数学物理方法习题解答(完整版)

1 数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Rez在z平面上处处不可导。

证明：令Rezuiv。Rezx，,0uxv。

1ux，0vy，uvxy。

于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，

所以Rez在z平面上处处不可导。

2、试证2fzz仅在原点有导数。

证明：令fzuiv。22222,0fzzxyuxyv。

2,2uuxyxy。vvxy。

所以除原点以外，,uv不满足C－R条件。而,,uuvvxyxy在原点连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。

000000xxyyuvvufiixxyy。

或：2*00000limlimlim0zzxyzfzxiyz。

22***0*000limlimlim()0zzzzzzzzzzzzzzzzz。

【当0,izzre，*2izez与趋向有关，则上式中**1zzzz】

2 3、设333322()z0()z=00xyixyfzxy，证明zf在原点满足C－R条件，但不可微。

证明：令,,fzuxyivxy，则

332222220,=00xyxyuxyxyxy，

332222220(,)=00xyxyvxyxyxy。

3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxuxuxuxx，

3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；

3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxvxvxvxx，

3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxvyvyvyy。

(0,0)(0,0),(0,0)(0,0)xyyxuvuv

在原点上满足C－R条件。

但33332200()(0)()limlim()()zzfzfxyixyzxyxiy。

令y沿ykx趋于0，则

3333334343222220()1(1)1(1)lim()()(1)(1)(1)zxyixykikkkkikkkxyxiykikk

依赖于k，()fz在原点不可导。

4、若复变函数zf在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上

3 必为常数。

（1）zf在区域D上为实函数；

（2）*zf在区域D上解析；

（3）Rezf在区域D上是常数。

证明：（1）令()(,)(,)fzuxyivxy。

由于zf在区域D上为实函数，所以在区域D上(,)0vxy。

在区域D上解析。由C－R条件得

0uvxy，0uvyx。

在区域D上(,)uxy为常数。从而zf在区域D上为常数。

（2）令()(,)(,)fzuxyivxy，则*()(,)(,)fzuxyivxy。

在区域D上解析。由C－R条件得

,uvuvxyyx。 （1）

又*()fz在区域D上解析，由C－R条件得

,uvuvxyyx。 （2）

联立（1）和（2），得

0uuvvxyxy。

,uv在区域D上均为常数，从而()fz在区域D上为常数。

（3）令,,fzuxyivxy，则Re(),fzuxy。

由题设知,uxy在区域D上为常数，0uuxy。

4 又由C－R条件得，在区域D上

0,0vuvuxyyx，于是v在区域D上为常数。

,uv在区域D上均为常数，从而在区域D上()fz为常数。

5、证明2xy不能成为z的一个解析函数的实部。

证明：令2uxy，2222022uuxxxy。

不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z的一个解析函数的实部。

6、若zxiy，试证：

（1）sinsincoshcossinhzxyixy；

（2）coscoscoshsinsinhzxyixy；

（3）222sinsinsinhzxy＝；

（4）222coscossinhzxy。

证明：（1）sinsin()sincos()cossin()zxiyxiyxiy

cos()cos,sin()sinhiyhyiyiy，

sinsincoshcossinhzxyixy。

（2）coscos()coscos()sinsin()zxiyxiyxiy

cos()cos,sin()sinhiyhyiyiy，

coscoscoshsinsinhzxyixy。

（3）222sin(sincosh)(cossinh)zxyxy2222sincoshcossinhxyxy

2222sin(1sinh)cossinhxyxy

222222sin(sincos)sinhsinsinhxxxyxy。

（4）2222222cos(coscosh)(sinsinh)coscoshsinsinhzxyxyxyxy

5 2222cos(1sinh)sinsinhxyxy

22222coscossinhsinsinhxxyxy

222222cos(cossin)sinhcossinhxxxyxy。

7、试证若函数fz和z在0z解析。0000,0fzzz，

则000limzzzfzfzz。（复变函数的洛必达法则）

证明：

00000000000000000()()()()lim()()()()limlimlim()()()()()()()()limzzzzzzzzzzfzfzfzfzfzzzzzfzfzfzzzzzzzzzzzzz。

或倒过来做。

8、求证：0sinlim1zzz。

证明：000sin(sin)limlimlimcos1zzzzzzzz。

第二章习题解答

9、利用积分估值，证明

a．22iixiydz 积分路径是从i到i的

右半圆周。

b．证明222iidzz积分路径是直线段。

证明：a．（方法一）222244iiiiiixiydzxiydzxydz

42242222()iiiixxyydzxydz。

（方法二）在半圆周221xy上，221,1xy，从而

6 42424422xxyyxyxy

在半圆周221xy上，2244221xiyxyxy，44max1cxy，

222222iiiiiiiixiydzxiydzxydzdz。

或：2244maxiicxiydzxy。

b．证:222111maxmaxmax11zxizxizxz

2221max22iizxidzzz。

10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c均为圆心在原点，

半径为1的单位圆周。

a．coscdzz；b．256zcedzzz。

证明：a．1cosz的奇点为1,0,1,2nznn，由于1nz，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。

1cosz在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。

由柯西定理: 0coscdzz。

b．256(2)(3)zzeezzzz的奇点为12z，23z，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。

256zezz在以原点为圆心的单位圆内处处解析。

由柯西定理:2056zcedzzz。

11、计算

7 a．221:21czzdzczz；b．2221:21czzdzczz。

解: a．221zz在2z所围区域内解析，且1z在2z所围区域内。

由柯西积分公式得

221212(21)2241zczzdzizziiz。

b．221zz在2z所围区域内解析，且1z在2z所围区域内。

由推广的柯西积分公式得

22211212212412361zczzzdzizziziiz。

12、求积分zcedzz（:1cz），从而证明cos0cossined。

解: ze在1z所围区域内解析，且0z在1z所围区域内。

由柯西积分公式得022zzzcedzieiz。

（1）

在c上令ize，，则

cossinizeicedziediedzcoscossinsinsinieid

coscoscossinsinsiniededcos02cossinied，

其中利用了，由于cossinsine是的奇函数，而coscossine是

的偶函数，所以

cossinsin0ed，coscos0cossin2cossineded。

cos02cossinzcedziedz。 （2）