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第2讲弧度制和弧度制与角度制的换算一、基本内容1、角度制：角度制规定60分等于，60秒等于 .2、弧度制：（1）长度等于半径的长的圆弧所对的圆心角叫做的角，记作 ,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做 .（2）在半径为r的圆中，弧长为L的弧所对的圆心角为rad，则=.3、角度制与弧度制的换算= rad，=rad rad，1rad= .4、弧度制下扇形的面积公式为 S=LR=∣∣.二课堂探究互动题型一弧度制的概念问题例1、下列各命题中，假命题是（）A、“度”与“弧度”是度量角度的两种不同的度量单位；B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；C、根据弧度的定义，一定等于弧度；D、不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关.解析：思考题1、下列各种说法中正确的是（）A、一弧度是一度的圆心角所对的弧；B、一弧度是长为半径的弧；C、一弧度是一度的弧与一度的角之和；D、一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.解析：题型二角度与弧度的互化问题例2、（1）将化成弧度；解析：（2）将13.5 rad化成度；解析：（3）时间经过4小时，时针、分针个转过多少度？等于多少弧度？解析：思考题2、（1）把化成弧度；（精确到0.001）解析：（2）把-化成度.解析：题型三用弧度制表示终边相同的角、象限角及区间角例3、把下列各角化成0到2的角加上2k(k)的形式，并指出它们是第几象限角.（1）；（2）-；（3）；（4）-.解析：思考题3、将下列用弧度制表示的角化为2k，，的形式，并指出它们所在的象限.（1）-；（2）；（3）-20；（4）-2.解析：题型四扇形的弧长与面积公式的运用问题例4、求下列各题：（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9，求扇形圆心角的弧度数；解析：（2）若某扇形的圆心角为，半径为15cm，求扇形面积；解析：（3）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积达到最大？最大值是多少？解析：思考题4、已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数.解析：题型五弧度制下角的集合关系问题例5、集合M={x∣x=，}，N={x∣x=，}.则（）A、M=N； B、M N； C、N M； D、M.解析：思考题5、已知集合M={x∣x=，}，P={x∣x=，},则P与M 之间的关系是（）A、P M；B、M P；C、M=P；D、M N=.解析：三课堂练习1、终边在第三象限的角平分线上的角的集合为（）A、{∣=2k+,k}；B、{∣=2k+,k}；C、{∣=2k-,k}；D、{∣=2k-,k}.解析：2、与角终边相同的最小正角是 .解析：3、扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长.解析：4、如图，动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q方向每秒钟转弧度，求P、Q时间及P、Q点各自走过的弧度.解析：5、已知扇形OAB的圆心角为=，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积. 解析：弧长L=r=，OA=OB=6，∴AB=6，圆心到AB的距离d=3，∴弓形的面积S=扇形=.。
弧度制与⾓度制的换算公式
弧度制与⾓度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
⾓的度量单位通常有两种，⼀种是⾓度制，另⼀种就是弧度制。
弧度制
⽤弧长与半径之⽐度量对应圆⼼⾓⾓度的⽅式，叫做弧度制，⽤符号rad表⽰，读作弧度。
等于半径长的圆弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓。
由于圆弧长短与圆半径之⽐，不因为圆的⼤⼩⽽改变，所以弧度数也是⼀个与圆的半径⽆关的量。
⾓度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统⼀了度量弧与⾓的单位，从⽽⼤⼤简化了有关公式及运算，尤其在⾼等数学中，其优点就格外明显。
⾓度制
⽤度(°)、分(′)、秒(″)来测量⾓的⼤⼩的制度叫做⾓度制。
⾓度制：规定周⾓的360分之⼀为1度的⾓，⽤度作为单位来度量⾓的单位制叫做⾓度制。
单位换算
⾓度制中，1°=60′，1′=60″，1′=(1/60)°，1″=(1/60)′。
⾓度制就是运⽤60进制的例⼦。
运算法则
两个⾓相加时，°与°相加，′与′相加，″与″相加，其中如果满60则进1。
两个⾓相减时，°与°相减，′与′相减，″与″相减，其中如果不够则从上⼀个单位退1当作60。
弧度制与角度制之间的换算
1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
⑴平角=π rad 、周角=2π rad
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r
l =α（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad
∴ 1︒=rad rad 017453.0180≈π
8.447157)180(1'''︒≈︒=π
rad 3．（1）弧长公式：α⋅=r l
比公式180
r n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
（2）扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 这比扇形面积公式 360
2
R n S π=扇 要简单 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化
例1用弧度制表示：
1 终边在x 轴上的角的集合
2 终边在y 轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
例2．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位
为：m ？
例3已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算新知提炼1．弧度制(1)定义：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)记法：弧度单位用符号“ ”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写．(4)求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 ．如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ．2．角度制与弧度制的换算(1)弧度制与角度制的互化(换算)360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.01745 rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.(2)特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l ＝n πr 180＝ ；扇形的面积：S ＝ ＝ ＝ ． 小试身手1．－75°的弧度数是( )A ．－π3B ．－5π12C ．－5π6D ．－5π72．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( ) A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π33．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________． 题型探究题型一 弧度制的概念[学生用书P4]例1 下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径大小有关方法归纳必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强对这一新概念的利用，才能快速地掌握．跟踪训练 下列四个命题中，不正确的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度题型二 角度制与弧度制的互化[学生用书P5]例2 将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad. (3)在某一指定范围内求某种特性的角：①解不等式求对应k 的值；②将k 赋值找出相应的角．跟踪训练 1.把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π42．在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．题型三 扇形的弧长和面积问题[学生用书P5]例3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________cm 2.(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．求解策略扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练 1.半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为( )A ．π3 cmB ．π23cm C ．2π3 cm D ．2π23cm 2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？当堂检测1．把－8π3化成角度是( ) A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°2．将245°化为弧度为________．3．角－2912π的终边在第________象限． 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.【参考答案】新知提炼1．(1)弧度(2)半径长(3) “rad ”(4)正数，负数， 02． (1) 2π；π；π1803． |α|·r ； n πr 2360 12l ·r 12|α|·r 2． 小试身手1．B2．C3．(1)π10(2)54° 题型探究例1 D【解析】 根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．跟踪训练 D【解析】选D.本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念．根据1弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．对照各选项，可知D 不正确．例2【解】 (1)20°＝20180π＝π9. (2)－15°＝－15×π180＝－π12. (3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 跟踪训练 1.D【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4. 2．解：因为2π5＝25×180°＝72°， 所以与角2π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角2π5终边相同的角为72°，432°. 例3 π.【解析】 (1)设扇形弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)， 所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)． 所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)． (2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.② ①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解之得R 1＝1，R 2＝4.当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad. 跟踪训练 1.D【解析】因为120°＝2π3， 即|α|＝2π3， 所以弧长l ＝|α|·r ＝2π3·π＝2π23(cm)．故选D. 2．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100. 所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大， 这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 当堂检测1． B【解析】－8π3＝－83×180°＝－480°. 2．49π36【解析】245°＝245×π180＝49π36. 3．四【解析】－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限． 4．32π 【解析】S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.。
角度制与弧度制的换算公式
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。
1、弧度制
用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫做弧度制，用符号rad表示，读作弧度。
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。
角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。
2、角度制
用度(°)、分(′)、秒(″)来测量角的大小的制度叫做角度制。
角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
单位换算
角度制中，1°=60′，1′=60″，1′=(1/60)°，1″=(1/60)′。
角度制就是运用60进制的例子。
运算法则
两个角相加时，°与°相加，′与′相加，″与″相加，其中如果满60则进1。
两个角相减时，°与°相减，′与′相减，″与″相减，其中如果不够则从上一个单位退1当作60。
2．将下列角度与弧度互化．；2210°；3错误!；4错误!.；6－1120°；7－错误!；8错误!.3．把下列各角化成2kπ＋α0≤α<2π,k∈Z的形式,并指出它们是第几象限角．；2－1600°；32005π；4－5.3求下列各角所在的象限．错误!；2错误!；3－错误!；4－错误!. 4．一扇形周长为20,问扇形的半径和圆心角各取何值时,才能使扇形的面积最大4.已知扇形的半径为10,圆心角为错误!,求该扇形的周长及面积．作业2：§1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．－225°化为弧度为B．－错误!C．－错误!D．－错误!化为角度为A．75°B．105°C．135°D．175°3．下列各对角中,终边相同的是与错误!B．－错误!与错误!C．－错误!与错误!错误!与错误!4．下列所给角中,是第二象限角的是B．－错误!C．－错误!错误!5．一钟表的分针长10 cm,经过35分钟,分针的端点所转过的长为A．70 cm cm cm cm6．一条弦长等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为C．1 D．π7.已知集合M＝{x|x＝kπ＋错误!,k∈Z},N＝{x|x＝错误!＋π,k∈Z},则A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M∩N＝∅8.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的2倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍9．如果一扇形的圆心角是72°,半径是20 cm,则扇形的面积为________．10．已知一扇形所在圆的半径为10 cm,扇形的周长是45 cm,那么这个扇形的圆心角为________弧度．11. 已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为13,则内切圆面积与扇形面积之比为________．12．如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合不包括边界．13.已知一扇形AOB的周长为8,若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小．14．圆心在原点的单位圆上两个动点M、N,同时从P1,0点出发,沿圆周运动,M点按逆时针方向旋转错误!弧度/秒,N点按顺时针转错误!弧度/秒,试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．。
