三角形等积变形

三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。

以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。

例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。

2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。

可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。

3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。

4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。

这些是一些常见的三角形等积变形的示例。

以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。

2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。

保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。

3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。

保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。

小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。

定理一：等底等高的三角形面积相等。

定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。

定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

1. 校园里有两块三角形空地，计划分别种上玫瑰和牡丹，玫瑰园和牡丹园一共占地多少平方米？2. 如下图，已知阴影部分的面积为28平方厘米，求平行四边形的面积。

3. 下图由两个正方形组成，其边长6cm和4cm，求阴影部分的面积。

4. 已知平行四边形的底边为10cm，高为5cm，求两个阴影面积之和是多少？5. 在△ABC中，已知CD=2BD，如果△ABD的面积为15平方厘米，求△ACD的面积。

6. 在△ABC 中，AD=BD ，DE=BD ，△BEC 的面积为7.5平方厘米，求△ABC 的面积。

7. △ABC 的面积为28平方厘米，CD=3BD ，求△ABD 和△ACD 的面积。

8. 平行四边形ABCD 的面积为135平方厘米，CE=2AE,求△ABE 的面积。

9. 已知E 是BC 的中点，△ABC 的面积是60平方厘米，DE=3BD ，求△ABD 的面积。

D B CE AB C DA10. 已知△AOD的面积是15平方厘米，△BOC的面积是30平方厘米，CO=2AO，求阴影部分的面积及梯形ABCD的面积。

11. 如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。

若三角形BED的面积是1平方厘米，求△ABC的面积。

12.在△ABC中，已知D是AB的中点，DE=2CE，△ADE的面积为28平方厘米，求△ABC的面积。

13.已知△ABC的面积是56平方厘米，△ADC的面积是20平方厘米，BE=3AE，求△BDE 的面积。

1. 如下图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求△ABC的面积。

2. 如下图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求阴影部分的面积。

第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为　平方厘米。

【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？　【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。

【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。

等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。

三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB ⎳CD ，则S △ACD =S △BCD ；反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB ⎳CD 。

图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC =BE ∶CF 。

1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 边AC 的中线，点E 在BC 上，BE =12EC ，△ABD 的面积是3，则△BED 的面积是()A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S △BDC 、S △BED ．【详解】解：∵BD 是△ABC 边AC 的中线，△ABD 的面积是3，∴S △BDC =S △ABD =3，∵BE =12EC ，∴S △BED =13S △DBC =1，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是△ABD 的边BD 上的中线，BF 是△ABE 的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的边AC 上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的边BD 上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵BF 是△ABE 的边AE 上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．3(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：∵CG :GF =2:1，△AFG 的面积为2，∴△ACG 的面积为4，∴△ACF 的面积为2+4=6，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积=△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．【答案】14.4【分析】连接BF , 设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,根据CD 为AB 边上中线，可得S △ADF =S △BDF =a ,S △BDC=12S △ABC ；根据BE =2CE ，可得S △CEF =12S △BEF =126-a , S △ABE =23S △ABC .进而，S △ABC 的面积可表示为2S △BDC 和32S △ABE ,由此建立方程18-a =32a +9,解出a 的值即可得到△ABC 的面积.【详解】解：连接BF ，如图所示：设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF =S △BDF =a , S △BDC =12S △ABC.∵BE =2CE ，∴S △CEF =12S △BEF =126-a ，S △ABE =23S △ABC .∴S △ABC =2S △BDC =2a +6-a a +126-a =18-a ，S △ABC =32S △ABE =322a +6-a =32a +9，即18-a =32a +9.解得:a =3.6. ∴S △ABC =18-a =18-3.6=14.4，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=(用含a 的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=(用含a 的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF (如图4)．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=(用含a 的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为(用含a 的代数式表示)，并写出理由．【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a ，见解析【分析】(1)直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；(2)连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出S ΔECD =2S ΔABC ，即可得解；(3)由(2)结论即可得出S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD ，从而得解；(4)点E 是线段AD 的中点，可得S △ABE =S △BDE ，S △ACE =S △DCE ．S △BCE =12S △ABC．点F 是线段CE 的中点，可得S △BEF =S △BCF =12S △BCE．从而可得答案．【详解】(1)解：如图2，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，∴AC 为△ABD 的中线，∴S △ACD =S △ABC 即S 1=a ；(2)如图3，连接AD ，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，∴S ΔACD =S ΔAED =12S ΔECD ，S ΔACD =S ΔABC ，∴S ΔECD =2S ΔABC =2a ，即S 2=2a ；(3)由(2)得S ΔECD =2S ΔABC =2a ，同理：SΔEFA =2S ΔABC =2a ，S ΔECD =S ΔBFD =2a ，∴S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD =6a ；(4)S△BEF=2a，理由如下：理由：∵点E是线段AD的中点，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△DCE．∴S△BCE=12S△ABC．∵点F是线段CE的中点，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE．∴S△BEF=14S△ABC=2a．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．【答案】(1)△ABP(2)①15；②221(3)图见解析，理由见解析【分析】(1)根据m⎳n，可得△ABC和△ABP同底等高，即可求解；(2)①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF，从而得到SΔACF =SΔABC，即可求解；(3)过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=SΔAEC，从而得到S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，即可求解．【详解】(1)解：∵m⎳n，∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；(2)解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔABC=12×6×5=15，∵CE∥AB，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔBAE=SΔABC=15；②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21，∴SΔABC=12×4×21=221，∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔACF=SΔABC=221；(3)解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF 即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔABC=SΔAEC，∴S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，∴S四边形ABCF =SΔADF=12SΔAED=12S四边形ABCD，∵SΔACD>SΔABC，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。

3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。

⑵等底等高的两个三角形面积相等。

⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。

⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。

⑴等底等高的三角形面积相等。

⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。

典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。

求三角形ABC 的面积。

ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。

若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。

例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。

图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。

三角形的等积变形一、等积变形【例1】★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

二、倍比关系【例2】★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS1︰S2 =a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；F D CBAS 4S 3s 2s 1ba。

三角形的等积变换
一个平面上的三角形是由三条边及其所对的三个角所确定的一个图形。

对于一个给定的三角形，我们可以进行一系列的等积变换，将其变形成为另外一个三角形。

等积变换是指变换前后保持三角形面积不变的变换。

下面我们将介绍常见的三角形等积变换及其性质。

1. 平移变换
平移变换是指将一个图形沿着某个方向平移一段距离后得到的新图形。

对于一个三角形，平移变换可以以任意一条边或其延长线作为平移的方向，并将它平移一个向量。

平移变换不改变三角形的面积及其内角大小。

2. 旋转变换
3. 翻折变换
4. 相似变换
5. 仿射变换
综上所述，三角形的等积变换包括平移变换、旋转变换、翻折变换、相似变换和仿射变换，它们可以将一个三角形变形为其他形态的三角形，但不改变其面积及其内角大小。

在三角形的等积变换中，相似变换是最为常见和重要的变换。

三角形等积变形
三角形是几何学中的一个基本形状，具有三条边和三个角。

在数学中，我们学习过三角形的性质和各种定理，但在生活中，三角形的形状也经常出现在我们的眼前。

而在艺术中，三角形等积变形是一种常见的设计元素，可以为作品增添美感和动感。

在建筑设计中，三角形等积变形常常被用来设计建筑的外观和结构。

例如，许多现代建筑采用了三角形的形状，不仅可以增加建筑的美感，还可以提高建筑的稳定性和结构强度。

这种设计不仅具有美学上的价值，还具有实用性，体现了建筑师对结构和功能的兼顾。

在艺术作品中，三角形等积变形也经常被运用。

艺术家们通过将三角形等积变形组合在一起，创造出各种美丽的图案和设计。

这些作品不仅具有装饰性，还可以传达出艺术家的情感和思想。

三角形等积变形的组合可以产生无穷无尽的可能性，让人们在欣赏作品的同时，感受到艺术家的创意和灵感。

在日常生活中，三角形的形状也随处可见。

比如，许多家具和装饰品都采用了三角形的设计，为家居空间增添动感和现代感。

此外，一些日常用品如餐具、文具等也常常采用三角形的形状，方便使用的同时也美观大方。

总的来说，三角形等积变形在各个领域都有着重要的作用。

无论是在建筑设计、艺术创作还是日常生活中，三角形的形状都能给人带
来美的享受和视觉上的愉悦。

通过运用三角形等积变形，人们可以创造出无限的可能性，展现出自己的创意和想象力。

让我们一起欣赏和探索三角形等积变形的魅力，感受美的力量和无限的可能性。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底、等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．例1.△ABC的面积是△ABD或△ADE或△AEC面积的3倍例2. △ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D 在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例3.△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．例4.用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形方法1：方法2：方法3：方法4：例5、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法1：方法2：方法3：当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例6、如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB 与△COD面积相等．例7、如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例8、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积。

A三 角 形 等 积 变 形1、等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

2、三角形的等积变形。

三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。

3、三角形面积计算公式。

S ∆ = 底⨯高÷ 24、三角形等积变形中惯用到的几个重要结论。

（1） 平行线间的距离到处相等。

（2） 等底等高的两个三角形面积相等。

（3） 底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一种，这样的两个三角形面积相等（4） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍。

（5） 若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同始终线上，并且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

分别作出下面三个三角形各边上个高，并对应指出。

（如：BC 边上的高是 AD ）ACB CCBAEE E典型例题：例 1、∆ABC 中，D 是BC 边中点，连接 AD ， ∆ABC 与∆ACD 的面积有什么关系？B D E C例 2、三角形 ABC 中，BD=DC ，AE=2BE ，已知△ACD 的面积是 60 平方厘米，求阴影部分的面积。

ABDC例 3、在三角形 ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是 20 平方厘米。

求三角形 ABC 的面积。

BDC例 4、长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．ADFBCEBO例 5、以下图，图中 BO=2DO ，阴影部分的面积是 10 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ADBC知识反馈：1、思考：已知平行四边形的底是 16 厘米，高是底的二分之一，求阴影部分的面积。

2、如图所示 CD=2BD ，△ABC 中的面积为 6，求△ACD 的面积是多少？ABDC3、已知三角形 ABC 面积为 8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形 DBE 的面积？DCA4、平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．AFEADO5、图中 CD ＝3BD ， ∆ABD 的面积为 2，求∆ABC 的面积是多少？ABDC6、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 、F 是 AC 的三等分点。

14 等积变形综合学习目标:1、熟练的掌握三角形等积变形的基本知识，熟悉三角形等积变形的结论。

2、熟练运用三角形等积变形的基本知识解决有关图形面积的计算问题。

3、培养学生的观察能力，运用基本知识解决问题的能力。

教学重点:熟悉掌握三角形等积变形的基本知识点。

教学难点：灵活运用三角形等积变形的基本知识点解决图形面积的相关计算问题。

教学过程：一、情景体验师：同学们，大家还记得三角形等积变形的相关内容吗？生1：如果两个三角形等底等高，那么它们的面积就相等。

师：（出示一组图形的图片）现在请同学们认真观察以上的图形，你发现了什么？你能找出每个图形中面积相等的三角形吗？（学生表述，教师给予肯定和补充） 师：同学们刚刚说的都非常正确！请问，还有要补充的吗？（结合学生课堂反应情况）好的，没关系，看来同学们对这一点内容记忆是非常深刻的。

三角形等积变形的基本内容除了这一点以外还有两个重要的结论。

现在，我们先来看一个实际问题。

板书：三角形等积变形的结论：1、两个三角形等底等高，那么它们的面积就相等。

二、思维探索（建立知识模型）展示例题1：如图，在面积为120平方厘米的△ABC 中，BE=2EC ， FB=32AF,求阴影部分面积。

师：观察分析所给图形，结合问题中提供的已知条件，我们如何来求解图形中阴影部分的面积呢？观察发现三角形ABC，它被线段AE\EF分成了三个小的基本三角形，数一数，图形中共有多少个三角形呢？这些三角形的面积有不有什么关系呢？与三角形ABC的面积又有什么关系呢？生1：图中共有5个三角形，分别是：△ABC、△ABE、△AEC、△AFE、△FBE。

其中△ABE的面积是△ACE面积的两倍。

师：回答的很正确！也就是说大的△ABC被线段AE分成的两个部分的面积为1:2的关系。

还有同学要补充的吗？生2：△ABE被线段EF分成的两个部分的面积为3:2的关系。

师：很好！同学们找到了这些三角形之面积关系，是根据什么得来的呢？生3：因为三角形ACE与三角形ABE的高是同一个高，而它们两个的底边EC EB 的长度是一个二倍关系，根据三角形面积的计算公式，计算就可以得到它们的面积关系也是二倍。

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。

三角形面积的计算公式：S＝底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。

③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

重要结论：①等底等高的两个三角形面积相等。

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。

（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。

分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

因为，12＋4＝16，16÷12＝34，所以△ABC 的底是△ABD 的底的34倍，所以，△ABC 的面积是△ABD 面积的34倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD 的面积是△ADC 面积的3倍。

巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。