解析几何答案 廖华奎 王宝富 第二章

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．72．已知圆22:(3)(4)4C x x -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的取值范围是（ ） A ．[5,9]B ．[4,8]C ．[3,7]D ．[2,6]3．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．94．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．0,C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-7．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行； ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB //α；D ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为1717. 9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π10．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π12．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ） A ．3-B ．3-C ．3 D ．3 二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.15．已知点(1,0),(3,0)M N .若直线:0l x y m +-=上存在一点P 使得0PM PN ⋅=成立，则m 的取值范围是_____________.16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.18．已知A 是直角坐标平面内一定点，点(0,0)O ，若圆22()(–12)3x y -+=上任意一点M 到定点A 与点(0,0)O 的距离之比是一个定值λ，则这个定值λ的大小是________． 19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.22．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 23．已知扇形的面积为56π，圆心角为6π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________．24．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.三、解答题25．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．26．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值. 27．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.28．在四棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ACD ∠=︒，26BC ==，1CD =，1AM CC ⊥，垂足为M .（1）证明：平面ABM ⊥平面11CDD C ； （2）若二面角B AM D --正弦值为217，求直线AC 与平面11CDD C 所成角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.2．C解析：C 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，可得出点P 的轨迹方程为222x y m +=，进而可知圆222x y m +=与圆C 有公共点，可得出关于正数m 的不等式，由此可求得正数m 的取值范围. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，90APB ∠=，且坐标原点O 为AB 的中点，所以，12OP AB m ==，则点P 的轨迹方程为222x y m +=， 由题意可知，圆222x y m +=与圆C 有公共点，且圆心()3,4C ，半径为2 则22m OC m -≤≤+，即252m m -≤≤+，0m >，解得3m 7≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]3,7. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，解题的关键在于由90APB ∠=求得点P 的轨迹方程222x y m +=，进而将问题转化为圆222x y m +=与圆C 有公共点问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.3．D解析：D 【分析】求出P 点到两圆心的距离，圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，由()PF R PE r +--为最大值．再求得E 关于x 轴的对应点E '，PF PE -＝PF PE '-FE '≤，由此可得最大值．【详解】圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，半径为r =1， 圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，半径是R =3， 要使||||PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小，||PN 最大值为3PF +，||PM 的最小值为1PE -，故||||PN PM -最大值是(3)(1)4PF PE PF PE +--=-+，(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -=-≤='='，故4PF PE -+的最大值为549+=， 故选：D . 【点睛】结论点睛：设P 是圆C 外一点，圆C 半径为r ，则P 到圆上点的距离的最大值为PC r +，最小值为PC r -，直线PC 与圆的两个交点为最大值点和最小值点．4．A解析：A 【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 5．A解析：A 【分析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围． 【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤≤11k -≤≤，记直线l 的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6．A解析：A 【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可． 【详解】 解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则2d =，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-． 故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断． 【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误； 对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确． 故真命题的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．8．C解析：C 【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB //α，得C 错误；设AB a ，结合题意知ABα⊥时，直线OA与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确.【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所OA =又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB //α，故C 不正确； 设ABa ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+=，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α所成角的正弦值为1717a=，故D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.9．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.10．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】 依题意，1163443AA ==，而213sin 4324ABCS AB AC A AB =⨯⨯==， 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得432sin 603AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．12．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角， 因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=， 所以cos FGEGF EG ∠==2326=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键 5 【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴， 则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --， 又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ， 所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【分析】根据可确定点轨迹为以为圆心为半径的圆利用直线与圆有交点可知由此构造不等式求得结果【详解】点轨迹是以为圆心为半径的圆上存在点与以为圆心为半径的圆有交点圆心到直线距离解得：即的取值范围为：故答案解析：[2【分析】根据PM PN ⊥可确定P 点轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的圆，利用直线l 与圆有交点可知d r ≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，P ∴点轨迹是以()2,0为圆心，1为半径的圆.:0l x y m +-=上存在点P ，l ∴与以()2,0为圆心，1为半径的圆有交点，∴圆心()2,0到直线l 距离1d =≤，解得：22m ≤≤即m 的取值范围为：2⎡⎣.故答案为：2⎡+⎣.【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据平面向量数量积得到垂直关系，进而确定动点轨迹，从而将问题转化为直线与圆位置关系的求解问题.16．【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结合思想以【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将y y =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC ==+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.18．【分析】设按距离之比为定值求出点的轨迹方程它就是方程比较后可得【详解】设则整理得：易知方程化为已知圆的一般式方程为所以解得故答案为：【点睛】本题考查平面轨迹方程解题时由点到两点距离之比为常数求出的轨 15【分析】设(,)A m n ，(,)M x y ，按距离之比为定值求出M 点的轨迹方程，它就是方程22()(–12)3x y -+=，比较后可得λ．【详解】设(,)A m n ，(,)M x y，则MA MOλ==，整理得：222222(1)(1)220x y mx ny m n λλ-+---++=，易知210λ-≠，方程化为2222222220111m n m n x y x y λλλ++--+=---，已知圆22()(–12)3x y -+=的一般式方程为222420x y x y +--+=，所以2222222124121mn m n λλλ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪+=⎪-⎩，解得25455m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查平面轨迹方程，解题时由M 点到,A O 两点距离之比为常数λ，求出M 的轨迹方程，它就是已知圆，比较系数可得结论．19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形， 又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径225R GD OG =+=， 所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下： （1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置； （3）利用勾股定理求得半径； （4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯=故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．21．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112AC B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '=，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O BO C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=O ，所以球的半径为2224(22)32ππ=.故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.22．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 解析：26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++=26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.23．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R R παπ===⨯=，解得30R =，扇形弧长l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得13R =， ∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π.【点睛】本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题. 24．【分析】取PA 的中点E 连接EBEC 推出PA ⊥平面BCE 故点M 的轨迹为线段CE 解出即可【详解】取PA 的中点E 连接EBEC 因为几何体是正四面体P ﹣ABC 所以BE ⊥PAEC ⊥PAEB∩EC ＝E ∴PA ⊥平面解析：3【分析】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，推出PA ⊥平面BCE ，故点M 的轨迹为线段CE ，解出即可．【详解】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，因为几何体是正四面体P ﹣ABC ，所以BE ⊥PA ，EC ⊥PA ，EB ∩EC ＝E ，∴PA ⊥平面BCE ，且动点M 在正四面体侧面PAC 上运动，总保持MB PA ⊥，∴点M 的轨迹为线段CE ，正四面体P ﹣ABC 的棱长为2，在等边三角形PAC 中求得CE ＝3232⨯=. 故答案为：3【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．三、解答题25．（12；（3 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin d BD θ=即可得出结果； （3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d ，即可得出结果. 【详解】 （1）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ，∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =， 又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，∴四边形EFGC 为矩形，∴1EF CC ⊥，∵11//D D C C ，∴1EF DD ⊥，又CG BD ⊥，//EF CG ，BD ⊂平面1BDD ，1D D ⊂平面1BDD ，1BD D D D ⋂=， ∴EF ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，∴1EF BD ⊥，∴EF 为1BD 与1CC 的公垂线，且1E CC ⊂，1F BD ⊂，∴异面直线1BD 与1CC 的距离为||2EF =． （2）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，连接1ED ，则11E DBD D DBE V V --=，由（1）知EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，∵12AA =，1AB =，∴BD BE ED ===EF =1BD =∴1122DBD S ==212DBE S =⨯=从而1DBE DBD S d S EF ⨯=⨯，∴2223233d⨯==， 记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，则12323sin 6d BD θ===， ∴直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值为23．（3）由（2）知，1D 到平面BDE 的距离23d =，∵F 是1BD 的中点，且B ∈平面BDE ，∴F 到平面BDE 的距离为32d =． 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.26．（1）证明见解析；（23 【分析】(1)用分析法：要证平面NMC ⊥平面NCD ，只需证明CD ⊥平面NMC ，只需CM CD ⊥和NM CD ⊥；。

一、选择题1．过平面区域20{2020x y y x y -+≥+≥++≤内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )A．10B ．1920C ．910D ．122．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,3．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A．B．C．D．4．已知点P 是直线:3420l x y +-=上的一个动点，过点P 作圆()()222:23C x y r +++=的两条切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，若MPN ∠的最大值为120°，则r 的值为（ ） AB．C ．4D ．65．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ） A ．4B ．10C ．5D7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是23，则球O 的表面积是（ ） A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 39．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．6711．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1612．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．43二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:24640C x y mx m y m ++-+-=∈R 与()21,3C -为圆心的圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足22221221x x y y -=-，则实数m 的值为______．15．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=______________.16．若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 两点关于直线0x y +=对称，则20182019k m -=______.17．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.20．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；21．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 22．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______23．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.24．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1,2AB BC ==，45ABC ∠=︒，AE PC ⊥垂足为E ．（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150︒，求侧棱PA 的长．26．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，22AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.27．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.（1）求证：//PC 平面EBD . （2）求三棱锥E ABD -的体积.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：因为OP AP ⊥，所以在Rt AOP ∆中1sin2r OP OPα==，222cos 12sin 1OP αα=-=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而函数cos y α=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当α最小时221OP -最大，因为221OP -为增函数则此时OP 最大．根据不等式表示的可行域可知当()4,2P -时max OP ==．综上可得α最小时()max 2219(cos )111010α=-=-=．故C 正确．考点：1二倍角公式；2直线与圆相切；3函数的单调性．2．C解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】 设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．3．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C (),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=的几何意义可知，m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；4．B解析：B 【分析】由切线得四边形PMCN 的性质，要使得MPN ∠最大，则PC 最小，PC 的最小值即为圆心C 到直线的距离，再由已知角的大小可求得r ． 【详解】由题意,PM PN CM CN r ===，sin MC r CPM PCPC∠==，2MPN MPC ∠=∠，所以MPN ∠最大时，PC 最小．由题意知min 4PC ==，又120MPN ∠=︒，所以sin 604r=︒，r = 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，过圆外一点P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 是两切点），C 是圆心，则PC 是四边形PMCN 的对称轴，90PMC PNC ∠=∠=︒，P 点对圆的张角MPN ∠取得最大值时，PC 最小．5．D解析：D 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =，则有12125C C r r ==>+，两圆外离，有4条公切线；故选D ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．6．C解析：C 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A 与定点B ，进而可得22210PA PB AB +==，再利用基本不等式，即可得解．【详解】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ，所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以PA PB ⋅的最大值为5. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线位置关系的判断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题．7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．A解析：A 【分析】首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算． 【详解】因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ，则11AB A ∠是1AB 与底面111AB C 所成的角，则1145AB A ∠=︒．故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =．设111AA A B a ==，则11131224ABC A B C V a a a -=⨯⨯⨯==三棱柱， 解得2a =．所以球O 的半径R ==所以球O 的表面积2228π4π4π3S R ==⨯=．故选：A ． 【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．9．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】依题意，14AA ==，而21sin 2ABCS AB AC A AB =⨯⨯== 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得42sin 603AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.10．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1(64)4323V =⨯⨯⨯=. 故选C ． 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．12．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得43BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin120223BCDSBC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值. 二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．【分析】设线段的中点为点由可得出由圆的几何性质可得且点在连心线上可知直线经过原点可得出由此可求得实数的值【详解】圆的圆心为设线段的中点为点则所以即由于关于连心线对称则则点在直线上所以即解得故答案为： 解析：3【分析】设线段AB 的中点为点M ，由22221221x x y y -=-可得出1AB OM k k =-，由圆的几何性质可得121AB C C k k =-，且点M 在连心线12C C 上，可知直线12C C 经过原点O ，可得出12OC OC k k =，由此可求得实数m 的值.【详解】圆1C 的圆心为()1,23C m m -+，设线段AB 的中点为点M ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 22221221x x y y -=-，所以，221222121y y x x -=--，即121212121AB OMy y y y k k x x x x -+=⋅=--+， 由于A 、B 关于连心线12C C 对称，则12AB C C ⊥，则121AB C C k k =-，12OM C C k k ∴=， 点M 在直线12C C 上，12O C C ∴∈，所以，12OC OC k k =，即233m m+-=-，解得3m =.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用圆与圆的相交弦与连心线垂直求参数，分析出12O C C ∈是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论当直线斜率存在时联立直线和圆结合韦达定理即可求解【详解】当直线斜率不存在时直线方程为：将代入得可设点则；当直线斜率存在时设直线方程为：联立则综上所述 解析：1-【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入22 9x y +=得y =点()(2,5,2,M N ，则()()5221PM PN ⋅=⨯=-；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩ ()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题16．2【分析】由圆的方程得出圆心坐标根据圆的对称性可知直线通过圆心得出再由直线与直线相互垂直得出代入求解即可【详解】方程一定表示圆则圆心坐标为根据圆的对称性可知直线通过圆心则MN 两点关于直线对称直线与直解析：2 【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线0x y +=通过圆心，得出k m =-，再由直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直，得出1k =，代入20182019k m -求解即可. 【详解】22160k m ++>∴方程2240x y kx my +++-=一定表示圆则圆心坐标为,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据圆的对称性可知，直线0x y +=通过圆心 则022k mk m --=⇒=- M 、N 两点关于直线0x y +=对称∴直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直 (1)11k k ∴⨯-=-⇒=20182019201820191(1)112k m ∴-=--=+=故答案为：2 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的应用以及由直线与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.17．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】 设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为： 解析：27【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值．【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的解析：【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：12aR r -=-=，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22. 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =，30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..21．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++=26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.22．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC 中，由正弦定理得172sin 223BC r BAC ==∠334r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以1122sin 344222ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=△ 因为11274233D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△144AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形， 111428EA OO AD ===，所以22221114324588R OO AO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.23．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则23423h r -=，解得3232h r =-； 所以()232223342S rh r r r r πππ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：43π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.24．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π 【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2【分析】（Ⅰ）推导出AB AC ⊥，CD AC ⊥，PA CD ⊥，从而CD ⊥平面PAC ，进而CD AE ⊥，AE PC ⊥，由此能证明平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PA 的长．【详解】证明：（Ⅰ）1,45AB BC ABC =∠=︒，AB AC ∴⊥ 又//AB CD ，CD AC ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AC AP A =，,AC AP ⊂平面PAC ， CD平面PAC ， AE ⊂平面PAC ，CD AE ∴⊥， 又AE PC ⊥，PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系．设AP t =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，(1,10)D -，(0P ，0，)t ， AB PC ⊥，AE PC ⊥，PC ∴⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-在Rt PAC △中，PA t =，1AC PC =∴=又AE PC ⊥，AE =222(0,,)11t t E t t ++ 设平面ADE 的一个法向量为(,,)m x y z =由m AD m AE ⎧⊥⎨⊥⎩，得222··0110t t y z t t x y ⎧+=⎪++⎨⎪-+=⎩，解得(1,1,)m t =- 二面角B AE D --的大小为150︒，∴22|||cos,||cos150|||||m n m n m n t 〈〉===︒+， 解得t =PA【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.26．（1）证明见解析；（2）823. 【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算，【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =，所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且22AD =∴118242233PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】 关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．27．（1）证明见解析；（2）82. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，由E 是PA 的中点，可得E 到面ABCD 的距离12PO =，再利用棱锥的体积公式可得答案.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO .四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PA 中点， //EO PC ∴，又EO ⊂面EBD ，PC ⊄面EBD ，//PC ∴面EBD .（2）正四棱锥P ABCD -中,PA PC =，O 是AC 的中点PO AC ∴⊥，PD PB =，O 是BD 的中点PO BD ∴⊥，又AC 与BD 在平面ABCD 内相交，所以PO ⊥面ABCDE 是PA 的中点，E ∴到面ABCD 的距离12PO =， 221822,2ABD S AB AD PO PD DO ∆=⋅⋅==-=，182323E ABD ABD PO V S -∆=⋅⋅= 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.28．（1）证明见解析；（2）7-；（3）存在；12PF PB =． 【分析】（1）首先证明BE AD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ，即证.（2）连结PE ，以E 为坐标原点，EP ，EA ，EB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(0,3,0)EB a =是平面PAD 的一个法向量，再求出平面PCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.（3）根据题意可得EF 与平面PCD 的法向量垂直，假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ，再利用向量的数量积即可求解.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．又因为3BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 所以BE ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥．（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，。

第二章 直线与平面习题1.求通过两点(2,3,4)A 和(5,2,1)B -的直线方程。

解：直线的方向向量为(3,1,5)AB =--u u u r ，所以直线的方程为234.315x y z ---==--2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。

（1）过点(1,2,0),(2,1,4),(3,1,5)----； （2）过点(3,12)-和z 轴；（3）过点(2,0,1)-和(1,3,4)-，平行于y 轴； （4）过点(1,5,4)--，平行于平面3250x y -+=。

解：（1）平面的方位向量为12(1,3,4),(4,1,5)v v =--=--，所以平面的参数方程14,23,45.x y z λμλμλμ=--+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩平面的普通方程为121340,415x y z+---=--即19111330.x y z ++-= （2）平面的方位向量为12(3,1,2),(0,0,1)v v =-=，所以平面的参数方程33,1,22.x y z λλλμ=+⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩因为过z 轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以写为 3,,2.x y z λλλμ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为3120,01x y z-=即30.x y -= （3）平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程23,3,15.x y z λλμλ=-⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为213350,01x y z -+-=即5370.x z +-=（4）平面的方位向量平行于平面3250x y -+=，方位向量(,,)X Y Z 满足320X Y -=，因此可以选为12(2,3,0),(0,0,1)v v ==。

所以平面的参数方程12,53,4.x y z λλμ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩平面的普通方程为1542300,01x y z ++-=即3270.x y --=3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)-并与平面1:220x y z ∏+--=和2:30x y z ∏---=均垂直的平面方程。

必修二第二章平面解析几何测试题一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( )A ．－3B ．－6C ．－32D ．233．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－95．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．4x －3y ＝0或x ＋y ＋1＝0C ．4x ＋3y ＝0D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．4B ．13C ．15D ．177．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为() A ．－4 B ．20 C ．0 D ．248．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝59．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝910．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝011．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．312．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．254二．填空题：（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB |＝_________．14．如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是________________．15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则 y x的最大值为________． 三．解答题：本大题6小题，共74分，解答题应写出必要的文字说明和解答步骤17. (本题满分12分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0，其对角线的交点是D (3,3)，求另两边所在的直线的方程．18. (本题满分12分) 已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求：（1）BC 边所在的直线方程； （2）△ABC 的面积．19.(本题满分12分) 已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．20.(本题满分12分) 设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．21. (本题满分12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (4,0)，一条河所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方？并说明理由．22．(本题满分14分)已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5．（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．第二章平面解析几何测试题答案DBCDD DAACD AD 13．13 14．3x ＋y ＋4＝0 15．－2316． 3 17．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，3x －y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－54，y ＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝⎛⎭⎫－54，14． 又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为⎝⎛⎭⎫294，234．∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，即它们的方程为y －234＝－⎝⎛⎭⎫x －294及y －234＝3⎝⎛⎭⎫x －294， ∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．18．解 (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B(7，－7)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C(－2，－1)． ∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0．(2)∵|BC|＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513， ∴S △ABC ＝12×d ×|BC|＝12×1513×117＝452． 19．解 设圆心坐标为C(a ，b)，则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝5．∵点P(1,1)在圆上，∴(1－a)2＋(1－b)2＝5．又∵CP ⊥l ，∴b －1a －1＝2，即b －1＝2(a －1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝2(a －1)，(a －1)2＋(b －1)2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝—1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3. 故所求圆的方程是x 2＋(y+1)2＝5或(x －2)2＋(y －3)2＝5．20．解 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵圆上的点A(2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a ，b)在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0． ①圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2． ② 由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r 2． ③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，若P ′(异于P)在直线上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B|．因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A ′(a，b)，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎨⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)． 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611．故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处．22．解 (1)由题意，得|M 1M||M 2M|＝5．(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0．即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512． ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0．即5x －12y ＋46＝0． 综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0．。

一、选择题1．若直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，则b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,22⎡⎤-⎣⎦C ．22,22-⎡⎤⎣⎦D ．()2,22- 2．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（ ）A ．23πB ．2πC ．2πD ．π3．已知0a ≠，直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D 24．已知圆1C :22(1)(6)25x y ++-=，圆2C :222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于A 、B 两点，且满足||2||PA AB =，则半径r 的取值范围是（ ）A ．[5，55]B ．[5，50]C ．[10，50]D ．[10，55] 5．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A ．23k ≤-或0k ≥B ．38k ≤-C ．38k ≤-或0k ≥ D ．23k ≤- 6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作ABC ，在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，则该圆的半径r 为（ ）A ．1B 2C ．2D ．227．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．在长方体1111ABCD A BC D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ）A ．728B ．728- C ．3714 D ．3714- 9．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）A ．,γβγα≤≤B ．,βαβγ≤≤C ．,βαγα≤≤D ．,αβγβ≤≤ 10．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 12．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'二、填空题13．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．14．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=______________.15．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．16．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P --，过点()1,1Q 作直线交圆221x y +=于A B ，两点，则PAB ∆的面积的最大值为_____________18．已知点()1,3P ，点()1,2Q -，点M 为直线10x y -+=上一动点，则PM QM +的最小值为______.19．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.20．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为83；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E 到平面ADF 的距离为3；④EC 与BF 所成角为60°.其中正确的说法为__________.（填序号）21．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．22．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.23．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD24．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________.三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 27．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ：（2）求四棱锥E ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】 由24y x =-可得()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆， 当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-；当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-则2,22b ⎡⎤∈-⎣⎦.故选：B【点睛】关键点点睛：由24y x =-y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.2．D解析：D把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可.【详解】把正四面体ABCD 放在正方体AFCE HBGD -中，并建立如图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为a ，因为正四面体ABCD 的棱长为422422a a a +=⇒= 因此相应点的坐标为：(0,00),(22,0,22),(22,22,0),(0,22,22)D A B C ，， 因为N 是CD 上的动点，所以设点N 的坐标为：(0,,)n n ，设AM mAB =，000(,,)M x y z ，因此有000(22,,22)(0,22,22)x y z m --=-， 因此00022,22,2222x y m z m ===，设MN 中点为(,,)P x y z ，因此有：222222222(1)2222222222x x m n y m n y m n z m n z ⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪+⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩-+=⎪⎪⎩， 因为3MN =， 222(22)(22)(2222)3m n m n +-+--=， 化简得：22(22)(2222)1(2)m n m n -+-=，把(1)代入(2)中得：221(2)(2)4y z +=，显然 MN 中点的轨迹是圆，半径为12， 圆的周长为：122ππ⋅=.【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.3．B解析：B【分析】根据两直线垂直,得到关于,a b 的等式224a b +=,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】因为直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直,所以2(2)(2)0a b b ++-=,即224a b +=,因为222a b ab +≥,所以24ab ≤,即2ab ≤,故选:B.【点睛】本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大.4．A解析：A【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r 的取值范围即可.【详解】解：圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=的圆心为()1,6-，半径为5.圆2C :222(17)(30)x y r -+-=的圆心为()17,30，半径为r . 两个圆的圆心距为()()2217130630++-=.如图：因为||2||PA AB =，可得||AB 的最大值为直径，此时220C A =，0r >. 当半径扩大到55时，此时圆2C 上只有一点到1C 的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足||2||PA AB =.故选：A.本题主要考查两个圆的位置关系，直线与圆的综合应用，属于中档题.5．A解析：A【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围.【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B ,因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -， 解得23k ≤-或0k ≥， 故选：A【点睛】 此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由直线和圆相切的条件：d r =，可得所求值．【详解】解：在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，可得BC 的中点为3(2，1)2，直线BC 的斜率为32114+=---， 则BC 的垂直平分线的斜率为1，可得BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即为10x y --=， 其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，可得圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d ==即有半径2r =，故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程、三角形的“欧拉线”的定义，以及直线和圆相切的条件，考查推理能力与计算能力．7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．C解析：C 【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，所以2211111122B D D C B C =+=，213110B E =+222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+， 由余弦定理得，从而22211111111137cos 2144214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．A解析：A 【分析】由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，PACABCSS≤，进而可比较,βγ的大小【详解】解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以12ABCS AB AC =⋅, 因为1sin 2PACS AC AP PAC =⋅∠，AB AP =， 所以PACABCSS≤，令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211,33P ABC ABC B PACPACV S d V S d --=⋅=⋅所以12d d ≤，因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以21sin ,sin d d AB PAβγ== 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥ 因为,(0,]2πβγ∈所以βγ≥， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题10．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直； 对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC '， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．11．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =，2241625DE DF AD AE ==+=+=2222EF BE BF =+ 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 310DF r DEF ===∠则球心到DEF 2223R r -，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.12．C解析：C 【分析】设AH a =，则3BH a ，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则3BH a ，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，()2''221C H AC AHa =-=-，所以在Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.14．【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论当直线斜率存在时联立直线和圆结合韦达定理即可求解【详解】当直线斜率不存在时直线方程为：将代入得可设点则；当直线斜率存在时设直线方程为：联立则综上所述 解析：1-【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入22 9x y +=得5y =±点()(2,5,2,5M N -，则()()52521PM PN ⋅=⨯-=-；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩ ()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题15．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．7 2．如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴,,Ox Oy Oz 上，则定点D 的坐标为（ ）A ．()1,1,1B ．2,2,2C ．3,3,3D ．()2,2,2 3．已知0a ≠，直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D 24．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．67B ．127C ．24D ．65．已知直线:20()l kx y k R +-=∈是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，若点(2,)A k ，B 为圆C 上任意的一点，则线段AB 长度的最小值为（ ）A 52B ．2C 5D 52 6．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“5a =是“0OA OB ⋅=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l l D ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //9．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<10．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326D ．6，22 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1412．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）（参考数据）π 3.14≈，2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45≈．A ．101gB ．182gC ．519gD ．731g二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．15．已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=，m R ∈，则直线l 截圆C 所得弦长AB 的最小值为__________. 16．直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，则11a b+的最小值为__________ 17．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______．18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______. 19．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________. 20．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.21．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.22．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 23．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________. 24．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________.三、解答题25．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且834,AB PD ==①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA AC ===.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面1BB C ；（2）求四棱锥11C ABB A -的体积.27．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．28．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 2．A解析：A【解析】 2ABCD 可以放到正方体中，已知D 点、O 点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为()1,1,1，选A.3．B解析：B【分析】根据两直线垂直,得到关于,a b 的等式224a b +=,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】因为直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直,所以2(2)(2)0a b b ++-=,即224a b +=,因为222a b ab +≥,所以24ab ≤,即2ab ≤,故选:B.【点睛】本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大.4．A解析：A【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积.【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=，故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅= 故选：A【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题. 5．D解析：D【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，求得1k =，得到点(2,1)A ，再结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，圆22:6260C x y x y +-++=，可得圆心(3,1)C -，半径为2r因为直线:20l kx y +-=是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，则(3,1)C -在直线l 上，即3120k --=，解得1k =，所以(2,1)A ，则AC ==，所以线段AB 长度的最小值为min ||||2AB AC r =-=.2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得k 的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.6．A解析：A【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,y ay a -+-= 由0OA OB ⋅=12120x x y y ⇔+=，可得()21212520y y a y y a -++=，根据韦达定理解出a ，进而可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,y ay a -+-= 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 因为0OA OB ⋅=12120x x y y ⇔+=，()()1212220y a y a y y ∴--+=，()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a a a a -∴⨯-⨯+=，解得a =210a <，则“a =是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.7．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．C解析：C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴， 1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】 方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．9．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin PO PCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>， 因为sin PO PE γ=，sin PO PCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.10．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形． 当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.11．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.12．B解析：B 【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a 2223632aa a ⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭设正四面体外接球半径为R ，则222623()()3a R R =+，解得R =6a 所以3D 打印的体积为：323346113662343223812V a a a a ππ⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭， 又336216a ==，所以276182207.71125.38182.331182V π=-≈-=≈， 故选：B关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.15．【分析】求出直线所过定点判断定点在圆内数形结合知直线截圆所得弦长最小时弦心距最大此时利用斜率求出参数m 即可由勾股定理求出此时的弦长【详解】直线l 可化为令所以直线l 恒过定点易知点A 在圆C 内所以直线截圆解析：【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线l 截圆C 所得弦长最小时，弦心距最大，此时CA l ⊥，利用斜率求出参数m ，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l 可化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ，令2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 恒过定点()3,1A ，易知点A 在圆C 内，所以直线l 截圆C 所得弦长最小时，弦心距最大，此时CA l ⊥，圆()()22:1225C x y -+-=，圆心()1,2，半径为5，∴12CA k =-，又CA l ⊥，则2121l m k m +=-=+，解得34m =-，||41CA =+=∴直线l 截圆C 所得弦长的最小值为5=故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题.16．【分析】由得可知圆心为半径为2而所以可得直线过圆心由此得所以可化为然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由得所以曲线表示圆其圆心为半径为2因为直线与曲线交于且所以直线过圆心所以所以当且仅当即时解析：3+【分析】由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，可知圆心为(1,2)，半径为2，而AB 4=，所以可得直线过圆心，由此得21a b +=，所以11a b+可化为112a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()，然后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=， 所以曲线222410x y x y +--+=表示圆，其圆心为(1,2)，半径为2，因为直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，所以直线()10,0ax by a b +=>>过圆心(1,2)， 所以21a b +=，所以11112a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭()2333b a a b =++≥+=+当且仅当2b aa b =，即212a b ==时，取等号故答案为：3+【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题17．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <时，倾斜角23παπ<<， 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.18．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为22d a b=+，则2224224b a b=-+，化为22223a b c a ==-， 即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.19．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 解析：31020【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =，所以111=2EO AC==，BE==因为111A B C△是等边三角形，112AE A A=，所以11B O==因为1BB⊥平面111A B C，11B O⊂平面111A B C，所以1BB⊥11B O，所以1BO===在1BEO中，22211115192cos2BE EO BOBEOBE EO+-+-∠===⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC与BE所成角的余弦值为20，【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又解析：【分析】分别取棱1BB、11B C的中点M、N，连接MN，易证平面1//A MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时1A P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EMM ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =， ∴四边形1C CME 为平行四边形， 1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NMCM M =，∴平面//NMC 平面1C EF ．P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ，∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，222211114225C E C D D E =+=+=同理，在Rt △11C D F 中，可得125C F =，∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长．()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是[32,25]．故答案为：[32,25] 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．21．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得3232h =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r时，S 圆柱侧取得最大值为43π故答案为：43π. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.22．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三 解析：23π 【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r ，最后计算体积即可. 【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =．设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=， 如图，是圆锥轴截面三角形图， 所以3r R h r =-，解得：22r ， 故34422233r V πππ==⨯=． 故答案为：23π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题. 23．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点 解析：323π 【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ，则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD == 所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =，所以外接球的体积343233V R ππ==， 故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．24．【分析】】解方程得出棱台的上下底面边长根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高【详解】解方程x2－9x ＋18＝0得x=3或x=6∴棱台的上下底面边长分别为36设棱台的斜高为h 则∴h=即答案为【解析：52【分析】】解方程得出棱台的上下底面边长，根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高．【详解】解方程x 2－9x ＋18＝0得x=3或x=6，∴棱台的上下底面边长分别为3，6．设棱台的斜高为h ，，则22143636452h ⨯⨯+=+=（） ， ∴h=52． 即答案为52． 【点睛】本题考查了棱台的结构特征，画出草图帮助观察各线段的关系比较重要．三、解答题25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π.【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果；（Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角.【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°，∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ，∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥．∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4．②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影．∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．26．（1）证明见解析；（2）33. 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，先证明AB ⊥平面1BB C ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由（1）得到AB BC ⊥，求出BC 和1BC ，过点C 作1CD BB ⊥于点D ，求出CD ，再由棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）∵1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，∴1B C AB ⊥，又四边形11ABB A 为矩形，∴1AB BB ⊥. 又∵111B B BC B ⋂=，1B B ⊂平面1BB C ，1B C ⊂平面1BB C ，∴AB ⊥平面1BB C ， 又AB 平面11ABB A ，∴平面11ABB A ⊥平面1BB C .（2）由（1）知AB ⊥平面1BB C ，∴AB BC ⊥，则223BC AC AB =-=，从而()221231B C =-=，在1BB C △中，过点C 作1CD BB ⊥于点D ，由于平面11ABB A ⊥平面1BB C ，平面11ABB A 平面11BB C BB =， ∴CD ⊥平面11ABB A ，由1111122BC B S B C BC BB CD =⋅=⋅可得3CD =， ∴四棱锥11C ABB A -的体积为1111331233ABB A V S CD =⋅=⨯⨯⨯=.【点睛】方法点睛：证明空间中位置关系时，通常根据空间中线面、面面平行或垂直的判定定理及性质，直接证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量等，根据空间位置的向量表示进行判断.。

第二章 直线与平面习题1.求通过两点(2,3,4)A 和(5,2,1)B -的直线方程。

解：直线的方向向量为(3,1,5)AB =--，所以直线的方程为234.315x y z ---==-- 2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。

（1）过点(1,2,0),(2,1,4),(3,1,5)----； （2）过点(3,12)-和z 轴；（3）过点(2,0,1)-和(1,3,4)-，平行于y 轴； （4）过点(1,5,4)--，平行于平面3250x y -+=。

解：（1）平面的方位向量为12(1,3,4),(4,1,5)v v =--=--，所以平面的参数方程14,23,45.x y z λμλμλμ=--+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩平面的普通方程为121340,415x y z+---=--即19111330.x y z ++-= （2）平面的方位向量为12(3,1,2),(0,0,1)v v =-=，所以平面的参数方程33,1,22.x y z λλλμ=+⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩因为过z 轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以写为 3,,2.x y z λλλμ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为3120,01x y z-=即30.x y -= （3）平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程23,3,15.x y z λλμλ=-⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为213350,01x y z -+-=即5370.x z +-=（4）平面的方位向量平行于平面3250x y -+=，方位向量(,,)X Y Z 满足320X Y -=，因此可以选为12(2,3,0),(0,0,1)v v ==。

所以平面的参数方程12,53,4.x y z λλμ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩平面的普通方程为1542300,01x y z ++-=即3270.x y --=3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)-并与平面1:220x y z ∏+--=和2:30x y z ∏---=均垂直的平面方程。

一、选择题1．已知圆C 与直线30x y ++=相切，直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则圆C 方程为（ ） A ．2222x y y +-= B ．2222x y y ++= C ．2221x y y +-=D ．2221x y y ++=2．已知直线:20()l kx y k R +-=∈是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，若点(2,)A k ，B 为圆C 上任意的一点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．52+B ．2C ．5D ．52-3．已知两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：2sin cos 02a a πθθ+-=，2sin cos 02b b πθθ+-=，则连接()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交4．在平面直角坐标系xOy 中，过x 轴上的点P 分别向圆221(1)(4)7:C x y -++=和圆222:(2)(5)9C x y -+-=引切线，记切线长分别为12,d d ．则12d d +的最小值为（ ）A ．22B ．32C ．42D ．525．在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC 的顶点(1,0),(0,2),B C AB AC -=，则ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y ++=C ．4230--=x yD ．2430x y +-=7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A ．25B ．55C ．155D ．1058．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则（ ）A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为2D ．若AEB △是直角三角形，则BE⊥平面ADE9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π10．已知四面体ABCD ，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．73π B ．7π C ．712π D ．79π 11．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（ ）A ．32B ．62C ．322D ．34二、填空题13．已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则m 的值为__________. 14．过点(1,1)C -和点(1,3)D ，且圆心在x 轴上的圆的方程是__________.15．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．16．已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是__________. 17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．20．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.21．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．22．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =，M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___23．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A B ，1BB ，11B C 的中点，则下列结论中：①FG BD ⊥； ②1B D ⊥面EFG ；③面//EFG 面11ACC A ； ④//EF 面11CDD C ． 正确结论的序号是________.24．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．（1）求证：//DF 平面PAB ；（2）求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值． 26．如图，三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AC BB ===，1B 在底面ABC 上的射影恰好是点A ，E 是11AC 的中点.（1）证明：1//A B 平面1BCE ； （2）求1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.27．如图，四边形ABCD 为梯形，//,60,2,3,6AB CD C AB BC CD ∠=︒===，点M 在边CD 上，且13CM CD =．现沿AM 将ADM △折起至AQM 的位置，使3QB =．（Ⅰ）求证：QB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）求直线BM 与平面AQM 所成角的正弦值． 28．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =，求异面直线1AB 与BF 所成角的大小； （2）求证：1AB //平面1BFC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出直线10mx y ++=所过定点的坐标，由题意得出定点是圆C 的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆C 的半径长，即可得出圆C 的方程. 【详解】在直线10mx y ++=的方程中，令0x =，则1y =-，则直线10mx y ++=过定点()0,1-.由于直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则点()0,1-是圆C 的圆心，又圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的半径r ==.因此，圆C 的方程为()2212x y ++=，即2221x y y ++=.故选D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.2．D解析：D 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，求得1k =，得到点(2,1)A ，再结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆22:6260C x y x y +-++=，可得圆心(3,1)C -，半径为2r因为直线:20l kx y +-=是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴， 则(3,1)C -在直线l 上，即3120k --=，解得1k =，所以(2,1)A ，则AC ==，所以线段AB 长度的最小值为min ||||2AB AC r =-=.2. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得k 的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.3．C解析：C 【分析】由题意可得直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，由点到直线的距离公式可得圆心()0,0到直线AB 的距离，即可得解. 【详解】因为实数a 满足关系式2sin cos 02a a πθθ+-=，实数b 满足关系式2sin cos 02b b πθθ+-=，且实数a ，b 不相等，所以点()2,A a a ，()2,B b b 为直线sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=上的两点，所以直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，因为圆心()0,0到直线AB的距离12d π==>，所以直线AB 与圆心在原点的单位圆的位置关系为相离. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线方程的应用及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解. 【详解】221(1)(4)7:C x y -++=，圆心()1,4-，半径1r =222:(2)(5)9C x y -+-=，圆心()2,5，半径33r =设点P ()0,0x ， 则12d d +===即()0,0x 到()1,3-与()2,4两点距离之和的最小值， 当()0,0x 、()1,3-、()2,4三点共线时，12d d +的和最小，即12d d +==故选：D 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a ，半径1r 22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意圆与圆外切的判断条件，属于基础题．6．D解析：D 【分析】根据题意得出ABC 的欧拉线即为线段BC 的垂直平分线，然后求出线段BC 的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为(1,0),(0,2)B C -，所以线段BC 的中点的坐标1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率2BC k =，则线段BC 的垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即2430x y +-=，因为AB AC =，所以ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，所以ABC 的欧拉线方程为2430x y +-=.故选：D 【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 5OD OED DE ∠===故选：D. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8．C解析：C 【分析】对A ，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B ，由>=EC EB DC 可判断；对C ，可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，即可求出；对D ，EAB ∠（或EBA ∠）为直角时，BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则22DE EC ==，//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求2cos 22CDE ∠==，故C 正确； 对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确．故选：C. 【点睛】本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.9．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．10．A解析：A 【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323， 所以直三棱柱的外接球的半径221372312r， 则球O 的表面积2277π4π4π123S r ， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.11．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-2DC =， ∴1cos 3233θ==⨯⨯，22333AO CO CE ===，∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥， 又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒，∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.12．A解析：A 【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可． 【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=， 在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = ∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=二、填空题13．【分析】解方程即得解【详解】由题得当时两直线不重合故答案为：【点睛】结论点睛：直线和直线平行则且两直线不重合 解析：23-【分析】解方程230m ⨯⨯=（-1)-即得解. 【详解】由题得2230,3m m ⨯⨯=∴=-（-1)-. 当23m =-时，两直线不重合. 故答案为：23-. 【点睛】结论点睛：直线1111:0l a x b y c ++=和直线2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合.14．【解析】设圆的方程为将和代入得解得：∴圆方程是故答案为点睛：求圆的方程主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意 解析：22(2)10x y -+=【解析】设圆O 的方程为222()x a y r -+=，将(1,1)C -和(1,3)D ，代入得()()22221119a r a r⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：2a =，210r =， ∴圆方程是22(2)10x y -+=， 故答案为22(2)10x y -+=． 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．15．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)⎛-∞-+∞ ⎝⎭【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即2361323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)13⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．16．8【分析】先求出直线与坐标轴的交点然后用表示出三角形的面积最后利用基本不等式即可求得本题答案【详解】由直线可得与x 轴y 轴的交点坐标分别为所以三角形的面积当且仅当时取等号所以的最小值是8故答案为：8【解析：8 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，然后用λ表示出三角形的面积，最后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】由直线22(2)0x y y λ+++-=，可得与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22(1,0),0,1λλλ+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，(1,)λ∈+∞， 所以三角形的面积12244()(1)(1)42(1)482111S λλλλλλλλ+=+⋅=-++≥-⋅+=---，当且仅当3λ=时取等号，所以()S λ的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用问题，考查学生的转化能力和运算求解能力.17．【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆的上半圆解析：15【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+.故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2224x y -+=【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.19．【分析】先根据面面垂直取平面的外接圆圆心G 平面的外接圆圆心H 分别过两点作对应平面的垂线找到交点为外接球球心再通过边长关系计算半径代入球的表面积公式即得结果【详解】如图取的中点的中点连在上取点使得取的 解析：643π【分析】先根据面面垂直，取平面PAD 的外接圆圆心G ，平面ABCD 的外接圆圆心H ，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 【详解】如图，取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连EF ，PE ，在PE 上取点G ，使得2PG GE =，取EF 的中点H ，分别过点G 、H 作平面PAD 、平面ABCD 的垂线，两垂线相交于点O ，显然点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由2AD =，4AB =，可得3PE =3GE OH ==2222125AH AE EH +=+ 则半径22343(5)3r OA ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭故四棱锥P ABCD -外接球的表面积为24364433ππ⎛⨯= ⎝⎭． 故答案为：643π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.20．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得解析：414π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则2221(2)t t =+-，解得54t =， 设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =， 则22541()144r =+=所以41414().164S ππ=⨯⨯= 故答案为：414π 【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.21．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =23EF = 所以6cos 3OE OEF EF ∠==．故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．22．【分析】将三棱锥补成长方体计算出三棱锥的外接球半径计算出球心到过点的截面的距离的最大值可求得截面圆半径的最小值利用圆的面积可求得结果【详解】平面将三棱锥补成长方体则三棱锥的外接球直径为所以设球心为点 解析：π【分析】将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，计算出球心到过点M 的截面的距离d 的最大值，可求得截面圆半径的最小值，利用圆的面积可求得结果. 【详解】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==+++=，所以，3R =设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ，O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+= 设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时，2d OM ==②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=.综上，2d OM ≤=设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=. 故答案为：π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.23．②④【分析】由是正三角形可判断①；判断出平面平面平面可判断②；假设面面则可以推出可判断③；由平面平面平面可判断④【详解】连接分别是的中点对于①因方是正三角形所以与不垂直；对于②连接因为且所以平面平面解析：②④. 【分析】由1//FG BC ，1BDC 是正三角形，可判断①；判断出1DB ⊥平面11AC B ，平面11//AC B 平面EFG ，可判断②；假设面//EFG 面11ACC A ，则可以推出1//AA EF 可判断③；由平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，可判断④. 【详解】连接11AC ，1A B ，1BC ，BD ，1B D ，E ，F ，G 分别是1A B ，1BB ，11B C 的中点． 对于①，因方1//FG BC ，1BDC 是正三角形，所以FG 与BD 不垂直； 对于②，连接11D B ，因为1111111AC B D ,AC BB ⊥⊥，且1111B D BB B ⋂=，所以11AC ⊥平面11BDD B ，1DB ⊂平面11BDD B ，所以111AC DB ⊥，同理11BC DB ⊥，且1111AC BC C ，所以1DB ⊥平面11AC B ，因为1//A B EF ，11//ACEG ，且111A B AC A ⋂=，EF EG E =，所以平面11//AC B 平面EFG ，所以1BD ⊥平面EFG ．正确；对于③，如果面//EFG 面11ACC A ，由平面EFG 平面11ABB A EF =，平面11CC A A平面111BB A A A A =，则1//AA EF ，显然不正确；对于④，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，EF ⊂平面11ABB A ，所以//EF 平面11CDD C ，正确故选：②④. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明， 属于中档题.24．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=， 所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题25．（1）证明见解析；（22【分析】（1）取PB 边的中点E ，即可证明四边形AEFD 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 边的中点G ，由//DG AB ，即可得到直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角，再由等体积法求得2G PCD d -=，即可求得直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）如图所示：取PB 边的中点E ，连,AE FE ， 则三角形中位线可知：//EF BC 且12EF BC =， 由题可知：//AD BC 且12AD BC =， //AD EF ∴且AD EF =，即四边形AEFD 为平行四边形，//DF AE ∴又DF ⊄平面,PAB AE ⊂平面PAB ，故//DF 平面PAB ； （2）取BC 边的中点G ， 则//DG AB ，且2DG AB ==，直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角， 又1CDGS=，且易得DC PD =,所以11223622CDPSPC DF =⋅=⨯=由等体积法，1113633P CDG G PCD G PCD V V d ---==⨯=，得22G PCD d -=， DG ∴与平面PDC 所成角的正弦值为2222= 故直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值为24． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出G 点到平面PCD 的距离. 26．（1）证明见解析；（2105. 【分析】（1）连接1BC 与1BC 相交于M ，连接EM ，证明1//EM A B ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）证明平面1AB F ⊥平面11BCC B ，得出NO ⊥平面11BCC B ，结合线面角的定义得出OBN ∠即为1A B 与平面11BCC B 所成角，再由相似三角形、勾股定理、直角三角形边角关系得出1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【详解】（1）连接1BC 与1BC 相交于M ，连接EM由于E ，M 分别是11AC ，1BC 的中点，则1//EM A B因为EM ⊂平面1BCE ，1A B ⊄平面1BCE ，所以1//A B 平面1BCE .（2）取BC 中点F ，连接AF ，1B F ，则AF BC ⊥ 因为1B A ⊥平面ABC ，所以1B A BC ⊥又1,AF B A ⊂平面1AB F ，1AF B A A ⋂=，所以BC ⊥平面1AB F又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面1AB F ⊥平面11BCC B ，过N 作1NO B F ⊥于O 因为NO ⊂平面1AB F ，平面1AB F ⋂平面111BCC B B F =所以NO ⊥平面11BCC B ，连接OB ，则OBN ∠即为1A B 与平面11BCC B 所成角 设12BB =，易知22110222BN AN AB =+=+=，6AF =，114B F =由11ONB AFB △△，1142B N ON AF B F =⋅=所以105sin ON OBN BN ∠==.【点睛】关键点睛：解决第一问的关键在于由中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明线面平行；解决第二问的关键在于由线面垂直找出线面角，再由直角三角形边角关系求出正弦值.27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）37． 【分析】（Ⅰ）设DB AM O ⋂=，证明所以AM ⊥平面QOB ，得QB AM ⊥，再由勾股定理证明QB BO ⊥， 后可得证线面垂直；（Ⅱ）作BP QO ⊥于P ，证明BMP ∠即是BM 与平面AQM 所成的角．在直角三角形中计算可得． 【详解】（Ⅰ）解：因为3,6,60BC CD C ==∠=︒，所以由余弦定理得2236236cos6033BD =+-⨯⨯︒=，从而222BD BC CD +=，所以DB BC ⊥，由已知得ABMC ，所以ABCM 为平行四边形，所以DB AM ⊥，设DB AM O ⋂=，则折后可得,AM QO AM BO ⊥⊥，又QOBO O =，,QO BO ⊂平面BQO ，所以AM ⊥平面QOB ，QB ⊂平面QOB ，所以QB AM ⊥， 因为23,3,3QO OB QB ===，即222QB BO QO +=，所以QB BO ⊥， 因为AM BO O ⋂=，,AM BO ⊂平面ABCM ，所以QB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）在平面BOQ 内作BP QO ⊥于P ，则由AM ⊥平面QOB ，得AM BP ⊥， 又QOAM O =，,QO AM ⊂平面AQM ， 所以BP ⊥平面AQM ，。

空间解析几何（Space Analytic Geometry）课程编号：（由教务处统一编写）学分：3学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）先修课程：无适用专业：数学各专业1年级教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012开课学院：理学院一、课程的性质与任务：《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。

自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。

解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。

通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。

数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。

解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。

解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。

《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。

空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。

空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．72．已知半径为1的圆经过直线2110x y +-=和直线220x y --=的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为,则实数a 的值为（ ）A ．0或4B ．1或3C ．2-或6D ．1-4．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A ．23k ≤-或0k ≥B ．38k ≤-C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-5．已知直线:20l x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=所截的弦长为4，则实数a 为（ ） A ．2-B ．4-C ．2D ．46．在直角坐标平面内，过定点P 的直线:10l ax y +-=与过定点Q 的直线:30m x ay -+=相交于点M ，则22||||MP MQ +的值为( )A BC ．5D ．107．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A B ．35C ．45D 8．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为 ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π9．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π10．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若52PA PB PC ===B 到平面PAC 的距离为（ ）A ．32B ．4141C 1534D ．611．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．4312．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323π D ．该四面体内切球的表面积为2π二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．15．已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x -=，则圆E 的方程为_____.16．如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是以()0,1C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA ，PB ，则PAB △面积的最大值是_________.17．已知圆22:1O x y +=，直线:30l mx y m -+=与圆O 交于A ､B 两点，1AB =，分别过A ､B 两点作直线l 的垂线交x 轴于C ､D 两点，则CD =__________.18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.21．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.22．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）23．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，23AB AC ==，2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.24．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题25．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值. 26．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值. 27．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离． 28．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =，求异面直线1AB 与BF 所成角的大小； （2）求证：1AB //平面1BFC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.2．C解析：C 【分析】设出圆的方程，求出直线交点代入圆可得圆心在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，即可由此求出最值. 【详解】设圆的方程为()()221x a y b -+-=，联立直线方程2110220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，将()3,4代入圆得()()22341a b -+-=，则可得圆心(),a b 在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，则()3,45=，则圆心(),a b 到原点的距离的最大值为516+=. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查与圆相关的距离的最值问题，解题的关键是得出圆心的轨迹是以()3,4为圆心，1为半径的圆，再求出轨迹圆的圆心到原点的距离，加上半径即可.3．A解析：A 【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解. 【详解】由圆()224x a y -+=可知，圆心(),0a ，半径为：2，若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为则由垂径定理可知圆心到直线的距离：d =故d ==，解得4a =或0a =.故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.4．A解析：A 【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围. 【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B , 因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2， 所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥， 故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，由距离公式得出圆心到直线:20l x y ++=的距离d ，最后由弦长公式得出实数a . 【详解】由22(1)(1)2x y a ++-=-可知，圆心为(1,1)-，半径2r a =<圆心到直线:20l x y ++=的距离d ==242r =r ∴=4a ∴=- 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线与圆相交的弦长求参数的值，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由已知得(0,1)P ，(3,0)Q -，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=垂直，M 位于以PQ 为直径的圆上，由此能求出22||||MP MQ +的值即可．【详解】在平面内，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=相交于点M ，(0,1)P ∴，(3,0)Q -，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=垂直，M ∴位于以PQ 为直径的圆上，||9PQ ==22||||10MP MQ ∴+=，故选：D ． 【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．7．B解析：B 【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可． 【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，AF DF ==2223cos25AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．B解析：B 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =计算底面圆半径即可求解. 【详解】设底面圆半径为r ， 由母线长4l，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r rl ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===， 所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=,故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=, 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2rlπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.9．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为2R P N '====，则R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10．C解析：C 【分析】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果. 【详解】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则152AO BC ==； 又52PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，152PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥； 因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABCV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △中，PA PC ==，8AC =，所以PAC △的面积为182PACS=⨯=， 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 由P ABC B PAC V V --=可得1403PACS d =⋅，所以17d ==. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m⋅=.11．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅，所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin1202232BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.12．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD,AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得12OE BF AB ===,所以2222,R R =+∴=所以外接球的体积为343π⨯=，所以选项A 错误；所以外接球的表面积为2448ππ⨯=，所以选项C 错误；由题得AC AD ===所以△ACD △6=， 设内切球的半径为r ，则11111112446)243222232r ++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯所以22r，所以内切球的体积为3422)323ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()22ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >22323,4a a +=+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1241k d k-=+，2241k d k=+，321d k =+，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222222449111k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.15．【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直计算得到圆心为圆过原点故得到答案【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直即圆心为故圆心连线所在的直线为：取得到圆圆心坐标为和均过原点故圆过原点故故方程为故答案为：【点睛】本题 解析：22(3)3x y +=【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直，计算得到圆心为3)，圆E 过原点，故3r =案. 【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0，故圆心连线所在的直线为：)31y x =--，取0x =得到圆E 圆心坐标为3)，2220x y x +-=和30x -=均过原点，故圆E 过原点，故3r =故方程为22(3)3x y +=. 故答案为：22(3)3x y +=. 【点睛】本题考查了圆方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定圆心和半径是解题的关键.16．【分析】分别令可求出两点的坐标再由两点间的距离公式可求出利用数形结合可求出动点到直线的距离的最大值然后根据三角形的面积公式即可求出答案【详解】令得所以点的坐标为；令得所以点的坐标为所以过作垂足为延长 解析：212【分析】分别令0x =，0y =可求出A ，B 两点的坐标，再由两点间的距离公式可求出||AB ，利用数形结合可求出动点P 到直线334y x =-的距离的最大值，然后根据三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】令0x =，得3y =-，所以点B 的坐标为(0,3)-； 令0y =，得4x =，所以点A 的坐标为(4,0)， 所以22(04)(30)5||AB =-+--=，过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，延长DC 交圆C 于点P ，此时PAB △面积的最大，圆C 上的点到直线334y x =-，即到直线34120x y --=的距离的最大值 22211534d ==+， 所以PAB △面积的最大值是112121||52252=AB d ⋅=⨯⨯． 故答案为：212【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形的面积公式．直线与圆相离时，求圆上一点到直线距离的最大值问题总是转化为圆心到直线的距离d 加上圆的半径r ，属于中档题．17．【分析】利用垂径定理可求得的值设则联立方程利用韦达定理可求【详解】由可得圆心半径设圆心到直线距离为则由垂径定理可得解得设联立直线与圆方程得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题 3【分析】1AB =，利用垂径定理可求得m 的值，设()11A x y ，，()22B x y ，，则12CD x x =-=CD .【详解】由22:1O x y +=，可得圆心O ()00，，半径1R =，设圆心到直线:0l mx y -+=距离为d ，则d ==，由垂径定理可得2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222112⎛⎫=+ ⎝⎪⎭， 解得213m =， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立直线l与圆O 方程得221x y y mx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，∴()22221310m x x m +++-=，∴1213113x x -+===+212213131301113m x x m ⨯--===++，∴12CD x x =-===. 【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题，联立方程利用韦达定理求线段长度，考查运算求解能力，是中档题.18．【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用角平分线 解析：0x y -=【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.19．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．20．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的 解析：10【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径3R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =， 正方体的外接球半径R 满足：222222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3R =.由题意知：122aR r a -=-=，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．21．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O 为正方形的中心的中点为M 连接则如图在截面中设N 为解析：24【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，求出OM ，PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O半径分别为2，进而可得小球的体积． 【详解】解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，3PM ===，PO ==，如图，在截面PMO 中，设N为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，114PO PO OO R =+==∴R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴2R r ==2O的体积34324V r π==.故答案为：224π．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.22．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④ 【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确. 【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =；∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴=+=，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，在Rt ABC 中, tan ACABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE AD ⊥，又BDAD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ， ∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCE V V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯.故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴ABC ⊥平面ADC .故④正确. 故答案为：①③④． 【点睛】 思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明.23．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中【分析】先在等边三角形ABC 中求出BC =，外接圆半径2r ，从而可求该三棱锥的外接球的半径. 【详解】详解：因为060AB AC BAC ==∠=，所以ABC 为等边三角形，所以BC =ABC 外接圆的半径为23r，如图，三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ， 设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为'O ， 连接,','AO AO OO ，则'OO ⊥平面ABC ， 取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以//PA OO '，则四边形'ADOO 是矩形， 所以在PDO △和'OAO △中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,5dR ==. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.24．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点 解析：323π 【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ， 则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD == 所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，。