cosz的导数复数域

en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y

性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn

Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z

1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
14
2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.

非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数

d 2 y 如对二阶导数再求导，则 . 记作 f (x) 或 y 或 2 dx d3 y 称三阶导数， . 四阶或四阶以上导 记作 f (x) 或 3 dx
数记为
y(4)，y(5)，·· (n) ·，y
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
d4 y dn y 或 ·， n , , ·· 4 dx dx
( x 2 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x - cos x (2) y x e x 3 2 (4) y 2x 3x sin x e (3) y 2 1- x
2 2 2 2
(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' 1 cos( x - 2) 2 x cos( x - 2) 2 x
(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y' (cos x) ' - tan x cos x cos x
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)

定名法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。

90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。

也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。

也就是“象限定号，符号看象限”。

（或为“奇变偶不变，符号看象限”)。

在Kπ/2中如果K 为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。

正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有可口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。

）还可简记为：sin 上cos右tan对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan的正值斜着。

比如：90°+α。

定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。

所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~ 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α) cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α) csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α) = t anαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)sin(α+arctan(B/A)) Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))降幂公式sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2;α=(1-c os(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0 0 1 0 不存在π/6 1/2 √3/2 √3/3 √3π/4 √2/2 √2/2 1 1π/3 √3/2 1/2 √3 √3/3π/2 1 0 不存在0π0 -1 0 不存在幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数，这种级数称为幂级数。

1 2 e
e
cos(2 2k ) i sin(2 2k ),
(k 0, 1, 2,...)
i e
i
iLni
e
iiArg(i )
e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
.
(k 0, 1, 2,...)
y y e cos x e cos x y y e sin x e sin x
解得 y 0, x k ,即z x iy k，其中 . k 0, 1,
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五、反三角函数 1. 定义
设 z cos w, 那么称w 为z 的反余弦函数, 记作
cos( Argz ) i sin( Argz )
ln z (ln z iargz ) 主值： z e e
i i Ln(1+i ) (1 i ) e 例如，
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例4 求 1 解
2
和 i 的值.
2Ln1
i
1 1.
22 k i
e x1 x2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )] i[(sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )]
和差角公式
e x1 x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )]
e x1 x2 iy1 iy2 ez1 z2
注意: 在复数域内，负数具有对数; 正实数的对 数有无穷多值.
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例3 解
解方程 e z 1 3i 0.

$1.3 复数函数的导数授课要点：导数的定义，柯西—黎曼条件1、 复变函数的导数：0'()lim z df w f z dz z∆→∆==∆ 如果极限存在，且与0z ∆→的方式无关，则称()f z 在z 点可导。

'()f z 或df dz 称为函数在z 点的导数.从形式上看，复变函数的导数与实变函数的导数一样，实变函数中的一些关于求导的公式也可用于复变函数之中，比如121212122111212222()()''(1()dw dw d w w dz dz dz dw dw d w w w w dz dz dz w w w w w d dz w w dw dz dz dw dF dF dw F w dz dw dz ⎧+=+⎪⎪⎪=+⎪⎪-⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⋅⎪⎩ 1sin cos cos sin ln 1n n z z dz nz dz d e e dz d z z dz d z z dz d z dz z -⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩复变函数导数存在的条件是一个很严格的条件，因为 0limz w z∆→∆∆ 的值存在必须是在z ∆以任意方式趋于零的条件下成立，首先考虑两种特殊情况：（1） 沿平行于x 轴方向，这意味着z x ∆=∆；从而： 0lim (,)(,)(,)(,)lim 0x w u x x y iv x x y u x y iv x y z z x∆→∆+∆++∆--=∆→∆∆ 0(,)(,)(,)(,)lim[]x u x x y u x y v x x y v x y i x x∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i x x∂∂=+∂∂ (1) 同样的道理，若考虑沿平行于y 轴的方向，有z i y ∆=∆，则：00(,)(,)(,)(,)lim lim z y w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y ∆→∆→∆+∆++∆--=∆∆0(,)(,)(,)(,)lim[x u x y y u x y v x y y v x y i i y i y∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i y y∂∂=-+∂∂ (2) 函数的导数只能有一个，故由（1），（2）可得：u v x y v ux y ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩这就是柯西—黎曼方程，或柯西—黎曼条件（Cauthy—Riemann ）。

为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′

复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2

z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。

tan z,cot z,sec z,csc z幂级数展开式的几种简明求法黄炜【摘要】By using the methods of series division and recurrence formula,we obtained several calculation methods of power series expansion for tan z,cot z,sec z,csc z.%借助于级数除法及待定系数法等数学方法和工具,给出了求tan z,cot z,sec z,csc z函数在复数域上幂级数展开式的几种简明方法.【期刊名称】《首都师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】6页(P8-13)【关键词】级数;展开式;递推公式;级数除法【作者】黄炜【作者单位】宝鸡职业技术学院基础部,陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O1530 引言幂级数的展开式在数学研究及工程计算等广泛领域中有着极其重要的作用，人们对于sin z,cos z幂级数的展开式比较熟悉，应用自如，但一般的高等数学书中都没有tan z,cot z,sec z,csc z函数在复数域上幂级数的展开式，是因为其高阶导数不好求.即使在工具书[2-6]中查到公式，也感到陌生、困难，望而生畏，一知半解不知来龙去脉，更谈不上理解；但这几个幂级数展开式在数学研究，科学计算，工程应用等领域中有着广泛应用.本文借助于高阶无穷小量在级数除法中的应用及级数递推公式中的待定系数法等数学方法和工具，避开求高阶导数，给出了tan z,cot z,sec z,csc z函数在复数域上幂级数展开式的几种简明方法，旨在促进工程数学与实际问题的融合，打通复杂计算的瓶颈，建立快速通道.1 引理为了给出幂级数展开式几种简明方法，需要下面的引理:引理1[1] 对于任意复数z，|z|<∞，有2 用级数除法求tan z,cot z,sec z,csc z的幂级数展开式下面我们用级数除法求tan z,cot z,sec z,csc z的幂级数展开式.2.1 求tan z,cot z的幂级数展开式(1)由于设其分母为：1-z2/2+z4/4+…=1+ω,取分母的由于在z=0的无心邻域中ω是高阶无穷小量，则其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.(2)由于cot z函数在z=0邻域有一阶极点，故展开式为Laurent级数.设其分母为1-z2/6+…=1+ω,取分母的由于在z=0的无心邻域中ω是高阶小量，由则cot z==其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数，0<|z|<π.(3)设其分母为则设其分母为则2.2 求sec z，csc z的幂级数展开式(1)求sec z的幂级数展开式sec z在z=0的展开式是Taylor级数.由于sec z是偶函数，故其在z=0的Taylor 级数只有偶次幂.因为注意到设其分母为则sec z其中En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)为欧拉数.(2)求csc z的幂级数展开式csc z在z=0邻域有一阶极点的展开式为Laurent级数.由于csc z是奇函数，故其在z=0的Taylor级数只有奇次幂.因为注意到所以设其分母为则其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.3 用待定系数法求tan z,cot z幂级数展开式(待定系数法只能用于有限个负幂项(正幂项)的情形).3.1 求tan z在z=0的展开式是Taylor级数由于tan z是奇函数，故其在z=0的Taylor级数只有奇次幂，其中系数a2k+1待定.因为所以因为sin z,csc z的奇、偶级数已知，所以其中最后一步用到了k+l=n. 比较方程两边级数的系数，即得(1)具体地 n=0：a1=1.……所以其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.由于a1=1，方程(1)为系数a2k+1的递推式.3.2 求cot z幂级数展开式由于cot z函数在cot z在z=0邻域有一阶极点，故展开式为Laurent级数. 因为所以因为sin z,csc z的奇、偶性已知，所以其中最后一步用到了k+l=n. 比较方程两边级数的系数，即得(1)具体地 n=0：a-1=1.……所以其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)为伯努利数.4 用待定系数法求sec z,csc z幂级数展开式4.1 求sec z的幂级数展开式sec z在z=0的展开式是Taylor级数.由于sec z是偶函数，故其在z=0的Taylor级数只有偶次幂，即不妨记由于故有比较得：一般有如下的递推公式：由此可以求出前五项的系数：E0=1,E1=-1，E2=5,E3=-61,E4=1 385,E5=-50521.从上式有：由此得到4.2 求csc z的幂级数展开式csc z在z=0邻域有一阶极点的，展开式为Laurent级数.由于csc z是是奇函数，zcsc z是偶函数，故其在z=0的Taylor级数只有偶次幂，即由于zcsc z·sin z=z，不妨记故有C0=1.比较得：一般有如下的递推公式：由此可以求出前五项的系数：5 用三角等式求csc z,sec z幂级数展开式5.1 求sec z的幂级数展开式sec z在z=0的展开式是Taylor级数.sec z=1+2tan2z=En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)为欧拉数.5.2 求csc z的幂级数展开式csc z在z=0邻域有一阶极点的，展开式为Laurent级数.同理也可利用及还可求得tan z及cot z的幂级数展形式.6 用Bernoulli数的母函数求csc z，sec z幂级数展开式Bernoulli数的母函数有：一般有如下的递推公式：即由此可以求出前13项的系数：由于(3)是偶函数，从而B2k+1=0,k=1,2….把换成z即得(4)注意到：(5)马上有Euler数与Bernoulli数间的关系：(6)由式(4)有(7)把式(7)中的z换成iz即得(8)由tan z=cot z-2cot2z，可推得ztan z = zcot z-2zcot2z(9)由得到(10)当然，对于基本三角函数幂级数的展开还有其它种方法，在这里就不一一赘述了. 参考文献【相关文献】[1] 菲赫金哥尔茨Γ M.微积分学教程[M].上海:商务印书馆,1953.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版) [M].北京:高等教育出版社，2001.[3] 余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2003.[4] 张在明.怎样计算secx与tgx的幂级数展开式[J].玉溪师专学报,1986(Z1):140-142.[5] 埃伯哈德.数学指南(第三版)[M].北京:科学出版社,2012.。

(sec z )′ = tan z sec z
18
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) 解：这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆z → 0 ∆x + ∆yi
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
解析 ( 可导) ⇔ u , v 可微且满足C-R方程
若 推论 ： u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R
方程,则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
22
§2.2 解析函数与调和函数的关系
y
由 C − R 方程知：
u x = v y = − 2 y u y = − v x = −2 x
u( x 1 y ) =
0
( x, y )
(x,0)
x
∫
( x, y)
∆x + 2∆yi ∆x = lim =1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
lim u(x, y) = u0 x→x0 y→y0 lim f (z) = A ⇔ . z→z0 lim x→x0 v(x, y) = v0 y→y0 运算性质：

三角函数词条已锁定摘要在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

目录1基本函数2少用函数3历史4直角三角定义5直角三角形中&nb…6展开目录1基本函数2少用函数3历史4直角三角定义5直角三角形中&nb…67单位圆定义8级数定义9与指数函数和复…10微分方程定义11恒等式12微积分13利用函数方程定…14计算15三角函数的特殊值16反三角函数17性质和应用18正弦定理19余弦定理20正切定理21周期函数22注释23参考文献24三角函数的诱导…收起基本函数正弦 Sinesin余弦 Cosine cos正切 Tangent tan（或 tg）余切 Cotangent cot （或 ctg、ctn）正割 Secant sec余割 Cosecant csc（或 cosec）三角函数值三角函数值三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数 sin（A）=a/c余弦函数 cos（A）=b/c正切函数 tan（A）=a/b余切函数 cot（A）=b/a其中a为对边，b为临边，c为斜边附：部分特殊三角函数值sin0=0cos0=1tan0=0sin15=（根号6-根号2）/4cos15=（根号6+根号2）/4tan15=sin15/cos15=2-根号3sin30=1/2cos30=根号3/2tan30=根号3/3sin45=根号2/2cos45=sin45=根号2/2tan45=1sin60=根号3/2cos60=1/2tan60=根号3sin75=cos15cos75=sin15tan75=sin75/cos75 ＝2＋根号3sin90=cos0cos90=sin0tan90无意义sin105=cos15cos105=-sin15tan105=-cot15sin120=cos30cos120=-sin30tan120=-tan60sin135=sin45cos135=-cos45tan135=-tan45sin150=sin30cos150=-cos30tan150=-tan30sin165=sin15cos165=-cos15tan165=-tan15sin180=sin0cos180=-cos0tan180=tan0sin195=-sin15cos195=-cos15tan195=tan15sin360=sin0cos360=cos0tan360=tan0| 360°| 270°| 0° | 15° | 30° | 37° | 45°sin | 0 | -1 | 0 |(√6-√2)/4 | 1/2 | 3/5 |√2/2cos | 1 | 0 | 1 |(√6+√2)/4|√3/2 | 4/5 |√2/2tan | 0 | 无值 | 0 | 2-√3 |√3/3 | 3/4 | 1__________________________________ __________________________________ __| 53° | 60° | 75° | 90° | 120°| 135°| 180°sin | 4/5 |√3/2 |(√6+√2)/4 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0cos | 3/5 | 1/2 | (√6-√2)/4| 0 | -1/2 |-√2/2 |-1tan | 4/3 | √3 | 2+√3 | 无值 | -√3 | -1 |0__________________________________ __________________________________ __倒数关系tanα ²cotα＝1sinα ²cscα＝1cosα ²secα＝1商数关系tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα平方关系sinα&sup2;+cosα&sup2;=11+tanα&sup2;=secα&sup2;1+cotα&sup2=cscα&sup2;以下关系，函数名不变，符号看象限sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotαsin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=-cosαtan（π－α）=-tanαcot（π－α）=-cotαsin（2π－α）＝-sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝-tanαcot（2π－α）＝-cotα以下关系，奇变偶不变，符号看象限sin（90°-α）=cosαcos（90°-α）=sinαtan（90°-α）=cotαcot（90°-α）=tanαsin（90°+α）=cosαcos（90°+α）=sinαtan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanαsin（270°-α)=-cosαcos（270°-α)=-sinαtan（270°-α)=cotαcot（270°-α)=tanαsin（270°+α）=－cosαcos（270°+α）=sinαtan（270°+α）=-cotαcot（270°+α）=-tanα积化和差公式sinα ²cosβ=（1/2）*[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ²sinβ=（1/2）*[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ²cosβ=（1/2）*[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ²sinβ=（1/2）*[cos（α＋β）－cos（α－β）]和差化积公式sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]三倍角公式sin3α=3sinα-4sinα&sup3;cos3α=4cosα&sup3;-3cosα两角和与差的三角函数公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝=(tanα+tanβ)/(1－tanα ²tanβ)tan（α－β）=(tanα-tanβ )/(1+tanα ²tanβ) 少用函数历史随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。

所以得到
e e . iazibsin z
ay b c os xshy
2020/1/24
第一章 复变函数2
13
例6. 求解方程 sinz＝2 [参看梁书P9,习题3]
解： sin z sinxchy i cosxshy

1 2
sin x(ey
ey ) i cosx(ey
第一章 复变函数2
5
说明
柯西－黎曼条件是复变函数可导的必要条件:
不满足柯西－黎曼条件的复变函数必定 不可导。例如连续的函数w=Rez=x.
满足柯西－黎曼条件的复变函数不一定可导。例 如函数
f (z)
Re z Im z


i
xy , | xy |,
第I、III象限 （xy 0） 第II、IV象限（xy 0）
第一章 复变函数2
10
例题与习题
例1：求Lni=?
解: 因为i＝ei/2，所以 Lni=ln1+ (/2+2k)i= (/2+2k)i , k为整数.
例2：求i i=? 解: ii=eiLni=ei(/2+2k)i=e-(/2+2k), k为整数.
同理可求 i i i1/i ii eiLni e /22k .
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导 的充分必要条件是
(1) 偏导数 u , u , v , v 在(x, y)点处存在，且连续； x y x y
（2）复变函数在 (x, y)点处满足C R条件.
证明：由于二元函数的偏导数存在且连续，则有
u
f '(z) u i v v i u . x x y y

dw zz0 f (z0 )z
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0

第一章复数与复变函数、复数几种表示(1)代数表示z =x • yi(2)几何表示：用复平面上点表示(复数z、点z、向量z视为同一概念)(3)三角式：z = r(cosv isi nr)(4)指数式：z = re iT1辐角Argz =arg z 2k 二|zh ,x2y2yarctan丄，x》0,xyarcta n丄+兀,x<0,y〉0xargz={ yarcta n± - x,x<0,yc0x兀/2, x = 0, y:>0-■: /2, x =0,y ： 0z - z2i、乘幕与方根(1)乘幕:(2)方根:re i-____ 2k n/t argz.R'z=n：|z|e n , k= 0,1,2，…n—1第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似注：（1）点解析=点可导，点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价二、定理1 W = f （z）=u • iv在Z o可导二u,v在Z o可微，满足C-R方程定理2 w二f⑵二u • iv在区域D内解析（可导）二u,v在区域D内可微，满足C-R方程讨论1 u,v在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程=w = f （z）二u iv在区域D内解析（可导）三、解析函数和调和函数的关系1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。

定义2设（x,y）^ （x, y）是区域D内调和函数，且满足C-R方程, xx，则称是「的共轭调和函数。

2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。

定理2函数在D内解析二虚部是实部的共轭调和函数。

3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。

（2）实部与虚部满足C-R方程。

求解方法：（例如已知v）（1）偏积分法：先求u x,u y，再求u = udx （y），得出（y）（2）利用曲线积分：求u x，u y,du，再u = u x dx u y dy c（x o,y o）（3）直接凑全微分：求u x,u y,du，再du四、初等函数1、 指数函数 w=e z =e x e iy =e x （cosy i sin y ）性质：（1） e z 是单值函数，（2） e z 除无穷远点外处处有定义（3） e z = 0（4） e z 处处解析，（e z ）'eZ（5） e z1 Z2 =e Zl e Z2（6） e z 是周期函数，周期是2k 「：i2、 对数函数w =Lnz =ln |z| i argz i2k 二 （多值函数）主值（枝）ln z=l n | z| iargz （单值函数）性质：（1）定义域是z = 0，（2） 多值函数（3） 除去原点和负实轴的平面内连续(5) Ln(wz 2) = Lnz j Lnz 2 Ln 三二 Ln^ - Lnz 2J3、幕函数w = z ，e-Lnz （z = 0「是复常数）（1） 为正整数，函数单值、处处解析，（2） 〉为负整数，函数单值、除去z = 0及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式 e i = c 0'S i s i n（4）除去原点和负实轴的平面内解析,1 1(Lnz) (In z): z ，z或 eJe 乂cos , s i n 二 2 2iiz _iz iz _iz定义: e +e . e -e cosz , sin z 二 2 2itan z=sin z/cosz, cot z = cosz/sin zsecz =1/cosz, cscz =1/sin z性质: 周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注： sin z, cosz 的有界性 保护成立。

(6) sin z , cos z can be greater than 1
tan z sin z , cot z cos z ,
cos z
sin z
sec z 1 , csc z 1 ,
cos z
sin z
4. 双曲函数
ez ez
ez ez
sinhz
, cosh z
,
2
2
tanh z sinh z , coth z cosh z ,
k 0
称为以 b 为展开中心的幂级数。其中 ak 为复常数。
幂级数的收敛圆及其收敛半径
k
对于幂级数 ak (z b)k ，必定存在一以 b 为圆心，R 为
k 0
半径的圆，在圆内该级数绝对收敛（而且在较小的圆内 一致收敛），而在圆外发散。这个圆称为该幂级数的收敛 圆，R 称为它的收敛半径。
确定幂级数的收敛半径
z rei
(1.2.14)
复数的乘幂与方根
zn z z z
zn rn (cos n i sin n )
wk
n
i 2kπ
re n
n
r [cos(
2kπ ) i sin(
n
2kπ )], n
(k 0,1, 2,, n 1)
区域
z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0
复变函数总结
复数的表示
1.2.1 复数的几何表示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
y
0
x
2kπ 0
图 1.2
复数的指数表示
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式
ei cos i sin