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第7章 椭球面上的测量计算

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椭球面的几何特征与测量计算课件

椭球面的几何特征与测量计算课件
到极坐标系。
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性

第7章椭球面讲义上的测量计算

第7章椭球面讲义上的测量计算

(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e‫׳‬是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；

(第7章)椭球面上的基本计算

(第7章)椭球面上的基本计算

第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。

∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。

实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。

结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。

大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。

应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。

参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。

二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。

解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。

测量学与地图学(第七章)

测量学与地图学(第七章)

ds ' m ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
2)面积变形 面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面 积）dF之比。
P 表示面积比 Vpቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ表示面积变形
dF’
πa * r * b * r
P=
dF
=
π r2
= a*b
其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任 意投影（m=1）。
§3
一.
地图投影的选择
地图投影的选择依据
1.制图区域的地理位置、形状和范围
2.制图比例尺
3.地图的内容
4.出版方式
1.制图区域的地理位置、形状和范围
2.制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形 小的投影。
测量学与地图学
电子教案
第七章、地图投影
第七章、地图投影
§1 、地图投影及其变形
§2 、地图投影的分类
§3 、地图投影的选择
§4 、地图投影的判别
§1 、地图投影及其变形
一 、地图投影
按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换 到平面上，使地面点位的地理坐标 （λ、φ） 与地图上相 对应点位的平面直角坐标（x,y） 或极坐标 (δ,ρ)间，建立 起一一对应的函数关系：
③等距割圆锥投影
条件：m = 1 ;
原苏联出版的苏联全图，采用(j1 = 47 ° ； j2 = 62 °)的该投影。
3. 伪圆锥投影
由法国彭纳（R. Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些 条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影(等积投影)。

几种主要的椭球公式

几种主要的椭球公式

§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。

包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。

椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。

6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。

任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M = 子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -= 3V c M = 或 2V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。

在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。

卯酉圈的曲率半径用N 表示。

为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。

因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。

即PT 垂直于Pn 。

所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。

卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N = 6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。

卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。

现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。

任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e N A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。

控制测量学将地面观测值归算至椭球面

控制测量学将地面观测值归算至椭球面

将地面观测值归算至椭球面6.4.1 概述参考椭球面是测量计算的基准面。

在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。

因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。

在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。

6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面 1．垂线偏差改正u δ地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。

把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。

如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。

垂线偏差改正的计算公式是：1cot )cos sin (Z A A m m uηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-=式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。

垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。

2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。

不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。

当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以h δ表示。

如图所示，A 为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。

7.4椭球面上的弧长计算

§7.4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。

7.4.1子午线弧长计算公式我们知道，子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。

而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B 子午线弧长的计算公式。

取子午线上某微分弧dx P P =',令P 点纬度为B,P /点纬度为B dB +,P 点的子午圈曲率半径为M,于是有dx MdB = (7-62)要计算从赤道开始到任意纬度B 的子午线弧长,必须求出下列积分值: ⎰⎰⎰---=-==B B B dB B e e a dB W e a MdB X 0232220032)sin 1()1()1( (7-63) 将积分因子按二项式定理展开为级数形式+++=--B e B e B e 44222322sin 815sin 231)sin 1( 为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于: sin cos sin cos cos 241212238122184B B B B B =-=-+ 于是有:++-+-+=--)4cos 64152cos 16156445()2cos 4343(1)sin 1(444222322B e B e e B e e B e 令常系数:A e e =+++134456424 =B ++42161543e e (7-64)=C +46415e 将其代入(7-63)式中:X a e A B B C B dB B=--+-⎰()(cos cos )12420 积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--= B C B B B A e a X 4sin 42sin 2)1(2ρ (7-65) 7.4.2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,(7-69)如果平行圈上有两点，其经差12 L L l -=''，可写出平行圈弧长公式：cos ρ''''=l B N S (7-70) 7.4.3子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B 的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B 的增大而急剧缩短。

椭球面方程及其应用

椭球面方程及其应用简介椭球是一种常见的几何体，其在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍椭球面方程的相关知识，并探讨其在实际应用中的一些示例。

椭球面方程椭球面可以由一个方程来描述，其一般形式为：(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 + (z - l)^2/c^2 = 1其中，(h, k, l)为椭球中心点的坐标，a、b和c分别为椭球在x、y和z轴上的半径。

通过调整这些参数，可以得到不同形状和大小的椭球。

应用示例天体轨道天体运动的轨道往往是椭球形状。

根据椭球面方程，我们可以计算天体的轨道参数，并预测其位置和运动轨迹。

这对于天文学研究和导航系统都是非常重要的。

地理测量在地理测量中，椭球体经常被用来近似地球的形状。

通过基于椭球面方程的测量方法，可以计算地球上任意一点的经纬度和海拔高度。

这为地图制作、航空航天和导航系统提供了基础数据。

机械设计在机械设计中，椭球面方程可以应用于涡轮机械、车辆运动学和光学镜面等领域。

通过合理选择椭球参数，可以实现特定的设计需求，提高机械设备的性能和效率。

电磁波传播电磁波在大气中传播时，其路径往往呈现椭球形状。

通过椭球面方程，可以分析电磁波传播的特性，优化信号的接收和传输。

这在通信系统设计和无线电波传播研究中具有重要意义。

结论椭球面方程是描述椭球形状的数学工具，其在天文学、地理测量、机械设计和电磁波传播等领域中都有着广泛的应用。

通过理解和应用椭球面方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。

希望本文对读者对椭球面方程及其应用有所启发。

椭球面的一般方程公式和体积公式

椭球面的一般方程公式和体积公式椭球面是一种常见的几何体，具有许多重要的应用。

在本文中，我们将介绍椭球面的一般方程公式和体积公式，并探讨一些相关的性质和应用。

一、椭球面的一般方程公式椭球面可以用一个二次方程来表示，其一般方程公式为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² + (z - l)²/c² = 1其中，(h, k, l)是椭球面的中心点坐标，a、b、c分别是椭球面在x 轴、y轴和z轴上的半轴长度。

这个方程描述了一个以点(h, k, l)为中心，在x、y、z三个方向上分别以a、b、c为半轴的椭球面。

二、椭球面的体积公式椭球面的体积可以通过以下公式计算：V = 4/3 * π * a * b * c其中，V表示椭球面的体积，π是圆周率，a、b、c分别是椭球面在x轴、y轴和z轴上的半轴长度。

这个公式是基于椭球体积的定义，将椭球面看作是一个在三个方向上都有限制的立体体积。

三、椭球面的性质和应用椭球面具有许多有趣的性质和重要的应用。

以下是一些关于椭球面的性质和应用的简要介绍：1. 几何性质：椭球面是一个既有旋转对称性又有轴对称性的几何体。

它具有一个中心点和三个相互垂直的主轴，这些性质使得椭球面在几何学和物理学中有广泛的应用。

2. 天体力学：椭球面被广泛应用于天体力学中，用于描述行星、卫星和彗星的轨道。

通过测量物体在天空中的位置和运动，可以使用椭球面来计算它们的轨道和运动轨迹。

3. 地球几何学：地球被认为是一个椭球体，因此可以使用椭球面来近似地球的形状。

地球的椭球面模型可以用于测量地理位置、计算地球的体积和表面积，以及进行地图投影等应用。

4. 机械工程：椭球面在机械工程中也有广泛的应用。

例如，在设计轴承和齿轮系统时，可以使用椭球面来描述轴承和齿轮的形状，以实现理想的运动和传动。

5. 数学研究：椭球面是数学研究中的重要对象之一。

通过对椭球面的研究，可以深入理解几何学、代数学和微积分等数学领域的一些基本概念和定理。

椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算

认为 ab = ba
高斯正形等角投影
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
方向改化
（2）方向改化计算公式
• 球面角超公式为：
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
• 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
• 式中
ab
2R2
ym (xa
xb )
ba
2R2
ym (xa
xb )
ym
1 2
( ya
yb
)
，为a、b两点的y坐标的自然平均值
第三部分
距离改化
距离改化
1、距离改正数
距离改化计算 S
• 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平 面上相应的弦线长度
• 如图所示，设椭球体上有两点 P1, P2 及其大地线S，在高斯投影 面上的投影为 P1P2 长度为s；连接 P1, P2 两点的直线距离为D；
Nf
y2
y
tan B f
1
3N
3 f
(1
t
2 f
2 f
)
上式计算精度可达1“ 如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：
Nf
yt f
y 2
3N
3 f
t
f
(1
t
2 f
2 f
)
y 15N
5
5 f
t
f
(2
5t
2 f
3t
4 f
)
第二部分
方向改化
方向改化
（1）方向改化分析
• 方向改化值 ab ：椭球面上大地线AB方向改
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第七章 椭球面上的测量计算
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
L
B n
• 当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有
X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B sin L Z = ( N (1 − e 2 ) + H ) sin B
地球自然表面 高斯平面 参考椭球面
§7-1
地球椭球的几何参数及其相互关系
一、地球椭球的基本几何参数 • 地球椭球 地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学 表达模型。 • 参考椭球 参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某 一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。 • 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行 计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。 计算的基准面。 计算的基准面
x= a cos B = 2 2 W 1 − e sin B a cos B ( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
• 式中，a、b 为椭球长、短半径，W、 W = 1 − e 2 sin2 B V为前述辅助函数：
V = 1 + e′ 2 cos2 B
参数 a CGS2000椭球 椭球 6378137m 1/298.257222101
α
运用初等数学知识很容易推导， 二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略 运用初等数学知识很容易推导 b2 1 − e2 = 2 a
e′ e = 1 + e′2
N
2、空间直角坐标与子午面直角坐标的 、 关系 • 从右边2图容易得出：
X = x cos L Y = x sin L Z=y (7 − 24)
L
3、空间直角坐标与大地坐标的关系 、 （1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间 直角坐标（X ，Y ，Z） ） • 当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将 (7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：
H = H 正常 + ζ (高程异常 )
• 在大地坐标系中， P点的位置用 （ L ， B ， H ）表示。
2、空间直角坐标系 、 • 以椭球中心O为原点，起始子午面与 赤道面交线为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭球体旋转轴 为Z轴。X、Y、Z构成右手坐标系。 • 在空间直角坐标系中， P点的位置用 （X ，Y ，Z）表示。
• 在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先 归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才 能进行平差计算。 • 等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对 地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围 较大时控制网无法拼接。如公路测量等。 • 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。 • 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。 • 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式 主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。 主要公式
• 椭球体有关元素—— 椭球体有关元素 O为椭球中心； NS为旋转轴； EAE‫׳‬为赤道（⊥NS）； a为长半轴； b为短半轴； NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆）； QKQ ‫׳‬为平行圈（纬圈， 与赤道平行 ）。 纬圈， • 决定椭球形状和大小的五个参数 决定椭球形状和大小的五个参数—— ①长半轴（长度元素）： a ②短半轴（长度元素）： b a −b α= ③扁率（反映椭球体的扁平程度）： a
2
§7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
• 椭球面上的坐标系有： 椭球面上的坐标系有： ①大地坐标系 ②空间直角坐标系 ③子午平面直角坐标系 ④大地极坐标系 ⑤地心纬度坐标系 ⑥归化纬度坐标系 • 前两种是大地测量中最常用的基本坐标系，而最后两种坐标系在 实际应用中很少采用，仅用于大地测量公式推导和某些特殊测量 计算中。
3、子午面直角坐标系 、 • 设P点的大地经度为L。在过P点的子午 面上，以子午椭圆中心为原点，建立平 面直角坐标系（注意：该平面直角坐标系的x、 注意： 、 y轴的方向与测量习惯不一致 ）。在该坐标 系中， P点的位置用（L，x，y ）表示。 ， • 子午面直角坐标系仅用于大地测量公式 推导。
4、大地极坐标系 、 • M为椭球面上任意一点 。 • MN 为过M 点的子午线。 • S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线， 最短曲线， 将在§ － 介绍 将在§7－5介绍）长度。 • A 为大地线在M 点的方位角。 • 以M 为极点 极点，MN 为极轴 极轴，S 为极径 极径，A 极点 极轴 极径 为极角 极角，便构成大地极坐标系 大地极坐标系。 极角 大地极坐标系 • 在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ） 表示。
(7 − 30)
3、空间直角坐标与大地坐标的关系 、 （2）由空间直角坐标（X ，Y ，Z）求大 地坐标（ L ，B ，H ） • 关系式如下：
L = tg B = tg H =
−1
L
( (
−1
Y ) X Z + Ne 2 sin B X
2
( 7 − 31 ) ) ( 7 − 32 ) ( 7 − 34 )
a2 c = b
t = tgB
η 2 = e′ 2 cos 2 B
W = 1 − e 2 sin 2 B V = 1 + e ′ 2 cos 2 B
• 式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫第一基本纬度 叫 函数， 叫第二基本纬度函数 叫第二基本纬度函数。 函数， V叫第二基本纬度函数 • 自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，200多年来 各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目 繁多、数值各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。
2 2
a2 − b2 e′ = b2
2
a2 1 + e′ = 2 b
2
e2 e′2 = 1− e2
2
a = b 1 + e′ ,
2
b = a 1− e
c = a 1 + e′2 , e′ = e 1 + e′2 , V = W 1 + e′ 2 , e 2 ≈ 2α
a = c 1 − e2 ′ 1 − e2 e=e 2 W = V 1− e
一、子午圈曲率半径 • 在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK）， 相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系) dx、 dy。 • 设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及 Kn即子午圈曲率半径，用M表示。 • 由平面曲线的曲率半径定义公式知：
M
dS M= dB
• 进一步推导（过程略），可得： a(1 − e2 ) M= (7 − 60) 3 W N c 或M = 2 或M = 3 V V • 式中：W = 1 − e 2 sin 2 B
n
B
+Y
2
Z − N (1 − e 2 ) sin B
（7－31）可直接由（7－25）得到。 （7－32）可根据右图得到。 OP″＝x＝ X 2 +Y2 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。 • 同样，（7－34）可根据右图得到。 sinB＝Z / (H+P'Q) • • • •
b W = 1 − e ⋅V = ⋅V a a 2 V = 1 + e′ ⋅ W = ⋅ W b W 2 = 1 − e2 sin2 B = (1 − e2 )V 2 2 2 2 2 V = 1 +η = (1 + e′ )W
a 2 − b2 ④第一偏心率： e = a
a2 −b2 ⑤第二偏心率： e′ = b
• e和e‫׳‬是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。