下载文档原格式
高考数学热点追踪——类比推理题作者：徐卫东来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第08期新课改后的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往以问题为中心，不拘泥于具体的知识点，将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值．类比推理，是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理方法．它既包含从特殊到特殊，又包含从一般到一般的推理．其特点是：利用某些客观事物间的相似性，以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段．推理前提所提供的仅仅是两个(或两类)事物的一些相同点，以此为据，进而推出另一属性也相同．其推理根据是不充分的，它无法保证已知相同的属性和推出的属性之间有必然的联系．所以，它是一种或然推理．因此，求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项．换言之，不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联．本文结合高考试题剖析来说明类比推理的类型、原则、注意点等．1 类比推理的类型第一类：简单共存类比．它是根据对象的属性之间有简单共存关系而进行的推理．A对象具有属性a、b、c、dB对象具有属性a、b、c、所以B对象可能也具有属性d2 类比推理的原则第一，类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性以及它们之间的相关程度，如果相似属性与相关程度越高，那么类比推理的结论的可靠程度就越大．第二，类比推理也是信息从模型向原型的转移，是以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段．在数学中，常表现为思路方法的转移．如抽象空间中的距离和初等代数中实数的绝对值、复数的模的概念，从实质上讲是一致的．第三，求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项．不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联．3 运用类比推理应注意的几个问题（1）要善于观察事物的特点，注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处，并追究造成这种共同或相似的原因．要大胆放宽眼界，不受自己的研究对象与学科的限制．（2）要善于联想，从一事物联想到与它性质相似的其他事物，从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理．（3）类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析．归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握创造性思维等特征，并运用到实际工作中去．（4）不能将两个或两类本质不同的事物，按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论，否则就要犯机械类比的错误．（5）类比推理的结论只具有或然性，即可能真，也可能假．类比推理尽管其前提是真实的，也不能保证结论的真实性．4 提高类比推理的结论的可靠性如何提高类比推理的结论的可靠性呢?第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大：第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大．著名数学教育家波利亚曾高度评价类比推理的作用，说“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用．”．在日常学习中，注意多从数学式子形式上类比；结构上类比；解题方法上类比；数学体系上类比；特殊到一般或一般到特殊类比；或是弱化条件或迁移条件上类比等等，提高类比推理能力．这样提高了能力，又能将知识搞透彻，便于知识进行理线串点，融汇贯通．类比推理可发现新的数学知识和规律，类比推理可培养学生的发散性思维、创造性思维及合情推理能力，因而，近年来高考试题中，类比推理的应用已成为高考命题的一个热点与新亮点．注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
例谈类比推理山东 许美文事物的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似.因此,我们可以根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这种推理叫做类比推理.类比的结论可能是真的，因此类比属于合情推理。
类比推理的一般步骤是：(1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出（猜想出）一个明确的命题.例题：找出等差数列与等比数列的相似性质，并用等差数列的下列性质类比等比数列的有关性质：(1）等差数列中，如果,,,,m n l k N +∈且,m n k l +=+则mn k l aa a a +=+；(2）从等差数列中抽去项数成等差数列的项(顺序不变）,仍构成等差数列。
（3）对于有穷等差数列,与首尾两项等距离的两项之和相等。
（4)等差数列中，232,,,nnn n n S SS S S --仍成等差数列。
（5）等差数列中，若项数为2n ()n N +∈,则()21nn n Sn a a +=+;若项数为()21n n N +-∈，则()2121n n S n a -=-。
解：等差数列与等比数列有下列相似的性质：（1）等差数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的差等于同一个常数;等比数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的比等于同一个常数。
（2）等差数列的通项公式是:()11;naa n d =+-前n 项和:()112nn n Sna d -=+； 等比数列的通项公式是:11.n naa q -=前n 项和：()111n na q Sq-=-。
(3）若a 、b 、c 成等差数列,则b 叫做a 、c 的等差中项,且2b a c =+； 若A 、G 、B 成等比数列，则G 叫做A 、B的等比中项，且(2G AB G ==。
类比推理考试题目及答案
一、类比推理考试题目
1. 题目一：如果“苹果”对于“水果”相当于“书籍”对于（）。
A. 纸张
B. 知识
C. 书架
D. 阅读
2. 题目二：如果“医生”对于“病人”相当于“教师”对于（）。
A. 学生
B. 教室
C. 课程
D. 教科书
3. 题目三：如果“钢笔”对于“书写”相当于“相机”对于（）。
A. 摄影
B. 照片
C. 胶卷
D. 镜头
4. 题目四：如果“树木”对于“森林”相当于“水滴”对于（）。
A. 河流
B. 海洋
C. 湖泊
D. 雨滴
5. 题目五：如果“汽车”对于“驾驶”相当于“飞机”对于（）。
A. 飞行
B. 机场
C. 跑道
D. 飞行员
二、类比推理考试答案
1. 题目一答案：B
解析：苹果是水果的一种，书籍是知识的载体。
因此，“苹果”对于“水果”相当于“书籍”对于“知识”。
2. 题目二答案：A
解析：医生为病人提供医疗服务，教师为学生提供教育服务。
因此，“医生”对于“病人”相当于“教师”对于“学生”。
3. 题目三答案：A
解析：钢笔用于书写，相机用于摄影。
因此，“钢笔”对于“书写”相当于“相机”对于“摄影”。
4. 题目四答案：B
解析：树木是森林的组成部分，水滴是海洋的组成部分。
因此，“树木”对于“森林”相当于“水滴”对于“海洋”。
5. 题目五答案：A
解析：汽车用于驾驶，飞机用于飞行。
因此，“汽车”对于“驾驶”相当于“飞机”对于“飞行”。
类比推理题--高考数学的新亮点
殷伟康
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2005(000)001
【摘要】@@ 类比推理是指:以两个对象都有某些相同或相似的属性,并且其中一个对象还有另外的某些属性为前提,作出另一个对象也具有这些相同或相似属性的判断的思维形式.著名数学教育家波利亚曾高度评价类比推理的作用,说"类比似乎在一切发现中有作用,而且在某些发现中有它最大的作用."类比推理可发现新的数学知识和规律,类比推理可培养学生的发散性思维、创造性思维及合情推理能力.因而,近年来高考试题中,类比推理的应用已成为高考命题的一个新亮点.类比推理题型新颖别致、背景独特,通常以类比推理为轴心,与数学思想、数学方法、数学知识进行整合,形成开放性的试题.此类试题极富思考性和挑战性,凸现新大纲对思维能力的要求和新课程改革倡导的教育理念.
【总页数】4页(P66-69)
【作者】殷伟康
【作者单位】江苏省常熟市实验中学,215500
【正文语种】中文
【相关文献】
1.高考数学命题的新视角——类比推理题 [J], 童其林
2.高考数学命题的新视角——类比推理题 [J], 童其林
3.高考数学热点追踪——类比推理题 [J], 徐卫东
4.类比推理题——高考数学试题的新亮点 [J], 孔祥新
5.高考数学命题的新视角——类比推理题 [J], 童其林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
走出创新之路的归纳与推广（1） 理解问题所提供的文字、数字、符号、图形、图表等，并从中提取有关信息进行分析和处理；（2)提出几个特殊的案例进行观察、实验、比较，研究其共性特征和变化规律；（3）归纳合情的共性特征和规律，试图发现蕴含着的数学模式，猜想和假设用字母或数学或数学符号形式化的表示其推广到一般情况下的数学结论；（4）再提出几个特殊案例，能检验所提出的猜想和假设的错误；（5）运用演绎方法去论证猜想和假设的正确性，通过推理或举反例说明猜想和假设的错误；（6）将研究的结果用准确的语言来表达一、 求解数列通项中的归纳、猜想与证明例1、已知数列{}n a 是由非零整数组成的数列，满足121120,3,(2)(2),3n n n n a a a a a a n +--===++≥，（1）求3a ，（2）证明：22(3)n n a a n -=+≥ 例2、设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．例3、设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+． （1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．例4、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka a a a ++≤对任意n *∈N 均成立． 例5、已知数列{}n a ，228(21)(21)n n a n n =-+，n S 为其前n 项和，计算12348244880,,,9254981S S S S ====，观测上述结果，推测出计算n S 的公式，并加以证明二、求证数列不等式的数学归纳法：例6、已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足0111,(4),,2nn n a a a a n N +==-∈求证： 12n n a a +<<()n N ∈三、 知识交汇下的归纳与推广例7、已知()f x 是定义在R 上的恒不为零函数，且对于任意的,a b R ∈，都满足 ()()()f ab af b bf a =+，（1）求(0),(1)f f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若(2)(2)2,()n n f f u n N n-==∈，求数列{}n u 的前n 项和n S 例8、已知数列{}n a （n 为正整数）是首项为1,a 公比为q 的等比数列，（1）求和： 012012312223213233343,a C a C a C a C a C a C a C -+-++；（2）由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论。
高考数学命题的新视角——类比推理题泉州五中数学组赵志毅类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。
类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
（一）不同知识点之间的类比数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。
它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。
1、立体几何中的类比推理【例1】若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：.21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为： 。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想 .212121222111OR OR OQ OQ OP OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅=--（证明略） 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。
要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
【例2】在DEF ∆中有余弦定理：.cos 2222DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱111C B A ABC -的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出.cos 21111111111222θB BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+=其中θ为侧面为11A ABB 与11B BCC 所成的二面角的平面角。
证明：作斜三棱柱111C B A ABC -的直截面DEF ，则D F E ∠为面11A ABB 与面11B BCC 所成角，在DEF ∆中有余弦定理：θ∠⋅-+=cos 2222EF DF EF DF DE ，同乘以21AA ，得θ∠⋅⋅⋅-⋅+⋅=⋅cos 211212212212AA EF AA DF AA EF AA DF AA DE即.cos 21111111111222θB BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+= 评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
类比推理在高中数学中的应用类比推理是一种基于相似性的推理方法，通过比较两个事物之间的相似性和差异性来得出结论。
在高中数学中，类比推理被广泛应用于解决各种数学问题和证明定理。
本文将以几个具体的例子来探讨类比推理在高中数学中的应用。
我们来看一道典型的类比推理题目：已知：a/b=c/d要求：证明(ad-bc)/bd=0解题分析：在这道题中，我们需要通过类比推理来证明(ad-bc)/bd=0。
我们根据已知条件a/b=c/d，可以得出a×d=b×c。
然后，我们将要证明的式子进行化简：(ad-bc)/bd=(ad-bc)/(a×d)=(a×d-b×c)/(a×d)。
根据已知条件a×d=b×c，我们可以得出(a×d-b×c)=0。
所以，(ad-bc)/bd=0。
通过类比推理，我们成功证明了(ad-bc)/bd=0。
另一个常见的应用是在几何证明中。
证明平行线的性质或者证明几何图形的相似性时，类比推理可以帮助我们建立起一些必要的关系，从而证明所要求的结论。
证明两条平行线被一组交叉线分割后，内部对应角相等，利用类比推理可以很直观地得出结论。
在数列求和、等式变形、不等式推导等问题中，类比推理也发挥着重要的作用。
通过发现数列中的规律或者利用已知的数学等式和不等式来推导新的结论，都离不开对事物之间的相似性和差异性的比较和推理。
类比推理在高中数学中的应用可以帮助我们更加深入地理解概念和定理，发现问题的规律，推导结论，并且在解决数学问题和证明定理时起到了重要的作用。
通过对事物之间的相似性和差异性的比较和推理，我们可以更加灵活地运用数学知识，解决各种数学问题。
类比推理在高中数学中也存在一些局限性。
由于类比推理是基于相似性的推理方法，当事物之间的相似性不足以支撑所需的结论时，类比推理就很难得出正确的结论。
在应用类比推理时，我们需要对事物之间的相似性和差异性做出合理的判断，并且需要结合其他推理方法来综合考虑问题，从而得出正确的结论。
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n（n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
类比推理问题—高考命题新亮点类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。
类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
（一）不同知识点之间的类比数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。
它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。
1、立体几何中的类比推理【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想（证明略）评注本题主要考查由平面到空间的类比。
要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
【例2】在中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角。
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即评注本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
【例3】在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？解析“正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。
图1如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将分割成三个小三角形，则有，即距离之和为正三形的高（定值）图2类似地，如图2,设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、，将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有，于是所以为定值【例4】在平面几何中，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则。
山东三、类比推理。
先给出一对有关旳词, 规定你在备选答案中找出一对与之在逻辑关系上最为贴近或相似旳词。
请开始答题:71.电子﹕商务A.技术﹕竞争B.经济﹕信息C.鉴定﹕事故D.董事长﹕股东72.超声波﹕机械波A.极限﹕常数B.轮船﹕船C.一次方程式﹕线形方程D.斡旋﹕调解73.得主﹕失主A.白灾﹕黑灾B.软武器﹕硬武器C.数据﹕非数据D.远程﹕近程74.守望﹕期待A.智慧﹕语吧B.咬文﹕嚼字C.智商﹕情商D.升腾﹕冲刺75.车辆﹕车A.花﹕花卉B.山脉﹕山C.解放军﹕战士D.书籍﹕报纸76.生态﹕原生态A.金三角﹕珠三角B.海内﹕天涯C.公交﹕巴士D.缩水﹕布缩水77.未婚﹕无权A.国家﹕不丹B.非法﹕无理C.无锡﹕非党员D.不倒翁﹕不健康78.硬件﹕软件A.上弦﹕下弦B.淡入﹕淡出C.胜诉﹕败诉D.实概念﹕空概念79.“西安事变”﹕“双十二事变”A.公共管理﹕大家管B.教育﹕说教C.协议﹕契约D.值日﹕值夜80.经济规律﹕法则A.军事情报﹕新情报B.高校学生﹕硕士C.小麦﹕粮食作物D.文学作品﹕短篇小说江西三、类比推理每道题先给出一组有关旳词, 规定你在备选答案中找出一组与之在逻辑关系上最为贴近、相似或匹配旳词。
请开始答题:71.奋斗︰成功A.大雪︰封山B.学习︰理解C.财富︰贫困D.考试︰成绩72.石油︰汽油A.铁矿石︰钢铁B.木材︰家俱C.水泥︰房屋D.玻璃︰窗户73.井冈山∶红色摇篮A.泰山∶日出B.庐山∶瀑布C.黄山∶险峻D.延安∶革命圣地74.白居易∶在天愿作比翼鸟, 在地愿为连理枝A.曾巩∶明月不谙离恨苦, 斜光到晓窃朱户B.张若虚∶春江潮水连海平, 海上明月共潮生C.岳飞∶莫等闲, 白了少年头, 空悲切D.王实甫∶枯藤老树昏鸦, 小桥流水人家, 断肠人在天涯75.节能∶减排∶环境保护A.火药∶造纸∶四大发明B.起床∶步行∶上班C.生产∶销售∶管理D.锻炼∶营养∶健康76.纠纷∶诉讼∶裁判A.损害∶车祸∶赔偿B.文学作品∶作家∶写作C.学习∶借鉴∶创新D.书籍∶撰写∶纸张77.赣∶江西∶辽宁A.辽∶辽河∶辽宁B.桂∶广西∶漓江C.粤∶广东∶珠江D.湘∶湖南∶湘江78.拱桥对于（）相称于樟树对于（）A.建筑绿化B.高超高大C.技艺生长D.桥梁树林79.寒对于（）相称于叫对于（）A.冷喊B.冬唱C.春吟D.冰说80.糖对于（）相称于汞对于（）A.苦毒B.核糖非金属C.咖啡温度计D.碳水化合物水银安徽二、类比推理: 共10题。
高考数学试题新亮点——类比推理题“多考一点想，少考一点算”，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。
类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有一个另外的性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。
因此求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项。
换言之，不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联。
一、 数列中的类比推理例1 （2000年上海卷）在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21 ),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若,,,,*N q p n m ∈且,q p n m +=+则q p n m a a a a +=+）；等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若,,,,*N q p n m ∈且,q p n m +=+则q p n m a a a a ⋅=⋅）.由此，猜测本题的答案为：).,17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-事实上，对等差数列{}n a ，如果0=k a ，则⋅⋅⋅=+=+--+--+n k n n k n a a a a 2221210=+=k k a a . 所以有：n a a a +⋅⋅⋅++21+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++2121(n n n a a a a an k n k a a ----+1222）（*,12N n k n ∈-<）.从而对等比数列{}n b ，如果1=k b ，则有等式：),12(*122121N n k n b b b b b b n k n ∈-<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅--成立.评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列{}n a 而得到等比数列{}n b 的新的一般性的结论。
例2 （2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 . 分析 由等和数列的定义，易知212=-n a ，32=n a （n =1，2，…），故318=a . 当n 为偶数时，n S n 25=；当n 为奇数时，2125-=n S n . 评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。
二、 函数中的类比推理例3（2003年上海春招高考题）设函数221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4(f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-的值为 .分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算)1()(x f x f -+：221)(+=x x f ，x xx x x x f 222212222221)1(1+⋅=⋅+=+=--， 22222211)1()(=+⋅+=-+∴xxx f x f ， 发现)1()(x f x f -+正好是一个定值， 12222⨯=∴S ，23=∴S . 评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。
例4 （2003年上海春招高考题）已知函数5)(3131--=x x x f ，5)(3131-+=x x x g .（1） 证明)(x f 是奇函数，并求)(x f 的单调区间.（2） 分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出涉及函数)(x f 和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.分析 （1）略； （2）分别计算得)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值都为零，由此概括出对所有不等于零的实数x 有：.0)()(5)(2=⋅-x g x f x f 如果将式子0)()(5)(2=⋅-x g x f x f 中的5改成字母)0(≠λλ，可进一步推广0)()()(2=⋅-x g x f x f λ.评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。
”三、排列组合中的类比推理 例5 （2002年上海高考题）规定：!)1()1(m m x x x C mx +-⋅⋅⋅-=，其中R x ∈，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数mn C mn ,(是正整数，且)n m ≤的一种推广.（1） 求515-C 的值；（2） 组合数的两个性质（m n m n m n m n n m n C C C C C 11,+--=+=）是否都能推广到m x C（m R x ,∈是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数m n C 是正整数，证明：当Z x ∈，m 是正整数时，Z C mx ∈.分析 本题“新的规定m x C （m R x ,∈是正整数）”是组合数m n C （m n ,是正整数，且n m ≤）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力. 解：（1）根据新规定直接进行演算即可.11628!5)19)(18)(17)(16)(15(515-=-----=-C（2）性质①不能推广.反例：当1,2==m x 时，12C 有意义，但122-C 无意义.性质②能推广，且推广形式不变： m R x C C C mx m x m x ,(11∈=++-是正整数）.证明如下：)!1()2()2)(1(!)1()2)(1(1-+-⋅⋅⋅--++-⋅⋅⋅--=+-m m x x x x m m x x x x C C m x m x=)1(!)2()2)(1(+⋅+-⋅⋅⋅--x m m x x x x =[][][]1)1(2)1(1)1()1(!1+-+⋅⋅⋅-+-++⋅m x x x x m =mx C 1+ （3）需要就x 与m 的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当m x ≥时，m x ,都是正整数，mn C 就是组合数，结论显然成立；当m x <≤0时，Z m m x x x x C mx ∈=+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=0!)1(0)2)(1(，结论也成立； 当0<x 时，)2)(1(!1)1(!)1()2)(1(-+--+--=+-⋅⋅⋅--=m x m x m m m x x x x C m mx mm x m C x x 1)1())(1(-+--=-+-⋅⋅⋅01>-+-m x ，m m x C 1-+-∴是正整数，故Z C C m m x m m x ∈-=-+-1)1(. 综上所述，当Z x ∈，m 是正整数时，Z C m x ∈.评注 本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和创新思维能力。
例6 （2003年上海高考题）已知数列{}n a （n 为正整数）的首项为1a ，公比为q 的等比数列.（1） 求和：223122021C a C a C a +-；334233132031C a C a C a C a -+-. （2） 由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明. 分析 本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：（1）223122021C a C a C a +-=212111)1(2q a q a q a a -=+-， 334233132031C a C a C a C a -+-31312111)1(33q a q a q a q a a -=-+-=. （2）归纳概括的结论为：若数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则 n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-+⋅⋅⋅+-+-+.（证明略）评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
四、立体几何中的类比推理例7 （2002年上海春招题）若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为： .分析 在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想222111R Q P O R Q P O V V --212121OR OR OQ OQ OP OP ⋅⋅=.(证明略) 评注 本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在2004年广东高考数学试卷中出现本题的类题。
例8 （2003年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设∆ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则.222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .”分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … … 由此，可类比猜测本题的答案：+∆2ABC S +∆2ACD S =∆2ADB S 2BCD S ∆ （证明略）.评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入。
