2005年浙江专升本《高数二》试卷及答案

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x xx x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得 Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是____________________.2．___________________________)4(1lim 2=-+-∞→x x x x .3．写出函数的水平渐近线和垂直渐近线4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy .（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________.二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,00,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰-11)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的 （）。

【最新整理，下载后即可编傅】2005年浙江省普通商校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷 一、填空题1. 函数的连续区间是c■V -(A-l)-------------------------2.lim --------- =ogY x(x +4)3.(1) x 轴在空间中的直线方程是 ___________(2)过原点且与x 轴垂直的平面方程是 ______________点X=1处连续。

5.设参数方程［s ：cos2：y = r sin 2&(1)当厂是常数,&是参数时，则2=ax (2)当&是常数，厂是参数时，则字二CIX ------------二. 选择题1 •设函数y = f(x)在［°,b ］上连续可导,ce(a.b),且/ (c) = 0,则当( )时,fW 在x = C •处取得极大值。

(A) 当“ 5 X V c时，当 C V A ： S /?时， f'(x)>0, (B) 当0 W X V C 时， / «>0,当c < xSb时〉 /«<o, (C) 当 <7 5 X V C 时〉 / W<o ,当 c < x S Z?时， /(A )>0,(D) 当Sx vc 时， / W<o ,当 c v x S Z?时〉2.设函数y = /(x)在点"心处可导，则4.设函数f(x)= < ("IFG,bx + 1,x=\，当 G = ____ ,b =X<1时，函数门X )在lim /(儿+3力)一/(如一2力)=( )o(A)f(x°), (B)3f'(x0), (C)4f(x°), (D)5fg・F, x> 03.设函数/(x) = < 0, x = 0,则积分£/(%>/%= ( )o-e』，x<0 _(A) — l, (3)0 (C)l, (£>)2.e5.设级数f?”和级数都发散，则级数是( ). n=l ；f=l w-l(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)可能发散或者可能收敛三•计算题1.求函数y = U2-x + ir的导数。

专升本 高等数学一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、lim sin x xx→05等于（ ）A 0B 15C 1D 52、设y x=+-33，则y '等于（ ）A --34xB --32xC 34x -D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ）A －2B －1C 0D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ）A （－1，－1）B （0，0）C （1，1）D （2，8） 5、sin xdx ⎰等于（ ）A cos xB -cos xC cos x C +D -+cos x C 6、11201+⎰x dx 等于（ ）A 0B π4C π2D π 7、设0()()xt x e t dt φ=+⎰，则φ'()x 等于（ ）A 0B e x x+22C e x x +D e x+18、设函数z e x y=+，则∂∂zx等于（ ） A ex y+ B yex y+ C xex y+ D ()x y ex y++9、设函数z x y =2，则∂∂∂2zx y等于（ ）A x y +B xC yD 2x 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。

把答案填写在题中横线上。

11、lim()x x x →-+=132____________________。

12、lim()x xx→∞-=13____________________。

13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。

14、设函数y ex=2，则y "()0=____________________。

2005年普通高等学校选拔 优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（ ）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（ ）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是 （ ）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（ ）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （ ）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（ ）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（ ）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（ ）。

- 1 - 2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则|x dy p ==______ . （2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ . （3）=--ò10221)2(xxxdx ______ . （4）微分方程x x y y x ln 2=+¢满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0®x 时，2)(kx x =a 与x x x x cos arcsin 1)(-+=b 是等价无穷小，则k= ______ . （6）设321,,a a a 均为3维列向量，记矩阵),,(321a a a =A ，)93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn x x f 31lim )(+=¥®，则f(x)在),(+¥-¥内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M Û表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A)F(x)是偶函数Ûf(x)是奇函数. （B ）F(x)是奇函数Ûf(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数Ûf(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数Ûf(x)是单调函数. [ ] （9）设函数y=y(x)由参数方程îíì+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ] （10）设区域}0,0,4),{(22³³£+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++òòs d y f x f y f b x f a D)()()()((A) p ab . (B) p 2ab . (C) p )(b a +. (D) p 2b a +. [ ] （11）设函数ò+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(y j j , 其中函数j 具有二阶导数，y 具有一阶导数，则必有则必有(A) 2222y u x u ¶¶-=¶¶. （B ） 2222yu x u ¶¶=¶¶. (C) 222yu y x u ¶¶=¶¶¶. (D) 222x u y x u ¶¶=¶¶¶. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ] （13）设21,l l 是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,a a ，则1a ，)(21a a +A 线性无关的充分必要条件是无关的充分必要条件是(A) 01¹l . (B) 02¹l . (C) 01=l . (D) 02=l . [ ] （14）设A 为n （2³n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且)0(¹f ，求极限.)()()(lim 0òò--®x xx dtt x f xdtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y+=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x j =（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分ò¢¢¢+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos p <<=t t x 化简微分方程0)1(2=+¢-¢¢-y y x y x ，并求其满足2,10=¢===x x y y的特解. （19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：证明： （I ）存在),1,0(Îx 使得x x -=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,Îz h ，使得.1)()(=¢¢z h f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22£+=y x y x D 上的最大值和最小值. （21）（本题满分9分） 计算二重积分sd y x Dòò-+122，其中}10,10),{(££££=y x y x D . （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =a ,)1,,1(2Ta =a Ta )1,1,(3=a 可由向量组,),1,1(1Ta =b ,)4,,2(2Ta -=b Ta a ),,2(3-=b 线性表示，但向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示. （23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵úúúûùêêêëé=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则p=x dy= dx p - . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一：方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xx x x e y x x +×++×=¢+，从而从而 p=x dy=)(dx dx y p p -=¢方法二：方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得求导，得xx x x yy sin 1cos )sin 1ln(1+++=¢， 于是于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xx x x x y x+×++×+=¢，故，故p=x dy=.)(dx dx y p p -=¢（2） 曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim)(lim 23=+=+¥®+¥®xx x xx f x x[]23)1(lim )(lim 2323=-+=-=+¥®+¥®xx x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y（3）=--ò1221)2(xx xdx4p . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则，则=--ò1221)2(xx xdx ò-22cos )sin 2(cos sin pdt t t t t =.4)arctan(cos cos 1cos 20202p pp=-=+-òt ttd（4） 微分方程x x y y x ln 2=+¢满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+¢的通解公式：的通解公式： ò+òò=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dxx P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为原方程等价为x y xy ln 2=+¢，于是通解为于是通解为 òò+×=+ò×ò=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx e x e y dx xdx x=2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0®x 时，2)(kx x =a 与x x x x cos arcsin 1)(-+=b 是等价无穷小，则k= 43. 【分析】 题设相当于已知1)()(lim 0=®x x x a b ，由此确定k 即可. 【详解】 由题设，20cos arcsin 1lim )()(lim kx x x x x x x x -+=®®a b =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 2x x x kx x x x x ++-+®=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+®k x x x x x ，得.43=k （6）设321,,aa a 均为3维列向量，记矩阵维列向量，记矩阵),,(321a a a =A ，)93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 . 【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有由题设，有 )93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B=úúúûùêêêëé941321111),,(321a a a ，于是有于是有 .221941321111=´=×=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=¥®，则f(x)在),(+¥-¥内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=¥®n nn x x f ；当1=x 时，111lim )(=+=¥®n n x f ； 当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nn n =+=¥® 即.1,11,1,,1,)(33>££--<ïîïíì-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C). （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M Û表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有，则必有(B) F(x)是偶函数Ûf(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数Ûf(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数Ûf(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数Ûf(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为ò+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F =¢当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F ¢=-×-¢，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则òxdt t f 0)(为偶函数，从而ò+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数y=y(x)由参数方程îíì+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+--. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ A ] 【分析】 先由x=3确定t 的取值，的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是，于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22³³£+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++òòs dy f x f y f b x f a D)()()()((A) p ab . (B) p2ab . (C) p )(b a +. (D) p 2b a + . [ D ] 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有由轮换对称性，有=++òòs d y f x f y f b x f a D)()()()(s d x f y f x f b y f a Dòò++)()()()(=sd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a Dòò+++++])()()()()()()()([21=.2241222p p s b a b a d ba D+=××+=+òò应选(D). （11）设函数ò+-+-++=yx yx dtt y x y x y x u )()()(),(y j j , 其中函数j 具有二阶导数，y具有一阶导数，则必有数，则必有(A) 2222y u x u ¶¶-=¶¶. （B ） 2222y u x u ¶¶=¶¶. (C) 222yu y x u ¶¶=¶¶¶. (D) 222xu yx u ¶¶=¶¶¶. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ¶¶、22yu ¶¶、y x u ¶¶¶2，再比较答案即可. 【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu --++-¢++¢=¶¶y y j j ，)()()()(y x y x y x y x yu -+++-¢-+¢=¶¶y y j j ，于是 )()()()(22y x y x y x y x xu -¢-+¢+-¢¢++¢¢=¶¶y y j j ，)()()()(2y x y x y x y x y x u-¢++¢+-¢¢-+¢¢=¶¶¶y y j j ，)()()()(22y x y x y x y x y u-¢-+¢+-¢¢++¢¢=¶¶y y j j ， 可见有2222yux u ¶¶=¶¶，应选(B).（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则(B) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (E) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ¥=®)(l i m 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；为第二类间断点； 0)(l i m 1=+®x f x ，1)(lim 1-=-®x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). （13）设21,l l 是矩阵A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为21,a a ，则1a ，)(21a a +A 线性无关的充分必要条件是性无关的充分必要条件是(A) 01¹l . (B) 02¹l . (C) 01=l . (D) 02=l . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令方法一：令 0)(21211=++a a a A k k ，则，则022211211=++a l a l a k k k ， 0)(2221121=++a l a l k k k . 由于21,a a 线性无关，于是有线性无关，于是有îíì==+0,022121l l k k k当02¹l 时，显然有0,021==k k ，此时1a ，)(21a a +A 线性无关；反过来，若1a ，)(21a a +A 线性无关，则必然有02¹l (,否则，1a 与)(21a a +A =11a l 线性相关)，故应选(B). 方法二：方法二： 由于由于 úûùêëé=+=+21212211121101],[],[)](,[l l a a a l a l a a a a A ，可见1a ，)(21a a +A 线性无关的充要条件是.001221¹=l l l 故应选(B). （14）设A 为n （2³n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则随矩阵，则(B) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得使得 B A E =12，于是于是 12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=×===-，即，即*12*B E A -=,可见应选(C). 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(¹f ，求极限.)()()(lim 0òò--®xxx dtt x f xdtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于òòò=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是于是òòòòò-=--®®xxx x x xx duu f xdtt tf dt t f xdtt x f xdtt f t x 0)()()(lim )()()(lim=òò+-+®xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim =òò+®xxx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(lim 0xf x duu f x dtt f xxx +òò®=.21)0()0()0(=+f f f（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x j =【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有如图，有ò--=+-=xxt t xe dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，ò-=ydt t t y S 12))((ln )(j ，由题设，得由题设，得 ò-=--yxdt t t x e 1))((ln )1(21j ，而x e y =，于是ò-=--ydt t t y y 1))((ln )1ln (21j 两边对y 求导得求导得)(ln )11(21y y y j -=-，故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==j（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分ò¢¢¢+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，的函数值与导数值，在在x=3处的函数值及一阶、处的函数值及一阶、二阶导数值二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(=¢f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=¢¢-=¢f f 由分部积分，知由分部积分，知òòò+¢¢-¢¢+=¢¢+=¢¢¢+33302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dxx f x f x x f d xòò¢+¢+-=¢+-33030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos p <<=t t x 化简微分方程0)1(2=+¢-¢¢-y y x y x ，并求其满足2,10=¢===x x y y的特解. 【分析】 先将y y ¢¢¢,转化为22,dty d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dt dyt dx dt dt dy y sin 1-=×=¢，)sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -×-=×¢=¢¢， 代入原方程，得代入原方程，得 022=+y dt yd . 解此微分方程，得解此微分方程，得 221211s i n c o s x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,10=¢===x x yy代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：证明： （I ）存在),1,0(Îx 使得x x -=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,Îz h ，使得.1)()(=¢¢z h f f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值于是由介值定理知，存在),1,0(Îx 使得)(=x F ，即xx -=1)(f . （II ） 在],0[x 和]1,[x 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(x z x h ÎÎ，使得0)0()()(--=¢x x h f f f ，x x z --=¢1)()1()(f f f于是于是 .1111)(1)()()(=-×-=--×=¢¢xxx x x x x x zh f f f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22£+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值. .【详解】 由题设，知由题设，知 x x f 2=¶¶，y yf 2-=¶¶，于是于是 )(),(2y C x y x f +=，且，且 y y C 2)(-=¢，从而，从而 C y y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得，得 C=2, 故 2),(22+-=y x y x f令0,0=¶¶=¶¶y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=¶¶=xf A ，0)0,0(2=¶¶¶=yx f B ，2)0,0(22-=¶¶=y f C ，042>=-=D AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为上的情形：令拉格朗日函数为)14(),(),,(22-++=y x y x f y x F ll ，解 ïïïîïïïíì=-+=¢=+-=+¶¶=¢=+=+¶¶=¢,014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y x l l l l l 得可能极值点4,2,0===l y x ；4,2,0=-==l y x ；1,0,1-===l y x ；.1,0,1-==-=l y x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22£+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2. （21）（本题满分9分） 计算二重积分sd y x Dòò-+122，其中}10,10),{(££££=y x y x D . 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】 记}),(,1),{(221Dy x y x y x D Σ+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D Î>+=，于是于是s d y x Dòò-+122=òò-+-1)1(22D dxdy y x òò-++2)1(22D dxdy y x=òò--221)1(p qrdr r d òò-++Ddxdy y x )1(22òò-+-1)1(22D dxdyy x=8p +òòòò---+20102210210)1()1(pq rdr r d dy y x dx =.314-p（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =a ,)1,,1(2Ta =a Ta )1,1,(3=a 可由向量组,),1,1(1Ta =b ,)4,,2(2Ta -=b Ta a ),,2(3-=b 线性表示，但向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示. 【分析】向量组321,,a a a 可由向量组321,,b b b 线性表示，相当与方程组：线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i b b b a . 均有解，问题转化为),,(321b b b r =3,2,1),,,(321=i r i a b b b 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j b 不能由321,,a a a 表示，即至少有一方程组表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j a a a b ，无解. 【详解】 对矩阵),,,,(321321a a a b b b =A 作初等行变换，有作初等行变换，有),,,,(321321a a a b b b =A =úúúûùêêêëé--11411111221a a a a a a a ® úúúûùêêêëé--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221®úúúûùêêêëé----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，®A úúúûùêêêëé-----330600030000211221 , 显然2a 不能由321,,b b b 线性表示，因此2-¹a ；当a=4时，时，®A úúúûùêêêëé----390000030660411221 ，然32,a a 均不能由321,,b b b 线性表示，因此4¹a . 而当2-¹a 且4¹a 时，秩3),,(321=b b b r ，此时向量组321,,a a a 可由向量组321,,b b b 线性表示. 又úúúûùêêêëé--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 b b b a a aúúúûùêêêëé+--++----®a a a a a a a a a3240110220110221112úúúûùêêêëé++--++----®24360200220110221112a a aa a a a a a ，由题设向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a . 综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1. （23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵úúúûùêêêëé=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩. 【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(£+B r A r（1）若k 9¹, 则r(B)=2, 于是r(A)1£, 显然r(A)1³, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ÷÷÷øöçççèæ+÷÷÷øöçççèæ=为任意常数. (2) 若k=9，则r(B)=1, 从而2)(1££A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ÷÷÷øöçççèæ=为任意常数. 2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0¹a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-+÷÷÷÷÷øöçççççèæ-=为任意常数. 3）。

2005年考研数学二真题与解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3）=--⎰1221)2(xxxdx______ .（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂.(C) 222yu y x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. （23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y （3）=--⎰1221)2(x xxdx4π . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43. 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkxxx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ，得.43=k （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(B) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ A ]【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： )3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ D ] 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D ⎰⎰+++++])()()()()()()()([21 =.2241222ππσb a b a d b a D+=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D). （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂. (C) 222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu ∂∂、y x u∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (B) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(E) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(l i m 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(B) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】 如图，有⎰--=+-=xx tt x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(， ⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得 ⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，而xe y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,100='===x x y y 的特解.【分析】 先将y y ''',转化为22,dt y d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dtdy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='， )sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，得 022=+y dt y d . 解此微分方程，得 221211s i n c o s x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,100='===x x y y 代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f 于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 由题设，知 x x f 2=∂∂，y yf 2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f 令0,0=∂∂=∂∂y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=∂∂=x f A ，0)0,0(2=∂∂∂=y x f B ，2)0,0(22-=∂∂=y f C ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ， 解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x f F y x λλλλλ 得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D ⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是 σd y x D ⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x =⎰⎰--20210)1(πθrdr r d ⎰⎰-++D dxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x =8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π （22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββ 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j β不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】 对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时， →A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 3240110220110221112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a ， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。

2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设x x y )sin 1(+=,则π=x dy= ________________ .(2) 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.(3)=--⎰1221)2(xxxdx______________(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为________________. (5) 当0→x 时,2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小,则k =________________ .(6) 设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ,如果1=A ,那么=B .二、选择题：7-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内 ( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.(8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”, 则必有 ( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.(9) 设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定,则曲线()y y x =在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( )(A) 1ln 238+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.(10) 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,()f x 为D 上的正值连续函数,,a b 为常数,则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( ( )(A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + .(11) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有 ( )(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. (B) 2222yux u ∂∂=∂∂. (C) 222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂.(12) 设函数,11)(1-=-x xex f 则 ( ) (A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点. (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点.(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点. (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. (13) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.(14) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为,A B的伴随矩阵,则 ( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分11分)设函数()f x 连续,且0)0(≠f ,求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x(16)(本题满分11分)如图,1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和xe y =的图象,过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴 的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =,求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0))与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ,并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明：)(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(20)(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=,并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D(22)(本题满分9分)确定常数a ,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示,但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数),且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分. 方法1：利用恒等变形得x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+,于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+,从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法2：两边取对数,)sin 1ln(ln x x y +=,对x 求导,得1cos ln(1sin )1sin x xy x y x'=+++, 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+=',故 π=x dy =.)(dx dx y ππ-='(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=,lim[()]x b f x ax →∞=-),得：32())limlim 1,x x f x a x →+∞=== []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x , 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y(3)【详解】通过还原变换求定积分 方法1：令t x sin = (0)2t π<<,则=--⎰10221)2(x x xdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t t t 220sin 2sin t dt t π=-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰方法2t ,有221,x t =-所以有xdx tdt =-,其中01t <<.112001arctan 014dtt t π-===+⎰⎰(4)【答案】.91ln 31x x x y -=【详解】求方程()()dyP x y Q x dx+=的解,有公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y xy ln 2=+',于是利用公式得方程的通解 22[ln ]dx dxx x y e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰221[ln ]x xdx C x =⋅+⎰=211ln 39C x x x x -+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =,故所求解为.91ln 31x x x y -=(5)【详解】由题设,00()lim()x x x x βα→→=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 20x x x kx x x x x ++-+→ 201arcsin 1cos lim 2x x x x k x →+-=2001arcsin 1cos lim lim 2x x x x k x x →→-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦, 又因为 201cos 1lim 2x x x →-=,00arcsin lim arcsin lim 1sin x u x ux u xu →→ = = 所以 0()11lim(1)()22x x x k βα→=+34k =由题设0→x 时()~()x x αβ,所以314k =,得.43=k(6)【答案】2 【详解】方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα, 记123(,,)A ααα=,两边取行列式,于是有.221941321111=⨯=⋅=A B方法2：利用行列式性质(在行列式中,把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上,行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39B ααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα-+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα--+[1][2]123====2,,ααα-又因为123,,1A ααα==,故B 2A =2=.二、选择题 (7)【答案】C【详解】分段讨论,并应用夹逼准则,当||1x <时,有≤≤,命n →∞取极限,得1n =,1n =,由夹逼准则得()1n f x =；当||1x =时,()1n n f x ===；当||1x >时,33|||x x =<=,命n →∞取极限,得3||n x =,由夹逼准则得13331()lim ||(1)||.||n n n f x x x x →∞=+= 所以 31,||1(),||1x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义,易知1x =±处()f x 不可导,故应选(C).(8)【答案】A 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定,函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(,且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-⋅-',即)()(x f x f =--,亦即)()(x f x f -=-,可见()f x 为奇函数；反过来,若()f x 为奇函数,则0()()xF x f t dt C --=+⎰,令t k =-,则有dt dk =-,所以 0()()()()()xxx F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰,从而 ⎰+=xC dt t f x F 0)()( 为偶函数,可见(A)为正确选项.方法2：排除法,令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =, 则取21()2F x x =, 排除(D);(9)【答案】A【详解】当3x =时,有322=+t t ,得121,3t t ==-(舍去,此时y 无意义),曲线()y y x =的导数为 2111222(1)dy dy dt t dx dx t t dt+===++, 所以曲线()y y x =在3x =(即1t =)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8-, 所以过点(3,ln 2)的法线方程为)3(82ln --=-x y ,令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).(10)【答案】D【详解】由于积分区域D 是关于y x =对称的, 所以x 与y 互换后积分值不变, 所以有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=12D d σ⎰⎰ =212.2242Da b a b a b d σππ+++=⋅⋅⋅=⎰⎰ 应选(D).(11)【答案】B 【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ,)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ, 于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ, )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ,)()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ, 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂,应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数()f x 在0x =,1x =点处无定义,因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ,所以0x =为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ,1)(lim 1-=-→x f x ,所以1x =为第一类间断点,故应选(D).(13)【答案】B 【详解】方法1：利用线性无关的定义12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.设有数12,k k ,使得0)(21211=++αααA k k ,则022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,则⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当122100λλλ=≠时,方程只有零解,则0,021==k k ,此时1α,)(21αα+A 线性无关；反过来,若1α,)(21αα+A 线性无关,则必然有02≠λ(否则,1α与)(21αα+A =11αλ线性相关),故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由于 ()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭, 因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,知21,αα线性无关. 若1α,)(21αα+A 线性无关,则()112,()2r A ααα+=,则()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭, 故121220r λλ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭,从而122100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠,则12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭,又21,αα线性无关,则()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1α,)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).方法3：利用矩阵的秩12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,又121122()A ααλαλα+=+,故1α,)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=又因为()()211122122,,αλαλαλααλα+=11将的-倍加到第列则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=,与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,112,()A ααα+线性无关11122,αλαλα⇔+线性无关⇔11122,0αλαλα+≠,⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解,又()()1111221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有零解⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解,故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,只有零解,⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的系数矩阵是个可逆矩阵,⇔122100λλλ=≠,故应选(B)方法5：由12λλ≠,21,αα线性无关12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时,不论1λ的取值如何,向量组()I 可以由向量组()II 线性表出11αα=,112111*********11()()()A λλααλαλααααλλλλ=-++=-⋅++, 从而()I ,()II 是等价向量组⇒当20λ≠时,()()1211122,,2r r αααλαλα=+=(14)【答案】(C) 【详解】方法1：由题设,存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得B A E =12,(A 进行行变换,故A 左乘初等矩阵),于是 ****1212()B E A A E ==,又初等矩阵都是可逆的,故 *1121212E E E -=, 又121E E =-=-(行列式的两行互换,行列式反号),11212E E -=,故****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-,即*12*B E A -=,可见应选(C).方法2：交换A 的第一行与第二行得B ,即12B E A =.又因为A 是可逆阵,121E E =-=-,故12120B E A E A A ===-≠, 所以B 可逆,且1111212()B E A A E ---==.又11,A B A B A B **--==,故12B A E B A**=,又因B A =-,故*12*B E A -=.三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换,命x t u -=,则00()()()()xxxf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx xx x duu f x dt t tf dt t f x dt t x f x dt t f t x 0)()()(lim )()()(lim =洛必达法则⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=整理⎰⎰+→xxx x xf du u f dt t f 000)()()(lim0001()lim 1()()xx xx f t dt x f x f t dtx →=+⎰⎰上下同除而 0000(())1lim()limlim ()(0)xxx x x f t dt f t dt f x f x x →→→'==='⎰⎰所以由极限的四则运算法则得,原式0001()lim1()()xx x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰00001lim ()1lim ()lim ()x x x x f t dt x f x f t dtx →→=+⎰⎰(0)(0)(0)f f f =+(0)012f ≠=.(16) 【详解】由题设图形知,3C 在1C 的左侧,根据平面图形的面积公式得,⎰--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(,⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ,由)()(21y S x S =,得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ,注意到(,)M x y 是xe y =的点,于是 ⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-, 整理上面关系式得函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线,由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的一个拐点知(3)0.f ''=由分部积分公式,)332200()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰⎰3320()()()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰3220(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-33030)(2)()12()()12(3(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰=.20)]0()3([216=-+f f(18)【详解】 由题设)0(cos π<<=t t x ,有sin dxt dt=-,由复合函数求导的链式法则得 dt dy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅=',)sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'='', 代入原方程,2222cos 111(1cos )[]()cos ()0sin sin sin sin t dy d y dyt t y t dt t dt t t dt--⋅---+=, 化简得022=+y dty d ,其特征方程为210r +=,特征根1,2r i =±, 通解为12cos sin y C t C t =+所以 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=,将初始条件01,x y==代入得,1210C C C =⨯+=,即21C =.而121y C x C C '''=+=+,将2x y ='=代入得112C C =+=,即12C =.将122,1C C ==代入通解公式得满足条件的特解为21 1.y x x =+-<<(19)【详解】(I) 令x x f x F +-=1)()(,则()F x 在[0,1]上连续,且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知,存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f .(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--='ξξηf f f ,ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f(20)【详解】由ydy xdx dz 22-=知2,2z zx y x y∂∂==-∂∂.对2z x x ∂=∂两边积分得2(,)()z f x y x c y ==+. 将2(,)()z x y x c y =+代入2zy y∂=-∂得()2c y y '=. 所以2()c y y c =+. 所以22z x y c =-+.再由1,1x y ==时2z =知, 2c =. 于是所讨论的函数为222z x y =-+.求z 在2214y x +<中的驻点. 由2,2z z x y x y∂∂==-∂∂得驻点(0,0),对应的(0,0)2z f ==.讨论222z x y =-+在D 的边界22=14y x +上的最值,有两个方法. 方法1：把224(1)y x =-代入z 的表达式,有2222=52z x y x =-+-,11x -≤≤10x z x '=命0x z '=解得0x =,对应的2y =±,0,22x y z ==±=-还要考虑11x -≤≤的端点1x =±,对应的0y =,1,03x y z =±==由2,2,3z z z ==-=比较大小,故min 2z =-(对应于0x =,2y =±),max 3z =(对应于0x =,2y =±)方法2：用拉格朗日乘数法,作函数2222(,,)2(1)4y F x y x y x λλ=-+++-解方程组 2222(1)0,12022104xy f F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪∂⎪'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩由上面的第一个方程解得0x =或1λ=-：当0x =时由最后一个方程解得2y =±；当1λ=-是由第二个方程解得0y =,这时由最后一个方程解得1x =±. 故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应z 的值：(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)2,2,3,3zzzz--=-=-==再与(0,0)2z=比较大小,结论同方法1.(21) 【详解】D ：2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周,划分D 如下图为1D 与2D .这时可以去掉绝对值符号222222211,(,)11,(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩方法1：221Dx y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x后一个积分用直角坐标做,21122220(1)1)D x y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰312222011[(1)((1-)]33x x x dx =----⎰ 33221111222200002222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 42012cos 33tdt π=-+⎰220121cos 2()332t dt π+=-+⎰2+y 2=1220121(12cos 2cos 2)334t t dt π=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)3342t t dt π+=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)33422t t dt π=-+⨯+++⎰20121321cos 4(2cos 2)33422342tt dt ππ=-+⨯⨯⨯+⨯+⎰12103834π=-++⨯⨯138π=-+.前一个积分用极坐标做,112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=8π+138π-+=.314-π方法2：由于区域2D 的边界复杂,计算该积分较麻烦,可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ,再减去“扩充”的部分,就简化了运算. 即222(1)d D x y σ+-=⎰⎰22(1)D x y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 因此221Dx y d σ+-⎰⎰=122(1)D x y d σ--⎰⎰222(1)D x y d σ++-⎰⎰122(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)D x y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰由极坐标112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而 3111222220001(1)(1)[(1)]03Dx x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰311220011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=28π⨯13-=.314-π(22)【详解】方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==. 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出,故()3r A <,(若()3r A =,则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出),从而111111a A a a =2222311111a a a a a+++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a - +---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=(其中13(1)+-指数中的1和3分别是1所在的行数和列数)从而得1a =或2a =-.当1a =时,1231[1,1,1]T αααβ====,则12312300αααβββ===+⋅+⋅,故123,,ααα可由123,,βββ线性表出,但2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出(因为方程组2123211111114111k k k β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即123123123214k k k k k k k k k ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解),故1a =符合题意.当2a =-时,由于122112[]122121242211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦12211221000033312006000---⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⨯⎢⎥-⎣⎦行行，行行 因2()2()3r B r Bα=≠=,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,故方程组2BX α=无解,故2α不能由123,,βββ线性表出,这和题设矛盾,故2a =-不合题意.因此1a =.方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换,有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a 1221121022010*********a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥++-⎢⎥-⨯⎢⎥+--⎣⎦行行，行行 1221132202201000403(1)1a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥-⨯++-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行行, 当2a =-时,→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 不存在非零常数123,,k k k ,使得123112230003006k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2α不能由321,,βββ线性表示,因此2-≠a ；当4a =时,→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ,3α不能由321,,βββ线性表示,不存在非零常数123,,k k k ,使得123412200663000k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时,秩3),,(321=βββr ,此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα21112221011022310110423a a a a a a a aa a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行, 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示,则方程组()1231x αααβ =或()1232x αααβ =或()1233x αααβ =无解,故系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩,故()123()r B r ααα≠ .又当2-≠a 且4≠a 时,()3r B =,则必有01=-a 或022=--a a ,即1a =或2-=a .综上所述,满足题设条件的a 只能是：1a =.方法3：记()()123123,,,,,A B αααβββ==,对矩阵()A B 作初等行变换,得()12312311122(,,,,)111114aA B a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行 2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行, 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出,故()3r A <,(若()3r A =,则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出),从而111111a A a a =2222311111a a a a a +++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子 11121(2)01031100a a a -+---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=从而得1a =或2a =-.当1a =时,()111122000033000096A B -⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭,则12312300αααβββ===+⋅+⋅,123,,ααα可由123,,βββ线性表出,但由于()()212r A r A β=≠ =,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,方程组2Ax β=无解,2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出. 或由于()()312r A r A β=≠ =,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,方程组3Ax β=无解,3β不能由123,,ααα线性表出,即123,,βββ不能由123,,ααα线性表出,故1a =符合题意.当2a =-时,()112122033000000006A B --⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭,因()()323r A r A β=≠ =,,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,123,,βββ不能由123,,ααα线性表出,但()()223r B r B α=≠ =(或()33r B α =),系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,即2BX α=(或3BX α=)无解,即123,,ααα不能由123,,βββ线性表出,与题设矛盾,故2a =-不合题意.故1a =.(23)【详解】 由0AB =知,B 的每一列均为0Ax =的解,且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)(1) 若9k ≠, 13,ββ不成比例,12,ββ成比例,则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量,故它的基础解系中解向量的个数2≥,又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-,于是()1r A ≤.又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零,显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成,13,ββ是方程组的解且线性无关,可作为其基础解系,故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若9k =,则123,,βββ均成比例,故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或()2r A =.①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成,1β是方程组0Ax =的基础解系, 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例,因第1行元素(),,a b c 不全为零,不妨设0a ≠,则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1,故基础解系由312-=个线性无关解向量组成,选23,x x 为自由未知量,分别取231,0x x ==或230,1x x ==,方程组的基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.。

成都高等专科学校2005年专升本选拔考试高等数学试题（理工类A 卷）注意事项：1. 务必将密封线内的各项写清楚。

2. 本试题共四大题37小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、 解答题：本大题共7个小题，每小题10分，本大题共70分。

1. 试求垂直于直线相切的直线方程.2. 计算.3. 求出所围成的图形面积.4. 设.5.薄板在面上所占区域为已知薄板在任一点处的质量面密度为求薄板的质量.6. 把函数的幂级数，并指出收敛区间.7. 求微分方程的通解.二、 选择题（单选，每小题1分，共10分） 8. 等于（ ）A.B.C.D.9.设函数,则（ ） A ．连续，但不可导 B.不连续 C.可导 D.10.设 （ ）A. B.C.D.11.函数存在的（ ）A ．必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 12.等于（ ）A ．B.C. D.13.广义积分为（ ） A.发散B. 1C. 2D. 1/2 14.直线的位置关系是（ ）A.直线与平面平行B.直线与平面垂直C.直线在平面上D.直线与平面只有一个交点，但不垂直 15.下列级数中，发散的是 （ ）A.B.C. D.16.幂级数的收敛半径为（ ）A. 1B. 2C.D.17.所围成的区域的正向边界线，曲线积分等于 （ ）A. 1/10B. 1/20C. 1/30D. 1/40三、判断题.（每小题1分，共10分）18.（）19.（）20.曲线（）21.已知函数则（）22.设点（）23.（）24.平行与x轴且经过A（1，-2，3），B（2，1，2）两点的平面方程为（）25.设函数（）26.改变二次积分（）27.微分方程（）四、填空题.（每小题1分，共10分）28.行列式29.若行列式30.设矩阵31.若齐次线性方程组有非零解，则32.设33.若34.已知35.维向量线性相关的条件.36.若线性无关的向量组线性表出，则的不等式关系是37.设线性方程组则且,方程组有解.。

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是 。

2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。

3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。

（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。

4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。

5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。

（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。

二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。

（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（ ）。

).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （ ）。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2理科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f （x ）=｜sinx+cosx ｜的最小正周期是（A)4π （B ）2π （C ）π （D ）2π 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】()|sin cos ||)|f x x x x ϕ=+=+,f （x ）的最小正周期为π. 选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断,但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如tan y x =的最小正周期为π，但是,|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.（2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B)四边形（C ）五边形 （D ）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P 、Q 在面内作直线,根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段。

【正确解答】画图分析。

作直线PQ 交CB的延长线于E ，交CD 的延长F ，作直线ER交1CC 的延长线于G,交1BB 于S ，作直线GF交1DD 于H ，交11C D H ，连结PS ，RT,HQ ，则过P 、Q 、R 的截面图形为六边形PQHTRS ，故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究。

.（3)函数y=32x －1（x ≤0）的反函数是C C 1G（A ）y=3)1(+x (x ≥－1) (B ）y=－3)1(+x （x ≥－1）（C)y=3)1(+x (x ≥0) （D ）y=－3)1(+x （x ≥0）【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲(一是反解、二是x 、y 对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理。

2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= 。

(2) 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx(4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= 。

(6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 。

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分。

每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f （x ）在),(+∞-∞内(A ） 处处可导。

（B) 恰有一个不可导点. (C ） 恰有两个不可导点。

（D ） 至少有三个不可导点. ［ ］ （8）设F(x ）是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N"，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f （x)是奇函数. （B) F （x ）是奇函数⇔f(x)是偶函数。

（C) F （x ）是周期函数⇔f(x ）是周期函数. （D) F(x)是单调函数⇔f(x ）是单调函数。

［ ]（9）设函数y=y(x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y （x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是（A) 32ln 81+. (B ） 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-。

（D) 32ln 8+。

［ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f （x)为D 上的正值连续函数,a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A ） πab . （B)π2ab . （C) π)(b a +. （D ） π2ba + . ［ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数,则必有（A ） 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂. （C ） 222yuy x u ∂∂=∂∂∂。