人教B版高中数学选修2-2第3章3.2第2课时《复数的乘法与除法》课时作业

第课时 复数的乘方与除法
.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) .了解幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 复数的乘方与除法
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.
.复数的乘方与(∈*)的周期性
()复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何∈及，∈*，则＝＋，()＝，()＝.
()虚数单位(∈*)的周期性 .
－＝＋，－＝＋＝，＋＝，
.复数的除法
把满足(＋)(＋)＝＋(＋≠)的复数＋(，
∈)叫做复数＋除以复数＋的商，且＋＝＝＋(＋≠).
.判断正误：
()两复数的商一定是虚数.( )
() ＝.( )
()复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
()若∈，则＝.( )
【答案】()× ()√ ()√ ()×
.复数＋＝.
【解析】＝＝＝，＝·＝－.
∴原式＝－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
计算下列各式的值.
()＋＋＋…＋＋；
()＋(－)；
()＋(＋)－.
【自主解答】()＋＋＋…＋＋＝＋＋＋＝.
()∵－＝＋＝＋，且(±)＝±.
∴＋(－)
＝(＋)＋[(－)]
＝()＋(－)＝.
()＋(＋)－
＝×＋＋[(＋)]－
＝＋()－。

3.2.2 复数的乘法3．2.3 复数的除法一、选择题1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.453．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i4．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14 B.12C ．1D ．25．已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－17．当z ＝1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i二、填空题8．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.9．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z |＝________.10．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )等于________．11．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．三、解答题12．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值．13．已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．四、探究与拓展14．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 11，z 2＝i 1·i 2·…·i 12，则z 1·z 2＝________.15．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω.答案精析1．C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D8．1 9.1 10.2＋2i 11.二12．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.(2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z ·(a ＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 13．解 z 是复数，z ＋2i 与z 1－i 均为实数， 可设z ＝x －2i ，x －2i 1－i＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i 2， 可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，因为复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <4，a >2， 即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．14．115．解 设z ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，因为(1＋3i)z ＝(1＋3i)(m ＋n i)＝m －3n ＋(3m ＋n )i 为纯虚数， 所以m －3n ＝0，①ω＝z 2＋i ＝m ＋n i 2＋i＝(2m ＋n )＋(2n －m )i 5.由|ω|＝52，得(2m ＋n )225＋(2n －m )225＝(52)2， 即m 2＋n 2＝250.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－15，n ＝－5. 代入ω＝(2m ＋n )＋(2n －m )i 5， 得ω＝±(7－i)．。

3.2.2 复数的乘法和除法一、基础达标1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1答案 A解析 z ＝1i ＝－i.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1 答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎨⎧b ＝－1a ＝1. 4．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限． 5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2i i－1＝2＋3i －1＝1＋3i. 6．复数2i －1＋3i的虚部是________． 答案 －12解析 原式＝2i (－1－3i )1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12. 7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005 ＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005 ＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i答案 A解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i. 9．(2013·山东)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i ，选D.10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于________．答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．解 由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i， 得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， 又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i， ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10， ∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎨⎧ b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。

课时作业11复数代数形式的四则运算一、选择题1．若(z－1)2＝－1，则z的值为()A．1＋i B．1±iC．2＋i D．2±iz－1＝±i，∴z＝1±i.故应选B.B2．设f(z)＝z，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)的值是()A．－2＋3i B．－2－3iC．4－3i D．4＋3iz1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝(1＋3)＋(5－2)i＝4＋3i，∴z1－z2＝4－3i.∴f(z1－z2)＝f(4－3i)＝4－3i＝4＋3i.故应选D.D3．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由→|等于() A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BDA．2 B.13C.15D.17由复数加法的几何意义，知B D→＝B A→＋B C→.∵B A →对应的复数为z A －z B ＝i －1，B C →对应的复数为z C －z B ＝(4＋2i)－1＝3＋2i ，∴B D →对应的复数为(i －1)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴|B D →|＝22＋32＝13.故应选B. B 4.1⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i∵⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4＝14(1－i)4＝14(－2i)2＝－1，∴1⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4＝－1.故应选B. B5.⎝⎛⎭⎪⎫4－6＋2i 3等于( ) A ．－22i B ．2i C ．22iD ．－2i⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－6＋2i 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4(－6－2i )83＝－2(3＋i)3＝－2[(3)3＋3×(3)2i ＋33i 2＋i 3]＝－22i.故应选A. A6．复数2i－1＋3i 的虚部是( )A ．－32B ．－12C.32D.12原式＝i－12＋32i ＝iω＝i ω＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝32－12i ，∴其虚部为－12.故应选B. B7．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1－i 22＝(1－i )22＝－2i 2＝－i ，∴z 100＝(z 2)50＝(－i)50＝i 2＝－1； z 50＝(z 2)25＝(－i)25＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝－1－i ＋1＝－i. 故应选D. D8．使|log 12x －4i|≥|3＋4i|成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8 B ．(0,1]∪[8，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪[8，＋∞) D ．(0,1)∪(8，＋∞) ∵|log 12x －4i|≥|3＋4i|＝32＋42＝5，∴(log 12x )2＋42≥25，∴(log 12x )2≥9.即log 12x ≥3或log 12x ≤－3⇒0＜x ≤18或x ≥8.故应选C. C 二、填空题9．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________．|Z 1Z 2|＝|Z 1Z 2→|＝|z 2－z 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＋3i ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋32＝612.61210．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝__________. 设z ＝b i(b ≠0)，则 (z ＋2)2－8i ＝(b i ＋2)2－8i ＝－b 2＋4b i ＋4－8i ＝4－b 2＋(4b －8)i 为纯虚数∴⎩⎨⎧4－b 2＝04b －8≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝±2b ≠2.∴b ＝－2.∴z ＝－2i. －2i11．已知z ＝1＋i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－3z ＋6z ＋1＝________.原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1＋i )2－3(1＋i )＋6(1＋i )＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 2＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5i 5＝⎪⎪⎪⎪1－i ＝ 2. 212．设z 1，z 2是一对共轭复数，|z 1－z 2|＝23，且z 1z 22是实数，则|z 1|＝________.∵z 1z 22∈R ，∴（z 1z 22）＝z 1z 22，即z 2z 21＝z 1z 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2z 13＝1，z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i z 1， ∴|z 1－z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32∓32i ＝2 3.∴3|z 1|＝23，|z 1|＝2. 2 三、解答题13．解方程z 2＝z ，其中z 为复数． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则x 2－y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等，得⎩⎨⎧x 2－y 2＝x ，①2xy ＝－y . ②由②可得(2x ＋1)y ＝0，∴y ＝0或x ＝－12.当y ＝0时，由①可得x ＝0或x ＝1. ∴z ＝1或z ＝0；当x ＝－12时，y ＝±32，∴z ＝－12±32i.综上：z ＝－12±32i 或z ＝0或z ＝1.14．已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )i －1＋3i i ，ω＝z ＋a i(a ∈R)．当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围．∵z ＝2＋4i －1－3i i ＝1＋ii ＝1－i ，∴ω＝1＋(a －1)i ， ωz ＝1＋(a －1)i 1－i ＝2－a ＋a i2. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.15．已知虚数z 满足|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|. (1)求|z |的值；(2)若mz ＋1z ∈R ，求实数m 的值．(1)设虚数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，代入|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|得|2a ＋1＋(2b －1)i|＝|(a ＋2)＋(b －2)i|， ∴(2a ＋1)2＋(2b －1)2＝(a ＋2)2＋(b －2)2. 整理得a 2＋b 2＝2，即|z |＝2.(2)由(1)知，z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，且b ≠0. a 2＋b 2＝2，又知m ∈R ，mz ＋1z ∈R ，∴mz ＋1z ＝m (a ＋b i)＋1a ＋b i＝ma ＋mb i ＋a －b ia 2＋b2＝ma ＋mb i ＋12a －12b i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ma ＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mb －12b i ∈R. 得mb －12b ＝0，又b ≠0得m ＝12，∴实数m 的值为12.16．已知集合A ＝{z ||z －2|≤2，z ∈C}，集合B ＝{W |W ＝12z i ＋b ，b ∈R ，z ∈A }，当A ∩B ＝B 时，求b 的值．由W ＝12z i ＋b 得z ＝2W －2b i ，∵z ∈A ，|z －2|≤2，代入得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2W －2b i －2≤2，化简得|W －(b ＋i)|≤1.∴集合A ，B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面．又A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴两圆内含， ∵(b －2)2＋(1－0)2≤2－1，即(b －2)2≤0，∴b ＝2.。

第三章 §3.1 课时作业23一、选择题1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 答案：D2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 解析：因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0. 由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1.故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i. 答案：A3．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i解析：∵OA →表示复数1＋i ， ∴点A (1,1)，将OA →向右平移一个单位， 将O ′A ′→对应1＋i ，A ′(2,1)， ∴点A ′对应复数2＋i.故选C. 答案：C4．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)解析：∵|z |＝a 2＋1，a ∈(0,2)，∴|z |∈(1，5)．故选B. 答案：B 二、填空题5．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，如果点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．解析：∵点B 的坐标为(3，－4)， ∴点A 的坐标为(－3,4)． ∴点C 的坐标为(3,4)． ∴向量OC →对应的复数为3＋4i. 答案：3＋4i6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α，∵π<α<2π，∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4.∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)7．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.答案：180° 三、解答题8．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点： (1)位于第二象限；(2)位于直线y ＝x 上．解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.9．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解：解题时，应先判断a 2－2a ＋4与－(a 2－2a ＋2)的符号，设出z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程．由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴复数z 的实部为正数，虚部为负数． ∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。

课时提升作业(二十三)复数代数形式的乘除运算一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·深圳高二检测)i为虚数单位，则=( )A.-iB.-1C.iD.1【解析】选C.因为==i，所以原式=i2 013=i4×503+1=i.2.(2014·东营高二检测)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.依题意得z=3+i，====2-i，该复数对应的点的坐标是(2，-1).3.(2013·山东高考)复数z=(i为虚数单位)，则|z|=( )A.25B.C.5D.【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.【解析】选C.z==-4-3i，所以|z|==5.4.(2014·江西高考)是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z+=2a=2,故a=1,(z-)i=-2b=2,故b=-1,所以z=1-i.5.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D【解题指南】解决本题的关键是明确复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数的形式是=a-bi，然后根据图示进行选择即可.【解析】选B.由于点A表示复数z=a+bi(a，b∈R)，所以其共轭复数是=a-bi，在图中应该是点B对应的复数，故选B.6.下面关于复数z=的结论，正确的是( )①=2；②z2=2i；③z的共轭复数为1+i；④z的虚部为-1.A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选C.z===-1-i，所以==，z2=(-1-i)2=2i.z的共轭复数为-1+i.z的虚部为-1，所以②④正确.二、填空题(每小题4分，共12分)7.计算(7-i)=__________.【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母，按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.【解析】(7-i)=×7-i+i·7-i·i=+i.答案：+i8.如果x-1+yi与i-3x是共轭复数，则实数x=__________，实数y=__________.【解析】由已知得所以答案：-19.(2014·银川高二检测)已知=b+i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=__________.【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.答案：1【变式训练】i是虚数单位，若=a+bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )A.-15B.-3C.3D.15【解析】选B.==-1+3i=a+bi，所以a=-1，b=3，所以ab=-3.三、解答题(每小题10分，共20分)10.计算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)+.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=+=i6+=-1+i.【一题多解】(3)原式=+=i6+i=-1+i.【拓展延伸】复数的运算顺序复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减，如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.11.(2014·天津高二检测)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.(1)求复数z的共轭复数.(2)若w=z+ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.【解题指南】先利用乘法法则计算出z，再求出复数z，w的模，进而计算出a的范围.【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i，所以复数z的共轭复数为-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i，复数w对应向量为(-2，4+a)，其模为=.又复数z所对应向量为(-2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20+8a+a2≤20，a2+8a≤0，a(a+8)≤0，所以，实数a的取值范围是-8≤a≤0.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·武汉高二检测)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=sin53°+isin37°，则z1·z2=( )A.+iB.+iC.-iD.-i【解析】选 A.由已知及复数乘法与三角公式得，z1·z2=(cos23°+isin23°)(sin53°+isin37°)=(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°)=(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°)+i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°)=cos 60°+isin 60°=+i.故选A.2.(2014·长春高二检测)已知3-i=z·(-2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】先计算出z，再判断z所在的象限.【解析】选A.z==+i.【举一反三】若结论改为求复数z的共轭复数的模，则结果如何?【解析】z==+i.则=-i，即得||===1.3.(2014·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+= ( )A.-iB.iC.-1D.1【解题指南】利用复数的运算性质进行计算.【解析】选D.i3+=-i+=-i+=-i+=1.4.(2014·长沙高二检测)定义：复数b+ai是z=a+bi(a，b∈R)的转置复数，记为z′=b+ai；复数a-bi是z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数，记为=a-bi.给出下列命题：①z′=i；②′+=0；③z′1·z′2=；其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.i=i(a-bi)=b+ai=z′，①正确；′+=(a-bi)′+=-b+ai+b-ai=0，②正确；设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，a2，b1，b2∈R).z′1·z′+b1i)′·(a2+b2i)′2=(a1=(b1+a1i)·(b2+a2i)=(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i.===(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i，所以z′1·z′2≠，③错，故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·石家庄高二检测)若复数z=的实部为3，则z的虚部为__________.【解析】z===，由条件知，=3，所以a=-1，所以z=3+i，所以z的虚部为1.答案：16.复数z满足方程i=1-i，则z=__________.【解析】·i=1-i，所以===-i(1-i)=-1-i，所以z=-1+i.答案：-1+i三、解答题(每小题12分，共24分)7.定义运算=ad-bc，复数z满足=1+i，求z.【解析】由题意知，=i·z-i=1+i，所以iz=1+2i，所以z==2-i.8.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数).(1)求b，c的值.(2)试说明1-i也是方程的根吗?【解析】(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根，所以(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0.所以得(2)方程为x2-2x+2=0.把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立，所以1-i 也是方程的一个根.【变式训练】若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，求b，c的值.【解析】由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根，则(1+i)2+b(1+i)+c=0，整理得(b+c-1) +(2+b)i=0，则解得关闭Word文档返回原板块。

【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。

【成才之路12015-2016学年高中数学 第3章3.2第2课时 复数的乘法与除法课时作业新人教B 版选修2-2一、选择题熟记复数除法法则是解决题目的关键.3. 若复数？满足(2-i)z=|l+2i|,则？的虚部为()4B 当C. 1D. i［答案］A ［解析］解法 1：设 z=a+bi (a,方GR),则(2 —i) (a+bi) =5, ・•・(2日+力)+ (2方一日力=旃，由复数相等的条件知i 2d+b~^f〔2 方一$=0,1. (2015 •新课标II 理,2)若日为实数, 且(2+ai) (a —2i) =_4i,则 a=( A. -1B. 0［答案］ B［解析］ 由已知得4曰+ (/—4) i = —4i,所以4曰=0, / —4=—4,解得自=0,故选B.A. l-2iB. 2-iC. 2 + iD. l+2i［答案］D［解析］本题考查复数的四则运算.3 + i 3 + i 1 + i 7^= 22+4i= l+2i.・・・z 的虚部为逵.C. 1 D ・22.已知i 是虚数单位，则3+i)解法2：将两边同乘以2+i得，5?=质(2+i),4. 复数击在复平面上对应的点位于（） A. 第一象限 C.第三象限［答案］A_ i _ i 1-i _________________ 1 + i 1丄 =l + i = 1 + i □ —= 2 =2 十刁所以复数z 对应的点为g,在笫一象限.5. （2015 •湖北理，l ）i 为虚数单位，严?的共辘复数为（）• • • • A. i B. -i C ・ 1D. -1［答案］A［解析］因为1=1，所以，『―严沖勺——匚所以严7的共辘复数为i.故本题正 确答案选A.6. 设复数刀，©在复平面内的对应点关于虚轴对称，z. = 2 + i,则2也=（） A. -5 B. 5 C. -4+iD. -4-i［答案］A［解析］本题考查复数的乘法，复数的儿何意义.Tzi = 2 + i, zi 与 G 关于虚轴对称，.•.Z2=—2 + i, /. ziz 2= —1 —4 = —5, 故选 A.7. 已知i 为虚数单位，？为复数，下面叙述正确的是（） A. z_ z 为纯虚数B. 任何数的偶数次幕均为非负数C. i + 1的共觇复数为i —1D. 2 + 3i 的虚部为3［答案］DB.第二象限 D.第四象限［解析］［解析］当？为实数时A错；由［2= —1知B错；由共轨复数的定义知1 + i的共轨复数为l — i, C 错,故选D ・8. (2015 •安徽理，1)设i 是虚数单位，则复数L 在复平面内所对应的点位于() 1— 1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限［答案］B1,1)，位于第二象限，故选B.二、填空题=1 —2i, Az=l —i.10. (2015 •徐州期末)已知复数？满足］厶i 尸i(i 为虚数单位)，若z=a+bx^方丘R),则a+ b= ________ .［答案］1［解析］由题意可得 z=i (1 — 2i)2=i (1—4 —4i) =i (_3_4i) =4 —3i, 由复数相等可得日=4且〃=一3, ・・・卄力=4一3 = 1. 三、解答题11. 设复数z 满足丨吻=5,且(3 + 4i)z 在复平面上对应的点在第二、四彖限的角平分 线上，|£z —刃| =5£(/〃WR),求z 和刃的值.［解析］设 z=x+y\ (x, pWR),・・・|z|=5, /.x+y=25,而(3 + 4i) ?= (3+4i) (%+yi) = (3x —4y) + (4卄3y) i又・・・(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、四彖限的角平分线上，3%— 4y+ 4+ 3y= 0,得 y=7x,2i［解析］由题意口2i 1 + i 1-i 1+i— 24-2i飞亠=—1+i,其对应的点坐标为(一9.规定运算ad~ be,若 = l-2i,设i 为庞数单位，则复数z［答案］1-i ［解析］由已知可得 = 2z+i 2=2z-l的复数？为（［答案］即 z(l + i)=4+2i,4 + 21 4 + 2i 1-i 6-2i•-3_1-即 z=±p^+耳^i ）； y ［2z=± （l + 7i ）. 当述？=l+7i 时，有|l+7i —〃/|=5jL 即（1-/^）2+72=50,得刃=0,刃=2.当边z=—（l + 7i ）时，同理可得刃=0, m=~2.能力握升三一、选择题— 9 + 311.在复平面内，复数3_£ （i 是虚数单位）所对应的点位于（）A.第一彖限 C.第三象限［答案］BB.第二象限 D.第四象限rAnlrn -2 + 3i-2 + 3i［解析］刁 ----------------- 5斗誓宀…••复数昔对应的点位于第二象限. -j2.若复数&■是纯虚数，则实数日的值为（A. 2B. c-lD .［答案］ ［解析］占+ i ____ 日+i l+2il-2i = l-2i l+2i曰-2 + 2卄1】是纯虚数,3. （2015 •会宁县期屮）定义运算= ad — be,则符合条件1 -1= 4 + 2iA. 3 —iB. l + 3iC. 3+i ［)•l-3i［解析］根据定义，可知lXzi-（-l ）Xz=4+2i,4.设i是虚数单位，z是复数z的共轨复数，若么・zi + 2 = 2z,则z=B. 1-i D. -1-iz i+2=2z,得(/+y) i +2=2(%+ yi) =2x二、填空题5. （2015・重庆理，11）设复数a+b\ （a,^eR ）的模为书，则（日+为）（日一伤）= _ .［答案］3［解析］由题易得+F=羽,故/+川=3； （&+方i ）（自一bi ） =/ +川=3.6. 关于/的不等式〃/—ZLY +Q >0（/〃，n, qWR ）的解集为（一1,2）,则复数加+pi 所对应的点位于复平而内的第 ________ 象限.［答案］二［解析］•.5/—加+刀>0（〃人〃、pER ）的解集为（一1, 2）,r/xo-1+ 2=-/〃 ，即 〃K0, /?>0. -1J X2=- m 故复数/〃+切所对应的点位于复平面内的第二彖限.— 3 7~\~ A7. 已知复数2= 1 + i,则复数.旷卜］的模为［答案］边/—3z+61 + i 2—3 1 + i +6~z+l~= 1 + i~+12i-3-3i+6 3-i =2+1 =2+7=1 _1故I —i 的模为Ji 三、解答题8. 已知？是复数，z+2i 、总均为实数（i 为虚数单位），且复数（z+m ）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数日的収值范围. ［解析］设 z= x+ yi 匕、yER ）,z+2i = /+（y+2） i,由题意得 y=—2.+ 2yi ，x +y =2y, 2 = 2 x,Jx=l, ［y=l ・z= 1 + i,故选 A.A. 1 + i C. -1 + i［答案］A［解析］设 z=x+yi(x, yWR),由［解析］#2 卄 2)+扣—4)i由题意得，x=4・ /.z=4 —2i ・T (z+^i)2= (12+4自一a) +8(a —2) i,解得2〈日〈6,・・・实数辺的取值范围是(2, 6).9. 复数1 + 1 . ：i+b} 1.1 z| = 4, z 对应的点在第一象限，若复数0、刁、G 对1 — 1应的点是正三角形的三个顶点，求实数臼、方的值.［解析］z — 1T (卄方］)—2】・1(卄加)=—2臼一2b\.由 |z|=4 得 a +1} =4,①・・•复数0、z 、2对应的点构成正三角形,I Z — z \ = \z\.把z=—2a —2bi 代入化简得\b\=l.② 又TZ 在第一象限，・・・日〈0, ZK0. 由①②得产"・［b=-l根据条件, 可知I12+4 臼一/〉o8 臼一2 >0z x —2i 1 = 2-f =5(%—2i) (2 + i)。

复数代数形式的乘除运算明目标、知重点1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的互换律、结合律和乘法对加法的分派律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数若是两个复数知足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.4．复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]咱们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法知足运算律么？探讨点一复数乘除法的运算思考1 如何进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，而且把实部与虚部别离归并即可．思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必需在所得结果中把i 2换成－1. 例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用适当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i ； 思考3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成份式的形式，再把分母实数化(方式是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ；(2)(1＋2i)2；(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.解 (1)原式＝(4－3i )2(4＋3i )(4－3i )＋(4＋3i )2(4－3i )(4＋3i )＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i 42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方式一 原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方式二 (技能解法)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )i(3－2i )i＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i.(2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i－i·i ＝－1－3i.探讨点二 共轭复数及其应用思考1 像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数咱们称为互为共轭复数，那么如何概念共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z .虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 思考2 复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数仍是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，所以两个共轭复数之积为实数．思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 思考4 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 知足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.反思与感悟 本题利用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪训练3 已知复数z 知足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．设复数z 知足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 答案 A解析 z ＝1i＝－i.2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.3．复数i －21＋2i 等于( )A ．iB ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i答案 A4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D.[呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法知足互换律、结合律和乘法对加法的分派律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成份式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的大体思想方式，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、基础过关1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2i i C ．0 D ．2i 答案 A解析 －i ＋1i ＝－i －i2i ＝－2i ，选A.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i 答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝0. 3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i) ＝－32＋(23＋12)i ，对应点(－32，23＋12)在第二象限．5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.6．若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 D解析 z ＝1＋2ii ＝2－i ，∴z ＝2＋i.7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋(21＋i )2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)． 解 (1)2＋2i (1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i ＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 二、能力提升8．设复数z 知足(1－i)z ＝2i ，则z 等于( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 由已知得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i. 9．复数z 知足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i 答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ， ∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.10．设复数i 知足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 取得z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.11．已知复数z 知足(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，故z ＝2＋i.所以zz＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝3－4i 5＝35－45i.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z . 解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.三、探讨与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左侧得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。

§3.2 复数的运算3．2.1 复数的加法与减法一、选择题1．已知复数z 满足z ＋(－3＋i)＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或13．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 4．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32i 5．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，若AD →＝BC →，则点D 表示的复数是( )A ．1－3iB ．－3－iC ．3＋5iD ．5＋3i6．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )7．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2B.2－1 C ．3＋2 2D.2＋1二、填空题8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于________．9．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.10．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，那么BC →表示的复数为________．三、解答题11．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －．12．设O 为坐标原点．已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(其中a ∈R )，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求z 1与z 2的值．13．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．四、探究与拓展14．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．1615．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面上所表示的图形；(2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．答案精析1．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.D8．3i 9.5－9i －8－7i 10.4－4i11．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.12．解 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，所以z 1＋z 2∈R . z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋(2a ＋a 2－15)i ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5≠0且1－a ≠0，a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 13．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. 所以sin B ＝7210.所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.14．C15．解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1， 得A (2＋22，22)，B (2－22，－22)． ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.∵点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上， ∴22<2－ 2. ∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。