弧度制和弧度制与角度制的换算资料讲解

弧度与角度的相互关系1、弧度的定义:圆心角的弧度等于该角所对的弧长与半径之比。

2、一个弧度的定义:通常把弧长等于半径R的圆弧所对的圆心角称为一个弧度。

由定义知:360°π*Dρ° D/2一个弧度ρ°=(360°*D/2)/πD=180°/π=57. 2958°即1弧度ρ°等于57. 295 8°（角度）（用度分秒形式表达就是：57° 17 ′44.88″） 1弧度（ρ°）=180°/π×60=3438′（分）1弧度（ρ°）=180°/π×60×60=206265″（秒）3、角度与弧度的换算关系：（1）Θ0（度）＝1800/π·Θ=ρ0·ω=ρ′·ω（弧度）=ρ″″·ω其中ρ″=206 265″（2）弧度转换为角度有两种：(a)弧度*180/PI（）；(b)利用函数命令“=degrees（）”。

4、角度误差与边长的横向影响：ω=Θ″/ρ″=L/R例如：某角度测量的误差为±10″,估计它对边长2km的点位有多大的影响？ω=Θ″/ρ″=L/R=10″/206 265″=L/2000 ,故 L=0.1m5、在弧度和角度转换中用到一个参数命令“PI（）”，换句话说PI（）就是圆周率π的别名。

1）正算三角函数（即角度已知）是“函数命令（）×PI（）/180”（或写成“函数命令（）×π/180）。

（例题参见“坐标正算表”）2）在反算三角函数中，单位是弧度，转换成角度时是“函数命令（）×180/PI（）”（或写成“函数命令（）×180/π”）。

（例题参见“由两组坐标值解算平距和方位角的计算表”）6、在小数形式的角度中用“度分秒”来表示时,有两种形式:第一种:六十制法：分三步走:(1)“度”是小数形式的整数部分;(2) “分”是(1)中小数点后数值（包括小数点）×60后得的整数部分. (3)“秒”是在(2)步骤中的小数部分（包括小数点）×60后得的数值。

弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 一、自主学习1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 5、角度制与弧度制的换算：（ 1）．∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ； ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad（2）．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。

②扇形面积公式 lR S 21=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

6．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系二．例题例1：把11230'化成弧度（用π表示）o R Sl例2： 把3 rad 5π化成度例3：填写下表：例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长: ⑴3⑵ 165例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2，求扇形中心角的弧度数．随堂练习1．下列命题中，真命题是( )A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60° 3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π64．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.。

第2讲弧度制和弧度制与角度制的换算一、基本内容1、角度制：角度制规定60分等于，60秒等于 .2、弧度制：（1）长度等于半径的长的圆弧所对的圆心角叫做的角，记作 ,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做 .（2）在半径为r的圆中，弧长为L的弧所对的圆心角为rad，则=.3、角度制与弧度制的换算= rad，=rad rad，1rad= .4、弧度制下扇形的面积公式为 S=LR=∣∣.二课堂探究互动题型一弧度制的概念问题例1、下列各命题中，假命题是（）A、“度”与“弧度”是度量角度的两种不同的度量单位；B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；C、根据弧度的定义，一定等于弧度；D、不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关.解析：思考题1、下列各种说法中正确的是（）A、一弧度是一度的圆心角所对的弧；B、一弧度是长为半径的弧；C、一弧度是一度的弧与一度的角之和；D、一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.解析：题型二角度与弧度的互化问题例2、（1）将化成弧度；解析：（2）将13.5 rad化成度；解析：（3）时间经过4小时，时针、分针个转过多少度？等于多少弧度？解析：思考题2、（1）把化成弧度；（精确到0.001）解析：（2）把-化成度.解析：题型三用弧度制表示终边相同的角、象限角及区间角例3、把下列各角化成0到2的角加上2k(k)的形式，并指出它们是第几象限角.（1）；（2）-；（3）；（4）-.解析：思考题3、将下列用弧度制表示的角化为2k，，的形式，并指出它们所在的象限.（1）-；（2）；（3）-20；（4）-2.解析：题型四扇形的弧长与面积公式的运用问题例4、求下列各题：（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9，求扇形圆心角的弧度数；解析：（2）若某扇形的圆心角为，半径为15cm，求扇形面积；解析：（3）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积达到最大？最大值是多少？解析：思考题4、已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数.解析：题型五弧度制下角的集合关系问题例5、集合M={x∣x=，}，N={x∣x=，}.则（）A、M=N； B、M N； C、N M； D、M.解析：思考题5、已知集合M={x∣x=，}，P={x∣x=，},则P与M 之间的关系是（）A、P M；B、M P；C、M=P；D、M N=.解析：三课堂练习1、终边在第三象限的角平分线上的角的集合为（）A、{∣=2k+,k}；B、{∣=2k+,k}；C、{∣=2k-,k}；D、{∣=2k-,k}.解析：2、与角终边相同的最小正角是 .解析：3、扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长.解析：4、如图，动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q方向每秒钟转弧度，求P、Q时间及P、Q点各自走过的弧度.解析：5、已知扇形OAB的圆心角为=，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积. 解析：弧长L=r=，OA=OB=6，∴AB=6，圆心到AB的距离d=3，∴弓形的面积S=扇形=.。

弧度制和角度制的换算方法在数学中，角度的表示方法有两种，分别是弧度制和角度制。

弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法，而角度制则是将一个圆分为360个等份，以度来表示角的大小。

本文将介绍弧度制和角度制之间的换算方法。

一、弧度制与角度制的基本概念在介绍具体的换算方法之前，我们先来了解一下弧度制和角度制的基本概念。

1. 弧度制（Radian）弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法。

它是以单位圆的半径为1的圆周上所对应的弧长与半径的比值定义的。

一个完整的圆周对应的弧长是2π，所以一个圆周的角度大小用2π弧度表示。

一个直角所对应的角度是π/2弧度。

2. 角度制（Degree）角度制是将一个圆分为360个等份，用度来表示角的大小。

一个完整的圆周对应360度，一个直角所对应的角度是90度。

二、弧度制和角度制的换算方法下面是弧度制和角度制之间的换算方法。

1. 弧度制转角度制弧度制转角度制的换算方法是将弧度值乘以180再除以π。

用公式表示为：角度制 = 弧度制× 180 / π2. 角度制转弧度制角度制转弧度制的换算方法是将角度值乘以π再除以180。

用公式表示为：弧度制 = 角度制× π / 180三、实例演算为了更好地理解弧度制和角度制之间的换算方法，下面通过几个实例来进行演算。

例1：将2π弧度转换为角度制。

根据弧度制转角度制的换算公式，可得：角度制= 2π × 180 / π = 360度所以，2π弧度等于360度。

例2：将180度转换为弧度制。

根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 180 × π / 180 = π弧度所以，180度等于π弧度。

例3：将30度转换为弧度制。

根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 30 × π / 180 = π/6弧度所以，30度等于π/6弧度。

通过以上实例演算，我们可以清楚地看到弧度制和角度制之间的转换关系。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算要点核心1．度量角的单位制：角度制、弧度制 (1)角度制)(deg reemeasure初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度． 规定周角的3601为1度角，记作1。

．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．(2)弧度制)(ure radianmeas规定把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作lrad ．如图1-1-2 -1， AB 的长等于半径r ． B A 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角即.1=rl2．角度与弧度之间的互化(1)将角度化为弧度;.2360rad π=;.180rad π=.01745.01801rad rad ≈=π(2) 将弧度化为角度;360.2=rad π ;180.=rad π .185730.57)180(1=≈=πrad(3) 弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为a rad ，角度为on 则 (4) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应表： )180(.παα=rad .180rad n n π⋅=3．用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角a 终边相同的角的一般形式为:απβ+=k 2⋅∈)(z k这些角所组成的集合为⋅∈+=},2|{z k k απββ4．扇形的弧长与面积公式若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为R ，弧长为L ，面积为S ，则有.||2121|,.......|2R lR S R l αα===热点例题考点1 弧度制的概念问题[例1] 下列各命题中，假命题是( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的,36011弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义，180。

一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关考点2 角度与弧度的互化问题 [例2](1)将130315 化成弧度；(2)将rad .5.13π化成度；(3)时间经过5小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？考点3用弧度制表示终边相同的角、象限角及区问角[例3]把下列各角化成0到π2的角加上)(2z k k ∈π形式，并指出它们是第几象限角．;3100)1(π ;5111)2(π-;1200)3(o考点4 扇形的弧长与面积公式的运用问题[例4]求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)若某扇形的圆心角为750。