利用测地坐标计算椭球面上凸多边形面积的算法研究
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凸包面积和周长的计算
凸包面积和周长的计算凸包是在平面上给定的一组点中构成的最小凸多边形。
凸包的面积和周长是计算凸包重要的指标，可以用来分析数据分布的紧密程度和形状特征。
本文将介绍凸包的定义和生成算法，并详细说明如何计算凸包的面积和周长。
一、凸包的定义凸包是指在平面上给定的一组点中，由这些点构成的最小凸多边形。
凸多边形的特点是：任意两点之间的线段都在多边形内部。
凸包是凸多边形中的最小面积的凸多边形，即是在所有凸多边形中，面积最小的凸多边形。
二、凸包的生成算法1. Jarvis算法（也叫作包裹算法或者旋转卡壳算法）：该算法基于以下思想：从一组点中找到一个起始点，将其作为凸包的一个顶点。
然后，从这个点开始，寻找下一个能保证凸包深度最大的点，并将其加入凸包。
不断重复这个过程，直到回到起始点为止。
该算法的时间复杂度为O(nh)，其中n是点的个数，h是凸包的顶点数。
2.快速凸包算法：该算法基于Graham扫描算法改进而来。
首先选择一个y坐标最小的点，将其他点按照与这个点的连线的极角进行排序。
然后依次处理排序后的点，对每个点进行判断，如果点在逆时针方向上，则加入凸包，否则舍弃。
最后得到凸包。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，是一种高效的凸包生成算法。
三、凸包面积的计算凸包的面积可以用以下公式进行计算：S = (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1 - x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn) / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)是凸包的顶点的坐标。
计算凸包的面积可以通过以上公式进行求解，公式中的坐标是有顺序的，要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入。
四、凸包周长的计算凸包的周长可以通过计算凸包顶点之间的距离之和来得到。
对于凸包的n个顶点，可以依次计算相邻顶点之间的距离，并将其累加得到凸包的周长。
保证计算的正确性需要注意以下几点：1.凸包的顶点要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入，以保证计算出的面积和周长的结果正确。
关于椭球区域面积计算问题的讨论
关于椭球区域面积计算问题的讨论目前关于椭球区域面积的计算都是采用边界点高斯平面坐标进行，由于高斯投影为等角投影存在面积变形，因而所计算的面积和实际面积有一定差距。
椭球面上的不规则面积计算则显得尤为复杂困难。
文章讨论顾及地球曲率的面积计算方法，转换为采用等面积投影的方法，采用平面坐标面积计算，对不规则椭球区域面积计算方法进行讨论。
标签：椭球规则梯形计算；等面积投影；高斯投影；等角投影；高斯正反算1 概述目前椭球面面积的计算都是采用边界线的高斯平面坐标进行，没有考虑地球曲率。
由于高斯投影存在面积变形，虽然单宗土地面积变形不大，但是全省、全国大面积统计，则影响不可忽视，因此精确计算椭球面区域面积，是国土部门亟待解决的问题。
目前提出的方法多种多样，如利用傅立叶级数快速转化实现面积计算、利用freeman链码矢量分析对边界进行综合处理获取边界像素坐标加权求和，求得面积等方法。
上述的方法，最终并没有成为解决椭球面区域计算的方法。
椭球梯形是椭球面上唯一能直接计算出准确面积的图形，它是由两条子午线和两条平行圈围成的梯形表面。
但事实生产工作中并不会简单的计算梯形面积，而是需要对不规则的图形进行计算。
本文希望能通过对简单投影方法的运用，得到区域面积的计算简便方法，并利用椭球梯形作为实际面积进行检验。
利用等面积投影特有的投影后面积不变的特点和高斯投影直接利用坐标计算面积的方式，将不规则椭球区域坐标转化为等面积投影和高斯投影坐标，再用平面面积计算公式计算不规则区域。
通过具体数据比较高斯投影与等面积的投影转化方法能否解决不规则区域面积计算，并用椭球梯形面积进行检验。
2 椭球面积计算方法2.1 规则梯形面积计算地球为一个不规则的球体，广大区域上遍布着江河，湖海，高山，盆地，低洼，峡谷等等，因此地球上区域的面积计算就变得很困难，此时需要引入一个类地球的椭球，这个椭球的目的主要是为了方便地球表面上的测量计算工作。
这个数学模型为规则的，它非常接近大地体并用来替代大地体。
椭球面几何特征与测量计算
进行改正。
椭球面几何特征与测量计算
应用大地测量学
第四节 地面观测值归算至椭球面
五、地面观测距离归算至椭球面
设A、B两点的大地高分别为H1为H2，h=H2-H1，d为空间直线 长。 由三角形AOB按余弦公式可得：
弦长 弧长
椭球面几何特征与测量计算
应用大地测量学
第四节 地面观测值归算至椭球面
六、椭球面上的三角形解算
一是椭球参数的选择；
二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。
椭球面几何特征与测量计算
第一节 地球椭球及其定位
一、椭球的几何参数及其关系
应用大地测量学
椭球面几何特征与测量计算
第一节 地球椭球及其定位
一、椭球的几何参数及其关系
应用大地测量学
第一偏心率
第二偏心率：
扁率
椭球长半径a，短半径b
椭球面几何特征与测量计算
椭球面几何特征与测量计算
应用大地测量学
第五节 椭球面上大地问题解算
一、概述
（二）解算方法
3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距 离）。 基本思路： a、按照平均引数展开的台劳级数把大地线两端点的经差、纬差和 方位角差各表示为大地线长S的幂级数； b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问 题解算公式。
椭球面几何特征与测量计算
第一节 地球椭球及其定位
应用大地测量学
二、垂线偏差及其基本公式
垂线偏差——地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间 的夹角。 垂线偏差µ 的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η ξ=ψ-B η=(λ-L)cosψ A=α-(λ-L)sinψ=α-η·tanψ
椭球面几何特征与测量计算
浅谈土地利用数据中图斑椭球面积的算法
浅谈土地利用数据中图斑椭球面积的算法摘要：本文通过对二调中图斑椭球面积计算算法的分析和研究，提出一种改进的算法，并通过实例进行计算和对比，验证根据改进算法计算得到的图幅内多边形的椭球面积之和比指定算法更接近图幅理论面积。
关键词：第二次全国土地调查；椭球面积；指定算法；改进算法Abstract: based on the two Chinese area calculation algorithm ellipsoid spot of the analysis and study, the article puts forward an improved algorithm, and through the calculation and comparison, verify the improved algorithm according to the calculated in the map of the size of polygon ellipsoid than more close to the designated algorithm theory area map.Key words: the second national land survey; Ellipsoid area; Designated algorithm; The improved algorithm中图分类号：F301.0文献标识码：A 文章编号：0引言面积计算是第二次全国土地调查的一项重要内容，国务院第二次全国土地调查领导小组办公室组织有关专家，依据《第二次全国土地调查技术规程》，对图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式进行了细化，并发布了《国土调查办发[2008]32号关于统一图幅理论面积与图斑椭球面积计算要求的通知》（以下简称《通知》）。
全国第二次土地调查采用统一的地球坐标系，并且采用逐级、逐图幅理论面积控制的方法，可以保证全国调查数据不重不漏，面积汇总准确。
经纬度坐标下的球面多边形面积计算公式
} ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------到此结束，敬请批评指正
CoefficientL = (AM*AM + BM*BM + CM*CM)/(AM*AL + BM*BL + CM*CL);
CoefficientH = (AM*AM + BM*BM + CM*CM)/(AM*AH + BMቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBH + CM*CH);
ALtangent = CoefficientL * AL - AM; BLtangent = CoefficientL * BL - BM; CLtangent = CoefficientL * CL - CM; AHtangent = CoefficientH * AH - AM; BHtangent = CoefficientH * BH - BM; CHtangent = CoefficientH * CH - CM;
不太好注释，具体原理请参考前人的定理：
球面多边形计算面积的关键在于计算多边形所有角的度数.
对于球面 n 边形，所有角的和为 S，球的半径为 R，那么其
面积就是
球面面积=R^2*(S-(n-2)*Pi)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CODE: // calculate Area function calcArea(PointX,PointY,MapUnits) {
计算两凸多边形交集面积的计算机算法
计算两凸多边形交集面积的计算机算法
计算两凸多边形交集面积的计算机算法
张宝琳
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2001(037)009
【摘要】This paper gives a computer algorithm for evaluating the area of the ovedap of two convex polygons.The design of the algorithm is simple,and easy to be put into practical computation. The algorithm has the property of robustness in practice.%该文提出了计算两凸多边形交集面积的新的计算机算法。
算法设计的思路简单，易于实现，实际应用中具有鲁棒性(robustness)。
【总页数】2页(128-129)
【关键词】凸多边形交集面积算法
【作者】张宝琳
【作者单位】北京应用物理与计算数学研究所,
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.计算两凸多边形交集面积的计算机算法 [J], 吴新丽; 蒋立恒; 叶明全
2.计算两凸多边形的并集多边形及其面积的计算机算法与实现[J], 庞明勇; 卢章平
3.求取多边形最小面积外接矩形的计算机算法 [J], 崔天赢
4.求取多边形最小面积外接矩形的计算机算法 [J], 崔天赢。
根据经纬度计算多边形面积
根据经纬度计算多边形⾯积计算⽅法⽐较简单，主要是求出多边形外接矩形已⽶为单位⾯积和已经纬度为单位⾯积⽐值，然后⽤这个⽐值乘以多边形经纬度为单位⾯积，即可得出这个多边形以⽶为单位⾯积。
double GetArea(const vector<Coordinate>& ls){if (ls.size() < 4)return 0;double sum = 0;for (size_t i=0; i<ls.size()-1; ++i){const Coordinate& p = ls[i];const Coordinate& q = ls[i+1];sum += (p.x + q.x) * (q.y - p.y);}return sum/2;}double GetPrjArea(const vector<Coordinate> &ls){if (ls.size() < 4)return 0;double dArea = GetArea(ls);dArea = abs(dArea);if (dArea == 0)return 0;double xmin, ymin, xmax, ymax;xmin = xmax = ls[0].x;ymax = ymin = ls[0].y;for (size_t i=1; i<ls.size(); ++i){const Coordinate& p = ls[i];xmin = min(xmin, p.x);ymin = min(ymin, p.y);xmax = max(xmax, p.x);ymax = max(ymax, p.y);}Coordinate p1, p2;p1.x = xmin;p1.y = (ymin+ymax)/2;p2.x = xmax;p2.y = (ymin+ymax)/2;double dx = GetPrjDistance(p1, p2);p1.x = p2.x = xmin;p1.y = ymin;p2.y = ymax;double dy = GetPrjDistance(p1, p2);dy *= dx;dx = (xmax-xmin)*(ymax-ymin);dy /= dx;dArea *= dy;return dArea;}做了简单的测试，⽤此⽅法计算出来的⾯积和投影变换后计算的⾯积误差⼤约为1/1000，基本上满⾜⼀些要求精度不是很⾼的应⽤。
球面多边形面积
球面多边形面积
刘世泽
【期刊名称】《高等继续教育学报》
【年(卷),期】2005(018)001
【摘要】本文主要研究球面多边形面积公式,设球面n边形(n≥2),则它的面积Sn:Sn=(∑ni=1αi)-(n-2)π,其中αi为球面n边形的第i个内角.由球面多边形面积公式,直接得到球面多边形内角和公式.
【总页数】3页(P25-26,30)
【作者】刘世泽
【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,武汉,430079
【正文语种】中文
【中图分类】O124.2
【相关文献】
1.确定非球面最佳参考球面及非球面度的一种新方法 [J], 莫卫东;傅振堂;范琦;张孟;冯明德;张海防
2.离轴非球面最接近球面半径及非球面度的求解 [J], 王权陡;余景池;张学军;张忠玉
3.测地坐标计算椭球面上凸多边形面积的算法 [J], 施一民;朱紫阳
4.非球面检测中最佳入射球面波和最佳参考球面波的确定 [J], 莫卫东;范琦;贾晋超;张海防;冯明德;杨百遇;李均盛
5.挖掘数学知识横向间的本质联系——关于“多边形面积中底和高垂直关系的强调”——关于“多边形面积中底和高垂直关系的强调” [J], 饶平平
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利用测地坐标计算椭球面上凸多边形面积的算法研究
)
若将上式分成主项及次要项两部分，则有
F0 =
1 m ∑ s y + s yi +1 s xi − s xi +1 2 i =1 i
(
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)
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) ( ) (
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)
)
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)
( − (s
1 2 2 2 3 2 [ s3 y1 + s y1 s y3 − 2 s y1 s y3 + s y1 s y3 + s y3 − 2 s y1 s y3 s x3 − s x1 8 R02
3 y2 2 2 2 2 s y3 + s y s y3 + s 3 + s y2 s y − 2s y y3 − 2 s y 2 s y 3 3 2 2
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)
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)⎤
⎥ds x = s y2 − s y1 s x2 − s x1 − ⎥ ⎦
(
)(
)
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3 y2
− s3 y1
2 0
)
6R
(s
x2
− s x1
) (5)
上式中, n 及 R 只取至二次项,这在一定范围内已能满足精度要求。由式（5）不难看出，利用测地坐标 依测地格网来计算椭球面上的面积要比利用大地经纬度依大地格网进行计算要简单方便得多。
)
P1 s x 1 , s y1
(
)
(B0 , L 0 )
P0
图 2：测地坐标系中的椭球面三角形 Fig.2 Ellipsoidal triangle in geodesic coordinate system
设椭球面上由三条大地线所围成的三角形 P 1 P2 P 3 的 三 顶 点 的 测 地 坐 标 分 别 为
地球椭球面上区域面积的算法研究
地球椭球面上区域面积的算法研究
林绿;马劲松
【期刊名称】《测绘通报》
【年(卷),期】2007()6
【摘要】指出目前计算区域面积时将地球表面作为平面的算法的不足之处,讨论在给定一个不规则凸区域的各个顶点经纬度的条件下,计算该区域投影在地球椭球面上的面积的算法,指出这种算法与前者相比更加精确与合理。
【总页数】3页(P8-10)
【关键词】地球椭球面;不规则区域;面积计算;二重积分
【作者】林绿;马劲松
【作者单位】南京大学地理与海洋科学学院地理信息科学系
【正文语种】中文
【中图分类】P218
【相关文献】
1.地物性质与外形及其在地球椭球面上投影的数学定义 [J], 钟业勋;童新华;韦清嫄
2.地球椭球面上航迹计算的中分纬度公式 [J], 丁佳波
3.测地坐标计算椭球面上凸多边形面积的算法 [J], 施一民;朱紫阳
4.基于不同方法计算椭球面上图斑面积的比较分析 [J], 李铁;王建营
5.地球椭球面上两点间椭球面距离的准确计算 [J], 王存良[1];辛明洋[2]
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(s
x1
, s y1 , s x2 , s y2 , s x3 , s y3 。过 P1 , P2 , P3 三点分别作测地格网线（图 2）, 若把两内角均为直角的
) (
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三个曲边“梯形” 各分成曲边“矩形” 和“直角三角形” 两部分，而在“直角三角形” 面积的计 算中，将其看成所相应的曲边“矩形” 的一半左右。因这两个曲边“直角三角形” 仅有一条边不等 长，故其面积之比应为长度归化因子之比。则由式（5）可得出该椭球面三角形的面积为
目（03-04-02） 作者简介：施一民(1942), 男 ,浙江宁波人, 教授，博士生导师。.E-mail：yimshi@ 1
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(
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)
2 2 2 3 2 − s3 y1 + s y1 s y 2 − 2 s y1 s y 2 + s y1 s y 2 + s y 2 − 2 s y1 s y 2 s x2 − s x1 x3
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1 s y s y s y + s y3 s x1 − s x3 + s y2 s y1 s y2 + s y1 s x2 − s x1 + s y3 s y2 s y3 + s y2 s x3 − s x2 8R02 1 3 1
[
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[7] 由式（7）可知,利用三顶点的测地坐标所算得的椭球面三角形面积可分为主项 F0 以及含 小项 δF 两部分。主项 F0 的表示式完全等同于用平面坐标计算面积的常用公式。
Hale Waihona Puke 摘 要：本文推导出用三顶点的测地坐标计算地球椭球面上三角形面积的公式，公式表明，其 主项的表示式与按平面坐标求面积的计算式完全一致，而附加项的表示式亦有规律可循，因此 该公式的适用范围可由椭球面三角形推广至椭球面上任意凸多边形。与高斯平面上计算的面积 相比，由于它不再蒙受投影变形的影响，更接近于实际面积,这就为至今难以实施的椭球面上面 积计算开拓了一个新的途径, 有利于作出更客观的 GIS 空间量度与分析。实际数据的验算充分 证实了该算法的正确性和有效性。 关键词：测地坐标 椭球面三角形 凸多边形 面积公式
由（3） 、 （4）两式，得出
(4)
A = ∫ EG ds y ds x = ∫ nds y ds x = ∫
D D
s x2
s x1
∫
s y2
s y1
⎛ s2 ⎜1 − y ⎜ 2R 2 0 ⎝
⎞ ⎟ds y ds x ⎟ ⎠
=∫
s x2
s x1
3 ⎡ s3 y 2 − s y1 ⎢ s y2 − s y1 − 6 R02 ⎢ ⎣
F=
1 m 1 s yi + s yi +1 s xi − s xi +1 + ∑ 2 i =1 24 R02
(
)(
)
∑ s 3yi s xi −2 − s xi −1 +
i =1
m
(
)
1 8R02
∑s
i =1
m
yi
s yi −1 s yi + s yi −1 s xi − s xi −1
（8）
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( )( ) )( )]
1 的 R02
24 R
2 0
1 1 1 s y1 + s y2 s x1 − s x2 + s y2 + s y3 s x2 − s x3 + s y3 + s y1 s x3 − s x1 2 2 2 1 3 3 s3 + y s x − s x2 + s y 2 s x1 − s x3 + s y3 s x2 − s x1 24 R02 1 3
)
P1 s x 1 , s y1
(
)
(B0 , L 0 )
P0
图 2：测地坐标系中的椭球面三角形 Fig.2 Ellipsoidal triangle in geodesic coordinate system
设椭球面上由三条大地线所围成的三角形 P 1 P2 P 3 的 三 顶 点 的 测 地 坐 标 分 别 为
[1]
1 利用测地坐标计算椭球面上测地格网曲边“矩形”的面积
按一定间隔的一族大地线及一族测地平行线构成了地球椭球面上的正交参数曲线格网（测地格 网）
[2 ]
,借此可度量椭球面上由两对正交的坐标曲线所围成的四内角均为直角的四边形面积。在图 1
所示的测地格网的一个微分网格 PQTL 中，当 Q，L 点无限接近于 P 点，则有
− s y2 s x2 − s x1 +
(
)
s3 y2 6R
2 0
(s
x2
⎡ − s x1 − ⎢ s y1 − s y2 s x2 − s x1 ⎢ ⎣
) (
)(
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
− s y2 s x3 − s x2 +
(
)
s
3 y2
6 R02
(s
x3
⎡ − s x2 − ⎢ s y3 − s y2 s x3 − s x2 ⎢ ⎣
→ ⎛ → ⎜ ∂r ∂r × A = ∫∫ dσ = ∫∫ ⎜ ⎜ ∂s y ∂s x D ⎝
⎞ ⎟ ds y ds x ⎟ ⎟ ⎠
（3）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------基金项目：国家自然科学基金资助项目(40471114) ,地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金资助项
)
若将上式分成主项及次要项两部分，则有
F0 =
1 m ∑ s y + s yi +1 s xi − s xi +1 2 i =1 i
∂r ∂r × ∂s y ∂s x
→ →
→
→
2
∂r ∂r ∂r ∂r =( × )⋅( × ) ∂s y ∂s x ∂s y ∂s x
→ → → → → →
→
→
→
→
∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r )⋅( )−( )⋅( ) = EG − F 2 = n 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =( ∂s x ∂s y ∂s y ∂s x ∂s x ∂s x ∂s y ∂s y
(
)(
)
3
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2 ⎡ sy 1 ⎢ 1− 3 2 ⎤ − s3 s 2 R y y 0 − 1 2 2 ⎥ ÷ ⎢1 + 2 6 R0 ⎦ sy ⎥ ⎢ ⎢ 1 − 22 2 R0 ⎢ ⎣ 2 ⎡ sy 3 − 1 ⎢ 3 ⎤ − s3 s 2 R02 y y − 3 2 2 ⎥ ÷ ⎢1 + 2 ⎢ 6 R0 ⎥ ⎦ ⎢ 1 − s y2 2 R02 ⎢ ⎣
2 利用测地坐标计算椭球面三角形的面积
2
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P3
(s x
3
,sy3
)
F
P2
(s x
2
,sy2
(
)(
)
)(
)
( (
) ( ) (
)(
)
)
(
)
( − (s
1 2 2 2 3 2 [ s3 y1 + s y1 s y3 − 2 s y1 s y3 + s y1 s y3 + s y3 − 2 s y1 s y3 s x3 − s x1 8 R02
3 y2 2 2 2 2 s y3 + s y s y3 + s 3 + s y2 s y − 2s y y3 − 2 s y 2 s y 3 3 2 2
L
r ′ d sx
T
dσ
r ( s x , s y ) d sy P
Q
(B0 , L 0 )
P0
图 1：椭球面上基于测地格网的微分面积
Fig.1 Differential area based on geodesic Grid on ellipsoidal surface
由向量运算中的 Lagrange 恒等式得到：
∂r ∂r ds x ds y , PL = PQ = ∂s x ∂s y
→ ⎛ → ⎞ ∂r ⎜ ∂r ⎟ dσ = ⎜ ds y × ds x ⎟ ∂s x ⎜ ∂s y ⎟ ⎝ ⎠
→
→
(1)
微分四边形 PQTL 的面积可用来代表该测地格网在椭球面上的微分面积 dσ ，即有