒，120APB ∴∠=︒．（2）如图3中，将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到EDC ∆，连接PD 、BE ．过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于H ．APC EDC ∴∆≅∆，ACP ECD ∴∠=∠，2AC EC ==，60PCD ∠=︒，ACP PCB ECD PCB ∴∠+∠=∠+∠，60ECD PCB ACB ∴∠+∠=∠=︒，6060120BCE ECD PCB PCD ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，60ECH ∴∠=︒，EH CH ⊥，90H ∴∠=︒，112CH EC ∴==，EH 4BH BC CH ∴=+=，BE ∴==PA PB PC BP BD DE BE ++=++， 19PA PB PC ∴++，即PA PB PC ++B ，P ，D ，E 共线，120CPB CDE APC ∴∠=∠=∠=︒，120APB ∴∠=︒．5．如图，MO NO ⊥于点O ，OAB ∆为等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，当OAB ∆绕点O 旋转时，记(090)MOA αα∠=︒︒，5OA =．（1）过点B作BC ON⊥交射线ON于点C，作射线CA交射线OM于点D．①依题意补全图形，求ODC∠的度数；②当4sin5α=时，求OD的长．（2）若ON上存在一点P，且10OP=，作射线PB交射线OM于点Q，直接写出QP长度的最大值．【分析】（1）①根据题意作出图形，过点A作AH OC⊥于点H，AG CB⊥交CB的延长线于点G．证明四边形AHCG是正方形即可解决问题．②解直角三角形OAK∆即可解决问题．（2）观察图象可知，当OB PQ⊥时，OPB∆是等腰直角三角形，此时PQ的值最大，最大值2PB==解：（1）①图形如图1所示．过点A作AH OC⊥于点H，AG CB⊥交CB的延长线于点G．BC OC⊥，AH OC⊥，AG CB⊥，90AHC HCG G∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AHCG是矩形，90HAG OAB∴∠=∠=︒，OAH BAG∴∠=∠，AO AB=，()AHO AGB AAS ∴∆≅∆AH AG ∴=，∴四边形AHCG 为正方形，45ODC ∴∠=︒．②如图2中，延长GA 交OD 于点K ．4sin 5AK a AO ==，5OA =， 4AK ∴=，3OK =，4DK AK ∴==，7OD ∴=．（2）如图3中，5OA AB ==，90OAB ∠=︒，OB ∴==观察图象可知，当OB PQ ⊥时，OPB ∆是等腰直角三角形，此时PQ 的值最大，最大值2PB ==6．在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC >，D 是AB 的中点．E 为直线AC 上一动点，连接DE ．过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设AE a =，BF b =，求EF 的长（用含a ，b 的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得//DE BC ，12DE BC =，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE CF =，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作//BM AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明ADE BDM ∆≅∆得AE BM =，DE DM =，由垂直平分线的判定定理得EF MF =，进而根据勾股定理得结论． 解：（1）D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，//DE BC ∴，12DE BC =， 90ACB ∠=︒，90DEC ∴∠=︒，DF DE ⊥，90EDF ∴∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形，12DE CF BC ∴==， CF BF b ∴==，CE AE a ==，EF ∴=（2）222AE BF EF +=．证明：过点B 作//BM AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则AED BMD ∠=∠，90CBM ACB ∠=∠=︒， D 点是AB 的中点，AD BD ∴=，在ADE ∆和BDM ∆中，AED BMD ADE BDM AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BDM AAS ∴∆≅∆，AE BM ∴=，DE DM =，DF DE ⊥，EF MF ∴=，222BM BF MF +=，222AE BF EF ∴+=．7．已知120MON ∠=︒，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA OB =，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA ．将射线CA 绕点C 逆时针旋转120︒得到射线CA '，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150︒与射线CA '交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①OAC DCB∠=∠；②CD CA=（提示：可以在OA上截取OE OC=，连接)CE；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有2DCH DAH∠=∠，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得120ACD∠=︒，由三角形内角和得出60DCB ACO∠+∠=︒，60OAC ACO∠+∠=︒，即可得出结论；②在OA上截取OE OC=，连接CE，则1(180)302OEC OCE MON∠=∠=︒-∠=︒，150AEC∠=︒，得出AEC CBD∠=∠，易证AE BC=，由ASA证得AEC CBD∆≅∆，即可得出结论；（3）猜想OH OC OA-=时，对于任意的点C都有2DCH DAH∠=∠，在OH上截取OF OC=，连接CF、CH，则FH OA=，18060COF MON∠=︒-∠=︒，得出OFC∆是等边三角形，则CF OC=，120CFH COA∠=∠=︒，由SAS证得CFH COA∆≅∆，得出H OAC∠=∠，由三角形外角性质得出6060BCH COF H H OAC∠=∠+∠=︒+∠=︒+∠，则60602DCH H DCB OAC∠=︒+∠+∠=︒+∠，由CA CD=，120ACD∠=︒，得出30CAD∠=︒，即可得出2DCH DAH∠=∠．（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：120ACD∠=︒，18012060DCB ACO∴∠+∠=︒-︒=︒，120MON∠=︒，18012060OAC ACO∴∠+∠=︒-︒=︒，OAC DCB∴∠=∠；②在OA上截取OE OC=，连接CE，如图2所示：则11(180)(180120)3022OEC OCE MON∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，180********AEC OEC∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，由旋转得：150CBD∠=︒，AEC CBD∴∠=∠，OA OB=，OE OC=，AE BC∴=，在AEC∆和CBD∆中，AEC CBD AE BCOAC DCB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEC CBD ASA∴∆≅∆，CD CA∴=；（3）解：猜想OH OC OA-=时，对于任意的点C都有2DCH DAH∠=∠；理由如下：在OH上截取OF OC=，连接CF、CH，如图3所示：则FH OA=，180********COF MON∠=︒-∠=︒-︒=︒，OFC∴∆是等边三角形，CF OC∴=，120CFH COA∠=∠=︒，在CFH∆和COA∆中，CF COCFH COA FH OA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CFH COA SAS∴∆≅∆，H OAC∴∠=∠，6060BCH COF H H OAC∴∠=∠+∠=︒+∠=︒+∠，60602DCH H DCB OAC∴∠=︒+∠+∠=︒+∠，CA CD=，120ACD∠=︒，30CAD∴∠=︒，2()2DCH CAD OAC DAH∴∠=∠+∠=∠．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为∠=∠=︒，2AC DE cm==．当边AC与DE重合，且边ABA DRt ABC∆和Rt DEF∆，其中90和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．【分析】（1）按题意画出图形即可；（2）分两种情况，由勾股定理求出BC，AB，则可得出答案．解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1:在Rt ACF∠=∠=︒，F ACF∆中，45∴==．AF AC cm2在Rt ACB∠=︒，∆中，30B∴=，AB=4BC2)∴=．BF cm情况Ⅱ，如图2:在Rt ACF∠=∠=︒，∆中，45F ACF∴==．2AF AC cm在Rt ACB∆中，30∠=︒，BBC∴=，AB=4∴=．2)BF cm7．已知等边ABC∆，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE BD=，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE∠的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120︒，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BAD CBE ∠=∠，根据三角形的外角的性质得到60APE BAD ABP CBE ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．根据旋转的性质得到AF AD =，120DAF ∠=︒．根据全等三角形的性质得到AQ QE =，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在ABD ∆和BEC ∆中，60AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABD BEC SAS ∴∆≅∆BAD CBE ∴∠=∠．APE ∠是ABP ∆的一个外角，60APE BAD ABP CBE ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）补全图形图2，12AQ CD =， 证明：在ABD ∆和BEC ∆中，60AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABD BEC SAS ∴∆≅∆BAD CBE ∴∠=∠，APE ∠是ABP ∆的一个外角，60APE BAD ABP CBE ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120︒得到，AF AD ∴=，120DAF ∠=︒．60APE ∠=︒，180APE DAF ∴∠+∠=︒．//AF BE ∴，1F ∴∠=∠，ABD BEC ∆≅∆，AD BE ∴=．AF BE ∴=．在AQF ∆和EQB ∆中，1F AQF EQB AF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AQF EQB AAS ∆≅∆，AQ QE ∴=， ∴12AQ AE =， AE AC CE =-，CD BC BD =-，且AE BC =，CD BD =．AE CD ∴=， ∴12AQ CD =．8．如图，60MON∠=︒，OF平分MON∠，点A在射线OM上，P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ OA=，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON 于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ=，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意补全图形如图1，（2）结论：AB PB=．连接BQ，只要证明AOB PQB∆≅∆即可解决问题；（3）连接BQ．只要证明ABP OBQ∆∆∽，即可推出AP ABOQ OB=，由30AOB∠=︒，推出当BA OM⊥时，ABOB的值最小，最小值为12，由此即可解决问题．解：（1）如图1，（2）AB PB =．证明：如图2中，连接BQ ．BC 垂直平分OQ ，BO BQ ∴=，BOQ BQO ∴∠=∠， OF 平分MON ∠，AOB BQO ∴∠=∠，OA PQ =，()AOB PQB SAS ∴∆≅∆，AB PB ∴=．（3）AOB PQB ∆≅∆，OAB BPQ ∴∠=∠，180OPB BPQ ∠+∠=︒，180OAB OPB ∴∠+∠=︒，180AOP ABP ∠+∠=︒， 60MON ∠=︒，120ABP ∴∠=︒，BA BP =，30BAP BPA ∴∠=∠=︒， BO BQ =，30BOQ BQO ∴∠=∠=︒， ABP OBQ ∴∆∆∽， ∴AP AB OQ OB=， 30AOB ∠=︒， ∴当BA OM ⊥时，AB OB 的值最小，最小值为12， 12k ∴=．。

北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类一．坐标与图形性质（共1小题）1．（2020秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（10，0），OB＝2，∠B＝90°，则点B坐标为 ．二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）2．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，2）为双曲线y＝（k＞0）图象上一点．将点A向左平移3个单位后，该点恰好出现在反比例函数y＝﹣图象上，则k的值为 ．三．二次函数的性质（共1小题）3．（2020秋•通州区期末）请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式 ．四．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．（2021秋•通州区期末）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x1+x2＝ ．5．（2021秋•通州区期末）如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝于B、C两点，那么线段BC的长是 ．6．（2022秋•通州区期末）已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1 y2.（填＞、＜或＝）五．抛物线与x轴的交点（共1小题）7．（2022秋•通州区期末）二次函数y＝x2﹣6x+5的图象与x轴交点坐标是 ．六．三角形的重心（共1小题）8．（2021秋•通州区期末）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①DE∥BC；②△ADE∽△ABC；③；④．其中结论正确的是： （只填序号）．七．垂径定理的应用（共1小题）9．（2021秋•通州区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．八．圆周角定理（共2小题）10．（2020秋•通州区期末）如图，A，B，C为⊙O上的点．若∠AOB＝100°，则∠ACB ＝ ．11．（2022秋•通州区期末）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．九．点与圆的位置关系（共1小题）12．（2022秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标 ．一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）13．（2021秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 ．一十一．切线的性质（共1小题）14．（2020秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），⊙A的半径为3，点P（x，y）为⊙A上任意一点．则的最大值为 ．一十二．弧长的计算（共1小题）15．（2022秋•通州区期末）已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）16．（2022秋•通州区期末）如图，是一张直角三角形的纸片，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，现在小牧将三角形纸片折叠三次．第一次折叠使得点A落在点C处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点B落在点C处；再将纸片展平之后，再做第三次折叠，使得点A落在点B处．这三次折叠的折痕长度依次记为a，b，c，请你比较a，b，c，的大小，并用不等号连接 ．一十四．相似三角形的判定（共1小题）17．（2022秋•通州区期末）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线在同一平面内），图中相似而不全等的三角形有 对．一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）18．（2020秋•通州区期末）如图，在△ABC中，D，E分别AB，AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：1，则△ADE与△ABC的面积之比等于 ．一十六．相似三角形的应用（共2小题）19．（2021秋•通州区期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B 的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m．20．（2022秋•通州区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．一十七．特殊角的三角函数值（共1小题）21．（2020秋•通州区期末）cos60°+tan45°＝ ．一十八．解直角三角形（共1小题）22．（2021秋•通州区期末）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为 ．一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）23．（2020秋•通州区期末）如图，输电塔高41.7m．在远离高压输电塔100m的D处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高AD＝1.7m，则tanθ＝ ．24．（2021秋•通州区期末）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A处观测，当量角器的0刻度线AB对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是40°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是 ．北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．坐标与图形性质（共1小题）1．（2020秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（10，0），OB＝2，∠B＝90°，则点B坐标为　（2，4）　．【答案】（2，4）．【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠ADB＝∠ODB＝90°，∵∠B＝90°，∴∠OBD＝90°﹣∠ABD＝∠BAD，∴∵OB＝，OA＝10，∴OD＝OB•sin＝2．∴BD＝，∴点B的坐标为（2，4）．二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）2．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，2）为双曲线y＝（k＞0）图象上一点．将点A向左平移3个单位后，该点恰好出现在反比例函数y＝﹣图象上，则k的值为　3　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A（a，2）为双曲线y＝（k＞0）图象上一点，∴k＝2a，∵点A向左平移3个单位后得到点（a﹣3，2），该点在反比例函数y＝﹣图象上，∴﹣k＝2（a﹣3），∴k＝﹣2（a﹣3），∴2a＝﹣2（a﹣3），∴a＝，∴k＝2a＝3，故答案为3．三．二次函数的性质（共1小题）3．（2020秋•通州区期末）请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式　y＝﹣x2　．【答案】y＝﹣x2．【解答】解：∵顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为y＝ax2，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2．四．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．（2021秋•通州区期末）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x1+x2＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，∴x1+x2＝4，故答案为：4．5．（2021秋•通州区期末）如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝于B、C两点，那么线段BC的长是　2　．【答案】2．【解答】解：∵点A（0，4），把y＝4代入y1＝x2（x≥0）得x2＝4，解得：x＝2，∴B（2，4），把y＝4代入y2＝得x2＝4（x≥0），解得：x＝4，∴C（4，4），∴BC＝4﹣2＝2，故答案为：2．6．（2022秋•通州区期末）已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1　＞　y2.（填＞、＜或＝）【答案】＞．【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x+m可知对称轴x＝﹣＝1，∵抛物线开口向上，点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2．故答案为：＞．五．抛物线与x轴的交点（共1小题）7．（2022秋•通州区期末）二次函数y＝x2﹣6x+5的图象与x轴交点坐标是　（1，0），（5，0）　．【答案】（1，0），（5，0）．【解答】解：令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，解得x1＝1，x2＝5，∴这个函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．故答案为：（1，0），（5，0）．六．三角形的重心（共1小题）8．（2021秋•通州区期末）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①DE∥BC；②△ADE∽△ABC；③；④．其中结论正确的是：　①②④　（只填序号）．【答案】①②④．【解答】解：∵BE和CD为△ABC的中线，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，所以①正确；∴△ADE∽△ABC，所以②正确；∵∴DE＝BC，∵DE∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，所以③错误；∵＝，∴＝，即＝，所以④正确．故答案为：①②④．七．垂径定理的应用（共1小题）9．（2021秋•通州区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　2　m．【答案】见试题解答内容【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．八．圆周角定理（共2小题）10．（2020秋•通州区期末）如图，A，B，C为⊙O上的点．若∠AOB＝100°，则∠ACB＝　50°　．【答案】50°．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°，故答案为：50°；11．（2022秋•通州区期末）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2；∴tan∠ABC＝＝；∵∠AED＝∠ABC，∴tan∠AED＝tan∠ABC＝．故答案为：．九．点与圆的位置关系（共1小题）12．（2022秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标　（2，2）　．【答案】（2，2）．【解答】解：如图，连接OA，OA＝＝5，∵B为⊙O内一点，∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）13．（2021秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O 到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于　5　．【答案】5．【解答】解：∵在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），∴OA＝OB＝OC，∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，∴常数a的值等于：5，故答案为：5．一十一．切线的性质（共1小题）14．（2020秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），⊙A的半径为3，点P（x，y）为⊙A上任意一点．则的最大值为 ．【答案】．【解答】解：如图所示，当直线OP与圆A相切时，连接AP，过点P作PH⊥x轴于点H，此时取得最大值，∵OP为⊙A的切线，∴AP⊥OP，∵A（6，0），圆半径AP＝3．在Rt△AOP中，AP＝OA，∴∠AOP＝30°，∴＝tan∠AOP＝tan30°＝，则的最大值为．故答案为：．一十二．弧长的计算（共1小题）15．（2022秋•通州区期末）已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为　45　度．【答案】45．【解答】解：设圆心角为n°．由题意，＝2π，解得n＝45，故答案为：45．一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）16．（2022秋•通州区期末）如图，是一张直角三角形的纸片，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，现在小牧将三角形纸片折叠三次．第一次折叠使得点A落在点C处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点B落在点C处；再将纸片展平之后，再做第三次折叠，使得点A落在点B处．这三次折叠的折痕长度依次记为a，b，c，请你比较a，b，c，的大小，并用不等号连接　b＞c＞a　．【答案】b＞c＞a．【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE＝EC＝AC＝×4＝2，DE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴a＝DE＝BC＝×3＝；第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN＝NC＝BC＝×3＝，MN⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∴b＝MN＝AC＝×4＝2；第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB＝＝5，由折叠得：AG＝BG＝AB＝，GH⊥AB，∴∠AGH＝90°，∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠ACB，∴△ACB∽△AGH，∴＝，∴＝，∴GH＝，即c＝，∵2＞＞，∴b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a．一十四．相似三角形的判定（共1小题）17．（2022秋•通州区期末）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线在同一平面内），图中相似而不全等的三角形有　3　对．【答案】3．【解答】解：∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，∴∠B＝∠FAG＝45°，∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，∴△ADE∽△BAE；同理，可得△CDA∽△ADE．∴△BAE∽△CDA．∴图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．故答案为：3．一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）18．（2020秋•通州区期末）如图，在△ABC中，D，E分别AB，AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：1，则△ADE与△ABC的面积之比等于　4：9　．【答案】4：9．【解答】解：∵AD：DB＝2：1，∴AD：AB＝2：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积是：（）2＝．故答案为：4：9．一十六．相似三角形的应用（共2小题）19．（2021秋•通州区期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B 的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝　12　m．【答案】12．【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴DE＝12，故答案为：12．20．（2022秋•通州区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝　5.5　m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴＝∴BC＝4米，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5米，故答案为：5.5．一十七．特殊角的三角函数值（共1小题）21．（2020秋•通州区期末）cos60°+tan45°＝　1.5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+1＝1.5．一十八．解直角三角形（共1小题）22．（2021秋•通州区期末）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为　6　．【答案】6．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，∴AC＝＝＝6，故答案为：6．一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）23．（2020秋•通州区期末）如图，输电塔高41.7m．在远离高压输电塔100m的D处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高AD＝1.7m，则tanθ＝ ．【答案】．【解答】解：过A作AC⊥BE于C，则CE＝AD＝1.7m，AC＝DE＝100m，∵BE＝41.7m，AD＝1.7m，∴BC＝BE﹣CE＝40m，∴tanθ＝＝＝；故答案为：．24．（2021秋•通州区期末）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A处观测，当量角器的0刻度线AB对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是40°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是　50°　．【答案】50°．【解答】解：根据题意可知：如图，过点O作OC⊥OD，∴∠COD＝90，∵∠AOD＝40°，∴∠BOC＝50°，答：此时观测旗杆顶端的仰角度数是50°．。

2020年初三上学期期末、新定义1西城．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；2东城． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33,>m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的3朝阳．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ；②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图14石景山．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中DE 是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．5丰台．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线22y x =-.① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．EDCBA6顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3=(x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．7大兴区. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ;(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.，点M（m,4）.若在⨀O上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为（3）若⨀O的半径为3√22等腰三角形，求m的取值范围.8平谷区．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．9昌平区．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P 为线段AB的正可视点．（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．图1 备用图10通州11门头沟．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”．（1）当⊙O 的半径为2时，①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）⊙G 的圆心G 在轴上，半径为1，直线与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．备用图y x b =+x 5y x =-+12房山区如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQAB ，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28- （1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.13密云区．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图14海淀.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 31.西城．解：（1）①2． ② BC 关于△ABC 的内半圆，如图1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．（2）过点E 作EF ⊥OE，与直线y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2． ∴ 当34≤R ≤1时，t 的取值范围是32≤t ≤3．2东城.解：（1）①23，P P .…………………………2分②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ； 当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为 521≤<b ； ②当点B 在y 轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b 的取值范围为 152-<≤-b .综上，b 的取值范围为521≤<b 或152-<≤-b .………………………5分（3）42≤<-t .………………………7分3朝阳．解：（1）①（0，1）；3.②如图，过C 作CM ⊥y 轴于点M ，连接CP ，CQ .∵A （0，2），B （2，0）， ∴C （1，1）. ∴M （0，1）. 在Rt △ACM 中，由勾股定理可得CA =2. ∴CQ =2. ∵P （0，3），M （0，1）， ∴PM=2.在Rt △PCM 中，由勾股定理可得PC =5.在Rt △PCQ 中，由勾股定理可得PQ =22-PC CQ =3.（2）①6.②21222-＜≤-k 或21222k ≤＜+.4石景山．解：（1）2C ，3C ； ………………………… 2分21yxAOB21yxA O B（2）①∵点在直线2y x =-上， 设点的坐标为．当时，过点作轴于点，如图．∴CDB △∽ADC △． ∴．∴．解得，． ∴(4,2)C 或13(,)22C'-．又∵直线2y x =-与y 轴交于点(0,2)-，结合图形，可得点的纵坐标的取值范围是或2C y >． ………………………… 5分 ②． ………………………… 7分 5丰台.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.又∵点D 是22y x =-的上位点，∴点D 在y x =与22y x =-的交点R ，S 之间运动.∵22,.y x y x ⎧=-⎨=⎩ ∴111,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩ …………3分∴点R (1-，1-)，S (2，2).∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分（2）32Hx ->或3+2H x -＜. ………………………………………………7分(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)C C (,2)m m -90BCA ∠=°C CD x ⊥D 2CD BD AD =⋅2(2)(5)m m m -=⋅-14m =212m =C 322C y -<<-55r <≤xy'B DC C A –1123456–1–2–3123图20)图40)图30)0)6顺义．解：（1）① 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分② a 的值为-2 ； ………………………………… 2分 ③直线l 3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分 （2）如图2，设⨀O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2，0）， 与射线x y 3=(x ≥0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1）．4M 关于x 轴的对称点为2M ．当点M 在1M 的位置时，b =-1， 当点M 在2M 的位置时，b =1， 当点M 在3M 的位置时，b =1，当点M 在劣弧12M M 上时（如图3），-1≤b ≤1，当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5），综上，b 的取值范围是-1≤b 5分（3）∵x 轴和直线x y 3=关于直线x y 33=对称， 直线x y 3=和直线y =关于x 轴对称，∠⨀E 只要与直线x y 3=和y =∴t 的取值范围是：-4≤t ≤4. ……………………………………… 7分7大兴.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D （2，1），点E （e ，4）， 点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴33221=⨯-=∆e S DEF 22=-e∴4=e 或0=e ，.……………………………4分（3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为 b x y +=或b x y +-=①当直线MN 为b x y +=时，由于点M 的坐标为（m ，4）,可得m =4－b由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值. 此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点. ∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，O 1N ∴OT 1=22223)223(⎪⎭⎫⎝⎛+=3∴b 的最小值为-3，∴m 的最大值为m =4－b =7………………………………………………5分当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值. 此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点. ∵△2ON 2T 为等腰直角三角形，2ON ∴2OT =22223)223(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是71≤≤m ，…………………………………………6分 ②当直线MN 为b x y +-=时. 同理可得，4-=b m ， 当3=b 时，1-=m 当3-=b 时，-7=m∴m 的取值范围是-17-≤≤m .………………………………………7分 综上所述，m 的取值范围是71≤≤m 或17--≤≤m .8平谷解：（1）A ,B 5 ·············································································· 3 （2）1922t -≤≤； ············································································· 5 （3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；或在以点O 为圆心，3 (7)9昌平．（1）∠线段AB 的可视点是2P ，3P ． ……………………………………………………………… 1分 ∠点P 的坐标：P （0，3）（答案不唯一，纵坐标p y 6≤p y ≤6）． ………………2分（2）如图，直线与⊙1O 相切时，BD 是⊙1O 直径∴BD =25. ∵BE =23， ∴DE =22. ∴EF =︒45cos DE=4.∴F （0，7） 同理可得，直线与⊙3O 相切时，G (0，-8)∠b 的取值范围是：－8≤b ≤7． …………………5分（3）m 的取值范围：22225-≤≤--m 或32253+≤≤m ………………………………………7分 10通州11门头沟．（本小题满分7分）解：（1）① 1，3；…………………………………………………………………………2分② ∵由题意可知直线与⊙O 互为“可及图形”，⊙O 的半径为2， ∴3OE OF ==．……………………………………………………………3分 ∴32OM ON ==∴ 3232b -≤≤．………………………………………………………5分y x b =+xy–7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345FENMO（2）22m -≤≤，522522m -≤≤+…………………………………………7分说明：12房山.（1）① C ， E ； …………2分②由题意直线1+=x y 上满足线段AB 的“限距点”的范围 如图28-1所示.点P 在线段MN 上（包括端点）…………3分易求 2-1-=M x …………4分1=N x …………5分∴点P 横坐标P x 的取值范围为： 图28-11≤≤2-1-P x （2）如图28-2，-8=txy –7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345C D OG G G G…………6分图28-2如图28-3，2-3=t…………7分图28-3综上所述：2-3≤t ≤8-13密云.(1) A ,C ………………………………2分（2）∵点E （4，3）是⊙O 的“随心点”∴OE =5，即d =5若， ∴r =10 ………………………………3分若 ，………………………………4分∴ ………………………………5分125r =352r =103r =10310r ≤≤(3) ………………7分14海淀．（1）解：P 1，3；（2）解：直线ON 与点M 的21倍相关圆的位置关系是相切.证明：设点M 的坐标为（x ，0），过M 点作MP ⊥ON 于点P ，∴ 点M 的21倍相关圆半径为21x .∴ OM =x .∵∠MON ＝30°，MP ⊥ON ,∴ MP ＝2OM =21x .∴ 点M 的21倍相关圆半径为MP .∴直线ON 与点M 的21倍相关圆相切.（3）① 点C 的3倍相关圆的半径是3;② h11b b -≤≤-≤≤或。

1西城．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将点E 绕点D 若点F 恰好落在边BC 的延长线上，连接DE ，DF ，EF ． （1）判断△DEF 的形状，并说明理由；（2）若EF =42，则△DEF 的面积为 ．2海淀. 如图，90ABC ∠=︒，2,8AB BC ==，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD上一点，且满足90AEF ∠=︒. （1）若3BE =，求CF 的长；（2）当BE 的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值.3朝阳. 如图，△ABC 为等边三角形，将BC 边绕点B 顺时针旋转30°，得到线段BD ，连接AD ，CD ，求∠ADC 的度数.4门头沟．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，点O 是斜边AB 上一定点，到点O 的距离等于OB 的所有点组成图形W ，图形W 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，∠AED =∠B ．（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明． （2）若4BC =，1tan 2B =，求OB ．ED FCBA OA5房山.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架23米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？6顺义．如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC=2，D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合)，在AC 边上取一点E ，使∠ADE =45°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ； （2）设BD=x ，AE=y ．①求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ②求y 的最小值．7密云已知：在△ABC 中，AB=AC ，AD BC 于点D ，分别过点A 和点C 作BC 、AD 边的平行线交于点E ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）连结BE ，若 ，AD = ，求BE 的长．ABCDE⊥1cos 2ABD ∠=238平谷0.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边AB 、BC 于点D 、E ，连结AE ．（1）如果∠B =25°，求∠CAE 的度数； （2）如果CE =2，2sin 3CAE ∠=，求tan B 的值．9东城． 如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）不全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与 图形G 有且只有一个交点？请说明理由．10丰台．如图，点O 为∠ABC 的边BC 上的一点，过点O 作OM ∠AB 于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点 (点E 在点F 的左侧).（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，sin 23ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得∠CBD90MOB +∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．AB。

2020北京各区初三（上）期末数学分类汇编------选填压轴题1.（东城）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：○1 AC =AD ○2 AB ⊥EB ○3BC =EC ○4∠A =∠EBC 其中一定正确的是A ．○1○2 B ．○2○3 C ．○3○4 D ．○2○3○4 16． 如图，在⊙O 中，半径OC=6，D 是半径OC 上一点，且 OD=4．A ，B 是⊙O 上的两个动点，∠ADB=90°，F 是AB 的中点，则OF 的长的最大值等于 ．（石景山）8．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是 A ．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加B ．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份C ．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次D ．2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于 上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳16．如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交 点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)ky k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．FBA CDO2019年2018年2017年由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上， 则m 的值为 ， n 的最大值为 ．（丰台）8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1 图2有如下四个结论：① 勒洛三角形是中心对称图形② 图1中，点A 到弧BC 上任意一点的距离都相等 ③ 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④ 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④16．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O 顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点 处(填A ，B ，C 或D )，此点距地面的高度 为 m ．CBAxy ...O...C BA 5（西城）8．如图， AB =5，O 是AB 的中点， P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM ⊥AB 于点M ．设AP =x ，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）16．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP =x ，若以点D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是 ．（大兴）8．矩形ABCD 中，AB ＝10，24=BC ，点P 在边AB 上，且BP:AP=4:1，如果⊙P 是以点P 为圆心，PD 长为半径的圆，那么下列结论正确的是（ ）A.点B 、C 均在⊙P 外B. 点B 在⊙P 外，点C 在⊙P 内C. 点B 在⊙P 内，点C 在⊙P 外D. 点B 、C 均在⊙P 内16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形的直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数1(0)y x x =-＜，4(0)y x x=＞的图象上，则tan ∠ABO 的值为 .（昌平）8．如图，抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论： ①点C 的坐标为（0，m ）；②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形； ③若a ＝－1，则b ＝4；④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜1＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．其中结论正确的序号是（A ）①② （B ）①②③ （C ）①②④ （D ）②③④16．如图，抛物线222++=x x y 和抛物线222--=x x y 的顶点分别为点M 和点N ，线段MN 经过平移得到线段PQ ，若点Q 的横坐标是3，则点P 的坐标是__________，MN 平移到PQ 扫过的阴影部分的面积是__________．（房山）8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ，⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A BC D16.已知二次函数1-2+)+(-=2a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是.（顺义）8．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=； ③9a -3b +c=0；④若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 （A ）①③ （B ）②④（C ）②③ （D ）③④16．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是 步？”0m n >>（朝阳）8．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是 （A ）2 （B ）322（C ）52（D ）3 16．如图，分别过第二象限内的点P 作x ，y 轴的平行线，与y ，x 轴分别交于点A ，B ，与双曲线6y x=分别交于点C ，D . 下面三个结论，①存在无数个点P 使AOC BOD S S =△△； ②存在无数个点P 使POA POB S S =△△； ③存在无数个点P 使ACD OAPB S S =△四边形. 所有正确结论的序号是 .（平谷）8．二次函数y =kx 2+2x +1的部分图象如图所示，则k 的取值范围是 （A ）k ≤1 （B ）k ≥1 （C ）k <1 （D ）0<k < 116．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”．若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，则这个等腰三角形底角的余弦值等于 ．（门头沟）8．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用．．．的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：下面有四个推断：①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A 支付的概率为0.3；②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率为0.45； ③估计全校仅使用B 支付的学生人数为200人；④这100名学生中，上个月仅使用A 和仅使用B 支付的学生支付金额的中位数为800元．其中合理推断的序号是A．①② B．①③ C．①④ D．②③16．张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付元；②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为．6．（密云）如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3=30，则S2的值为（）．A．6 B．8C．10 D．1216．已知：∠BAC．（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：①△ADE是⊙O的内接三角形；②AD=DP=PE；③DE=2PE；④AP平分∠BAC．所有正确结论的序号是．（燕山）8．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：x(分) …13.5 14.7 16.0 …y(米) …156.25 159.85 158.33 …根据上述函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是A．32分B．30分C．15分 D．13分16．为了解早高峰期间A ，B 两邻近地铁站乘客的乘车等待时间(指乘客从进站到乘上车的时间)，某部门在同一上班高峰时段对A 、B 两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间(单位：分钟)的数据，统计如下：乘车等待时间 地铁站 5≤t ≤10 10＜t≤15 15＜t≤20 20＜t≤25 25＜t≤30 合计A 50 50 152 148 100 500 B452151674330500据此估计，早高峰期间，在A 地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为 ；夏老师家正好位于A ，B 两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从 地铁站上车．(填“A”或“B”)（海淀）8. 在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.等 待时 的频数间xyy =x AOBCD。