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数学物理方法习题

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数学物理方程习题

1 第一章 分离变量法

1、求解定解问题：

200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).ttxxxxlttuauxuunhlxxlnuhllxxllnlnuxl（P-223）

2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为0x的一点以力0F把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为

200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.ttxxttuauxlutultFlxxxxTluxFxlxxxlTlu

] (P-227)

3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布20|()/tubxlxl。[定解问题为

220200,()(0),||0,|()/.txxxxltkuauaxlCuuubxlxl] (P-230)

4、求解定解问题

2220,0,0220,0.03sin,0.00uuaxlttxuuxxlxuuAtltt

数学物理方程习题

2 4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为

20000,(0),||0,2|2(),|0.ttxxxxxxltttuauxluuuxlu](P-236)

5、长为l的杆，一端固定，另一端受力0F而伸长，求解杆在放手后的振动。[提示：定解问题为

2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.ttxxxxxlxxttuauxluuFuuxdxdxxYSu] (P-238)

6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v时突然停止，求解杆的振动。[提示：定解问题为

2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.ttxxxxlttvavxlvtvltvxvvx] (P-242)

7、求解细杆导热问题，杆长l，初始温度均匀为0u，两端分别保持温度为1u和2u。[提示：定解问题为

201,2000,||,|.txxxxltuauuuuuuu] (P-251)

8、在矩形区域0,0xayb上求解拉氏方程0u，使满足边界条件

00|(),|0.|sin,|0.xxayybuAybyuxuBua(P-265)

9、均匀的薄板占据区域0,0xay，边界上温度000|0,|0,|xxayuuuu，lim0yu。[提示：泛定方程为：0.xxyyuu](P-269)

10、矩形膜，边长1l和2l，边缘固定，求它的本征振动模式。[提示：定解问题为 数学物理方程习题

3 1221200()0,(0,0),|0,|0,|0,|0.ttxxyyxxlyxluauuxlyluuuu] (P-271)

11、细圆环，半径为R，初始温度分布已知为()f，是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。求解环内温度变化情况。[提示：其定解问题为

20,02,(),(2)().ttuauufuu] (P-274)

12、在圆形域内求解0u使满足边界条件

(1)|cos,(2)|sinaauAuAB。[提示：泛定方程为

20110,.02auuu] (P-275)

13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持0u，求稳定状态下的板上温度分布。[提示：定解问题为

200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).RuuuRuuRuu] (P-276)

14、在以原点为心，以1R和2R为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u，使满足边界条件1211|(),|()RRufuf。[提示：泛定方程为

122110,.02RRuuu] (P-282)

15、两端固定的弦在线密度为(,)()sinfxtxt的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。[提示：定解问题为

2000()sin,|0,|0,|0,|0.ttxxxxltttuauxtuuuu] (P-292)

16、两端固定弦在点0x受谐变力0(,)sinfxtft作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度课表为00(,)sin()fxtftxx，所以定解问题为 数学物理方程习题

4 200000sin(),|0,|0,|0,|0.ttxxxxltttuauftxxuuuu](P-297)

17、在矩形域0,22bbxay上求解22u且u在边界上的值为零。(P-303)

第二章 球函数

1、在本来是匀强的静电场0E中放置导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强静电场。[提示：定解问题为

20,u（1）

000|cos,(||.rrrauEzEruuC设导体放入前，=0),（2）和（3）](P-369)

2、在点电荷04q的电场中放置导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距()dda，求解这个静电场。[提示：定解问题为

20,,|0,|0.rarvquvDvv] (P-370)

3、求解

2200,(),|cos.rurau(P-372)

4、在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。

2200(0)14sincossin2rarurauu有限（08~09）

5、用一层不导电的物质把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为1v和2v，试解电场中的电势分布。[提示：定解问题为 数学物理方程习题

5 20120,(),|,(0)(01),2|.,()(10)2iiriraurauvxuvx有限，(自然边界条件)或或(P-373)

6、半球的球面保持一定温度0u，半球底面（1）保持0C，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。[提示：定解问题为

20020,(),||,|0.rraurauuuu有限，](P-375)

第三章 柱函数

1、半径为R的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面220|(1/)tuRH，初速为零，求解膜的振动情况。[提示：定解问题为

2020021()0,||0,|(1),|0.ttRtttuauuuuuHuR有限，] (P-399)

2、利用递推公式证明2001()()()JxJxJxx并计算41()xJxdx

3、半径为R的圆形膜，在00,受到冲量K作用，求解其后的振动。[提示：定解问题为

220,ttuau（1）

0|0,|Ruu（膜边缘固定）， 有限，（2）

000|0,|tttuu00（初位移为零），k=(-)(-)。p（3）](P-401)

4、半径为R的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。[提示：定解问题为 数学物理方程习题

6 22000,(0,0),||0,||0.ttRuauRuuuu有限，] (P-403)

5、半径为R而高为H的圆柱体下底和侧面保持零度，上底温度分布为2()f，求柱体内各点的稳恒温度。[提示：定解问题为

22000,|0,|,||0.ZZHRuuuuu有限，] (P-404)

6、圆柱体半径为R，高为H，上底有均匀分布的强度为0q的热流流入，下底有同样热流流出，柱侧保持为0C，求柱内的稳恒温度。[提示：定解问题为

2000,|()|()|0.ZZHRuuqzzRquzzRu热流方向与轴反向，热流方向与轴同向，] (P-409)

7、确定球形铀块的临界半径。[提示：铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸，其定解问题为

22,|0.trRuauuu] (P-422)

8、均质球，半径为0r，初始温度分布为()fr，把球面温度保持为零度而使它冷却，求解球内各处温度变化情况。[提示：定解问题为

02200,|0,|().trrtuauuufr] (P-424)

9、半径为0r的球面径向速度分布为01(3cos21)cos4t，试求解这个球在空气中辐射出去的声场中的速度势，设0()r波长。本题径向速度对空间中的方向的依赖性由因子1(3cos21)4即2(cos)P描写，因而是轴对称四级声源。[提示：三维波动方程为20.ttvav其中200pa，0p是初始压强，0是初始密度，是定压比热与定容比热的比值。](P-431) 数学物理方程习题

7 10、设有静电场的圆柱域(半径为a)的上、下底接地，侧面电位为0U，求域内电位分布。

0010(,0)|0zzzzhauuuazhuuuU（08~09）

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数学物理方法

数学物理方法

《 数学物理方法 》试题（A卷）

说明：本试题共3页四大题，30小题。

1．z为复数，则（ ）。

A lnz没有意义； B lnz为周期函数；

C Lnz为周期函数； D ln()lnzz。

2．下列积分不为零的是（ ）。

A 0.51zdzz； B 20.51zdzz；

C 10.5zdzz； D 211zdzz。

3．下列方程是波动方程的是（ ）。

A 2ttxxuauf； B 2txxuauf；

C 2txxuau； D 2ttxuau。

4．泛定方程2ttxuau要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。

A 1个； B 2个；

C 3个； D 4个。

5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。

A 哥西问题； B 狄拉克问题；

C 混合问题； D 狄里克雷问题。

6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()naxfnxdxxfxdx则我们称（ ）。

A (,)fnx收敛于()fx； B (,)fnx绝对收敛于()fx； C (,)fnx弱收敛于()fx； D (,)fnx条件收敛于()fx。

7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。

数学物理方法梁昆淼答案

数学物理方法梁昆淼答案

数学物理方法梁昆淼答案

【篇一：第五章 傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】

>?t1.函数 f(t)???0

?12. 函数 f(t)???0

3.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)

(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。 的傅立叶变换像函数，

的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。

4.?2012

?2011excosx??(x??) dx?

[sinx??(x??e??。 5. ?

12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。 7. ?xsinx?(x?)

dx? ?12

8.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。 ?20103

8

?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。

?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。

(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。11. f(t)???1

?0(|t|?1)?

12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。其傅里叶级数展开为

?k?1?2sinkx k

13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2

??(1?cos2?)

1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。 a

f[f(ax)]?1?

2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】

?1?

2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?

ax

2????aedx

?1?

af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：

数学物理方法期末考试卷与解答

数学物理方法期末考试卷与解答

《数学物理方法》试卷（A卷）参考答案

姓名: 学号:

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

得分

注：本试卷共一页，共八大题。答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！

可能用到的公式:

1). (2l+1)xP

l(x)=lP

l−

1(x)+(l+1)P

l+1(x), 2).

P

0(x)=1, P

1(x)=x；3))(~

)]([

00kkfxfeFxik

−=

;

4))]([1

])([xfF

ikdfFx

=∫

∞−ξξ

; 5).])1(1[2

sin)(I

333

0nl

nl

xdx

ln

xlx−−=−=∫ππ

一、 简答下列各题。（12分，每题6分）

1. 试在复平面上画出

3)arg(0π

<−

4Re2<

的区域。

解：如图阴影部分为所求区域 （6分）

2. 填空题：函数

3)2)(1()(izzzf+−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；

若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i，∞（3分）。

二、 (9分) 试指出函数

3sin

)(

zzz

zf−

=

的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？

解：22

112

033

)12()1(

]

)12()1(

[1sin

)(−∞

=+∞

=∑∑

+−

=

+−

−=−

=n

nnn

n

nnn

z

nz

nz

zzzz

zf

（3分）

z=0为f(z)的可去奇点；（3分）z=∞为f(z)的本性奇点；（3分）

三、 (9分) 已知解析函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)的虚部v(x,y) = cosxshy， 求f(z)= ?

解：由C-R条件

xyxv

yyxu

yyxv

xyxu

∂∂

−=

∂∂

∂∂

=

∂∂),(),(

,),(),(

（3分）得

u

x(x,y) = v

y(x,y) = cosx chy u

y(x,y) = −

v

x(x,y) = sinx shy（3分） 高数帮

帮数帮高数帮高数 du(x,y) =u

x(x,y)dx + u

y(x,y)dy = cosx chy dx + sinx shy dy=d(sinx chy)

数学物理方法第06章习题

数学物理方法第06章习题

第 1 页 共 37 页 12789515.doc 第六章 习题答案

6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。

（1）0XX 00X 0lX

（2）0XX 00X 0lX

（3）0XX 00X 0lX

（4）0XX 0aX 0bX

解：（1）0时，baxxX，代入边界条件得

00bX和0alX得到0xX，不符合，所以0

0时，xbxaxXsincos，代入边界条件得

00aX，

2224120sinlnlblXn ,2,1,0n

所以：21sin2nnXxxl ,2,1,0n

（2）0时，baxxX，代入边界条件得

00aX和0alX，所以bxX存在。

0时，xbxaxXsincos，代入边界条件得

000bbX，

,2,10sin222nlnlalXn

综合：本征值：222lnn ,2,1,0n

本征函数：xlnxXncos ,2,1,0n

（3）0时，baxxX，代入边界条件得

00aX和0blX，0xX不符合。

0时，xbxaxXsincos，代入边界条件得 第 2 页 共 37 页 12789515.doc 000bbX，

,2,1,04120cos222nlnlalXn

本征函数：21cos2nnXxxl ,2,1,0n

（4）0时，dcxxX，代入边界条件得

0dcaaX和0dcblX，得到ba，故0。