《电磁学与电动力学[上册]》参考答案 (2)

第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A⨯∇⨯=∇-⋅∇解：矢量性为()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①()()()c a b b c a c a b⨯⨯=⋅-⋅②()()()a b c c a b c b a⨯⨯=⋅-⋅⋅③微商性()d d a dba b b a dtdt dt ⋅=⋅+⋅④()d d a db a b b a dt dt dt⨯=⨯+⨯⑤ 由②得()()()c c c B A B A B A⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑥()()()c c c A B A B A B⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑦ ⑥+⑦得()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为∴上式得()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇令B A =得22()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇ 21()()2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：()()()df f u u dxud AA u u du d AA u u du ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯解：①()()()()()()()()()()x y z x y zx y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇②()x y z y x z A u A A A x y zdA dA dA u u u du x du y du z d A u du∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=∇⋅③()()()()()()()x y z xyz yy x x z z x y zy y x x z z x y ze e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x ydA dA dA dA dA dA u uu u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯3.设2r ='x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从原点指向场点。

电动力学课后答案本文档为电动力学课后习题的答案，旨在帮助学生理解和巩固所学的电动力学知识。

以下是习题的答案解析。

1. 高斯定律的应用（20分）题目：一半径为 R 的均匀带电球面，电荷密度为σ。

沿球面 A 点方向垂直放置一个圆环，半径为 r (r < R)，环面上均匀分布着电荷，电荷密度为ρ。

求圆环上的电场强度。

解析：根据高斯定律，可以得到球面上的电场强度公式：E * 4πR² = Q / ε₀其中 E 为电场强度，R 为球面的半径，Q 为球面内的总电荷量，ε₀ 为真空介电常数。

对于球面内的总电荷量 Q，可以通过球面的电荷密度σ求得：Q = σ * 4πR²将 Q 的值代入上式，可以得到球面上的电场强度：E = σ / ε₀对于圆环上的电场强度E₁，根据叠加原理，可以将整个圆环分割成无限小的电荷元素，然后将各个电荷元素对圆环上某一点的电场强度进行叠加：E₁ = ∫(k * dq / r²)其中 k 为库仑常数，dq 为圆环上无限小的电荷元素，r 为圆环上的点到电荷元素之间的距离。

将 dq 的值代入上式，进行积分计算，可以得到圆环上的电场强度。

2. 电势与电势能（15分）题目：一电荷为 Q 的点电荷静止在距离无限远处，根据库仑定律，可以得到电场强度公式。

根据电场强度 E，可以求出电势差V = ∫E · dr。

解析：根据库仑定律，点电荷 Q 在距离 r 处的电场强度 E 可以表示为：E = k * Q / r²其中 k 为库仑常数。

对于电势差V，可以定义为电场强度E 在两点之间的积分：V = ∫E · dr该积分表示沿路径的曲线积分，其中 E 为点电荷 Q 在路径上的电场强度，dr 为路径上的微小位移。

将 E 的表达式代入上式，并对路径进行处理，可以计算得到电势差 V。

3. 静电场的能量（25分）题目：两个点电荷Q₁ 和Q₂ 之间的电势能可以表示为 E = k * Q₁ * Q₂ / r，其中 k 为库仑常数，r 为两个点电荷之间的距离。

电磁学与电动力学一、选择题（本大题共６小题，每题２分，总计12分）1. 电场强度和电位的关系是_c__。

A. 电场强度等于电位的梯度；B. 电场强度等于电位的梯度；C. 电场强度等于电位的梯度的负值；D. 电场强度等于电位的散度。

2. 恒定磁场的散度等于__d__A. 磁荷密度；B. 荷密度与磁导率之比；C. 矢量磁位；D. 零。

3. 下面哪种情况不会在闭和回路中会产生感应电动势？cA.通过导体回路的磁通量发生变化B. 导体回路的面积发生变化C. 通过导体回路的磁通量恒定D. 穿过导体回路的磁感应强度发生变化4. 在分界面上电场强度的切向分量总是__b__A. 不连续的；B. 连续的；C. 不确定的。

5. 波导中的主模是__c___的模式。

A.截止频率最大；B. 波导波长最大；C. 截止波长最大；D. 截止波长最小。

6. 恒定电场的源是a____A.静止的电荷B.恒定电流C. 时变的电荷D. 时变电流二、试写出下列表达式（本大题共4小题，每小题２分，总计８分）1、电荷守恒定律。

2、洛仑兹规范。

3、电磁场能量守恒定律。

4、四维动量表达式。

三、(本大题总计1０分)真空中有一半径为R0的导体球，导体球不接地而带电荷Q，距球心为a (a >R) 处有一点电荷Q，求球外电势。

四、(本大题总计10分)空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。

五、(本大题总计1０分)请推导真空中电磁场波动方程。

六、(本大题总计1０分)两根导线沿半径方向被引到铁环上B.C 两点，电流方向如图所示，求环中心O处的磁感应强度B是多少？七、(本大题总计1０分)三块平行放置的金属板，分别为B、A、C，其面积均为S，AB间距离为X，BC间距离为d，设d极小，金属板可视为无限大平面，忽略边缘效应和A板厚度。

当B，C接地且A导体所带电荷为Q时，试求（1）B，C板上的感应电荷。

（2）空间电场强度和电位分布。

四、（简答题）：（每小题5分，共10分）1、 写出真空中的麦克斯韦方程组，并简要说明各式的物理意义2、试简述狭义相对论的两个基本原理的内容。

六、（计算题）：（每小题5分，共20分3、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为0l ，它们以相同速率v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长《电磁学与电动力学》期末考试试题参考答案四、（简答题）：（每小题5分，共10分）1、答：B E t∂∇⨯=-∂，说明变化的磁场产生电场（1分）； D H J t∂∇⨯=+∂，说明传导电流与位移电流均可产生磁场（1分）； D ρ∇•=，电场为有源场，电场线起于正电荷，止于负电荷（1分）；0B ∇•=，磁场为无源场或说磁荷不存在，磁感应线是闭合曲线；（1分）；0D E ε= ，0B H μ= （1分）2、答（1）相对性原理:所有惯性参考系都是等价的，物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同形式；(2.5分)（2）光速不变原理(或坐标变换线性和间隔不变),即真空中的光速对任何惯性参考系沿任一方向恒为c ，并与光源的运动无关。

（2.5分）六、（计算题）：（每小题5分，共20分）3、解：设地面为S 系，固定在车厢上的惯性系为S '系。

设小球由后壁（事件1）运动到前壁（事件2）在S '系中的空时坐标为()11,x t ''、()22,x t ''，它们之间的关系为： 2102100,/x x l t t l u ''''-=-= （1分） 设小球由后壁（事件1）运动到前壁（事件2）在S 系中的空时坐标为()11,x t 、()22,x t ，小球由后壁运动到前壁的时间是21t t t ∆=-。

（1分）洛仑兹变换：2,x y y z z vx t t ⎧''===⎪⎪'⎨'+⎪=⎪⎩（2分）因此：00220021201l vl v x t l vu t t t u c γ'∆+'∆+⎛⎫∆=-===+ ⎪⎝⎭。

电动力学习题答案电动力学是物理学中研究电荷、电场、磁场和它们之间相互作用的分支。

以下是一些典型的电动力学习题及其答案。

# 习题一：库仑定律的应用问题：两个点电荷，一个带电为+3μC，另一个为 -5μC，它们之间的距离为 2m。

求它们之间的静电力大小。

解答：根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力 \( F \) 由下式给出：\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]其中 \( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是电荷量，\( r \) 是它们之间的距离。

代入给定的数值：\[ F = 8.9875 \times 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \times\frac{3 \times 10^{-6} C \times (-5 \times 10^{-6} C)}{(2 m)^2} \]\[ F = 37.5 N \]# 习题二：电场强度的计算问题：一个无限大均匀带电平面，电荷面密度为 \( \sigma \)。

求距离平面\( d \) 处的电场强度。

解答：对于无限大均匀带电平面，电场强度 \( E \) 垂直于平面，大小为：\[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]其中 \( \epsilon_0 \) 是真空电容率。

# 习题三：电势能的计算问题：一个点电荷 \( q \) 位于另一个点电荷 \( Q \) 产生的电场中，两者之间的距离为 \( r \)。

求点电荷 \( q \) 在该电场中的电势能。

解答：点电荷 \( q \) 在由点电荷 \( Q \) 产生的电场中的电势能 \( U \) 为：\[ U = -k \frac{qQ}{r} \]# 习题四：洛伦兹力的计算问题：一个带电粒子，电荷量为 \( q \)，以速度 \( v \) 进入一个垂直于其运动方向的磁场 \( B \) 中。

关于两闭合电流回路之间的受力满足牛顿第三定律的证明摘要：本文通过直接的方法证明了两闭合电流回路之间的受力满足牛顿第三定律。

内容：由毕奥-萨伐尔定律： d B ＝µ0Id l ×r ／4πr ³ （1） 和式d F ＝Id l ×B （2），可以导出稳恒电流元I ₁dl ₁对稳恒电流元I ₂dl ₂的作用力为 d F ₁₂＝μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ﹙3﹚ 式中，r ₁ ₂＝r ₂－r ₁，表示电流元I ₂d l ₂﹙位于r ₂﹚相对于I ₁d l ₁﹙位于r ₁﹚的位置矢量。

我们可以得到F 21＝μ0I 2I 1d l 1×﹙d l 2×r 2 1﹚／4πr 2 1³显然我们可以发现稳恒电流元一般不满足牛顿第三定律，具体例子可参阅《电磁学与电动力学﹙上册﹚》第129页。

不满足作用力与反作用力大小相等，方向相反的原因是系统动力合动量不为零。

而方向不在同一条直线上是因为角动量不守恒。

因为实际生活中根本不存在所谓的电流元，那只是我们的一个模型，便于研究安培力而已。

牛顿第三定律也是建立在质点上。

而两闭合电流回路之间的作用力却是完全满足牛顿第三定律的。

那么，如何证明两闭合电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律呢？ 首先，我们假设有两个闭合电流回路1和2,两回路的电流分别为I ₁和I ₂,回路1上的电流元d l ₁在回路二上的电流元dl ₂的磁场为 d B ＝μ0I ₁d l ₁×r ₁₂／4πr ₁₂³ µ0为真空磁导率， 又∵F ＝I ·L ×B∴d F ₁₂＝μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ∴回路一对回路二的力为 F ₁ ₂＝∮₁∮₂d F ₁ ₂＝∮₁∮₂μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ （4）同理：回路二对回路一的力为 F ₂ ₁＝∮₂∮₁dF ₂ ₁＝∮₂∮₁μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³ （5) 我们只需证明F ₁ ₂＋F ₂ ₁=0即可F 12＋F 21=∮₁∮₂μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³ ＋∮₂∮₁μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³ (6) ∵函数μ0I ₁I ₂d l ₂×﹙d l ₁×r ₁ ₂﹚／4πr ₁ ₂ ³和μ0I ₂I ₁d l ₁×﹙d l ₂×r ₂ ₁﹚／4πr ₂ ₁ ³都是连续的 ∴∮1和∮2的位置可以互相交换∴F12＋F21=μI₁I₂／4πr₁₂³∮₁∮₂[d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚＋d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚] (7)∵A×﹙B×C﹚＝﹙A·C）·B—（A·B）·C∴d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚=（d l2·r12)·d l1-(d l2·d l1)·r12同理，d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚=（d l1·r21)·d l2-(d l1·d l2)·r21=-（d l1·r12)·d l2+(d l1·d l2)·r12∴d l₂×﹙d l₁×r₁₂﹚＋d l₁×﹙d l₂×r₂₁﹚＝（d l2·r12)·d l1—（d l1·r12)·d l2 (8)∴F12＋F21=μI₁I₂／4πr₁₂³∮₁∮₂[（d l2·r12)·d l1—（d l1·r12)·d l2]又由数学分析知∮L r d l／r³=0∴得到F12＋F21=0，即关于两闭合电流回路之间的受力大小相等，方向相反，满足牛顿第三定律。

电动力学答案电动力学是物理学中一门非常重要的学科，它研究电荷分布以及电场和磁场的相互作用等等问题。

在学习电动力学的过程中，有一些常见问题和答案值得我们了解和掌握。

问题一：为什么电子在电场中会受到力的作用？答案：电场是由电荷产生的，电子是带电粒子，因此在电场中它会受到力的作用。

电场是一种物理场，其实质是空间中将电荷带来的影响进行描述的一种工具。

问题二：什么是电势？答案：电势是描述电场状态的一个物理量。

它是在每个点上电场势能的大小，是由电荷相对于某一点的位置造成的。

在电势中，电势能的单位是伏特，也可以表示为J/C。

问题三：什么是电势差？答案：电势差表示在电场中沿一个路径从一个位置到另一个位置移动一单位电荷时所需的能量差异。

例如，在一条电路中，在电源正极和负极之间有一个电势差，这个电势差会驱动电子流动。

问题四：什么是库仑力？答案：当两个带电粒子之间的电势不同时，它们之间就会产生一个相互作用力，这个力就被称为库仑力。

库仑力是电动力学研究中非常重要的力之一，它可以解释电荷之间的相互作用。

问题五：什么是洛伦兹力？答案：当电子在磁场中运动时，它们会受到一个垂直于速度和磁场方向的力，这个力就被称为洛伦兹力。

洛伦兹力是电动力学中研究磁场和电子之间相互作用的重要力之一。

问题六：什么是电感？答案：电感是指在电路中，当电流改变时，由于电场效应的作用，在导体中会产生感应电动势，这个现象就被称为电感。

电感是电动力学中重要的电学元件之一，可以用来限制电流变化，使之稳定。

以上就是电动力学答案中的一部分常见问题与答案。

通过对这些问题的了解和掌握，可以让我们对电动力学的学习更加深入和全面。

相信在未来的学习和生活中，我们会更加自信和熟练地运用这些知识。

《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。

解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。

其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。

电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。

2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。

解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。

3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。

4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。

5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。

解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。

6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。

解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。

科学研究之路——由电磁学理论的建立过程来看科学研究的一般规律及给我们的启示李元旭PB09203046摘要：讨论了促进电磁学理论发展的一些重要因素以及给我们的启示，并举了一些著名科学家的例子，旨在帮助想投身物理的同学们更好地了解科学研究中的规律，给同学们以启发，让同学们为将来的科研之路作好充分的准备。

关键词：电磁学科学方法观察实验佯谬数学一．观察-通向世界的门理论所以能够成立，其根据就在于它同大量的单个观察关联着，而理论的“真理性”也正在于此。

——爱因斯坦细致的观察是导致物理学重大发现的必经之路！这个世界变化多端，走上科学的第一步就是观察。

观察是一个认识事物的重要途径，观察是智慧的眼睛。

没有良好的观察习惯，没有敏锐的观察力，科学也就无从探索。

可以说，观察是一切理论的来源。

没有理论可以凭空造出，只有对于事物的细致的观察才能有思想的灵感，才能有创造的机会，才能有发展理论的可能。

牛顿孩提时代对各种事物都很感兴趣，喜欢仔细地观察。

他习惯独自一人站在夜空下，遥望深邃的天空，观察星星的闪烁，看流星划过夜空的瞬间……几乎所有的事物都被他尽收眼中。

观察让他产生疑问：为什么月亮最明亮的时候星星却很少？为什么……观察的作用就在于它让人对周围的事物产生疑问，然后想办法解决这些疑问，这就是成功的过程。

可见，要能顺利地解答疑难问题，要想在科学上取得令人瞩目的成就，观察是必不可少的一步。

十八世纪初，丹麦物理学家奥斯特受康德和谢林自然哲学思想的影响，一直坚信电和磁之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。

然而他却苦于找不到这种转化的条件。

1820年4月，在一次讲演快结束的时候，奥斯特抱着试试看的心情又作了一次实验。

他把一条非常细的铂导线放在一根用玻璃罩罩着的小磁针上方，接通电源的瞬间，发现磁针跳动了一下。

这一跳，使有心的奥斯特喜出望外，竟激动得在讲台上摔了一跤。

以后，奥斯特作了许多次实验，发现磁针在有电流的闭合电路周围都会偏转。