线性代数 复习提纲(一天就过)

线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。

2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。

3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。

特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。

4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。

特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。

2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。

3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。

⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。

特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。

⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。

第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。

线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。

它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。

一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。

在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。

另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。

最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。

一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。

线代复习提纲第一章行列式1、会计算排列的逆序数；2、理解行列式的定义，能用定义计算一些特殊的行列式；3、掌握行列式的性质，能熟练地利用行列式的性质计算行列式；4、掌握行列式的按行（列）展开定理，能熟练地利用展开定理计算行列式；5、了解克莱姆法则，会利用克莱姆法则解线性方程组。

第二章矩阵及其运算1、理解矩阵的概念，单位、对角、对称矩阵2、掌握矩阵的运算；注意矩阵乘法的不可交换性、3、理解矩阵的转置，幂、方阵的行列式；4、理解逆矩阵的概念，求逆矩阵的公式，了解矩阵分块的概念及其运算关系。

6、会利用矩阵的初等变换求逆矩阵；7、会解矩阵方程；8、理解矩阵的秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

第三章向量的线性相关性1、理解向量的线性组合与线性表示的概念；2、理解两个n维向量组等价的充要条件；3、会判断给定向量组是线性相关还是线性无关；4、理解n维向量组的极大无关组及向量组的秩的概念，掌握求向量组的极大无关组及向量组的秩的方法。

并能用极大无关组表示向量组的其余向量；5、掌握一个矩阵的秩与它的行向量组的秩和列向量组的秩的关系；6、了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念第4章线性方程组1、理解线性方程组有解的条件，会判断线性方程组何时无解、有唯一解、有无穷多解；2、掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解基础解系的概念和基本性质，能熟练地求基础解系及通解；3、能熟练地求通解。

第5章相似矩阵1、了解向量的内积、长度、夹角的概念和性质，了解正交向量组的性质；2、了解标准正交基的概念和性质；3、掌握施密特正交化方法；4、了解正交矩阵、正交变换的概念和简单性质；5、理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值与特征向量；6、了解相似矩阵的概念和性质，理解n阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件，掌握将n阶矩阵化为对角阵的方法，掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵的方法第6章二次型1、理解二次型及二次型的秩的概念，了解二次型的标准形概念；2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，；3、了解惯性定理，了解正定二次型；4、了解实二次型及对应矩阵为正定的判别法。

《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分:基本知识一、行列式1.行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A|3.矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。

1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。

《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1． 四阶行列式的计算；2． N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3． 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4． 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5． 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6． 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7． 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8． 讨论或证明向量组的相关性；9． 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n 个元素ij a 组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1． 一阶行列式a a =，二、三阶行列式有对角线法则；2． N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

3． 特特情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B A AB ⋅=； ④n kA k A =3．矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

第一章 矩阵1 矩阵的概念特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。

2 矩阵的运算：（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。

（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。

乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律） （3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一 运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。

3 分块矩阵及其运算第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。

3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211r r rn r r rr nr r nr r d d c c c d c c c c d c c c c c（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax ＝0只有零解； （3）A 可以经过有限次初等行变换化为In ； （4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。

9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1P s …P 2P 1 (A | I n )=(I n |A -1)第三章 行列式1 n 阶行列式的定义（1）全排列及其奇偶性：逆序数的概念，对换，相邻对换。

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。

112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程 ，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组有非零解。

当时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组的解满足：（1） 线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。

则叫做的基础解系。

定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。

齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。

唯一解。

无数解。

无解。

非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。

线性代数（工科）复习提纲（06-07（1））
2006.9
一、考试题型：填空题；单项选择题；解答题；证明题。

二、复习提要：
1、方阵的行列式，行列式的运算性质，三阶、四阶行列式的计算；
2、矩阵的运算（数乘、转置、乘积、代数和、逆）；
3、逆矩阵的定义与判定；
4、解矩阵方程；
5、初等方阵与矩阵的初等变换之间的关系；
6、线性相关与线性无关的定义与判定；
7、求向量组的极大线性无关组，并将其余向量用它线性表示；
8、齐次线性方程组有非零解的条件，齐次线性方程组解的结构，讨论含参数齐次线性方程组解的情况，并求一般解；
9、方阵的特征值与其行列式之间的关系；
10、方阵A与对角阵相似的条件；
11、化二次型为标准形，并求相应的正交变换；
12、正定二次型的性质与判定。

三、复习题：
P24 5（4）（5）（7）（8），6（2），9
P49 1，12，20
P72 1，2，4（1），14，15
P97 7，8，9，11，12，14
P118 1，2
P136 4，11，12。

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

线性代数复习提纲一．线性方程组与矩阵、向量基本概念 略 二．线性相关与无关P24 1.给定向量组1α，2α，n α，如果存在不完全为零的系数1κ，2κ，n κ，使得1α，2α，n α用这组系数线性表示出0向量，即1122n n 0κακακα++=则称向量组1α，2α，n α线性相关。

否则称之线性无关注：（1）1122n n 0κακακα++=⇒只有零解，线性无关（2）有零向量，线性相关 （3）若一个向量组1α，2α，n α线性无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量表示P25 2.Th1.向量组中的向量个数大于向量维数，该向量组一定线性相关。

P76 3.A m n ⨯矩阵1α，2α，n α，当R （A ）=n ，当且仅当1α，2α，n α线性无关A m n ⨯矩阵1α，2α，n α，当R （A ）< n ，当且仅当1α，2α，n α线性相关P86 4. 1. 1α，2α，n α（2n ≥）线性相关，当且仅当其中至少一个向量可由其余向量线性表示推论1.如果n 维向量1α，2α，n α（2n ≥）线性无关，则给向量组中任何向量都不能由其余向量线性表示推论2. n 维向量1α，2α，n α（2n ≥）线性无关，而向量组1α，2α，n α，β线性相关，则β可由1α，2α，n α线性表示2.如果向量组1α，2α，n α线性相关，则在该向量组中添加任意个相同维数的向量得到的向量组1α，2α，n α，，s α（s>n ），一定线性相关3.n 维向量组1α，2α，n α线性无关，如果在每个向量上增加m 个分量得到n+m 维向量组12n ,βββ，，，则向量组12n ,βββ，，一定线性无关三．线性方程组的解的存在性P26 1.齐次方程的零解为平凡解 齐次方程的非零解为非平凡解2.齐次线性方程组非零解⇔系数矩阵的列向量线性相关3.非齐次线性方程组0Ax =⇔存在解向量b 能用系数矩阵A 的列向量组线性表示P33 非齐次线性方程组Ax b =⇔存在解系数矩阵和增广矩阵等价P35 1.（秩判断法）齐次线性方程组x=0A 存在非平凡解⇔系数矩阵A 的列向量组的秩小于矩阵A 的个数（或变量个数） 即n x R （）<2.非齐次线性方程组Ax b =⇔存在解如果B 为该方程组的增光矩阵，系数矩阵A与增光矩阵B 列向量组的秩相同P64 （克莱姆法则的推论）1.如果线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组一定有解，且仅为唯一解 如果线性方程组的系数行列式=0D ，则方程组无解或有两个不同的解2.如果齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则齐次线性方程组仅有零解 如果齐次线性方程组有非零解，则它的行列式必为零四．向量组P27 向量组的等价1.向量组的等价：向量组1α，2α，n α与向量组12n ,βββ，，中的每个向量都可以互相线性表示，则称向量组1α，2α，n α与向量组12n ,βββ，，等价2.等价具有反身性，对称性，传递性3.判断等价 有A （1α，2α，t α），和B （12s ,βββ，，）1.构造矩阵[]12t 12s ,C αααβββ，，，，[]12s 12t ,D βββααα，，，，2.对C 和D 进行矩阵的初等行变换，等到行最简形11C D ，3.如果1C 的基准元在前t 列，且1D 的基准元在前s 列 则A 与B 等价P29和P74向量组和矩阵的秩1.定义：设有向量组A ，如果A 中存在含有r 个向量12r ααα，，的部分组0A ,满足（1）向量组0A ：12r ααα，，线性无关 （2）向量组0A 与向量组A 等价称向量组0A 为向量组A 的最大无关组，r 为向量组A 的秩注： 1.一个向量组A 的最大无关组一般不唯一2. 向量组A 的秩唯一3.只含零向量的向量组无最大无关组，规定秩为04. 向量组A 的最大无关组等价2.性质若A 是m n ⨯的矩阵1. ()min{,}R n m n ≤2. ()()TR A R A = ()(),0R k A R A k =≠ 3.对n 阶方阵A ，若det 0A ≠，则R （A ）=n ，若det 0A =则()R A n < 可逆矩阵又称满秩 不可逆矩阵又称降秩矩阵3.方法一：求解步骤：1.令[]12s A ααα，，2.对A 进行初等行变换，化到行最简形3.基准列对应的向量或矩阵构成最大无关组 基准列数对应了向量组或矩阵的秩方法二（根据性质3）对n 阶方阵A ，取其中的s 阶子方阵B （s ≤n ）， 若det 0B ≠，则R （A ）≥ s ，若det 0B =,则()R A s <P32 最大无关组的作用1.如果向量组B 能由向量组A 线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A 的秩推论：如果向量组A 与向量组B 等价，则他们的秩相等2.证明非齐次线性方程组Ax b =⇔存在解系数矩阵和增广矩阵的列向量等价五．矩阵P40 1.矩阵的运算：加法，数乘，P42 2. 乘法 （只有当左矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵相乘才有意义）pl ：111213212223a a a A a a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦111221223132b b B b b b b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则111112211331111212221332211122212331211222222332,,a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b a b a b a b ++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦ 注：（1）矩阵乘法的交换律不成立（2）两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，即0,0A B ≠≠，但有可能0AB = （3）如果0,A ≠且有AB AC =，不能一定导出B C = 结合律P45 3.乘幂：K L KL A A A = ()k l A = kl A转置：()T T A A = ()T T T A B A B +=+ ()T T A A λλ= ()T T TAB B A = 推论： 1211()T T TT k k k A A A A A A -=P48方阵的逆1.对角矩阵 数量矩阵（E λ） 上下三角矩阵对称矩阵（TA A =）,(,1,2,,)ij ji a a i j n ⇔==反对称矩阵（TA A =-）主对角线元素等于零2. AB BA E ==,则称矩阵A 可逆，矩阵B 是A 的逆矩阵，记1A -从而11A A AA E --==3.不可逆矩阵称奇异矩阵，可逆矩阵称非奇异矩阵注1. AB 的地位一样 2.一个方阵的逆阵唯一3. 1A -，1B -存在，但1()A B -+未必存在 4.性质：11()A A --= 111()A A λλ--=11()()T T A A --= 111()AB B A ---=求方阵逆的方法P66 1.伴随矩阵*1A A A -= 推论 1det det A A=**AA A A E ==2.方阵A 可逆的 充要条件是det 0A ≠3.初等矩阵（单位矩阵E 经过一次初等行变换等到的矩阵）从1AA E -= 知 ()()1,,A E E A -初等行变换推论从Ax B =求解x ()()1,,A B X A B -初等行变换4.方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵12t PP P ，使A=12t PP P* 5.若线性方程组（由A 矩阵作为系数矩阵）无解或有两个不同的解，不可逆若由A 矩阵作为——齐次线性方程组的系数矩阵，则该方程组有非零解时，A 不可逆P78 分块矩阵1.分块对角矩阵：加法，数乘，逆 乘法 行列式设 12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12n B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12n A A A A λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1122n n A B A B AB A B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12d e t A A A An=2. 111100mmn n n mn mAA B B C C ----⨯⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭课外补充：1.任何方阵都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

《线性代数学习提纲及知识点》第一章 行列式 本章学习提纲：一、二阶、三阶行列式的计算及n 阶行列式的计算公式。

二、行列式的性质及应用 三、克莱姆法则。

本章重点：三阶行列式的计算。

本章难点：应用行列式的性质计算行列式 知识点：一、1、二阶行列式 用记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

即22211211a a a a =21122211a a a a -例1计算二阶行列式()1331252315=⨯--⨯=-例2计算二阶行列式 b a ab ba ba2222-=2、三阶行列式 计算公式如下333231232221131211a a a a a a a a a =312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++例3计算三阶行列式()()584810642105103043152601601504321-=--=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-例4、计算三阶行列式()()70000125140130105000143151140053101-=---+-=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-3、n 阶行列式的定义：用2n 个元素()n j i a ij ,,2,1, =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，其中横排成为行，纵排称为列。

ij a 称为第i 行第j 列的元素，n 阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的n 个元素乘积的代数和。

一般项可以表示为()()n n nj j j j j j N a a a 2121211-二、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式，称为D 的转置行列式。

记为T D 即nnn nn n T nnn n n n a a a a a aa a a D a a a a a a a a a D212221212111212222111211==则性质1、将行列式转置，行列式的值不变。