第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质

专题12 直线、圆、圆锥曲线的方程与性质1.已知方程22121x y k k +=--的图像是双曲线,那么k 的取值范围是 . 2.已知函数2()4+3f x x x =-,集合(){},|()()0M x y f x f y =+≤,(){},|()()0,N x y f x f y x y =-≥≥,则集合M N 的面积是 .3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB = ,则椭圆的离心率为 .4.在ABC ∆中,390,tan 4A B =︒=,若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .5.如果方程222kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 .6.已知点()2,3在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上,双曲线C 的焦距为4,则它的离心率为 .7.设()00,M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是 .8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 .9.在平面直角坐标系x O y 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围为 .10.已知三点()()()125,2,6,0,6,0P F F -.(1)求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为12,,P F F ''',求以为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,上下顶点分别为12,B B .设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13,圆C 与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B 对称.(1)求椭圆E 的离心率；(2)判断直线11A B 与圆C 的位置关系,并说明理由；(3)若圆C 的面积为π,求圆C 的方程. 12. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()12,0F -,右准线方程为8x =. (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为右准线上一点,A 为椭圆C 的左顶点,连接AM 交椭圆于点P ,求PM AP的取值范围；(3)设圆()()22:14Q x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点,过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS ,BT ,切点分别为,S T ,求BS BT ⋅ 的最大值.。

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

第七讲 直线与圆锥曲线教学目标：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.一、知识回顾 课前热身知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.例题辨析 推陈出新例1(1)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a ＝1，得(a ＋4k 2)x 2－8kx ＋4－4a ＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k 2－4×(4－4a )(a ＋4k 2)＝0， 即a ＋4k 2－1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1. [答案] (1)a ＋4k 2－1＝0 (2)D 变式练习1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，得－1≤k ≤1，且k ≠0.综上－1≤k ≤1.例2已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[自主解答] (1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N 、y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒ m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是12<m <2.变式练习2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，b ＝23.故所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例3已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆M 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[自主解答] (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得 ⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32， 解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．＝－4k 22k 2＋1，x 0如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12<x G <0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.变式练习3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)， 则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ·k NQ ＝－1，即2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1， 整理得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ ―→与MP 共线，得x 0＝2xtx ＋t.②由①②得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)，∴t ＝－x 2＋13x＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋13x . ∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.三、归纳总结 方法在握归纳2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．求最值常见的解法有几何法和代数法.四、拓展延伸 能力升华(2012·福建高考·满分13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.⇨(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知， 点M 必在x 轴上．⇨(10分)设M (x 1,0)，则MP ·MQ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ， MQ＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP ·MQ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <ba .2．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析：选B 直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 解析：选D 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，又b 2＝a 2－c 2，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.4．(2013·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA|为( )A.21p 4B.21p2 C.136p D.1336p|AD |＝3解析：选B 如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，m ，由抛物线定义知|F A |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ，∴m ＝p .∴|OA |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 设过点(0,1)斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个根；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝－16k ＋16， 由Δ＝0，即－16k ＋16＝0得k ＝1.所以k ＝0，或k ＝1时，直线与抛物线只有一个公共点， 又直线x ＝0和抛物线只有一个公共点．6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32解析：选B 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0.又∵M ，N ，P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)． ∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 ·y ＋y 0x ＋x 0.∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|， 即|k 1|·|k 2|＝b 2a 2.又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2ba，∴2ba ＝1，即4b 2＝a 2.∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2. ∴c 2a 2＝54.即e 2＝54，∴e ＝52. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝08．一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________． 解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－19．(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22.11．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． 解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m 8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．12．(2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有 x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2<1，即(1＋k2)x2<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a2(1＋k2)2<a2，解得k2>3，所以|k|> 3.。

圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

b5E2RGbCAP圆锥曲线分类圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线p1EanqFDPw椭圆：到两个定点的距离之和等于定长<定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|>}。

DXDiTa9E3d双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值<定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|>}。

RTCrpUDGiT 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。

早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

5PCzVD7HxA1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12）双曲线参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2 /a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴） jLBHrnAILg3）抛物线参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数> t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0xHAQX74J0X直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c <开口方向为x轴, a<>0 > LDAYtRyKfE圆锥曲线<二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 Zzz6ZB2Ltkρ=ep/(1-e×co sθ>其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。