数学08级本科概率统计试卷(A)

河海大学文天学院2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计》试卷一、（每空2分，共18分）1、已知3/1)(,2/1)(,4/1)(===B A P A B P A P ，则=)(B A P ；2、设随机变量)1.0,20(~B X ，则{}==EX X P ；3、设随机变量X 、Y 相互独立，D(X)=1，D(Y)=4，则D(2X-Y+2)= ；4、设随机变量),10(~2σN X ，且{},3.02010=<<X P 则{}=<<200X P ；5、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为：则P{XY=0}= ；6、设随机变量X 与Y 独立同分布，即U=X-Y , V=X+Y ，则随机变量U 和V 的相关系数是 ；7、),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，21,,;,,11n n Y Y X X 分别为两总体相互独立的样本，则Y X -的分布是 ；8、设总体),(~2σμN X ，μ和2σ均未知，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则2σ的置信度为α-1的置信区间为 ； 二、（12分）某仓储基地运送牛奶到一家超市，车上共混装有三个品牌的50箱牛奶，其中25箱为卫岗牛奶、10箱为光明牛奶、15箱为蒙牛牛奶。

到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失的是哪个品牌的牛奶，现从剩下的49箱中任意打开2箱检查。

（1）求任意打开的2箱都是卫岗牛奶的概率。

（2）在任意打开的2箱都是卫岗牛奶的情况下，求丢失的一箱也是卫岗牛奶的概率。

三、（8分）设X 服从分布)9,2(N ，求42-=X Y 的概率密度函数)(y f Y 。

四、（14分）已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x Ax x f求(1)常数A ；(2)X 的分布函数F(x)；(3));23(2+-X X E (4){}4.24.0≤<X P .五、（18分）设二维连续型随机变量(X ，Y)的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,0,2),(y y x y x f 求：（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ；（2）Y 的期望和方差E(Y)，D(Y)；（3）X 与Y 的协方差Cov(X,Y); (4) Z=max(X,Y)的密度函数。

08届高考数学概率与统计训练题班级 姓名 学号 成绩一、选择题:1．下列说法错误的是A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2． 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是41，其中解释正确的是A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为41D ．以上说话都不正确 3．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12= 13.2，S 22=26．26，则A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度4．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是 A ．53 B. 52 C. 41 D. 81 5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输人为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 A ．3.5 B ．-3 C ．3 D ．-0.56．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点D ，则AD 的长小于AC 的长的概率为A ．21 B. 221 C. 22 D. 27．某题的得分情况如下：其中众数是A ．37.0％B ．20.2％C ．4分D ．0分8．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为 A ．0.65 B ．0.55 C ．0.35 D ．0.75 二、填空题：9.一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 。

2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。

样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。

全国2008年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=⋃A AD ．A A =2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6D ．0.83．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F （ ）A ．e 31 B ．3eC ．11--eD ．1311--e4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （ ）A ．41B ．31C ．3D ．45．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ）A ．161B ．163 C ．41 D ．836．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F YD ．17．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(ND ．)45,11(N8．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为 （ ） A ．np p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np -9．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(tD ．)1,1(F10．设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计是（ ） A ．∑=--ni iX Xn 12)(11B ．∑=--ni iXn 12)(11μC ．∑=-ni iX Xn12)(1D ．∑=-+ni iXn 12)(11μ二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

辽宁工程技术大学考试题签 2009 － 2010 学年第 1 学期 课程名称 概率论与数理统计 试卷类型 A 卷，试题签页数 5 ，专业负责人签字：提示：解题中可能会用到的数值8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ，9986.0)3(=Φ,975.0)96.1(=Φ.一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中；本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1、概率)(A P ，)(B A P +，)(AB P ，)()(B P A P +的大小顺序是( ).(A) )(A P ≤)(AB P ≤)(B A P +≤)()(B P A P +(B) )(B A P +≤)(A P ≤)()(B P A P +≤)(AB P(C) )(AB P ≤)(A P ≤)(B A P +≤)()(B P A P +(D) )()(B P A P +≤)(B A P +≤)(A P ≤)(AB P2、设随机变量X 的分布函数)(x F 连续且严格单调递增，令)(X F Y =,则随机变量Y 的概率分布为( ).(A) )1 , 0(U (B) )1 , 0(N (C) )1 , 0(C (D) )1 , 0(LN3、设),,,,(~),(22ρσσμμY X Y X N Y X ,则下列结论错误的是（ ）.(A) ),(~2XX N X σμ (B) )()1( , )(~|2222ρσμσσρμ--+=Y X X Y Y x N x X Y (C) Y X ,独立0=⇔ρ (D) ),(~22Y X Y X N Y X σσμμ+++4、若事件A 、B 满足0)(=AB P ，则必有( ).(A) A 与B 相互独立 (B) 0)(=A P 或0)(=B P(C) A 与B 互为逆事件 (D) 1)(=B A P5、设随机变量X ～) , 0(2σN ,)1( , )1(≤=-≥=X P b X P a , 则( ).(A) b a > (B) b a = (C) b a < (D) 无法比较b a ,的大小6、设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则该分布的α分位点αx 是指( ).(A))(x F x =α (B))(1x F x -=α (C))(1αα-=F x (D))1(1αα-=-F x7、若EY E ΧΧY E ⋅=)(，则下列结论错误的是( ).(A) 0),cov(=Y Χ (B) Y ΧY Χvar var )var(+=+(C) Y Χ,独立 (D) Y Χ,不相关8、 设21ˆ,ˆθθ是θ的两个估计量，则与“1ˆθ较2ˆθ有效”等价的表述是( ). (A) 21ˆˆθθE E ≤且21ˆvar ˆvar θθ≤ (B) 21ˆˆθθE E =且21ˆˆθθMSE MSE ≤ (C) 21ˆˆθθE E =且21ˆvar ˆvar θθ≤ (D) θθθ==21ˆˆE E 且21ˆˆθθMSE MSE ≤ 9、设),1(~p b X ,p 未知. 对X 进行的5次观测结果是0,1,0,1,1， 则分布参数p 的矩估计为( ).(A) 2/5 (B) 3/5 (C) 2/3 (D) 110、设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，令∑==ni i X n X 11，则对任意0>ε下列结论不正确的是（ ）. (A) ()0 lim , 0=≥->∀∞→εμεX P n (B) ()2 , 0⎪⎭⎫ ⎝⎛<≥->∀εσεμεX P (C) 2221/ lim , x n e x n X P R x -∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∈∀πσμ (D) 22)()( , c X E X E R c -<-∈∀μ二、计算题（要求计算过程步骤完整，公式明确，简繁适当；本大题共5小题，11、12、13题各6分，14题12分，15题10分，总计40分）11、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=. 6 , 1; 63 , 2/1; 31 , 3/1; 10 , 4/1 ; 0 , 0)(x x x x x x F求X 的分布律，并求)5.1(>X P .12、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧><≤≤+=. 2/1 0 , 0; 2/10 , )(2x x x x cx x p 或 求常数c ,并写出X 的分布函数.13、设随机向量) ,(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<-=. , 0; 10 , )1(6),( 其它　y x y y x p 求)1( <+Y X P .14、设随机向量) ,(Y X 在矩形 } 10 , 20 |) ,{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，令⎩⎨⎧≤>=. ,0 ; , 1 Y X Y X U ⎩⎨⎧≤>=. 2 ,0 ; 2 , 1 Y X Y X V 求),cov(V U . 15、设~ X i.i.d.x x x n ,,,21 ，已知X 的概率密度为αβαβα--=x e x p 1) , ; (， , 0 βα>>x .求MLE MLE βαˆ , ˆ. 三、证明题（要求推理过程层次清晰，理由明确，简繁适当；10分）16、设),( , ,,,2121σμ~ N i.i.d.X X X X n n + ，记∑==n i i n X n X 11, 212) (11n n i i n X X n S --=∑=， 证明 )1(~11--⋅+=+n t S X X n n T nn n .四、应用题（要求写出简要的审题分析，明确所应用的数学知识，推理与计算步骤完整，对计算结果要给出简要的评价或说明；本大题共2小题，每小题15分，总计30分）17、科研人员对一新研制的机械产品的运行稳定性进行了分析，认为在运行中发生故障的概率25.0=p .为验证这个结论，研究人员对该机械产品进行了1000次独立重复运行测试，在0.95的置信水平下，问：（1）实测到的故障的频率n f 与概率p 会相差多少？（2）实测到的故障次数范围约是多少？若认同你的结论会有多大的决策风险？18、银行对一申请贷款的客户进行信用评级后认为：该客户信用评级为0.8（该客户是一个诚信客户的概率）；同时认为，一个非特定客户信守承诺但因客观因素不能按期还贷的可能性为0.1，有能力还贷而不按期还贷的可能性为0.5.该客户未能如期偿还其第一次贷款.当该客户第二次向这家银行申请贷款时，银行调整了该客户的信用评级，认为该客户还有一定的按期还贷能力并放贷给他；但是该客户再次未能如期偿还贷款.问：（1）当该客户第二次向这家银行申请贷款时，银行将该客户的信用评级调整为多少？（2）当该客户未能如期偿还第二次贷款时，银行还会批准其以后的贷款申请吗？为什么？附加题（共2个附加题，每小题10分，总计20分）1、某企业有两个生产厂生产同一种电子产品. 产品的质量指标为X ，其目标值为μ，公差为ε. 并规定：若 εμ31≤-X ，产品质量等级为优级； 若 εμε3231≤-<X ，产品质量等级为良级； 若 εμε≤-<X 32，产品质量等级为合格；若 εμ>-X ，产品质量等级为不合格.两个生产厂的产品在同一地区投放市场，一段时间后发现消费者对甲厂产品的热情远大于乙厂产品. 市场分析人员调查后发现：)9, ( 2εμ~ N X 甲，) , ( εμεμ+-~ U X 乙, 试据此解释消费者对甲厂产品的热情大于乙厂产品的原因.2、设),( 2σμ~ N X ，2σ已知，0μμ=或1μ，01μμ<， 检验假设00:μμ=H vs 11:μμ=H . 记∑==ni i x n x 11为样本均值,αu 为标准正态分布的α分位点,检验的拒绝域为 } { 0n u x W σμα+≤=，犯第二类错误的概率)(10 μμσμβα=+>=n u x P . 证明（1）)(/011 nu Φσμμβα-+=-. （2）2012211)()(μμσβα-+=--u u n . （3）当n 固定时，α减少（增加）时β必然增加（减少）？。

考试课程： 班级： 姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 2 页)求：1）X 和Y 的边缘分布律；2）1=X 下Y 的条件分布律。

8 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它情况001),(x ex f xθθθ，其中θ未知，且0>θ。

1）求θ的极大似然估计量∧θ；2）判断∧θ是否为θ的无偏估计。

三 应用题（每小题8分，共16分）1为了估计产品使用寿命的均值μ和标准差σ，测试了9件产品，求得,1500=x 20=S ， 若已知产品使用寿命服从正态分布),(2σμN ，分别求总体均值μ和方差2σ的置信度为95％的 置信区间。

（注：023.19)9(,3060.2)8(96.1,2622.2)9(2025.0025.0025.0025.0====χt z t ，180.2)8(,535.17)8(,700.2)9(2975.02025.02975.0===χχχ）2 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差50002=σ的正态 分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取26只 电池，测出其寿命的样本方差92002=s ，问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化？（取02.0=α） （注：642.45)26(,524.11)25(,314.44)25(201.0299.0201.0===χχχ，198.12)26(299.0=χ）四 证明题（共6分）设二维连续型随机变量),(Y X 的两个分量X 和Y 相互独立，且服从同一分布，证明：21)(=≤Y X P 。

2008─2009学年第二学期《概率论与数理统计》 课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准经济yq供查阅的参考数值：（220.0250.975(0.5)0.69,(9)19,(9) 2.7χχΦ===） 一、填空题(每空 3 分，共30分)1． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ未知，则关于原假设0μμ=的检验统计量t =X -.2． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ已知，则关于原假设0μμ=的检验统计量Z =X - .3． 设X 的分布律为,{}1,,k k P X x p k n ===，则1nk k p =∑= 1.4． 某学生的书包中放着8本书，其中有5本概率书, 2本物理书,1本英语书,现随机取1本书,则取到概率书的概率为585． 设随机变量X 的分布函数为()F x ，则()F +∞= 1 . 6． 设X 在(0,1)上服从均匀分布,则()D X =112.7． 设(0,1)XN ,(1,2)YN ,相关系数1XY ρ=，则方差D X Y +（8． X 与Y 独立同分布,X 的密度函数为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，λ（>0）,{}min ,Z X Y =,则数学期望()E Z =12λ. 9． (,)X Y 概率密度为(,)f x y ,则X 的概率密度()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰.10. X 与Y 独立且均服从标准正态分布,则22X Y +服从2χ（2）分布.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分) 某人群患某种疾病的概率约为0.1%,人群中有20%为吸烟者,吸烟者患该种疾病的概率约为0.4%,求不吸烟者患该种疾病的概率(用A 表示人群中的吸烟者, 用C 表示某人群患该种疾病,P C （）=0.1%).解：P C （）=0.1%，P A （）=0.2，P C A （）=0.4% （2分） 由全概率公式 P C P C A P A P C A P A （）=（）（）+（）（） （4分） 可得 P C A （）=0.025% （2分） 2、(10分) 设随机变量X 的分布函数为1()0.4()0.6()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，求X 的密度函数()f x 、数学期望()E X 与方差()D X (记x x ϕ'Φ（）=()).解: X 的密度函数1()()0.4()0.3()2x f x F x x ϕϕ-'==+ （2分） 数学期望1()()d 0.3()d 2x E X xf x x x x ϕ+∞+∞-∞-∞-==⎰⎰（2分） =0.6(21)()dt 0.6t t ϕ+∞-∞+=⎰ （2分） 22221()()d 0.4()d 0.3()d 2x E X x f x x x x x x x ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-==+⎰⎰⎰=20.40.6(21)()dt 0.40.6(41) 3.4t t ϕ+∞-∞++=++=⎰（3分）方差2()D X EX E X =2（）-（）=3.4-0.36=3.04 （1分） 3、(9分)设随机变量(,)X Y 具有概率密度2201(,)0x y f x y π⎧≤+≤⎪=⎨⎪⎩1，，其它.(1)求X 的边缘概率密度；(2)验证X 与Y 是不相关的,但X 与Y 不是相互独立的.解：(1)X的概率密度为,11()0X y x f x π⎧⎪-≤≤=⎨⎪⎩=，其它（2分） A 卷第2页共4页(2)E X （）=0, E Y （）=0, E XY （）=0 （3分）-Cov X E XY E X E Y （）=（）（）（）=0,即X 与Y 是不相关的 （2分）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠可知X 与Y 不相互独立 （2分）3、 (9分) 一加法器同时收到48个噪声电压(1,,48)k V k =，它们相互独立且都在区间（0，10）服从均匀分布，记481k k V V ==∑，用中心极限定理计算{250}P V ≥的近似值.( 说明24020V -近似服从正态分布可得4分。

上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是 （ ） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。

记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。

则=)|(A B P （ ）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（ ）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。