线性代数复习——填空题

一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设1243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2二．1200 ,,,),矩阵 ,AB =则(B)(c)00A B ==或(d)0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是(C)(a)存在一组不全为零的数12,,,n k k k ,使得11220n n k k k ααα+++≠(b)12,,,n ααα中存在一个向量,它不能由其余向量线性表出 (c)12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d)12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5.设A 为n 阶方阵,且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为(AB)(a)1k α(b)2k α(c)12()k αα-(d)12()k αα+1．下列矩阵中，（?????）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C)100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A （C 3．设A (A)A -4．设A （B ）若5．若n （A 1．010n n-。

2．A 为3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4120α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4．已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234444ηη⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为。

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若 向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及 四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。

线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k -- D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于 AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是 BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是 CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则 CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足 DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ= BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若 304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或 2k =B 、1k = 或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B A 、4 B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ= DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、 24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++= AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+ B 、AB BA =C 、AB BA =D 、 A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B = B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X = CA 、11ABC -- B 、11CB A -- C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是 CA 、AA A *=B 、/1A A A*= C 、0A ≠，则0A *≠ D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB = B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B =练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A - C 、()B A n m 1-+ D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则 ____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001 C 、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001 练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+, 232αα+，312αα+ 练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+ 练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββ D 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中 D 是错误的A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A AD 、A A =' 练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是 D Ａ、E A - B 、E A + C 、2E A - D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3 ，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是 BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1 练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43 B 、12 C 、34 D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的 BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则 DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是 C A 、12,x x 中的一个 B 、()/123 C 、()/111 D 、相交但不垂直 练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -= DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是 13 练2、当i = 8 ，j = 3 时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为 14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为 14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取 正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取 负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为 28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为 3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a == 24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为 96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=2-13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为 AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是 AB BA =16、设3318A ⨯= ，则()22A = 1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -= 6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-= 1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -= 13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A = 83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-= 2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k = 3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A += 0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --= 1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -= 1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=- ，x 满足βα=+x 32 ，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ (5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x = 57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8- 时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

第一章一.选择题（1）设行列式D 1=22221111a cb a ac b a a c b a+++，D 2=222111c b a c b a cba ，则D 1= （ ） A ．0 B ．D 2C ．2D 2 D ．3D 2 （2）设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为 （ ） A .－15 B .－6 C.6 D.15（3）已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．－24 B ．－12 C ．－6 D ．12 二.填空题1.排列341265 的逆序数是__________；排列513264 的逆序数是（ ）。

2.四阶行列式中，项14432231a a a a 的符号是__________；项42342311a a a a 的符号是__________； 三.计算题 1.4321032131001011-，2.3315112043512131------，3.设 D=3142313150111253------,D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求+11A +12A +13A 14A 。

4.设 D=335111243152113------,D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求331+A 232-A 233+A 34A 。

一.选择题1、设A 为n 阶方阵，则=*AA （ ）a 、1；b 、A ；c 、2A ；d 、nA 。

2、设n 阶方阵C B A,, 满足关系式：E ABC =，则必有（ ）a 、E ACB =；b 、E CBA =；c 、E BAC =；d 、E BCA =。

线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

一、填空题：1.行列式 843591712-中元素21a 的代数余子式等于_________.2. 若,8=d c b a ,2=c f ae 则=++f d c e b a ___________.3. 交换行列式中两行的位置行列式 .4.行列式 00 (00)0...10 02 (001)0...00n n -= .5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .6. =00000000a b b a b a ab ______________.7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2324B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =__________.8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1A -=______________.9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .10. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.《线性代数B 》复习题12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．（填线性相关，线性无关或不能确定）16.向量组123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===、、的秩是______.17.设η是非齐次线性方程组Ax =b 的解，ξ是方程组0=Ax 的解，则ξη2+为方程组________________的解.18.齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数_____________.19.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .20.若非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，则方程组0=Ax ___________.21.齐次线性方程组0AX =一定有 解.22. 设12143314A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则t = .23．线性方程组AX =B ，其增广矩阵经初等行变换化为100101020013A ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，此方程组的解为 ．24.设1x=η及2x=η都是方程Ax =b 的解，则12x =ηη-为线性方程组______的解.25.设A 为6阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有_______个线性无关的解向量.26.λ是A 的特征值，则___________是kA 的特征值.27.设可逆方阵A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为___________.28. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值___________.29.若矩阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值121,2,λλ=-=则A 的第3个特征值3λ= .30.设n 阶方阵()ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ ，则有12n λλλ= .二、单项选择题：1.若行列式a a a a a =222112110≠，则行列式222112115522a a a a=（）.A ．10aB ．2aC ．5aD ．7a2.若,8=d c b a ,2=a e cf 则=++f d c eb a （ ）.A ．10 B. 6 C. -6 D. -103. 设A 是6阶方阵，则=A 3( ).A ．63AB ．A 3C ．A 63D ．6A4. 二阶行列式θθθθcos sin sin cos -的值为（ ）A ．-1B ．1C ．θ2sin 2D ．θ2cos 25. 111334211=---k 时，k 的取值是( ).A ．2=kB ．1=kC ．1-=kD ．3=k6.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵*A =( ).A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11117．下列说法正确的是( )A. A 和B 为两个任意矩阵，则A-B 一定有意义.B ． 任何矩阵都有行列式.C ． 设AB 、BA 均有意义，则AB=BA.D ． 矩阵A 的行秩=A 的列秩=A 的秩.8.设A 与B 是等价矩阵，则下列说法错误的是（ ）.A ．齐次线性方程组AX=0与BX ＝0同解 B. 秩)()(B r A r =C. 非齐次线性方程组AX=b 与BX ＝b 同解D. A 经有限次初等变换得到B9.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）.A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210010001 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321213 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000000110.若矩阵A =1131422711⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩是（ ）.A . 3B ．2C ．1D ．011.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a aa A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y a x a 2111B ，且2,3==A B ，则=+BA （）. A ．4 B ．5 C ．10 D ． 612.设A ,B 是n 阶可逆矩阵，那么（ ）不正确.A ．111()AB B A ---= B ．T A A =C ． 112)2(--=A AD ．AB BA =13.对n 阶可逆方阵,A B ，数0λ≠，下列说法正确的是（ ）.A. AB BA =B. 111)(---=B A ABC. 11()A A --=D. 11()A A λλ--=14. 对任意同阶方阵A,B ，下列说法正确的是（ ）.A ．T T T AB AB =)( B. |A+B|=|A|+|B| C. 111)(---=B A AB D. BA AB =15.设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）.A ．若02=A ，则0=AB ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．若AC AB =，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+16.设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有（ ）.A ．121,,,-s ααα 线性相关 B. 121,,,+s ααα 线性相关C ．121,,,-s ααα 线性无关 D. 121,,,+s ααα 线性无关17.向量组),0,0,1(1=α),0,1,0(2=α)1,0,0(2=α的秩为（ ）.A ．0 B. 1 C. 2 D. 318.设向量组αα1,, m 线性相关,则必可推出（ ) .A ．αα1,, m 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合B ．αα1,, m 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合C ．αα1,, m 中至少有两个向量成比例D ．αα1,, m 中至少有一个向量为零向量19.设321a a a ,,线性相关,则以下结论正确的是（ ）.A. 12,a a 一定线性相关B. 13,a a 一定线性相关C. 12,a a 一定线性无关D. 存在不全为零的数k 1,k 2,k 3使1122330k a k a k a ++=20.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （ ）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.21. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kxx 有非零解，则k =( ) .A. -1B. -2C.1D.222. 若()r A r n =<，则n 元齐次线性方程组0=AX （ ）.A. 有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定23.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）.A. 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解B. 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（ ）.A. 若12,x =x =ξξ都是方程0Ax =的解，则12x =ξξ+也是方程0Ax =的解B. 若1x=ξ是方程0Ax =的解，则13x =ξ也是方程0Ax =的解C. 若1x=ξ是方程Ax b =的解，则13x =ξ也是方程Ax b =的解D. 0Ax =的基础解系中的解向量线性无关25.设12,u u 是非齐次线性方程组b AX =的两个解,则以下正确的是( ) .A ．12u u +是b AX =的解B ．12u u -是b AX =的解C ．12u u -是0Ax =的解D ．12u 是b AX =的解26.含有5个未知量的齐次线性方程组0AX =系数矩阵的秩是3, 则此齐次线性方程组0AX =（ ）.A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解27.设n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，则必有（ ）.A ．|A|=0 B. 秩0)(=A r C. 秩n A r =)( D. 秩n A r <)(28.n 元非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是（ ）.A ．n A r =)( B. )()(A r A r < C. n A r =)( D. )()(A r A r =29. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则其逆1-A 必有一个特征值等于（ ）.A ．14 B ．12 C ．2 D ．430. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3113A 的特征值为（ ）.A ．4,221==λλ B. 4,221-==λλ C. 4,221=-=λλ D. 4,221-=-=λλ三、判断正误：1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零．（ ）2.行列式0111101111011110=-3（ ）.3.两个n 阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等. （ ）4.设2阶方阵A 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111.（ ）5.若,AB BA 均有意义，则必有AB BA =.（ ）6. 矩阵的初等变换改变矩阵的秩. （ ）7.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中所有3阶子式都为零.（ ）8.设,A B 是n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++ （ ）.9.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出．（ ）10.向量组123,,ααα线性无关的充分必要条件是123,,ααα中任二向量线性无关（ ）.11. 5个4维向量线性相关. （ ）12.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（ ）13.若12,ξξ都是Ax b =的解，则()112ξξ+也是Ax b =的解. （ ）14.若齐次线性方程组0AX =有非零解，则它一定有无数个解.( )15. 若非齐次线性方程组AX b =的导出组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有无穷多解. （ ）16. 若1x =ξ，2x =ξ为Ax b =的解，则1232x =ξ+ξ也是它的解.（ ）17. 若λ是方阵A 的特征值，则λ也是2A 的特征值．（ ）18. 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值. （ ）19. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．（ ） 20. 特征向量可以是零向量.（ ）四、计算题：1.求4阶行列式 1013112513014112的值.2.求4阶行列式0022110112112110-----的值.3.设矩阵X 满足等式 1212+410T X -⎛⎫= ⎪⎝⎭0117232213-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 4.解矩阵方程，设AX B X -=，求X ，其中A =20133121,2001111B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311010211A ,求逆矩阵1-A .6. 解齐次线性方程组12341234123412344032023503560x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 求通解.7.解方程组124512351234521222225x x x x x x x xx x x x x +++=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-+=⎩.8. 当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++1432131321321ax x x x x x x x 有无穷多解？此时，求出方程组的通解。

一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设10243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而=R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+L 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=(c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n αααL(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k L, 使得11220n n k k k ααα+++≠L(b) 12,,,n αααL 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n αααL 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n αααL中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

线性代数试题集与答案解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题A. A的主子式全大于零B. A没有负的特征值C. 负惯性指数为零D. 正惯性指数为n【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题A. 1B. 12C. -24D. 24【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第5题A. k≠-1B. k≠3C. k≠-1且k≠3D. k≠-1或k≠3【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第6题实对称矩阵A正定的充分必要条件为（）A. |A|＞0B. A的所有顺序主子式非负C. A的正惯性指数为nD. A的负惯性指数为0【正确答案】 C第7题A. 0或1B. 1或2C. 0或2D. 2【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题初等矩阵（）A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式值为1C. 相乘仍是初等阵D. 相加仍是初等阵【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题【正确答案】 C第10题【正确答案】 C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

第1题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第2题题中空白处答案应为：___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第3题题中空白处答案应为：___【正确答案】 -5【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第4题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第5题题中空白处答案应为：___【正确答案】 a＞1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第6题图中空白处应填的答案为：________【正确答案】k≠-2且k≠1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第7题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第8题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第9题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第10题 ___【正确答案】三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第2题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第4题【正确答案】提示：k=5.【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第5题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第6题【正确答案】【你的答案】四、证明题（本题6分） 第1题【正确答案】【你的答案】一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x = ． ６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT，()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设D n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是[ ].(A ) D n 中有两行元素对应成比例； (B ) D n 中各行元素之和为零；(C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ ]. (A) α必可由β，γ，σ 线性表示；(B) β必可由α，γ，σ 线性表示； (C) σ必可由β，γ，α 线性表示； (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－； (D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ].(A)α1，α2，α3 - α1； (B)α1，α1+α2，α1+α3； (C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0，则A 的秩Ｒ(A ) =[ ]. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是 [ ].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求112233100110011011b b b D b b b --=----的值.２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若P =(α1,α2,α3), Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．五、（本题满分8分）设二次曲面方程122=++byz xz axy （0>a ）经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．卷参考答案一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 2 .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t -3 . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 m +1 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型 f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ． ６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；T 1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是[ D ].(A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) n D 中各行元素之和为零；(C)n D 中有一行元素全为零；(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ C ].(A) α必可由β，γ，σ 线性表示. (B) β必可由α，γ，σ 线性表示.(C) σ必可由β，γ，α 线性表示. (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ B ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D) 100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．（A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵43⨯A 有一个3阶子式不为0，则[ C ].（A ）Ｒ(A )=1； （B ） Ｒ(A )=2； （C ） Ｒ(A )=3；（D ） Ｒ(A )=4 ． ６．实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011b b b D b b b --=----的值 解：111222233333100100100010010010 1.01100100101101101b b b b b b D b b b b b b ====------２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,αα， 12332ααα-=，1242ααα-=.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．解：由于Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 100100110110,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 于是Q T AQ =TT 100100110100110110010110001001001001⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ P A P P AP 110100100210010010110110.001000001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 是n 阶实对称矩阵,则22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (k 个-2)，故E A 3+3n k-=． 5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 解： 由|A -λE |=0，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A 相似于对角矩阵，R （A -6E ）=1，即42021084~00000000a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 显然，当a =0时，R （A-6E ）=1，A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．解：（1）因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故()()R R ≠A b A ，无解． （2）2)(=A R ，3=n ，故通解21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR ．五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122=++byz xz axy ）0>a 经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .解：设0120210a ab b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a ．当1λ=时，111111111~000111000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E ，t )0,1,1(1=ξ，T )2,1,1(2-=ξ 当2λ=-时，1012~011000⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E T 3(1,1,1).=-ξ故正交阵0=⎢⎢⎣Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．证 ：依题意得Aα=λα， A T β=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αT A T =λαT ，在上式的两边右乘β得，αT A T β =λαT β，即μαT β=λαT β，亦即（μ-λ）αT β=0，由于λ≠μ，所以αT β=0，故α与β正交．线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A T表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA =（ ）A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T=-A ，B T=B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T=A +B B ．（AB ）T=-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值为 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 -14.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a+-+的值为 ④①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 02.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 610.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解(系数矩阵线性相关)，则t=⎽⎽1或-2⎽⎽。

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。

答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。

答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。

答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。

答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。

（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。

【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。

A -3；B -2；C 2；D 3。

（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。

A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。

A -70；B -63；C 70；D 82。

（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。

（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。

A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。