[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc

2024年考研高等数学一多元函数微分学历年真题在2024年考研高等数学一的多元函数微分学部分，历年真题一直是备考的重要资料。

通过复习历年真题，不仅可以熟悉考试题型，还能够理解题目的解题思路和考点要点。

本文将为大家呈现2024年考研高等数学一多元函数微分学的历年真题，供大家参考复习备考。

第一节：选择题1. 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，且对任意 $t$ ，有$f(tx_0,ty_0)=tf(x_0,y_0)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}$ 的关系是（）。

A. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$B. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$C. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$D. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$2. 设函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数， $df(x,y)$ 是其全微分，下列说法错误的是（）。

A. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy$B. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x,y)}dx+\frac{\partialf}{\partial y}|_{(x,y)}dy$C. $df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$D. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy$第二节：简答题1. 证明函数 $z=2x^2+3xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分为$dz=8dx+7dy$ 。

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2002年试题，二)考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．②→③→①B．③→②→①C．③→④→①D．③→①→④正确答案：A解析：由题设，分析4条性质可知，①与④没有直接联系，从而可排除C，D，关于A和B，重点在于分析性质②和③，显然性质②更强，即f的两个偏导数连续则f可微，因此②→⑧，B也被排除，从而只有A正确，选A．知识模块：多元函数微分学2．(1997年试题，二)二元函数在点(0，0)处( )．A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样，因此需要按定义一一加以判断．由已知，[*]所以f(x，y)在点(0，0)处不连续；又[*]因此f(x，y)在(0，0)点的两个偏导数都存在．综上选C．讨论分段、分块定义的函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性一般按定义处理．知识模块：多元函数微分学3．(2012年试题，一)如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微B．若极限存在，则，(x，y)在(0，0)处可微C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在正确答案：B解析：f(x，y)在(0，0)处连续，如果存在，则f(0，0)=0．且由存在，知存在，则即fx(0，0)=0，同理可得fy(0，0)=0，再根据可微定义；0．可知f(x，y)在(0，0)处可微．选B．知识模块：多元函数微分学4．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题意可得因为所以选B．题中含有二元变限积分，求偏导时，可将一个变量视为常数，按一元函数积分学中求变限积分的导数方法求解即可．知识模块：多元函数微分学5．(2010年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则等于( )．A．xB．zC．一xD．-z正确答案：B解析：根据题意可得故而有即正确答案为B．解析二在方程两边求全微分得从而即正确答案为B．解析三方程两边分别对X，Y求偏导数，则有解得从而即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学6．(2005年试题，二)设有三元方程xy—xlny+exy=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)正确答案：D解析：根据题意，记方程为F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=xy—zlny+exx 一1F对x，y，z均有连续偏导数，而且可知r(0，1，1)=0由于F(X，y，z)满足偏导数的连续性，根据隐函数存在定理可知，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域该方程可确定有连续偏导数的隐函数：x=x(y，z)和y=y(x，z)所以选D．求解此题应理解隐函数存在性定理的条件和结论，该知识点是2005年大纲新增加的考点．知识模块：多元函数微分学7．(2008年试题，一)函数一在点(0，1)处的梯度等于( )．A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：梯度的计算公式中涉及到函数的偏导数，故先求二元函数f(x，y)的偏导数：则fx(0，1)=lfy(0，1)=0．梯度gradf(0，1)=1×i+0×j=i，故应选A．知识模块：多元函数微分学8．(2001年试题，二)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3,fy’(0，0)=1，则( )．A．出dz｜(0,0)=3dx+dyB．曲面z=f(x，y)在点(0，0,f(0，0))的法向量为{3，1，1}C．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{1，0，3}D．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，0，1}正确答案：C解析：多元函数可偏导不一定可微，这一点与一元函数有本质区别，因此从题设给定(0，0)点有偏导数的条件无法推出在(0，0)点函数可微，因而A不一定成立；关于B，假设z=f(x，y)在(0，0,f(0，0))点法向量存在，由定义知该法向量也应为{3，1，一1}，何况题设仅给出(0，0)点处fx’，fy’的值，因此B也可排除；选项C，D是互斥的，可算出曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，1，一1}×{0，1，0}={1，0，3}，从而选C．本题考查了多个知识点：可微性与可偏导的关系，曲面的法向量及其求法，空间曲线的切向量及其求法．注意A选项是考生易犯的错误，简单地认为将偏导数代入全微分计算公式即得出全微分，而忽视了全微分是否存在的前提．知识模块：多元函数微分学9．(2011年试题，一)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．A．f(0)>1，f’’(0)>0B．f(0)>1，f’’(0)0D．f(0)若z=f(x)lnf(y)在(0，0)处取极值，则A=f’’(0)lnf(0)，B=0，c=f’’(0)由AC=[f’’(0)]2lnf(0)>0且A>0得f(0)>1且．f’’(0)>0，故选A．知识模块：多元函数微分学10．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则f’(x’，y’)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：考查化条件极值问题为一元函数极值问题．根据拉格朗日乘子法，令F(x，y，λ)=，(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)→λ=0或φx’(x0，y0)=0当A=0时，由(2)得fx’(x0，y0)=0；但当A≠0时，由(2)及φy’(x0，x0)≠0,fy’(x0，y0)≠0所以A，B错误．若fx’(x0，y0)≠0，由(1)→λ≠0，再由(2)及φy’(x0，x0)≠0→fy’(x0，y0)≠0故选D．知识模块：多元函数微分学11．(2003年试题，二)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )．A．点(0，0)不是f9x,y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：A解析：根据题意，可将原式改用极坐标表示，即因此且f(pcosθ,psinθ)=ρ2cosθ.sinθ+ρ4+o(ρ4)当p充分小时，f(pcosθ，psinθ)的符号由p2cosθ.sin θ决定，但sinθ.cosθ符号不定，因此f(x，y)在(0，0)点不取极值，选A．知识模块：多元函数微分学填空题12．(2011年试题，二)设函数=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学13．(2009年试题，二)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则____________.正确答案：则解析二因f(u，v)有二阶连续偏导数，故而涉及知识点：多元函数微分学14．(2007年试题，二)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yz)．则=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．(1998年试题，一)设具有二阶连续导数，则=______________.正确答案：由题设，有解析：本题亦可先求再求．因为题设复合函数的混合偏导数与求导次序无关．但求导时应注意f(xy)和φ(x+y)均为一阶复合函数，对x求导时，y被视为常数；对y求导时，x视为常数，切不可与多元复合函数的求导法则混淆．知识模块：多元函数微分学16．(2005年试题，一)设函数单位向量则=____________.正确答案：由题意可知根据方向导数计算公式可得涉及知识点：多元函数微分学17．(2003年试题，一)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z=0平行的切平面的方程是________________。

[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )（A）2π（B）π（C）（D）2 (2016年)若是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )（A）3x(1+x2)（B）一3x(1+x2)（C）（D）3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )（A）y"′+y"一4y′一4y=0（B）y"′+y"+4y′+4y=0（C）y"′一y"一4y′+4y=0（D）y"′一y"+4y′一4y=04 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )（A）a=一3，b=2，c=一1（B）a=3，b=2，c=一1（C）a=一3，b=2，c=1（D）a=3，b=2，c=1二、填空题5 (2006年)微分方程的通解是__________。

6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。

7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。

8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。

9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。

10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。

11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。

[考研类试卷]考研数学一（级数）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2000年)设级数收敛，则必收敛的级数为( )2 (2002年)设u n≠0(n=1，2，…)，且则级数为( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性不能判定3 (2004年)设为正项级数，下列结论中正确的是( )4 (2006年)若级数收敛，则级数( )5 (2009年)设有两个数列{a n}，{b n}，若则( )6 (2011年)设数列{a n}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )（A）(一1，1]（B）[一1，1)（C）[0，2)（D）(0，2-]7 (2015年)若级数条件收敛，则与x=3依次为幂级数的( )（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点8 (1999年)设一∞＜x＜+∞，其中，(n=0，1，2，…)，则等于( )9二、填空题10 (2008年)已知幂级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数的收敛域为_________。

11 (2017年)幂级数在区间(一1，1)内的和函数s(x)=___________。

12 (2003年)设则a2=____________。

13 (2008年)f(x)=1一x2(0≤x≤π)展开成(以2π为周期的)余弦级数，并求级数的和。

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14 (1998年)设正项数列{a n}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由。

15 (1999年)设 (I)求的值； (Ⅱ)试证：对任意的常数λ＞0，级数收敛。

16 (2004年)设有方程x n+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x n，并证明当α＞1时，级数收敛。

17 (2014年)设数列{a n}，{b n}满足cosa n一a n=cosb n且级数收敛。

(I)证明 (Ⅱ)证明级数收敛。

历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t=+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设L为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A和B满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分） 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y- 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++-- (4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+= 123422x x x λ++=+1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件AB的概率()P AB =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随的概率密度函数.机变量23Z X Y=-+1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xx F x f t dt -=⎰则()F x '等于 (A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x --- (D)e (e )()x x f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x (D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分） 设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分） 质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)eln 2x(B)2eln 2x(C)e ln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20lim .x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,) f x y=(2)2e 0,0 0x y x y-+>>其它求随机变量2Z X Y=+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x=由方程e cos()0x y xy++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z=++在点(1,2,2)M-处的梯度gradMu=_____________.(3)设()f x=211x-+xxππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点xπ处收敛于_____________.(4)微分方程tan cosy y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A其中0,0,(1,2,,).i ia b i n≠≠=则矩阵A的秩()r A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x→时,函数1211e1xxx---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos)(nn a n∞=--∑常数0)a>(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,,x t y t z t==-=的所有切线中,与平面24x y z++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x=+则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX0的解,只要系数矩阵A为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x= 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分） 设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzizxj xyk=++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β (1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π (B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x L f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分） 已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x x π→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2ux y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx 在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.z ϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分） 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式1122334400000000a b a b a b b a 的值等于 (A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay=-=+可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.。

考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )．A．当收敛时，anbn收敛B．当发散时,anbn发散C．当收敛时,an2bn2收敛D．当发散时,an2bn2发散正确答案：C解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C．解析二考察选项C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )．A．收敛B．收敛C．收敛D．收敛正确答案：D解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选D．知识模块：无穷级数3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )．A．若，则级数收敛B．若存在非零常数λ，使得则级数发散C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选B．知识模块：无穷级数4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ).A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性根据所给条件不能判定正确答案：C解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选C．知识模块：无穷级数5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )．A．(一1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选C．知识模块：无穷级数7．(1999年试题，二)设其中则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设，所给S(x)为余弦级数，周期为2，将f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选C。

考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)=( )A．只有极大值，没有极小值B．只有极小值，没有极大值C．在x=-1处取极大值，x=0处取极小值D．在x=-1处取极小值，x=0处取极大值正确答案：C解析：．令f’(x)=0，得x=-1，且当x=0时，f’(x)不存在，f(x)在x=-1左侧导数为正，右侧导数为负，因此在x=-1处取极大值；在x=0左侧导数为负，右侧导数为正，因此在x=0处取极小值．知识模块：一元函数微分学2．若f(x)在x0点至少二阶可导，且，则函数f(x)在x=x0处( )A．取得极大值B．取得极小值C．无极值D．不一定有极值正确答案：A解析：由于，当0＜｜x-x0｜＜δ时，，由于(x-x0)2＞0，于是f(x)-f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)．x0为极大值点．故选(A)．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=，则( )A．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的B．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＞f(x2)C．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的D．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x1)正确答案：A解析：f(x)的定义域是(-∞，3)∪(3，+∞)，f(x)在区间(-∞，3)及(3，+∞)上分别是单调减少的．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)在x=0处连续，且，则( )A．f(0)=0且f’-(0)存在B．f(0)=1且f’-(0)存在C．f(0)=0且f’+(0)存在D．f(0)=1且f’+(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且，所以f(0)=0．从而有知识模块：一元函数微分学5．设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意x1，x1，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则( )A．对任意x，f’(x)＞0B．对任意x，f’(-x)≤0C．函数f(-x)单调增加D．函数-f(-x)单调增加正确答案：D解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)选项正确．知识模块：一元函数微分学6．设a为常数，f(x)=aex-1-x-，则厂(z)在区间(-∞，+∞)内的零点个数情况为( )A．当a＞0时f(x)无零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点B．当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)无零点C．当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点D．当a＞0时f(x)恰有一个零点，当a≤0时f(x)无零点正确答案：D解析：本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题．令g(x)=f(x)e-x=，由于e-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．当a≤0，f(x)e-x=a-．f(x)无零点．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)在区间[a，+∞)内连续，且当x＞a时，f’(x)＞l＞0，其中l 为常数．若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0的实根个数为( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：对于f(x)在上使用拉格朗日中值定理，得由于f’(x)＞0(x＞a)，所以f(x)在是单调递增函数，故零点ξ只有一个，答案选择(B)．知识模块：一元函数微分学填空题8．设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____正确答案：1，-3，-24，16解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16．知识模块：一元函数微分学9．若函数f(x)=处取得极值，则a=______正确答案：2解析：f’(x)=acosx+cos3x，因x=，a=2．这时f’’(x)=-2sinx-3sin3x，为极大值点．知识模块：一元函数微分学10．曲线的曲率及曲率的最大值分别为_______正确答案：解析：曲率，故k≤1，当x=0时，kmax=k(0)=1．知识模块：一元函数微分学11．曲线的全部渐近线为________正确答案：x=0，x=和y=1解析：因为=+∞，x=0为铅直渐近线．，y=1为水平渐近线．知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型一导数的定义
（2015 年数二3 题／4 分）
（2018年数一1题数二2题数三1题 /4分）
（2020年数一 2题/4分）
题型二切线、法线（几何及物理应用）
（2018年数二10题数三 9题 /4分）
题型三导数的计算（复合，参数，反函数，隐函数，高阶导数的计算）
（2012 年数三10 题／4 分）
(2017年数一9题/4分)
(2017年数二 10题/4分)
（2019年数二 10 题/4分）
（2020年数一 10题数二9题/4分）
（2020年数一 4题/4分）
也可解为
题型四单调性、极值和最值
(2017年数一 2题/4分)
(2017年数二 2题/4分)
(2017年数三 3题/4分)
(2017年数一 17题/10分)
(2017年数二 18题/10分)
（2019年数一 2题 4/分）
(2019年数二 15题数三 15题/10分)
题型五凹凸性与拐点
（2011 年数二16 题／11 分）
（2019年数二 2题数三10 题 4/分）
题型六函数的渐近线
（2020年数二 15题/10分）
题型七不等式的证明
（2020年数一 19题数三19题/10分）
题型八方程根的问题
(2017年数一 18题/11分)
(2017年数二 19题/11分)
(2019年数三 2题/4分)
题型九微分中值定理
（2019年数二 21题/11分）
（2020年数二 20题/11分）
题型十曲率与弧长（数学一、数学二）
（2018 数二 12题 4分）
（2019年数二 12 题/4分）可不选取该题
题型十一利用导数研究函数性态。

考研数学一分类真题一元函数积分学(总分：65.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：14，分数：26.00)1.由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)-x及y=0所围成的平面图形的面积是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：这种求面积问题一般先画草图(见下图)，然后确定积分表达式．[*] 解1 令lnx=0，得x=1；令e+1-x=0，得x=e+1；令lnx=e+1-x，得x=e．则所求面积为 [*] 解2 对y积分，则所求面积为 [*] 本题主要考查利用定积分求面积，显然解2较解1方便．2.设f(x)f(7)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解等式[*]f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3-1)=1．令x=2，得12f(7)=1，f(7)=[*]本题主要考查变上限积分求导．3.设f(x)是连续函数，且f(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x-1．）解析：解1 令[*]，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入[*]，得[*]，即[*]+2a=a，由此可得a=[*] 则f(x)=x-1 解2 等式f(x)=x+[*]两端从0到1对x积分得 [*] 即 [*]，由此可知从而可知 f(x)=x-1．本题主要考查定积分的计算．本题的关键是要注意[*]是个常数，只要定出这个常数，f(x)便可求得．4.＞0)的单调减少区间为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解F'(x)=[*](x＞0) 令[*]，解得[*]．则F(x)单调减少区间为[*] 本题主要考查变上限求导和函数单调性的判定．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解由于[*] 所以 [*] 本题主要考查变上限积分求导．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：sinx2．）解析：解令x-t=u，则 [*] 本题主要考查定积分变量代换和变上限积分求导．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 [*]△解2 由定积分的几何意义知，积分[*]应等于圆x2+y2=2x围成面积的[*]，此圆半径为1，其面积为[*]，故[*]．本题主要考查定积分换元法(解1)，但显然解2最好．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解 [*] 本题主要考查广义积分计算．9.已知f'(e x)-xe-x，且f(1)=0，则f(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解令e x=t，则x=Int，代入f'(e x)=xe-x得[*]由f(1)=0知，C=0，故f(x)=[*]本题主要考查对f'(e x)的理解和不定积分．解决此类问题的方法是先作变量代换求出f'(t)，然后积分便可求得f(t)．．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 [*] 解2 令[*]，则 [*] 本题主要考查计算定积分的分部积分法．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4π）解析：解令[*]，则x=t2，dx=2tdt原式=[*]=-4π本题主要考查定积分的计算方法．重点是两种方法，即换元积分法和分部积分法．12.s=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解[*] 则 [*] 本题主要考查平面曲线弧长计算和变上限积分求导．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解1 由于[*]令x-1=sint, 则dt=costdt[*]解2 由于[*]令x-1=t, 则dx=dt[*]本题是一道定积分计算的基本题，用到定积分计算中很多常用方法和结论、换元法(x-1=sint, x-1=t), 其中结论[*][*]定积分几何意义：[*](单位圆x2+y2≤1面积的[*])．．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(ln2)．）解析：[*] 本题主要考查反常积分的计算.二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：19.00)15.设f(x)s＞0，t＞0，则I的值 ______∙ A.依赖于s和t．∙ B.依赖于s．t，x．∙ C.依赖于t和x，不依赖于s．∙ D.依赖于s，不依赖于t．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：解 [*] 由此可见，I的值只与S有关，所以应选D．本题主要考查定积分的概念和变量代换．16.设f(x)是连续函数，且F'(x)等于 ______∙ A.-e-x f(e-x)-f(x)∙ B.-e-x f(e-x)+f(x)∙ C.e-x f(e-x)-f(x)∙ D.e-x f(e-x)+f(x)（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：解由[*]可知F'(x)=-e-x f(e-x)-f(x)故应选A．本题主要考查变上限积分求导．17.x→0时，f(x)是g(x)的 ______∙ A.等价无穷小．∙ B.同阶但非等价的无穷小．∙ C.高阶无穷小．∙ D.低阶无穷小．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：解因为[*] 所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导．18.双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的图形关于y轴和x轴都对称．因此，所求面积应为第一象限的4倍．而在计算双纽线围成的面积时应用极坐标方程r2=cos2θ，并且应特别注意在第一象限θ的取值范围应是0≤θ≤[*]，而不是0≤θ≤[*]．解设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则[*]所求面积为 [*]所以应选A．本题主要考查平面图形的面积计算．19. ______∙ A.N＜P＜M.∙ B.M＜P＜N.∙ C.N＜M＜P．∙ D.P＜M＜N．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：注意本题中所给三个定积分的积分区间都是关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解由被积函数的奇偶性可知 M=0 N=[*] P=[*] 因此P＜M＜N，故应选D．本题主要考查关于原点对称区间上奇偶函数积分的性质．20.设f(x)有连续导数，f(0)=0，f'(0)≠0，x→0时，F'(x)与x k是同阶无穷小，则k 等于 ______∙ A.1．∙ B.2．∙ C.3．∙ D.4．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：解1 F(x)=[*]F'(x)=[*][*]由于[*]=f'(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选C．解2 由原题知当x→0时，F'(x)与x k为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F'(x)是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F'(x)是x的几阶无穷小，如果能决定F(x)是x的几阶无穷小，降一阶就应是F'(x)的阶数．下面来决定F(x)是x的几阶无穷小．由于f(t)=f(0)+f'(0)t+o(t)=f(0)t+o(t)由于上式中第二项o(t)是高阶无穷小，略去它不影响F(x)的阶数，则x→0时，[*]与F(x)的阶数相同，而[*]显然它是x的四阶无穷小。

考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．f(x)=则f(x)在x=0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：由F′+(0)，F′—(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但F′+(0)≠F′—(0)，所以f(x)在x=0处不可导，故选C。

知识模块：一元函数微分学2．设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：故f(3)(0)不存在。

因此n=2，故选C。

知识模块：一元函数微分学3．设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是( )A．f(a)=0，且f′(a)=0B．f(a)=0，且f′(a)≠0C．f(a)＞0，且f′(a)＞0D．f(a)＜0，且f′(a)＜0正确答案：B解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。

(当f(x)在x=a 可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导。

)当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即F′(a)≠0时，故选B。

知识模块：一元函数微分学4．设函数f(u)可导，y=f(x2)。

当自变量x在x= —1处取得增量△x= —0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f′(1)等于( ) A．—1B．0．1C．1D．0．5正确答案：D解析：由微分的定义可知，函数f(x)在x0点处的增量△y的线性主部即为函数f(x)在该点处的微分dy｜x=x0=F′(x0)△x，所以有0．1=y′(—1)△x= —0．1y′(—1)，即y′(—1)= —1。

[考研类试卷]考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2004年)设f(x)为连续函数，则F′(2)等于( )（A）2f(2)（B）f(2)（C）一f(2)（D）02 (2006年)设f(x，y)为连续函数，则等于( )3 (2014年)设f(x，y)是连续函数，则4 (2015年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则二、填空题5 (2001年)交换二次积分的积分次序：6 (2009年)设Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，则7 (2015年)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则8 (1998年)设L为椭圆其周长记为a，9 (2009年)已知曲线L：y=x2(0≤x≤)，则10 (2004年)设L为正向圆周x2+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分的值为____________。

11 (2010年)已知曲线L的方程为y=1一|x|(x∈[一1，1])，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分12 (2017年)若曲线积分在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=___________。

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13 (2002年)计算二重积分其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。

14 (2011年)已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分15 (2005年)设D={(x，y)|x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。

计算二重积分16 (2016年)已知平面区域D={(r，θ)|2≤r≤2(1+cosθ}，计算二重积分17 (2006年)设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分I=18 (2015年)已知曲线L的方程为起点为终点为计算曲线积分19 (1999年)求其中a，b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线到点O(0，0)的弧。

考研数学一（一元函数微分学）-试卷2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f"(x)＜0(x∈(0，1))，则( )（分数：2.00）A.当0＜x＜1时∫ 0x f(t)dt＞∫ 0x xf(t)dt √B.当0＜x＜时∫ 0x f(t)dt=∫ 0x xf(t)dtC.当0＜x＜1时∫ 0x f(t)dt＜∫ 0x xf(t)dt．D.以上结论均不正确．解析：解析：记F(x)=∫ 0x f(t)dt一∫ 01 xf(t)dt，F(x)在[0，1]连续，则F"(x)=f(x)一∫ 01 f()dt，且F"(x)=f"(x)＜0(x∈(0，1))，因此F"(x)在[0，1]上单调下降．又F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在ξ∈(0，1)，故 F(x)＞0(x∈(0，1))，故选A．3.设y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( ) ①x 0∈(a，b)，若f"(x 0)≠0，则△x→0时，与△x是同阶无穷小．②df(x)只与x∈(a，b)有关．③△y=f(x+△x)一f(x)，则dy≠△y．④△x→0时，dy一△y是△x的高阶无穷小．（分数：2.00）A.1．B.2．√C.3．D.4．解析：解析：逐一分析．①正确．因为所以△x→0是同阶无穷小．②错误．df(x)=f"(x)△x，df(x)与x∈(a，b)及△x有关．③错误．当y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，则dy=a△x=△y．④正确．由可微概念，f(x+△x)一f(x)=f"(x)△x+o(△x)，(△x—0)，即△y—dy=o(△x)，(△x→0)．故选B．4.设f(x)一1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )（分数：2.00）A.2．B.一1．D.一2．√解析：解析：将题中极限条件两端同乘2f"(1)=一2，故选D．5.，则( )（分数：2.00）A.f(x)在x=x 0处必可导且f"(x 0 )=a．B.f(x)在x=x 0处连续，但未必可导．C.f(x)在x=x 0处有极限但未必连续．D.以上结论都不对．√解析：解析：本题需将f(x)在x=x 0处的左右导f" — (x 0 )，f" + (x 0 )与在x=x 0处的左右极限区分开．=a，但不能保证f(x)在x 0处可导，以及在x=x 0处连续和极限存在．所以f(x)在x=0处不连续，不可导．故选D．6.设y=f(x)是方程y"一2y"+4y=0的一个解，且f(x 0 )＞0，f"(x 0 )=0，则函数f(x)在点x 0处( ) （分数：2.00）A.取得极大值．√B.取得极小值．C.某邻域内单调增加．D.某邻域内单调减少．解析：解析：由f"(x 0)=0，知x=x 0是函数y=f(x)的驻点．将x=x 0代入方程，得y"(x 0)一2y"(x 0)+4y(x 0 )=0．考虑到y"(x 0 )=f"(x 0 )=0，y"(x 0 )=f"(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )＞0，因此有f"(x 0 )=一4f(x 0 )＜0，由极值的第二判定理知，f(x)在点x 0处取得极大值，故选A．δ为大于零的常数，又g" —(x 0)，h" +(x 0)均存在，则g(x 0)=h(x 0)，g" —(x 0)=h" + (x 0 )是f(x)在x 0可导的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件．B.必要非充分条件．C.充分必要条件．√D.非充分非必要条件．解析：解析：充分性：设g(x 0 )=h(x 0 )，g" — (x 0 )=h" + (x 0 )，则f(x)可改写为所以f" — (x 0 )=g"(x 0 )，f" + (x 0 )=h" + (x 0 )，即f" — (x 0 )=f" + (x 0 )．必要性：由可导的充要条件得f(x)在x 0处可导．设f(x)在x 0处可导，则f(x)在x 0处连续，所以=f(x 0 )．又g" — (x 0 )与h" + (x 0 )存在，则g(x)，h(x)在x 0分别左右连续，所以由此有 f" + (x 0 )=h" + (x 0 )，f" —(x 0 )=g" — (x 0 )，所以h" + (x 0 )=g" — (x 0 )，故选C．8.设f(x)可导，且f"(x 0f(x)在x 0点处的微分dy是( )（分数：2.00）A.与△x等价的无穷小．B.与△x同阶的无穷小．√C.比△x低阶的无穷小．D.比△x高阶的无穷小．解析：解析：由f(x)在x 0点处可导及微分的定义可知时，dy与△x是同阶的无穷小，故选B．9.设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且f"(a)=0．B.f(a)=0，且f"(a)≠0．√C.f(a)＞0，且f"(a)＞0．D.f(a)＜0，且f"(a)＜0．解析：解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D．(当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导．) 当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在a=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f"(a)≠0时，故选B．10.设函数f(x)与g(x)在区间(一∞，+∞)上均可导，且f(x)＜g(x)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一x)＞g(一x)．B.f"(x)＜g"(x)．√D.∫ 0x f(t)dt＜∫ 0x g(t)dt解析：解析：取f(x)=1，g(x)=2，显然满足题设条件，而由此例可立即排除选项A、B，且对于选项D，因∫ 0x f(t)dt=∫ 0x 1).dt=x，∫ 0x g(t)dt=∫ 0x 2.dt=2x，当x＜0时，选项D显然不正确，故选C．11.设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当f(a)f(b)＜0，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B.对任何ξ∈(a，b)一f(ξ)]=0 √C.当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．D.存在ξ∈(a，b)，使f(b)一f(a)=f"(ξ)(b一a)．解析：解析：因只知f(x)在闭区间[a，b]上有定义，而A、C、D三项均要求f(x)在[a，b]上连续．故选项A、C、D均不一定正确，故选B．12.设f(x)=｜(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3，则导数f"(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0．B.1．√C.2．D.3．解析：解析：设φ(x)=(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3，则f(x)=｜φ(x)｜．使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可导点，还需考虑φ"(x)在这些点的值．φ"(x)=(x—2) 2 (x—3) 3 +2(x一1)(x一2)(x一3) 3 +3(x—1)(x一2) 2 (x一3) 3，显然，φ"(1)≠0，φ"(2)=0，φ"(3)=0，所以只有一个不可导点x=1．故选B．13.已知函数y=f(x)对一切的x满足xf"(x)+3x[f"(x)] 2 =1一e —x，若f"(x 0 )=0(x 0≠0)，则( ) （分数：2.00）A.f(x)是f(x)的极大值．B.f(x 0 )是f(x)的极小值．√C.(x 0，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点．D.f(x 0 )不是f(x)的极值，(x 0，f(x 0 ))也不是曲线y=f(x)的拐点．解析：解析：由f"(x)=0知，x=x 0是y=f(x)的驻点．将x=x 0代入方程，得x 0 f"(x 0 )+3x 0 [f"(x 0 )]2＞0(分x0＞0与x 0＜0讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在x 0处取得极小值，故选B．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)。

考研数学一-一元函数微分学(总分：146.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：60，分数：60.00)1.下列结论正确的是1.00）A.B.C.D.2. 1.00）A.B.C.D.3. 1.00）A.B.C.D.4.下列命题①若f(x)，g(x)在x=x0同时可导，且f(x0)=g(x0)，则f'(x0)=g'(x0)②若x∈(x0-δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性．若可导，则f'(x0)=g'(x0)④设函数f(x)在[x0，x0+δ]上连续，在(x0，x0+δ内可导(δ＞0)1.00）A.B.C.D.5.下列命题①f(x)在x0的微分是一个雨数②设f(x)在(a，b)可微，则f(x)的微分随x及△x的变化而变化③du与△u一定相等④函数y=f(x)的微分dy=f'(x)△x中的△x一定要绝对值很小中正确的是(A) ①、②． (B) ①、③． (C) ②、④． (D) ③、④．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设u=φ(x)在(a，b)可微，则φ(x)=C1x+C2 (c1，c2 1.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点．(B) 若函数f(x)在(a，+∞)(C) 设函数f(x) 1.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是(A) 若函数f(x)在(-∞，+∞)内处处可微，则其导函数f'(x)必处处连续．(B) 若函数f(x)在点x0可微，则当△x→0时，△y与dy是同阶无穷小．(C) 设函数y=f(u)二阶可导，则由dy=f'(u)du知d2y=d[f'(u)du]=[f'(u)du]'du=f"(u)(du)2．(D) 若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微分．（分数：1.00）A.B.C.D.9.设k为常数，函数y=f(x)在点x=x0 1.00）A.B.C.D.10.若函数f(x)在其可导点x处自变量有增量△x=0.2时，对应的函数值增量的线性主部等于0.8，则f'(x)等于(A) 0.4． (B) 0.16． (C) 4． (D) 1.6．（分数：1.00）A.B.C.D.11.若函数y=f(x)在x0处的导数不为0.1，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是(A) 与△x等价的无穷小． (B) 与△x同阶但非等价的无穷小．(C) 比△x低阶的无穷小． (D) 比△x高阶的无穷小．（分数：1.00）A.B.C.D.12.设f(x)，g(x)定义在(-1，1)上，且都在x=0 1.00）A.B.C.D.13. 1.00）A.B.C.D.14. 1.00）A.B.C.D.15.设函数f(x)在x=0处连续可导，则f(|x|)在x=0处(A) 连续且可导． (B) 连续但不一定可导．(C) 一定不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，f(0)=0，且当x→0时，f(x)是x2的同阶无穷小，则f(x)在x=0处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导且f'(0)=0． (D) 可导且f'(0)≠0．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设函数f(x)在区间(a-δ，a+δ)内连续，其中常数δ＞0，又f(a)=0，则函数g(x)=|z-a|f(x)在x=a 处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导但g'(a)≠0 (D) 连续且g'(a)=0．（分数：1.00）B.C.D.18.设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在点x0处(A) 可导． (B) 连续． (C) 不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.19.(B) f(x)在x=x0处必连续，但未必可导．1.00）A.B.C.D.20.函数f(x)=(x2-1)|x3-x|不可导点的个数是(A) 3． (B) 2． (C) 1． (D) 0．（分数：1.00）A.B.C.D.21. 1.00）A.B.C.D.22.设f(x)在x=x0 1.00）A.B.C.D.23.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0可导等价于1.00）A.B.C.24.设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续，但不可导，又g'(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a处可导的(A) 充要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 既非充分又非必要条件．（分数：1.00）A.B.C.D.25.设f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不连续，则f(x)g(x)在x0处(A) 必不连续． (B) 可能连续必不可导．(C) 可能可导但导数必不连续． (D) 可能存在任意阶导数．（分数：1.00）A.B.C.D.26.下列说法正确的是(A) 设u=φ(x)在x=x0处可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(B) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(C) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处也不可导，则复合函数f[φ(x)]x=x0处一定不可导．(D) 函数u=φ(x)在x=x0处或函数y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导时，复合函数f[φ(x)]在x=x0处未必不可导．（分数：1.00）A.B.C.D.27. 1.00）A.B.C.D.28.设α 1.00）A.B.C.D.29.设函数f(x)处处有定义，在x=0处可导，且f'(0)=1，并对任何实数x和h，恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则f'(x)等于(A) 2x+1． (B) x+1． (C) x． (D) e x．（分数：1.00）A.B.C.D.30.设f(x) 1.00）A.B.C.D.31.设f(x) 1.00）A.B.C.D.32.下列命题①设函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0②设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=O，则必存在x1，ξ∈(a，b)，使得f(x1)=f-(x2)③设函数f(x)在(a，b)ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0④设函数f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞) 1.00）A.B.C.D.33.下列结论正确的是(A) 若函数f(x)在(a，b)内可导，则至少有一点ξ∈(a，b)(B) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则对任意的ξ∈(a，b)，必存在不同的x1，x2∈(a，b)，使f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)成立．(C) 设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞0．(D) 1.00）A.B.C.D.34.下列结论正确的是(A) 若f'(x0)＞0，则在x0的某一邻域内，函数f(x)必为单调增加函数．(B) 若函数f(x)为(a，b)内的严格单调增加函数，且f(x)在(a，b)内可导，则必有f'(x)＞0．(C) 若f'(x0)＞0，则函数f(x)在x0的某一邻域内必有f(x)＞0成立．(D) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)在(a，b)内只有有限个点的值为零，其余为正，则f(x)在[a，b]上一定是严格单调增加的．（分数：1.00）A.B.C.D.35.设y=f(x)二阶可导，f'(x0)=0，f"(x)＜0，并设△y=f(x1+△x)=f(x1)，dy=f'(x1)dx，x1＜x0，△x=dx＜0，则(A) dy＞△y＞0． (B) dy＞△y＞0． (C) △y＜dy＜0． (D) △y＞dy＞0．（分数：1.00）A.B.C.D.36.设f(x)在x0可导且f'(x0)＞0，则存在δ＞0，使得(A) f(x)在(x0-δ，x0+δ)内单调上升．(B) f(x)＞f(x0)，x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0．(C) d(x)＞f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．(D) f(x)＜f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．（分数：1.00）A.B.C.D.37.设f(0)=0，f'(x)在[0，+∞) 1.00）A.B.C.D.38.下列结论正确的是(A) 若x0是函数f(x)的极小值点，则在x0的某一邻域内，f(x)在x0的左侧单调减少，而在右侧单调增加．(B) 若x0为函数f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0．(C) 若偶函数f(x)具有连续的二阶导数，且f"(0)＞0，则点x=0一定是f(x)的极小值点．(D) 若f'(x0)=0，但f"(x0)不存在，则点x=x0不可能为函数f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.39.下列结论不正确的是(A) 设f(x)在[a，b]可导，f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，f(b)≥f'(b)，则f'(x)在(a，b)至少有两个零点．(B) 设f(x)在区间(a，b)二阶可导，且f"(x)＞0(＜0)，又x0∈(a，b)，使得f'(x0)=0，则f(x0)是f(x)在(a，b)上的最小(大)值．(C) 设f(x)在(a，b)连续，又f(x)在(a，b)有唯一的极值点x=x0．若x=x0是极小值(极大值)点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)．(D) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)≠C(常数)，则f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值．（分数：1.00）A.B.C.D.40.若f(x)在点x0处取得极小值，则下列结论正确的是(A) 存在小正数δ，f(x)在(x0-δ，x0)内单调减少，在(x0，x0+δ)内单调增加．(B) 存在小正数δ，在(x0-δ，x0)内f'(x)＜0，在(x0，x0+δ)内f'(x)＞0．(C) f'(x0)=0，且f"(x0)＞0．(D) 存在小正数δ，对任意的x∈(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)，恒有f(x)＞f(x0)．（分数：1.00）A.B.C.D.41.下列命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(a＜x＜x0)和f'(x)＜0(x0＜x＜b0)，则f(x)在点x=x0处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x0处取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数在(x0-δ，x0)中单调增加，在(x0，x0+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a为大于零的常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a为大于零的常数)，则f'(0)=0．（分数：1.00）A.B.C.D.42.设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f'(0)=0 1.00）A.B.C.D.43.下列命题不正确的是(A) 设(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，又f"(x0)存在，则f"(x0)=0．(B) 设f"(x0)=0 1.00）A.B.C.D.44.设函数f(x)，g(x)在x=0 1.00）A.B.C.D.45.设f(x) 1.00）A.B.C.D.46. 1.00）A.B.C.D.47.设偶函数f(x)具有二阶连续导数，且f"(0)≠0，则x=0(A) 不是f(x)的极值点．(B) 一定是f(x)的极值点．(C) 不是f(x)的驻点．(D) 是否为f(x)的极值点由题没的条件还不能确定．（分数：1.00）A.B.C.D.48.设f(x)在x=0处3阶可导，且f'(0)=f"(0)=0 1.00）A.B.C.D.49.设ab＜0，且f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内除x=0外f'(x) 1.00）A.B.C.D.50.设函数f(x)=(x-x0)nφ(x)(n∈N)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，则(A) f(x)在x0处必取极值．(B) f(x)在x0处必无极值．(C) 当n为偶数时，f(x)在x0处必取极小值．(D) 当n为奇数时，f(x)在x0处必取极大值．（分数：1.00）A.B.C.D.51.设f(x)在[a，b]有连续导数，x0∈(a，b)是f(x)在(a，b)的唯一驻点，又f'(a)＞0，f'(b)＜0，则点x=x0是(A) f(x)的极小值点． (B) f(x)在[a，b]的最小值点．(C) f(x)在[a，b]的最大值点． (D) f(x)的极大值点，但不是f(x)在[a，b]的最大值点．（分数：1.00）A.B.C.D.52.设-f(x0)=0，f"(x0)＞0，则必定存在一个正数δ，使得(A) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凹的．(B) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凸的．(C) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调减少，在[x0，x0+δ)上单调增加．(D) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调增加，在[x0，x0+δ)上单调减少．（分数：1.00）A.B.C.D.53.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0处可微，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内连续．(B) 如果f'(x)在x0处连续，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内可导．(C) 如果x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0．(D) 如果f"(x0)＞0，则存在δ＞0，曲线y=f(x)在x0的δ邻域内是凹的．（分数：1.00）A.B.C.D.54.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0点不可微，则f(x)在x0处不连续．(B) 如果f(x)在x0点有f"(x0)≠0，则x0是f(x)的极值点．(C) 如果f"(x0)＞0，则在x0点的附近曲线y=f(x)是凹的．(D) 如果f(x)在x0点可微，且f'(x0)≠0，则x0不是f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.55.设y=f(x)是过原点的一条曲线，且f'(0)，f"(0)存在，又知有一条抛物线y=g(x)与曲线y=f(x)在原点相交，在该点处有相同的切线和曲率，且在该点邻近此二曲线有相同的凹向，则必有1.00）A.B.C.D.56.设f(x)有连续的二阶导数，其导函数y=f'(x)的图像如右图所示，令函数y=f(x)的驻点的个数为p，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则1.00）A.B.C.D.57.方程3xe x+1=0在(-∞，+∞)上实根的个数为(A) 0． (B) 1．(C) 2． (D) 不少于3．（分数：1.00）A.B.C.D.58. 1.00）A.B.C.D.59.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f'(x)+f(x)＞0，则下列命题正确的是(A) f(x)=0必有实根． (B) f(x)=0必无实根．(C) f(x)=0若有实根必唯一． (D) f(x)=0若有实根，则不止一个．（分数：1.00）A.B.C.D.60.设f(x)一阶可导，则下述结论正确的是(A) 若f(x)只有一个零点，则f'(x)必定没有零点．(B) 若f'(x)至少有一个零点，则至少f(x)有两个零点．(C) 若f(x)没有零点，则f'(x)至多有一个零点．(D) 若f'(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点．（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：19，分数：19.00)61.设函数f(x)在x=00＜|x|＜δ 1.00）填空项1:__________________62.函数y=f(x)和y=g(x)的图形如2-1图所示，则复合函数f[g(x)]在z=1处的导数等于______．1.00）填空项1:__________________63. 1.00）填空项1:__________________64.设f(x)在x=1 1.00）填空项1:__________________65. 1.00）填空项1:__________________66.试说明下列事实的几何意义：(1) 看函数f(x)，g(x)在x0可导且f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)，则其几何意义是______；(2) 若函数f(x)在x0存在f'+(x0)，f'-(x0)，但f'+(x0)≠f'-(x0)，则其几何意义是______；(3) 若函数f(x)在x=x0 1.00）填空项1:__________________67.设函数f(x)在x=2 1.00）填空项1:__________________68.若函数)y=y(x)南方程(sinx)y=(cosy)x 1.00）填空项1:__________________69.设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f'(a)=1，f"(a)=2，则g"(3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________70. 1.00）填空项1:__________________71. 1.00）填空项1:__________________72.设y=arctanx，则y(99)(0)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________73.溶液白深18cm，顶直径12cm的正网锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，则此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为______．（分数：1.00）填空项1:__________________74. 1.00）填空项1:__________________75. 1.00）填空项1:__________________76. 1.00）填空项1:__________________77.如果曲线y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则a=______，b=______，c=______．（分数：1.00）填空项1:__________________78. 1.00）填空项1:__________________79.心形线r=a(1+cosθ)(a＞0) 1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：67，分数：67.00)80.设对任意x恒有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f'(0)=1，求f'(1)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________81.设f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________82.设 1.00）__________________________________________________________________________________________83.设f(x)在x=1 1.00）__________________________________________________________________________________________84.设函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 85.设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)，其中g(x)=e sinx-xcosx 1.00）__________________________________________________________________________________________86.已知函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________87.设f(x)=minsinx，cosx(-∞＜x＜+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________88. 1.00）__________________________________________________________________________________________89.设函数f(x)具有二阶导数，且f'≠0，求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一阶、二阶导数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 90.求下列函数的n阶导数(n≥1)：(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)； (Ⅱ) y=xcos4x．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________91. 1.00）__________________________________________________________________________________________92.a，b为常数．问a，b为何值时，f(x)连续且可导，并求出f'(x)．-(1)=2，所以f'(1)=2．1.00）__________________________________________________________________________________________ 93.设f(x)=arcsinx，(Ⅰ) 写出f(x)在区间[0，b](0＜b＜1)上的拉格朗日中值公式；(Ⅱ) 证明公式中的ξ由b唯一确定；(Ⅲ) 1.00）__________________________________________________________________________________________94.设函数f(x)在(-∞，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 95.设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，求证：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 96.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且1.00）__________________________________________________________________________________________97.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 98.设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得1.00）__________________________________________________________________________________________ 99.已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________100.设f(x)在[0，1]可导，f(0)=0，f'(1)=0，求证：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 101.设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 102.设f(x)在[a，b]上可微，且f'(a)＜f'(b)，证明：对任一适合．f'(a)＜c＜f'(b)的c，存在ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=c．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 103.设a＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________104.设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________105.设f(x)在[0，1](Ⅰ) 在(0，1)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________106.设g(x)在区间[a，b](Ⅰ) f(x)在点a处右连续，在点b处左连续；(Ⅱ) 在(a，b)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________ 107.设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e2a+e a+b+e2b)[f(ξ)+f'(ξ)]=3e3η-ξ．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 108.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：对任何0＜C＜1，存在ξ，η满足0＜ξ＜η＜1，使得cf'(ξ)+(1-c)f'(η)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________109.设函数f(x)在[0，π] 1.00）__________________________________________________________________________________________ 110.设函数f(x)在[a，b]上可微，f'(a)＜0，f'(b)＞0，求证：在区间(a，b)内必有一点ξ，使得f'(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________111.若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 112.设f'(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f'(a)f'(b)＞0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 113.设a＜c＜b，f(x)，g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，f(C)=g(C)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 114.设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________115.若f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 116.已知函数g(x)在[a，b]上连续，函数f(x)在[a，b]上满足_f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为常数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________117.确定常数a与b 1.00）__________________________________________________________________________________________118.确定常数A与B的值，使得f(x)=x-(A+Bcosx)sinz当x→0时是x数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 119.设f'(-x)=x[f'(x)-1]且f(0)=0，求f(x)的极值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 120.设函数f'(x)=x+acosx(a＞1)在区间(0，2π)内有极小值，且极小值为0，求函数在区间(0，2π)内的极大值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________121. 1.00）__________________________________________________________________________________________122. 1.00）__________________________________________________________________________________________123.设曲线y=ax2+bx+c 1.00）__________________________________________________________________________________________124.试求通过点(1，1)的A线y=f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________125. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 126.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________127. 1.00）__________________________________________________________________________________________128.证明：当x＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 129.证明：当x∈(-∞，+∞)日时e x+e-x≤2+x(e x-e-x)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________130.设a＞1，n≥1, 1.00）__________________________________________________________________________________________131.设1＜a＜b 1.00）__________________________________________________________________________________________132.设b＞a＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 133.证明：(a+b)e a+b＜ae2a+be2b当a≥0，b≥0，且a+b＞0，a≠b时成立．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________134. 1.00）__________________________________________________________________________________________135.设函数f(x)在(-∞，+∞)上有界并具有连续导数，且存在常数M＞0有|f(x)+f'(x)|≤M 1.00）__________________________________________________________________________________________ 136.设x∈[0，2]时，有|f(x)|≤1，|f"(x)|≤1，证明：对于x∈[0，2]，有|f'(x)|≤2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________137.设f(x)在区间[0，1]上二阶可导且有f(0)=f(1)=0，minf(x)=-1，证明：1.00）__________________________________________________________________________________________ 138.设不恒为常数的函数f(x)在闭区问[a，b]上连续，在开区问(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)＜0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________139. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 140.设a为常数，讨论方程x2=ae x的实根的个数及每个根所在的范围．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________141. 1.00）__________________________________________________________________________________________142.设f(x)在(-∞，a) 1.00）__________________________________________________________________________________________143.设f(x)在x≥a时连续，在x＞a 1.00）__________________________________________________________________________________________144.设f(x)在[0，1]上连续，且(x)＜1 1.00）__________________________________________________________________________________________ 145.证明：e x+e-x+2cosx=5恰有两个实根．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 146.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，f(0)=f(1)=0，对任意的x∈(0，1)，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0，证明：对任何常数0＜k＜1，存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=kM．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________。

考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设其中f(x)在x=0处可导，f’(0)≠0，f’(0)=0，则x=0是f(x)的( ) A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．连续点或间断点不能由此确定正确答案：B解析：知识模块：一元函数微分学2．设函数在x=0处f(x) ( )A．不连续B．连续，但不可导C．可导，但导数不连续D．可导，且导数连续正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学3．设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有( ) A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)+f’(0)=0D．f(0)一f’(0)=0正确答案：A解析：由于知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有｜f(x)｜≤x2，则x=0必是f(x)的( )A．间断点B．连续，但不可导的点C．可导的点，且f’(0)=0D．可导的点，且f’(0)≠0正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学5．设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f’’(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是( )A．单调增，凸B．单调减，凸C．单调增，凹D．单调减，凹正确答案：B解析：当x＞0时，f’(x)&gt;0→f(x)在(0，+∞)内单调增；f’’(x)＜0→f(x)在(0，+∞)内为凸曲线．由f(x)=f(一x)→f(x)关于y轴对称→f(x)在(一∞，0)内单调减，为凸曲线，选B．知识模块：一元函数微分学6．设f(x)有连续的导数，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：用洛必达法则，所以k=3，选C．其中(2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．知识模块：一元函数微分学7．设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g’(0)=0，设则f(x)在x=0处( ) A．不连续B．连续，但不可导C．可导，但导函数不连续D．可导，导函数连续正确答案：D解析：所以f(x)在x=0处连续．所以导函数在x=0处连续．知识模块：一元函数微分学8．当x>0时，曲线( )A．有且仅有水平渐近线B．有且仅有铅直渐近线C．既有水平渐近线，也有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：A解析：由渐近线的求法可知正确选项为A．知识模块：一元函数微分学9．曲线的渐近线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：曲线y=f(x)有水平渐近线曲线y=f(x)有铅直渐近线x=0．曲线y=f(x)无斜渐近线．知识模块：一元函数微分学10．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)= ( )A．(一1)n-1(n一1)!B．(一1)n(n一1)!C．(一1)n-1n!D．(一1)nn!正确答案：A解析：用导数定义．知识模块：一元函数微分学11．设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f’’(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是( )A．单调增，凸B．单调减，凸C．单调增，凹D．单调减，凹正确答案：B解析：当x＞0时，f’(x)&gt;0→f(x)在(0，+∞)内单调增；f’’(x)＜0→f(x)在(0，+∞)内为凸曲线．由f(x)=f(一x)→f(x)关于y轴对称→f(x)在(一∞，0)内单调减，为凸曲线，选B．知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。