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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。
2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。
4、偶数环是的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。
6、每一个有限群都有与一个置换群。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。
8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理5. 设A=｛所有实数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A第二部分思考题1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。
4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。
到入的映射O : X -> X2, x G A是A到入的一个同态满射。
6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x —> 2x , x e A是A的一个自同构映射。
7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。
近世代数复习一、选择题(每题2分,共16分)1、若G (a), ord ( a) n,则下列说法正确得就是2、假定就是A与A(AI A )间得一一映射，a A,则1［(a)］与［1(a)］分别为83、若G 就是群,a G,ord(a) 18,4、指出下列那些运算就是二兀运算5、设A,A2丄，A n与D都就是非空集合，而f就是A A L A n 到D得一个映射，那么6、设o就是正整数集合N上得二元运算，其中aob maxa,b),那么o在Z中7、在群G中,a, b G ,则方程ax b与ya b分别有唯一解为&设H就是群G得子群，且G有左陪集分类｛H,aH,bHcb｝、如果［G : H ］6,那么G9、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A 与B得积集合A X B中含有()个元素。
10、设A = B = R(实数集)，如果A到B得映射：x—x+ 2, x € R,贝U就是从A到B得11、设Z15就是以15为模得剩余类加群，那么，Z15得子群共有( )个。
12、G就是12阶得有限群，H就是G得子群，则H得阶可能就是13、下面得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述，下列正确得就是15、关于理想得叙述，下列不正确得就是16、整数环Z中，可逆元得个数就是a b17、设M2(R)= a,b,c,d€ R，R为实数域按矩阵得加法与乘法构成R上得二阶方阵c d环，那么这个方阵环就是-，当a为偶数时18、设Z就是整数集，c(a)= 2 4 ，a Z，则c就是R得「，当a为奇数时219、设A=｛所有实数x｝，A得代数运算就是普通乘法，则以下映射作成A到A得一个子集得同态满射得就是()、20、设就是正整数集Z上得二元运算，其中aob max a,b (即取a 与b中得最大者)，那么在Z中()21、设S3=｛(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2) ｝，则S3 中与元(1 2 3)不能交换得元得个数就是()22、设G,o为群，其中G就是实数集，而乘法o:aob a b k，这里k为G中固定得常数。
代数的主要内容代数是现代数学的基础，其涉及的概念和理论广泛而深刻。
以下是对代数主要内容的概述，包括基础概念、线性代数、群与环域、集合与关系、泛代数、抽象代数、数论基础、算术代数、线性方程组与矩阵、多项式与分式、对数与指数、数理逻辑、组合数学、概率论基础以及统计基础等方面。
1.基础概念代数的基础概念包括数、向量、矩阵等。
数是指实数、复数等基本数值，向量是具有方向和大小的量，矩阵则是二维数组，它们在代数中扮演着重要的角色。
2.线性代数线性代数是代数的重要组成部分，主要研究线性变换、向量空间、特征向量、矩阵等。
线性变换是一个从向量空间到自身映射的运算，矩阵则可以描述线性变换的性质和结构。
3.群、环、域群是一个由集合和在其上定义的二元运算组成的代数结构，其研究的主要对象是抽象代数。
环是一个封闭的代数结构，其中包含加法、乘法等运算。
域是一个只有加法和乘法两种运算的代数结构。
群、环和域是代数学中重要的概念。
4.集合与关系集合论是研究集合及其性质的基础数学理论。
集合之间的关系包括包含关系、相等关系和拓扑关系等。
这些关系在代数学中也占有重要地位。
5.泛代数泛代数是代数学中的一个重要方向，主要研究代数结构、半群、凸集等。
代数结构是指由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成的代数系统。
半群是一个只有二元运算的代数结构，其研究的主要对象是泛代数。
凸集是一个在实数空间中有特殊性质的集合，其在凸优化等领域有着广泛的应用。
6.抽象代数抽象代数是代数学发展的高级阶段，主要研究范畴、张量、同调理论等。
范畴是一个由对象和态射组成的代数结构，其用于描述数学对象之间的关系。
张量是一个多维数组，可以描述不同类型数学对象之间的关系。
同调理论是一种用于研究拓扑空间和代数对象之间关系的理论。
7.数论基础数论是代数的重要分支，主要研究整数、有理数、实数和复数等。
整数是指正整数、负整数和零，有理数是指两个整数之比，实数是指完备度量空间中的数，复数是指形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位。
1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。
近代代数知识点总结近代代数是代数学的一个重要分支，它涉及了一系列复杂的数学概念和技巧。
近代代数的研究对象是数学结构及其性质，主要包括代数系统、线性代数、群论、环论、域论等。
本文将重点总结近代代数的几个重要知识点，包括代数系统的基本概念、线性代数、群论、环论和域论等内容。
一、代数系统的基本概念代数系统是近代代数的基础，它包括了一系列代数结构，如半群、幺半群、群、环、域等。
代数系统的研究是为了更好地理解和描述代数结构之间的联系和性质，为其他分支的发展奠定了基础。
1.1 半群和幺半群半群是代数系统中最基本的结构之一。
一个半群是一个集合S，其上定义了一个二元运算∗，满足封闭性、结合律。
即对于任意a，b，c∈S，有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)。
当半群中存在一个元素e，使得对于任意a∈S，都有e∗a=a∗e=a时，这个半群称为幺半群。
1.2 群群是代数系统中最重要的结构之一。
一个集合G上的一个二元运算∗称为一个群，如果满足以下四个性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。
即对于任意a，b∈G，都有a∗b∈G，且存在一个元素e∈G，对于任意a∈G，都有e∗a=a∗e=a，对于任意a∈G，存在一个元素b∈G，使得a∗b=b∗a=e。
1.3 环环是一个包含了加法和乘法运算的代数结构，它满足一定的性质。
一个集合R上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个环：加法封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元存在性、加法逆元存在性、乘法封闭性、乘法结合律、乘法分配律。
1.4 域域是一个更为抽象和严格的代数结构，它包含了加法和乘法运算，并且满足一定的性质。
一个集合F上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个域：加法和乘法满足环的所有性质，乘法交换律、乘法单位元存在性、乘法逆元存在性。
以上是代数系统的基本概念，对于这些概念的理解和应用将对后续的代数学习起到重要的指导作用。
二、线性代数线性代数是代数系统中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等内容。
代数基本定理分解因式代数基本定理，也被称为代数基本定理，是代数学中的一个基本定理。
它表明，任何一个非常数的一元n次多项式，都可以在复数域上因式分解成 n 个一次多项式的乘积。
代数基本定理是现代代数学的基石之一，它的证明是复杂而深奥的，需要借助于复数域的特性和高深的代数理论。
代数基本定理的表述可以用简洁的数学语言来描述。
假设 f(x) 是一个非常数的一元n次多项式，其中 n 是一个正整数。
那么f(x) 可以表示为以下形式之一：f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)⋯(x - xₙ)或者f(x) = a(x - x₁)²(x - x₂)²⋯(x - xₙ)²其中 x₁, x₂, ..., xₙ 是复数，a 是一个复常数，且a ≠ 0。
这意味着，一个非常数的一元n次多项式总可以因式分解为 n 个一次多项式的乘积，或者是 n 个二次多项式的乘积。
代数基本定理的证明是非常复杂的，它需要运用复数域的代数性质和代数理论的深层次结构。
然而，我们可以通过一些直观的例子来理解代数基本定理的含义和应用。
考虑一个一元二次多项式 f(x) = x² + 1。
我们可以将它写成如下形式：f(x) = (x - i)(x + i)其中 i 是虚数单位，满足 i² = -1。
这样，我们就将 f(x) 因式分解成了两个一次多项式的乘积。
这个例子说明，即使是二次多项式，也可以分解成一次多项式的乘积。
类似地，考虑一个一元三次多项式 g(x) = x³ - 2x² + x - 2。
我们可以将它写成如下形式：g(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)这里，我们将 g(x) 分解成了三个一次多项式的乘积。
这个例子说明，任何一个非常数的一元三次多项式都可以分解成一次多项式的乘积。
代数基本定理的重要性不仅体现在它的理论意义上，而且在于它的应用。
因为代数基本定理保证了任何一个非常数的一元n次多项式都能够因式分解，这为代数方程的求解提供了一种有效的方法。
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33a b ba =，证明ab ba =。
证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166b a b a -=。
又a 为5阶元，所以5a e =，所以1b ab a -=，即ab ba =。
2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1xy -也属于H ，证明H 是一个子群。
证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11,,x H e xx H x xe H --∀∈=∈=∈， 1111,,()y H ye y H x y x y H ----∀∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。
3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。
证明：因为()1ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。
设ab n =，若()mba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|mab e n m =⇒所以||||ab ba n ==。
4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。
两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。
故二阶元有9个，为： （1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。
5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。
证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠∅故 由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群 （1）AutG 对于映射的合成封闭：,(),()A u t G a b G a b Gστττ∀∈∀∈⇒∈，， 故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。
（2）下证1AutG AutG σσ-∀∈⇒∈'''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈∀∈∃∈====使即则11''1''1''''11()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ-∈。
故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。
6 设G 是一个群。
证明由()nx x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。
证明：（1）先证φ是单射：()()111,,,x y Gx y x y x y e x y φφφ---∀∈==⇒=⇒=⇒若即为单射。
（2）再证φ是满射：11,()x G x x φφ--∀∈∈=⇒因G 为群，故G,x 为满射。
（3）G φ⇔为自同构可交换：φφ由（1），（2）知为双射，若为自同构，则： ()111.xy x y φφφ---∀∈=x,y G,(xy)=(x)(y),即1111yx x y x y y x G ----=⇒=⇒可交换。
G 反之若可交换，则：()111111111===xy yx y x x y xy y x x y φφφ---------∀∈=⇒==x,y G ，，(xy)(x)(y)φφφ⇒则为同态，又为双射为自同构。
7 设G 是一个交换群。
证明由=nφ(x)x 定义的n 次幂映射:G G φ→是G 到自身的同态。
证明：G ,,,x y G xy yx ∀∈=因为为交换群，故有 ()()()()nnnxy xy x y x y φφφφ===⇒为同态。
8 证明1101⎛⎫⎪⎝⎭和1011⎛⎫⎪⎝⎭在2()GL R 中为共轭。
但是不存在行列式为1的矩阵A ，使得111100111A A -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
证明：121110(),0111a b A GL A A c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设使得R22101,0,0,11ad ac bca a cb d ad bc c cb ca da ⎛⎫--⎛⎫===≠∈ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭即有R2201110,d e t 0()0111b A b G L b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 形如。
所以与在中共轭。
R211110det 0,1A 0111A b A A -⎛⎫⎛⎫=-<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为故不存在行列式为的矩阵，使得 9 证明若一个群只有有限个子群，则它必为有限群。
证明：设群G 有有限个子群，则G 中每个非单位元的元素的阶都是有限的（否则G 有无限个子群）。
1121,a G a G a ∀∈<>∈-<>则为G 的有限子群，取a 21312G ()a a a G a a <><>∈-<><> 则是的异于的有限子群，再取 312G a a a <><><>则是的一个异于与的有限子群G 如此下去，由于仅有有限个子群，故上述过程不能无限继续下去 12r a a a ∃<><><> 从而r,使G=i (1,2,)G a i <>= 又是有限的，故为有限群。
10 证明若H 是群G 的一个指数为2的子群，则H 必为正规子群。
证明：,,x G x H xH Hx H ∀∈∈==若则 ,:)2,,x H G H G H H x x H H x∉=== 若则由于（故所以 H G 故。
11 证明自由群的任意非单位元都是无限阶元。
证明：设a 为自由群F 的非单位元，F 由集合X 生成，则映射:f X →Z ，诱导出映射:F ϕ→Z 。
又11,iji n n i ij a F a x x ∈= 则，()()()()()()()1111iji n n i ij i iij ij a x x n f x n f x ϕϕϕ==++ 1jik k n m ===∑若|a|是有限的，则()||a ϕ也是有限的，所以m=0，ker a a ϕ∈⇒为单位元，矛盾。
所以|a|是无限阶元。
12 二面体群n D 中有多少个二阶元？（分n 为奇，偶情形讨论） 解：21{|,,}i j n n D a b a e b e a b ba -====当j 为奇数时，()()22,i j i i i i i i a b a b a ba bab a a bb b e -=====所以{|0,1,,1}2ia b i n =- 是阶元当j 为偶数时，i j ia b a =，只有当n 为偶数时2n i=，ia 为2阶元。
13 设x ，y 是二阶自由群2F 的两个生成元。
证明由()()1,x xyx y x φφ-==决定的同态22:F F φ→是一个同构。
证明：由于22:F F φ→，2,F x y =<>，()()1,x xyx y x φφ-==有()()()()()111y x x x y x y y xy φφφφφ---===，故φ为满射构造映射22:F F ϕ→()()1,x y y y xy ϕϕ-==，则2F id φϕϕφ==，则φ为同构。
14 设I ，J 是环R 的两个理想。
举例说明I J 不一定是理想。
证明{|,,}I J r R r x y x I y J +=∈=+∈∈是理想。
证明：例子：在整数环Z 中取理想<2>,<3>，则23<><> 不是理想。
（两个整数互素即可）首先证I+J 是R 的子加群因为0,0,0I J I J ∈∈∈+故，,,,r I J x I y J ∀∈+∃∈∈使得,000r x y r r I J =++=+⇒+为的单位元121212,,,,,r r I Jx x I y y J ∀∈+∃∈∃∈ 111222,r x y r x y =+=+使121212122()(),r r x x y y I J r r r r +=+++∈++=+ ,,,()0r I Jr x y r x y I J r r ∈+=+∃-=--∈++-=对使 可知r 有负逆元r -，故I+J 为R 的子加群。
,,,,,,a R r I J r x y x I y J I J ∀∈∀∈+=+∈∈因为为理想所以,,,ax I ay J ya J xa I ∈∈∈∈，()ar a x y ax ay I J =+=+∈+则()ra x y a xa ya I J I J R =+=+∈+⇒+为的理想。
15 自然数集合在加法和乘法下构成环吗？为什么？答：不构成环。
因为自然数在加法下不构成群。
16 证明n Z 是整数环的素理想当且仅当n 是素数。
证明：充分性：n 为素数，则：,a b ∀∈Z ，ab n ∈⇒Z n||n ab n a ⇒或a n ⇒∈n|b 或Z b n ∈Z 故n Z 是素理想。
必要性：n Z 是整数环的素理想，若n 为合数，1212,1,1n n n n n n n =<<<<12121212||1,1n n n n n n n n n n n n n n n ∈⇒∈∈⇒<<<<或或与矛盾Z Z Z故n 为素数。
17 若12:R R φ→是两个环之间的同构，证明其逆映射也是环同构。
证明：因为12:R R φ→是环同构，所以φ为双射，所以存在映射121:R R φ-→，使得1111,R R id id φφφφ--==，所以1φ-也为双射。
下证1φ-保持加法和乘法运算：因为φ为同构，所以122,a a R ∀∈1111112121212(())(())(())(()())a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----+=+=+=+ 则1111212()()()a a a a φφφ---+=+1111112121212(())(())(())(()())a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----=== 则1111212()()()a a a a φφφ---=，所以1φ-为同构。
18 设I ，J 是环R 的两个理想。
（1）证明I J 是理想。
（2）证明I 和J 的元素乘积的有限和v v vx y ∑的集合是理想。
此理想记作IJ 。
