北师大八年级上册第一章勾股定理的逆定理(基础)

第一章勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 2 。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用例：在∆ABC 中，两直角边分别是3和4，则斜边为5.因为32+42=9+16=25=52勾股逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2 +b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形.例：在∆ABC 中，AC=5,BC=12,AB=13.∵AC 2+BC 2=52+122=169=132=AB 2,∴∠C=90°勾股数:满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25.第二章实数有理数和无理数统称为实数整数（例如0，-4，9）有理数（例：-2，0，3，2.14，23 ）分数（例如1.37，-0.25，25）实数 正无理数(例：√2，Π，1.010010001...)无理数（无限不循环小数）负无理数(例：-√3，-1.123456789...)数轴:具有原点、单位长度、正方向的直线叫数轴例：数轴上的点与实数是一一对应的，即数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都能在数轴上找到对应的点。

相反数：a 与-a 互为相反数的两数和为0（a 与b 互为相反数，则a+b=0）例：2与-2；-√3与√3倒数：b 与1b互为倒数的两数积为1（a 与b 互为倒数，则 ab=1） 例：-3与-13；√2与√22绝对值（到原点的距离）：正数的绝对值是它本身（例：|3|=3；|√3|=√3）负数的绝对值是它的相反数（例：|-2|=2；|-√3|=√3）0的绝对值是0算数平方根：若a ≥0，x ≥0，x 2=a,则a a 的算术平方根；即a a 。

平方根：若a ≥0，x 2=a ，则x=a a 的平方根；即a a 。

八年级上册第一章勾股定理基础知识1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2b2 c 22、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a， b， c 有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

3、勾股数：满足a2b2 c 2的三个正整数，称为勾股数。

常见勾股数：（3、4、5）（ 5、 12、 13）（ 7、 24、 25）（6、 8、 10）（ 15、 20、 25）（ 8、 15、 17）（ 9、 40、 41）（12、 35、 37）常见平方数：112=121122=144132=169142=196152=225 162=256172=289182 =324192=361102=100 152=225252=625242 =576【基础训练】1、在△ ABC中，∠ C＝ 90°，（ l ）若 a ＝ 5， b＝12，则 c ＝；（ 2）若 c＝ 15， a＝ 9，则 b＝.2、直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则直角三角形的面积为 _________cm23、如图，在 Rt ABC 中，AB=1,则 AB 2BC 2AC 2的值为（）AA、2B、4C、6D、 8BC4、如图，求等腰△ABC的面积。

5、如图，在ABC 中， B =90，ＡC＝17，ＢＣ＝15，求ＡB的长。

7、一个零件的形状如图所示，已知AC AB , BC BD , AC 12cm， AB 16cm , CD52cm ,求这个零件 ABCD 的面积。

b ccb8、如图，阴影长方形的面积是多少？9、有一个圆柱，它的高等于 5 厘米，底面圆的半径等于 4 厘米．在圆柱下底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？( π的值取 3) ．10、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm,30cm, 在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 P处爬到 C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？11、如图，在棱长为10 厘米的正方体的一个顶点速度是 1 厘米 / 秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在A 处有一只蚂蚁，现要向顶点20 秒内从 A 爬到 B？B 处爬行，已知蚂蚁爬行的【巩固提高】一、选择题1. 下列结论错误的是（）.A. 三个角度之比为 1∶2∶ 3 的三角形是直角三角形B. 三条边长之比为 3∶4∶ 5 的三角形是直角三角形C. 三条边长之比为 8∶16∶ 17 的三角形是直角三角形D. 三个角度之比为 1∶1∶ 2 的三角形是直角三角形2. 小丰的妈妈买了一部 29 英寸 (74cm) 的电视机 , 下列对 29 英寸的说法中正确的是().A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ).A.1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,154. 直角三角形两直角边长分别为3 和 4, 则它斜边上的高是 ( )A.3.5B.2.4C.1.2D.5.5. 长方形的一条对角线的长为 10cm ，一边长为 6cm ，它的面积是（） .A.60cm 2B.64 cm 2C.24 cm2D.48 cm26. 斜边为 17cm，一条直角边长为 15cm）.的直角三角形的面积是（A.60B.30C.90D.1207. 如果梯子的底端离建筑物 5 米 ,13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ).A.12 米B. 13 米 C .14 米 D. 15 米8. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了 10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了 6分，从家到图书馆用了 8分，小芳从公园到图书馆拐了个 ( ) 角. A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定9. 如图 , 一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食 , 要爬行的最短路程 ( 取 3)是（） . A.20cm B.10cm C.14cm D. 无法确定10. 小刚准备测量一段河水的深度, 他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底 把竹竿的顶端拉向岸边 , 竿顶和岸边的水面刚好相齐 , 则河水的深度为 ( , 竹竿高出水面).0.5m,A .2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m二、填空题11. 如图，带阴影的正方形面积是.5 米3 米第11题第 12题第 13题第14题12. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为 5米, 高 3米 , 计划在楼梯表面铺地毯, 地毯的长度至少需要米 .13.如图，在△ ABC中，∠ C=90°， BC=3， AC=4.以斜边 AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是________.14. 如图，由 Rt△ ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形 N 的面积之和为cm2.15.传说 , 古埃及人曾用＂拉绳” 的方法画直角 , 现有一根长 24 厘米的绳子 , 请你利用它拉出一个周长为24 厘米的直角三角形, 那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米 ,______ 厘米 ,________厘米 .16.一座桥横跨一江，桥长 12m，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，由于水流原因，到达南岸以后，发现已偏离桥南头 5m，则小船实际行驶了 _________m.三、解答题17.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4 米，高 3 米，长 20 米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 .3米4米20米18. 如图 , 长方体的长 BE=15cm,宽 AB=10cm,高 AD=20cm,点 M在 CH上 , 且 CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M,需要爬行的最短距离是多少?C HMD CFAEB19. 如图，一架 2.5 米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足 B 到墙底端 C的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 米，那么梯足将向外移多少米？AA1B1B C20.如图所示的一块地，∠ ADC＝ 90°， AD＝12m，CD＝ 9m， AB＝ 39m， BC＝ 36m，求这块地的面积 .21.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,你能求出 CD的长吗？22. 如图，A城气象台测得台风中心在 A 城正西方向320km的 B 处，以每小时 40km的速度向北偏东 60°的 BF方向移动，距离台风中心 200km的范围内是受台风影响的区域 .(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若 A 城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？23、（本小题12 分）探索与研究（方法 1）如图 5：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转且四边形 ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形90°所得，所以∠ BAE=90°，ABFE面积等于 Rt ⊿BAE和Rt ⊿ BFE的面积之和。

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a, b, c ,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1 ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系•若c2 a2 b2，则△ ABC是/ C= 90°的直角三角形；若c2 a2 b2，则△ ABC不是直角三角形要点诠释：当a2 b2 c2时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程x2 y2 z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13 15、17;④ 7、24、25;⑤ 9、40、41……如果a、b c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）n2 1, 2n, n2 1 （n 1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；2 2（2）2n 2n,2n 1,2n 2n 1 （n> 1, n是自然数）是直角三角形的三条边长；2 2 2 2（3）m n ,m n ,2mn （ m n, m n是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a = 7, b = 24, c = 25；43(2) a =, b = 1, c =3 4(3) a m 2 n 2 , b m 2 n 2, c 2mn (m n 0)；a 2b 2b 2c 2c222mn , m nb 2.b, c 组成的三角形是直角三角形. 【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大， 行判断，即首先确定最大边，然后验证 c 2与a 2 b 2是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形. 举一反三：【变式】（2015春?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1） 8, 15, 17;（ 2）5, 12, 13; （3） 12, 15, 20; （4） 7, 24, 25.其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组B.2 组C.3组D.4 组【答案】C.解：①T 82+152=172,二能组成直角三角形；2 2 2② ••• 5+12=13 ,A 能组成直角三角形； ③ 12 +15工20 ,•••不能组成直角三角形； ④ 7+242=252,二能组成直角三角形. 故选C.【思路点拨】 两条线段的平方和是否等于最长线段的平方. 角形.【答案与解析】判断三条线段能否组成直角三角形, 关键是运用勾股定理的逆定理: 若是，则为直角三角形， 看较短的反之，则不是直角三a 2b 272 242 625 , c 2 252 6 25 ,由线段 a,b, c 组成的三角形是直角三角形.c , b 212i 2 25 16 1616 9由线段 (3)va,0,b, c 组成的三角形不是直角三角形.(m 2 \2n )(2 m n)2 m 4 2m 2 n 2 n 4 4m 2n 2m 2n 2 n 4,b 2(m 2 2\2n )m 4 2m 2n由线段a,然后再利用勾股定理的逆定理进C 2、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，/ B=Z 90°, AB= 3, BC = 4,C[> 12, At > 13,求四边形 ABCD 的面积.【思路点拨】 由AB = 3, BC = 4, / B = 90°,应想到连接 AC 则在Rt △ ABC 中即可求出△ ABC 的面积，也可求出线段 AC 的长.所以在厶ACD 中，已知AC, AD, CD 三边长，判断这个三角 形的形状，进而求得这个三角形的面积. 【答案与解析】解：连接AC ,在厶ABC 中,因为/ B = 90°, AB= 3, BC = 4,所以 AC 2 AB 2 BC 2 32 42 9 16 25，所以 AC = 5, 在厶 ACD 中, AD- 13, DC= 12, AC = 5, 所以 DC 2 AC 2 52 122 25 144 169 132 AD 2,即 DC 2 AC 2 AD 2. 所以△ ACD 是直角三角形，所以S四边形ABCDABC13 4 5 126 30 36 .2 2【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解， 本题是勾股定理及逆定理的综合考察.类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：a,b,c 为ABC 的三边且满足a 2 b 2 c 2 338 10a 24b 26c ，试判断ABC 的形状. 【答案与解析】 解：••• a 2 b 2 c 2338 10a 24 b 26c•••a 2 10a b 2 24 b c 226c 338且/ ACD- 90°.1 1S A ACDg AB g BC AC g DC1(a 5)2 (b 12)2 (c 13)2 0(2) 方程两边同时除以(a 2- b 2)时，没有考虑(a 2 - b 2)的值有可能是0; (3) ••• c 2 (a 2 - b 2) = ( a 2+b 2) (a 2- b 2)…c =a +b 或 a - b =0 a 2 - b 2=0• a+b=0 或 a - b=0■/ a+b ^0• c 2=a 2+b 2 或 a - b=0 • c =a +b 或 a=b•该三角形是直角三角形或等腰三角形.4、(2015?秦皇岛校级模拟)如图，铁路 MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点 A 处是第九 十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围 100米以内 会受到噪音影响.(1)火车在铁路 MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.• a 5,b 12, c 13, a 2 b 2c 2•••△ ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形,定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系•对条件等式进行变形常用的方法有配方法, 因式分解法等• 举一反三:【变式】请阅读下列解题过程：已知 试判断△ABC 的形状. 解：T a 2c 2- b 2c 2=a 4- b 4,• c 2 ( a 2- b 2) = ( a 2+b 2) (a 2- b 2), • c 2=a 2+b 2,• △ ABC 为直角三角形.问：(1) (2) (3)【答案】解: (1) a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足 a 2c 2 - b 2c 2=a 4 - b 4,在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误:错误的原因是：_ 本题正确的结论是：第三步;第一步 第二步 第三步 第四步【思路点拨】（1）过点A 作AE 丄MN 于点E ,由点A 到铁路MN 勺距离为80米可知AE=80m 再由火车行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB AC,则AB=AC=100m 在Rt △ ABE 中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米 /时求出火车经过 BC 是所用的时间即可. 【答案与解析】 解：（1）会受到影响.过点A 作AE1 MN 于点E ,•••点A 到铁路MN 的距离为80米， /• AE=80m•••周围100米以内会受到噪音影响， 80V 100, •••学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于 BC 两点，连接ABAC,贝U AB=AC=100m 在 Rt △ ABE 中， ■/ AB=100m AE=80m • BE =,'.l 二=II ・:II J =60m【巩固练习】 一.选择题1. （2016春？庆云县期末）下列各组数中，以 a , b , c 为边的三角形不是直角三角形的是 （ ）A . a=1.5, b=2, c=3B . a=7, b=24, c=25C . a=6, b=8, c=10D . a=3, b=4, c=52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）.• BC=2BE=120m•••火车的速度是 180千米/时=50m/s , = =2.4s .50 50在解答此类题目时要根据题意作出辅助线,构造• - t=出直角三角形，再利用勾股定理求解.A.CD EF 、GHB.AB 、EF 、GHC.AB 、CF 、EFD.GH AB CD2 2 23. 下列说法：（1 ）在厶ABC 中，若a +b z C ,则厶ABC 不是直角三角形；（2）若厶ABC 是直 角三角形，/ C=90，贝U a 2+b 2=c 2; （3）在厶ABC 中，若 a 2+b 2=c 2，则/C=90 ; （4）直 角三角形的两条直角边的长分别为 5和12,则斜边上的高为一」.其中说法正确的有（）.13A.4个B.3个C.2 个D.1个4. （2015春？临沂期末）如图，正方形网格中的△ ABC 若小方格边长为1，则△ ABC 的形状为（ ）9.已知x 5 y 3 Z 4 0,则由此x, y, z 为边的三角形是 __________ 三角形•10•在△ ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ___________ . 11.若一个三角形的三边之比为 __________________________ 5:A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.以上答案都不对5•已知三角形的三边长为A.—定是等边三角形 C. 一定是直角三角形 6.三角形的三边长分别为（ ）. A •直角三角形 B 二.填空题 n 、n 1、m （其中m 2 2n 1），则此三角形（）.B. 一定是等腰三角形 D.形状无法确定a 2b 2、2ab 、a 2 b 2 （ a 、b 都是正整数），则这个三角形是钝角三角形 C .锐角三角形 D .不能确定7. （ 2016春?岳池县期末）若三角形的边长分别为6、8、10,则它的最长边上的高为 _______ .8. （2015?本溪模拟）如图，在 2X2的正方形网格中有 9个格点，已经取定点 A 和B,在余下的7个点中任取一点。

第一章勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形。

第二章实数1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。

3. 算术平方根：正数\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)。

4. 立方根：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。

第三章位置与坐标1. 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为\(x\)轴或横轴，竖直的数轴称为\(y\)轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3. 点的坐标：对于平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，垂足在\(x\)轴、\(y\)轴上对应的数\(a\)，\(b\)分别叫做点\(P\)的横坐标、纵坐标，有序数对\((a,b)\)叫做点\(P\)的坐标。

4. 各象限内点的坐标的特征：点\(P(x,y)\)在第一象限：\(x>0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第二象限：\(x0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第三象限：\(x0\)，\(y0\)；点\(P(x,y)\)在第四象限：\(x>0\)，\(y0\)。

八年级数学上册知识大纲(北师版)第一章 勾股定理1 探索勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+。

(2)割补法证明勾股定理2 能得到直角三角形吗(1)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b,c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.(2)勾股数：3，4,5；6,8，10；5，12,13;8,15,17；7，24，25… 3 蚂蚁怎样走最近-—最短路径问题(长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等)第二章 实数1 数不够用了(1)无理数：无限不循环小数叫做无理数.(2)有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.2 平方根(1)算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a 。

特别地,我们规定0的算术平方根是0，即00=。

(2)平方根:一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根)，记为a ±。

求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方,其中a 叫做被开方数。

(3)一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

3 立方根(1)立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫三次方根)。

求一个数a 的立方根的运算,叫做开立方。

(2)正数的立方根是正数;0的立方根是0；负数的立方根是负数。

4 公园有多宽5 用计算器开方6 实数(1)有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。

(2)实数也可以分为正实数、0、负实数。

(3)实数与数轴上的点一一对应.7 二次根式(1)二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.(2)二次根式乘除运算法则：)0,0();0,0(>≥=≥≥⋅=⋅b a b a ba b a b a b a (3)最简二次根式:一般地，被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式,叫做最简二次根式。

第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状： a 2 +b 2＞c 2锐角~，a 2 +b 2=c 2直角~，a 2 +b 2＜c 2钝角~判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。

求直角三角形的两直角边。

解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：()()34100916100251004222222x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

北师大版八年级上册第一章知识点一、勾股定理。

1. 定理内容。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。

2. 勾股定理的证明。

- 常见的证明方法有赵爽弦图证明法等。

- 赵爽弦图：以直角三角形的斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a、b 为边长的四个直角三角形与一个小正方形面积之和。

即c^2=4×(1)/(2)ab+(b - a)^2，化简后可得c^2=a^2+b^2。

3. 勾股定理的应用。

- 已知直角三角形的两边求第三边。

- 当已知两条直角边a、b时，斜边c=√(a^2)+b^{2}。

- 当已知一条直角边a和斜边c时，另一条直角边b=√(c^2)-a^{2}。

- 解决实际问题中的直角三角形问题。

- 例如，在一个长方形中求对角线长度（长方形的相邻两边与对角线构成直角三角形）；在一个梯形中，通过作高构造直角三角形来求相关线段长度等。

二、勾股定理的逆定理。

1. 定理内容。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 判断直角三角形的方法。

- 首先计算三边的平方，看是否满足两短边的平方和等于长边的平方。

- 例如，三角形三边分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 + 16 = 25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。

3. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

- 如果(a,b,c)是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数。

例如，(3,4,5)是勾股数，那么(6,8,10)（k = 2时）也是勾股数。

第1讲 勾股定理及其逆定理【知识梳理】1.勾股定理在直角三角形中，两直角边的 等于 .若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 。

（勾股定理）【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2.勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足____________，那么这个三角形是直角三角形。

（2）勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。

3.勾股定理的简单应用利用勾股定理222c b a =+求直角三角形的边。

【注意】①已知三角形是 ；②找准已知边是 边或 边。

③所求是 边。

运用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形。

【演练巩固】1、已知三角形的三边长分别为5,13,12,则三角形的面积为( )A. 30B. 60C. 78D. 不能确定2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AB=4，BD=5，则点D 到BC 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则DC+DE= _____cm ．4、如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=15，那么AC 的长为______。

5、如图，已知Rt △ABC 中，AB=4，分别以AC,BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1+S 2= 。

2题 3题 4题 5题6、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，b 的面积分别为5和12， 则c 的面积为7、在Rt△ABC 中,△C=90°,AC=9,BC=12,则点C 到AB 的距离是( ) A.518 B.536 C.554 D.5801 8、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。

第一章《勾股定理》知识点1.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则222a b c +=，其中222222,,b c a a c b b a c -=-=+=2.勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多．3.勾股定理的逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形；即在△ABC 中，若222a b c +=，则△ABC 为直角三角形，∠C=900.这是判定一个三角形是直角三角形的方法．4.常见的勾股数：（3、4、5）；（6、8、10）；（9、12、15）；（12、16、20）；（15、20、25）；（5、12、13）；（10、24、26）；（15、36、39）；（8、15、17）；（16、30、34）；（7、24、25）等；将这些数扩大或缩小相同倍数后，它们仍然满足勾股定理，但不一定是勾股数（因为勾股数是正整数）!5.勾股定理（或逆定理）的应用：（1）直接利用勾股定理，由直角三角形的已知边求未知边：①只有一边为未知数；②有两边为未知数，但能用一个未知数表示；③求直角三角形斜边上的高通常采用“等面积法”；（2）添加辅助线，在图中构造出直角三角形，运用勾股定理求未知边.（有时还要借助方程、方程组和代数运算）；（3）有些代数问题，其数量关系具有“勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的几何 图形，然后借助图形的几何性质去解决代数问题，这就是“数形结合”的思想．（4）对立体图形问题，将其表面或侧面展开转化成平面问题，构造直角三角形，运用勾股 定理计算；（5）注意勾股定理或逆定理在解题中的格式！1.为什么要证明（1）因为通过观察、实验、归纳得到的结论是不可靠的，故必须要证明；（2）证明：从条件出发，结合已经学过的定义、公理、定理、性质等一步一步推导出结论的过程（即演绎推理的过程）称为证明.2.定义与命题（1）定义：对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定.（2）命题：判断一件事情的句子，叫做命题.（3）每个命题都由条件和结论两部分组成，都可以写成“如果......那么......”的形式，“如果”引出的是条件，“那么”引出的是结论；（4）命题分为真命题和假命题，真命题需要证明，假命题只需要举一个反例.3.学过的八条基本事实（公理）（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）同位角相等，两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；（8）三边分别相等的两个三角形全等.4.部分性质定理：（1）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；（2）三角形的任意两边之和大于第三边；（3）内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（4）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；（5）两直线平行，同为角相等；（6）平行于同一条直线的两条直线平行；（7）三角形的内角和等于1800，外角和等于3600；（8）三角形的一个外角的能够与和它不相邻的两个内角的和；（9）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.一、实数：无理数：无限不循环小数叫做无理数；实数：有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点是一一对应关系.实数的表现形式：①无限不循环小数，如0....等；②开方开不尽的数339332，，，等；③特殊的数，如π，1-π，3π，等. 有些数本质上不是无理数，如.8430等，，π二、平方根与立方根：①平方根：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作a x ±=； 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. ②算术平方根：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根，即a x =；0的算术平方根是0；（只有非负数才有平方根和算术平方根）③立方根：若x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作3a x =；正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.（任何实数都有立方根）三、二次根式：1、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式；被开方数a ≥0且.0≥a2、二次根式的运算：（1）乘法：ab b a =⋅（可以逆算） a a =2)(（条件a ≥0)；⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a （a 为任意实数）. （2）除法：b a ba =（条件a ≥0,b ＞0,可以逆算) （3）加减法：①最简二次根式的条件：①根号内不含开方开得尽的因数；②分母中不含根号；③根号中不含分母；②分母有理化（化去分母中的根号）：常见的两种形式）（或和ba cb ac a b ±±单项式型：如3333331=⋅=，55515151===等； 多项式型：如23)32(3232)32)(32(32321-=--=--=-+-=+ 223532535)35)(35(35351+=-+=+-+=- ③同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同．．．．．．．．．．．．．．．．．，则称它们是同类二次根式，同类．．二次根式可以像同类项一样合并．．．．．．．．．．．．．．；（不是同类二次根式不能合并）. 二次根式的混合运算：先乘方开方，再乘除，最后合并同类二次根式（可同步采用运算律简化运算）第六章《数据的分析》知识点一、“三数”（平均数、中位数、众数）刻画数据“更......”1、平均数： ①算术平均数：)...(121n x x x nx +++=②加权平均数： ....,......)...(1211112211据的重要程度），“权”表示一个数且的权出现的次数，是数据表示，的权，出现的次数，是数据表示（其中n m m m x x m x x m x m x m x m nx t t t t t t =++++++=③参照平均数：均数）为比较后所得数据的平为参照数，（'',x a x a x +=. 2、中位数：n 个数据按大小顺序排列后，处于最中间位置的一个数据（或最中间位置两个 数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数只有一个，可能在数据中，也 可能不在数据中.3、众 数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数；众数可能不只一个. 平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量.平均数要求所有数据参与计算，但容易受端点值的影响；中位数计算简单，受端点值影响较小，但不能利用所有数据的信息；众数是多次重复的数据，人们颇为关心，但各数据重复次数一样时，众数没有特别意义.不同的研究者对“三数”的关注程度不一样．．．．．．．．．．．．．．．．．．．！ 二、“三图”（折线统计图，条形统计图，扇形统计图）分析数据的集中趋势三个统计图均能比较容易看出．．一组数据的众数，可以求出．．中位数，平均数.三、“三差”（方差、标准差、极差）刻画数据的离散程度（即波动性稳定性大小） ①方差：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= ，其中.,......,,21的平均数是n x x x x （方差的四步求法：求平均数、作差、平方、求平均数）②标准差：S （方差的算术平方根）；③极差：d = 最大数据 - 最小数据；一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据越稳定（方差和标准差运用较多）第三章《位置与坐标》一、确定位置：1、数轴上，确定一个点的位置，只需要一个数据；2、平面上，确定一个点的位置，需要两个数据；3、空间中，确定一个点的位置，至少需要三个数据.二、平面直角坐标系：1、定义：在平面上，两条互相垂直且有公共原点的数轴就组成了平面直角坐标系.水平方向 为x 轴（或横轴），向右为正；铅直方向为y 轴，向上为正；公共原点O 为坐标原点.2、平面内一个点P 的位置由有序实数对（x,y)即坐标来确定，有序实数对（x ，y)与点P 的位置是一一对应的关系.3、P （x ，y)在平面内的坐标特征⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==为任意实数轴上：在为任意实数轴上：在＜＞在第四象限：＜＜在第三象限：＞＜在第二象限：＞＞在第一象限：y x y x y x y x y x y x y x ,0,00,00,00,00,0 4、平行于坐标轴的直线上点的坐标的特点⎩⎨⎧标相同，纵坐标不同轴的直线上的点的横坐平行于标相同，横坐标不同轴的直线上的点的纵坐平行于y x5、坐标系中对称点的坐标特点⎪⎩⎪⎨⎧.,,横、纵坐标都为相反数关于原点对称的两点，相同；纵坐标相反轴对称的两点，横坐标关于相反；纵坐标相同轴对称的两点，横坐标关于y x y y x x6、如何建立适当的坐标系，求点的坐标（力求简捷）；7、坐标系中求图形的面积，可用割补法（向坐标轴作垂线，构造简单图形，求面积的和差）8、坐标系中求两点（所确定的直线不与坐标轴平行）之间的距离，可构造Rt △,利用勾股定理来求.第四章《一次函数》知识点一、函数：1、定义：在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2、函数的表示方法：列表法、关系式法、图象法.3、列函数关系式的要求：用自变量x 的代数式表示因变量y .4、利用函数关系式求x 和y 的值.二、一次函数与正比例函数：1、定义：.0,）的函数叫做一次函数为常数，且（形如≠+=k b k b kx y.)0(0一次函数的特殊形式叫做正比例函数，它是时，函数当≠==k kx y b2、图象及画法：一次函数的图象是一条直线，任取两点如（0，b ）和)0(，kb -就可画出； 正比例函数图象是过原点的直线，除原点O （0,0）外，再找一点（1，k )就可画出.3、图象及性质：①对正比例函数y =kx增减性：k ＞0，y 随x 的增大而增大，k ＜0，y 随x 的增大而减小，反之亦然.区域性：k ＞0，图象经过一、三象限，k ＜0，图象经过二、四象限，反之亦然.②对一次函数y=kx+b增减性：k ＞0，y 随x 的增大而增大，k ＜0，y 随x 的增大而减小，反之亦然.区域性：k ＞0，b ＞0,图象经过一、二、三象限；k ＞0， b ＜0,图象经过一、四、三象限， k ＜0，b ＞0,图象经过二、一、四象限；k ＜0， b ＜0,图象经过二、三、四象限. ③一次函数y=kx+b 的图象可由正比例函数y =kx 的图象平移而来.b ＞0,沿y 轴向上平移b 个单位, b ＜0,沿y 轴向下平移b 个单位.4、待定系数法求一次函数的表达式：设．（设表达式），列．（代入坐标列方程组），解．（求出k 、b)，写．（写出函数关系式）. 5、一次函数图象的交点求法：①求与x 轴的交点坐标，令y=0，求x ，即（x ，0）；②求与y 轴的交点坐标，令x =0，求y ，即（0，y ）；③求两直线的交点坐标，联立函数关系式解方程组，求出的解⎩⎨⎧y x 就是交点坐标（x ，y ). 6、一次函数的应用：①函数自变量x 的取值范围； ②观察图象读取有用信息点；③根据分段图象，求分段函数表达式； ④利用函数图象比较函数值的大小； ⑤动态几何求函数表达式； ⑥动态几何如何进行图形的分类.第五章《二元一次方程组》知识点一、基本概念：1、二元一次方程：含有两个．．未知数，并且所含未知数的项的次数都是．．．．．．．．．．1．的方程叫做二元一次方程. 2、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.3、二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法：①代入消元法：将有一个方程变形，用一个未知数的代数式表示另一个未知．．．．．．．．．．．．．．．．．数．，进行代入．达 到消去一个未知数的目的.②加减消元法：将两个方程中同一个未知数的系数化为相反或相同．．．．．，进行相加或相减．．．．．达到消 去一个未知数的目的.三、三元一次方程组的解法：同二元一次方程组一样，利用（代入或加减）进行逐步消元：化三元为二元，化二元为一元求解.四、二元一次方程与一次函数的关系：①待定系数法求一次函数的表达式：解二元一次方程组求k,b ，可求得一次函数的表达式；②方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解就是一次函数2211b x k y b x k y +=+=与图象的交点坐标（x,y ）. ③对方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=≠.,,2121212121，即方程组有无数个解时，两个函数图象重合当程组无解；行直线，无交点，即方时，函数图象是两条平当；点，即方程组有唯一解时，函数图象有一个交当b b k k b b k k k k 五、二元一次方程组的应用：解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答.①数字关系类：（画方框表示数位及数位上的数字）②行程关系类：（画线段表示路程之间关系）③数据计算比较类：（画表格表示数量之间的关系）④利润（比率）类：（画表格表示数量之间的关系）。