全等三角形经典模型总结

全等三角形八大基本模型全等三角形是初中数学中非常重要的内容，掌握全等三角形的基本模型有助于解决各类题目。

下面我们将详细介绍八大基本模型，以便于大家更好地理解和应用。

一、引言全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。

在解决全等三角形问题时，我们需要掌握基本模型，以便于快速判断三角形是否全等。

全等三角形的基本模型有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、两角一边（AAS）、一边一角一边（SAS）、两边一角（SSA）和角一边一角（AAA）。

二、边边边（SSS）全等三角形当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较三边长度是否相等。

三、边角边（SAS）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。

四、角边角（ASA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

五、角角边（AAS）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

六、两角一边（AAS）全等三角形当两个三角形有两个角和一个边相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一个边是否相等。

七、一边一角一边（SAS）全等三角形当两个三角形的一边和一角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较一边和一角是否相等。

注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。

八、两边一角（SSA）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。

注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。

九、角一边一角（AAA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

注意：此条件仅在边的另一端角也相等时成立。

十、总结全等三角形八大基本模型是我们解决全等三角形问题的基石。

全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质1.全等三角形的定义2.全等三角形的性质二、全等三角形的判定方法1.SSS（边-边-边）2.SAS（边-角-边）3.AAS（角-角-边）4.RHS（直角边-斜边-直角边）5.SS（边-边）三、全等三角形的应用1.几何证明2.测量问题3.实际问题四、全等三角形模型的构建1.模型一：SSS2.模型二：SAS3.模型三：AAS4.模型四：RHS5.模型五：SS6.模型六：HL（斜边-直角边）7.模型七：AA（两角-一边）8.模型八：梯形-平行四边形正文：全等三角形是几何学中一个重要的概念，指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。

全等三角形具有许多有趣的性质，如对应边相等、对应角相等、对应中线相等等。

在解决几何问题时，掌握全等三角形的性质和判定方法具有很高的实用价值。

全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、AAS（角-角-边）、RHS（直角边-斜边-直角边）和SS（边-边）。

这些方法各有适用范围，需要根据具体问题灵活选用。

全等三角形在几何证明、测量问题以及实际问题中都具有广泛的应用，例如，可以用全等三角形证明两个图形是全等的，从而解决一些复杂的几何问题；在测量问题中，全等三角形可以帮助我们准确地测量未知长度；在实际问题中，全等三角形可以用来分析建筑物的结构，解决实际工程问题等。

在全等三角形的八大基本模型中，SSS、SAS、AAS、RHS和SS是最基本的模型，可以通过这五种模型构建出许多具体的全等三角形问题。

此外，还有模型六HL（斜边-直角边）、模型七AA（两角-一边）和模型八梯形-平行四边形，这些模型在解决一些特殊问题时具有很高的实用价值。

总之，全等三角形作为几何学中的一个重要概念，具有丰富的性质和判定方法，广泛应用于几何证明、测量问题以及实际问题。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。

在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。

本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。

二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。

如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。

模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。

如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。

模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。

在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。

1初中数学几何模型【模型1】倍长1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交EABCFABC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.图1DFD【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ；(2)若︒=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．2E CODECOD O C【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ．HGEFA BDC【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为.HGFEADBC【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，【结论】OAC OBD ≅；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；3CDA B EEFEBDAC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE =2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为 .【例6】如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ，AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，求DFG ∠GFD CBAE【例7】如图，在边长为62ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH 。

全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作 GE射线AC（1） .例题应用：①如图 1，在ABC中，C900， AD 平分 CAB , BC 6cm, BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.②如图 2，已知，1 2 ，34 .求证： AP平分 BAC .图 1图2① 2（提示：作 DE AB 交 AB 于点 E ）②12 ， PM PN ，3 4 ， PN PQ ， PM PQ, PA平分 BAC .(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形 ABCD 中， BC>AB ， AD=CD ，BD 平分BAC ..求证：A C180图3练习二：已知如图4，四边形 ABCD 中，B D 1800 , BC CD.求证： AC 平分BAD .图 4练习三：如图5，Rt ABC 中， ACB900， CD AB, 垂足为 D ， AF 平分CAB ,交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F.(1)求证： CE=CF.(2)将图 5 中的△ ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E '的位置，使点 E'落在BC边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想：BE'于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5图6练习四：如图7，∠ A90 ， AD ∥ BC ， P 是 AB的中点， PD平分∠ ADC．求证： CP平分∠ DCB．A D214E3PB C图 7练习五：如图8，AB＞ AC，∠ A 的平分线与 BC的垂直平分线相交于D，自 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为 E， F．求证： BE=CF．图 8练习六：如图9 所示，在△ ABC 中， BC 边的垂直平分线DF 交△ BAC 的外角平分线AD 于点 D， F 为垂足， DE ⊥AB 于 E，并且 AB>AC 。

求证： BE－ AC=AE 。

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

全等三角形经典模型总结1.S-A-S（边-角-边）全等法则：当一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角时，两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

2.A-S-A（角-边-角）全等法则：当一个三角形的两角和夹边分别等于另一个三角形的两角和夹边时，两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，BC=EF，并且∠BCA=∠EFD，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

3.S-S-S（边-边-边）全等法则：当两个三角形的三边分别对应相等时，两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且AC=DF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

4.H-L（高-底）全等法则：如果两个三角形的高和底分别相等，那么这两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果h1是三角形ABC的高，b1是它的底，h2是三角形DEF的高，b2是它的底，如果h1=h2，b1=b2，则三角形ABC全等于三角形DEF。

5.A-A-S’（角-角-边）全等法则：若三角形的两个角和两个边分别与另一三角形的两个相对角和边对应，则两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，并且AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

6.1-1-1全等法则：如果两个三角形的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

7.1-1-边（边-边）全等法则：如果两个三角形的两个边和一个夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。

（完整版）全等三角形经典模型总结全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD 上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN ＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC 中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA 的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n∠=∠=?-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=?且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ，求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F 分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。

（1）.例题应用：①如图1,在,中ABC ∆900=∠AD C 平分，.求证：︒=∠+∠180C A 图3练习二：已知如图4,四边形ABCD 中,图4练习三：如图5,交CD 于点E,交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中地△ADE 沿AB 向右平移到地位置,使点落在BC 边上,其他款件不变,如图6所示,是猜想：于CF 又怎样地数量关系？请证明你地结论.图5 图6练习四：如图7,90A AD BC =︒，∠∥,P 是AB 地中点,PD 平分∠ADC．..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，'''E D A ∆'E 'BE△BAC地外角平分线AD于点D,F(3).模型巩固：练习一，如图3,ΔABC是等腰直角三角形延长线于点E。

求证：BD=2CE。

图3图4ABC 中,CE 平分∠ACB,且AE ⊥CE,∠AED ＋，90=∠D DCO EC ∠是图7（a ） 图7（b ） 图7（c ）②，如图7（b ）,分别是、CE BD 为ABC BD ∆图8练习六，如图9所示,在ABC ∆中,AC AB >,M 为BC 地中点,AD 是BAC ∠地平分线,若CF AD ⊥且交AD 地延长线于F ,求证()12MF AC AB =-．图9练习六变形一：如图10所示,AD 是ABC ∆中BAC ∠地外角平分线,CD AD ⊥于D ,E 是BC 地中点,求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．图10练习六变形二：如图11所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．图11练习七，如图12,在ABC ∆中,2B C ∠=∠,BAC ∠地平分线AD 交BC 与D ．则有AB BD AC +=．那么如图13,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．GABC D EF12MFD CB AE DCB AMD CBA两个图形地辅助线都是在射线OA 上取点B ,使OB=OA ,从而使≌△OBC.OAC ∆思路思路：1）题意思路：本题考查全等三角形常见辅助线地知识：作平行线。

全等三角形模型及习题练习第一部分全等模型图一、平移模型特征：可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的，故在同一直线上的对应边的相等关系一般可由加（减）公共边证得，对应角的相等关系可由平行线的性质证得。

二、平行模型(X型)特征：平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型（翻转型，部分X型）特征：图形关于某一条直线对称，则这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点。

图①中有公共角∠A；图②中对顶角相等（∠AOC=∠BOD)；图③④中分别有公共边AB,BD四、旋转模型特征：可看成是以三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中五、角平分线模型旋转有重叠特征：角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形（如图①,ΔA1BD1≌ΔC1BD1),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形（如图②,ΔA2BD2≌ΔC2BD2)六、双直角三角形模型特征：证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理,相等的角就是对应角七、一线三等角模型（K型）特征：如图①,,三个等角指的是α(图②中,α=90°),利用外角定理可证得∠1=∠2或∠3=∠4第二部分精选例题例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM 交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.AC=BC（已知）∠1=∠3 （已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC定角度：三角形全等分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF 条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).例4 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．定对象：如图定角度：三角形全等分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD 和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交 DE于G，∠ACB=105°，∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．例6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于多少？分析：对象：△DBE的周长角度：（1）BD，DE，BE的长解：因为DE⊥AB，所以AED ACD∠=∠因为AD是∠BAC的平分线，所以EAD CAD≅则AE=AC ∠=∠又因为AD为公共边所以AED ACD DE=DC所以△DBE的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20例7如图13—3—8所示，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：EF⊥AD．分析：对象：△ABC 角度：（1）AD是∠BAC的平分线，（2）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以0∠=∠=又因AED AFD90为AD是∠BAC的平分线，所以EAD FAD∠=∠由于AD是公共边所以AED AFD≅则AE=AF 因为AD是∠BAC的平分线所以EF⊥AD。

全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质二、全等三角形的判定方法三、八大基本模型概述1.手拉手模型2.一线三垂直模型3.一线三等角模型4.等腰三角形中边边角模型5.背对背模型6.半角旋转模型7.角分线模型8.正方形手拉手模型四、八大基本模型的应用举例五、总结与展望正文：全等三角形是初中数学中的一个重要内容，掌握全等三角形的性质和判定方法对于解决几何问题具有重要意义。

全等三角形的判定方法主要包括SSS、SAS、ASA、AAS 和HL 五种，其中SSS 和HL 是全等三角形的常见判定方法。

在实际应用中，全等三角形八大基本模型可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

这八大基本模型分别是：1.手拉手模型：这种模型是通过两个全等三角形的对应边相互牵手而形成的。

比如，若ABC 和DEF 是两个全等三角形，那么我们可以通过AB 与DE、BC 与EF、AC 与DF 的相互牵手形成一个新的全等三角形ABC。

2.一线三垂直模型：这种模型是通过一条直线与三个垂直的线段组成的。

比如，若AB 是直线，BC、CD 和DE 是垂直于AB 的线段，那么三角形ABC 和三角形DEB 是全等的。

3.一线三等角模型：这种模型是通过一条直线与三个相等的角组成的。

比如，若AB 是直线，∠ABC、∠BCD 和∠CDA 是相等的角，那么三角形ABC 和三角形CDA 是全等的。

4.等腰三角形中边边角模型：这种模型是通过对等腰三角形的一腰和一底边以及一个顶角进行操作而形成的。

比如，若AB=AC 是等腰三角形的腰，BC 是底边，∠ABC 是顶角，那么三角形ABC 和三角形ACB 是全等的。

5.背对背模型：这种模型是通过两个全等三角形的对应边背靠背而形成的。

比如，若ABC 和DEF 是两个全等三角形，那么我们可以通过AB 与DF、BC 与DE、AC 与EF 的相互背靠背形成一个新的全等三角形ABC。

6.半角旋转模型：这种模型是通过将一个全等三角形绕其一边的一半旋转而形成的。

全等三角形常见模型整理1. 全等三角形的定义全等三角形是指具有相等三边或者三角形之间所有对应边、对应角均相等的三角形。

当两个三角形的三边分别相等，或者三个对应角分别相等时，我们可以判断这两个三角形是全等的。

全等三角形的形状和大小是完全相同的，只是位置、方向可能不同。

2. 全等三角形的性质（1）三边相等：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（2）两边一角相等：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（3）两角一边相等：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（4）全等三角形的特点：全等三角形的对应边和对应角是一一对应的，也就是说对应角相等的对应边也是相等的，反之亦然。

3. 全等三角形的判定方法（1）SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（2）SAS判定法：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（3）AAS判定法：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（4）ASA判定法：如果两个三角形的一对对应角和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（5）HL判定法：如果两个直角三角形的一对直角和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。

4. 全等三角形的常见模型在几何学中，全等三角形的常见模型有很多，下面我们来整理一些常见的模型及其解题方法。

（1）对顶角相等模型对顶角相等是指两个三角形的一个内角与另一个对应角相等。

解题方法：根据对顶角相等的性质，可以很容易判断两个三角形是否全等。

（2）一边一角一边相等模型一边一角一边相等是指两个三角形的一个角和与之相邻的一条边分别相等。

解题方法：根据一边一角一边相等的性质，可以通过对应边和对应角的关系来判断两个三角形是否全等。

（3）SAS模型SAS（边角边）是指两个三角形的两条边和夹角分别相等。

解题方法：通过给定的边和角的信息，可以判断两个三角形是否全等。

全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G作—射线（1）.例题应用:①如图1,在「'ABC中，• C = 90，AD平分.CAB,BC =6cm,BD =4cm,那么点D到直线的距离是 _____ . _____②如图2,已知，• 1-/2，- 3"4.求证：AP平分.BAC.图1 图2①2 （提示：作-交于点日②；N1 =也2 二PM =PN 丁乂3=乂4 PN = PQ ”•” PM =PQ,「” PA平分N BAC⑵.模型巩固:练习一：如图3，在四边形中，＞,，平分/BAC ..求证：.A . C =180练习四：如图7，/ A =90，AD // BC ，P 是的中点，平分/.练习二：已知如图4,四边形中， .B . D =180°,BC 二CD.求证：AC 平分.BAD.练习三：如图5, Rt^ABC 中，NACB=90°, CD 丄AB,垂足为D , AF 平分Z CAB, 于点F.(1) 求证：.(2) 将图5中的△沿向右平移到A DE '的位置，使点E '落在边上，其他条件不变，如图猜想：BE '于又怎样的数量关系？请证明你的结论.交于点E,交6所示，是图5图6求证：平分/•练习五：如图8,＞，/ A 的平分线与的垂直平分线相交于 D,自D 作丄，丄，垂足分别为 E , F .求证：.练习七： 如图10, D 、E 、F 分别是△的三边上的点，，且△的面积与△的面积相等，求证：平分/。

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现练习六：如图9所示，在△中，边的垂直平分线交△的外角平分线于点 D, F 为垂足，丄于E ,并且＞。

求证：―。

C图9(1).例题应用：①•如图1所示，在△中，/ 3/ C,是/的平分线，丄于 F 。

1 求证：BE (AC - AB) 2②•已知：如图2，在 从BC 中，NBAC 的角平分线AD 交BC 于D,且AB = AD,1 作CM _AD 交AD 的延长线于 M.求证：AM (AB AC)2辅助线：延长交射线于 F 辅助线：过点E 作//射线证明：延长交于点 F 。

全等三角形的基本模型归纳总结1. 什么是全等三角形大家好，今天我们来聊聊全等三角形，听起来有点高大上的样子，但其实它就像你我生活中的兄弟姐妹一样，形状和大小完全一样的三角形，咱们可以把它理解成“孪生三角形”。

简单来说，全等三角形是指两个三角形，它们的边长和角度都完全相等，就像两个高度一致的双胞胎。

想象一下，如果你把一个三角形剪下来，然后在另一张纸上完美地复刻出来，那就是全等三角形啦！说白了，它们就是外表看上去一模一样的“亲兄弟”。

1.1 全等的条件那么，怎么判断两个三角形是不是全等呢？这就有讲究了，咱们可以用几个条件来对照一下。

首先，最常见的就是“边边边”（SSS），就是如果三条边都相等，那你就可以大声告诉全世界：“嘿，这俩三角形是全等的！”其次，还有“边角边”（SAS），也就是说，如果两边加一个夹角相等，那这俩家伙也是全等的。

再者，“角边角”（ASA），只要两个角和夹着的那条边相等，嘿，这也能算全等哦！当然，还有“角角边”（AAS）和“直角三角形的斜边和一个锐角相等”（RHS）这两招，搞定这些条件，你就能轻松判别了。

1.2 为什么全等三角形这么重要你可能会问，这些全等三角形有什么用啊？其实，它们在生活中比你想象的还要有用。

比如，在建筑设计中，工人们得确保每个结构的精确度，全等三角形就像是建筑的“黄金法则”，只要确保这些三角形的全等，整个建筑的稳定性就有保障了。

另外，咱们在测量距离和角度时，全等三角形可以帮我们简化问题，解决许多复杂的几何难题，就像是给数学添了一把钥匙，让我们轻松开门。

2. 生活中的全等三角形说到这儿，我就忍不住想跟大家分享一下生活中的全等三角形。

你知道吗？就连披萨切开后的那几片，若是切得均匀，都是一模一样的全等三角形。

想想看，谁不想要一块看上去超完美的披萨呢？而且如果你把它们摆成一个完整的圆，那种感觉就像是在吃“几何艺术品”，简直让人心花怒放！2.1 运动中的全等三角形再说说运动吧，比如说篮球。

全等三角形八大基本模型1. 引言全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

在数学中，全等三角形是一个重要的概念，它涉及到三角形的各个方面，包括边长、角度、面积等。

全等三角形的研究对于解决各种几何问题具有重要意义。

本文将介绍全等三角形的八大基本模型，包括对应角、对应边、SSS准则、SAS准则、ASA准则、AAS准则、HL准则和45°-45°-90°三角形。

2. 对应角全等三角形的对应角是指两个全等三角形中相等的角。

当两个三角形的对应角相等时，可以推断出这两个三角形是全等的。

对应角的相等性是全等三角形判定的基础。

3. 对应边全等三角形的对应边是指两个全等三角形中相等的边。

当两个三角形的对应边相等时，可以推断出这两个三角形是全等的。

对应边的相等性是全等三角形判定的重要条件之一。

4. SSS准则SSS准则是指两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形是全等的。

SSS准则是全等三角形判定的基本方法之一。

具体而言，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以推断出这两个三角形是全等的。

5. SAS准则SAS准则是指两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。

SAS准则是全等三角形判定的常用方法之一。

具体而言，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则可以推断出这两个三角形是全等的。

6. ASA准则ASA准则是指两个三角形的两角和夹边分别相等时，这两个三角形是全等的。

ASA准则是全等三角形判定的常用方法之一。

具体而言，如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则可以推断出这两个三角形是全等的。

7. AAS准则AAS准则是指两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。

AAS准则是全等三角形判定的常用方法之一。

具体而言，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则可以推断出这两个三角形是全等的。

8. HL准则HL准则是指两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形是全等的。