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数学高考总复习：三角函数的化简与求值编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：1、了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2、理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3、能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式。
4、理解同角三角函数的基本关系式：。
重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握诱导公式，能利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式进行化简与求值。
难点：利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式知识要点梳理知识点一：任意角1、角的概念的推广：“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角，旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点。
记法：角或∠可以简记成。
2、逆时针方向旋转形成的角为正角；顺时针方向旋转形成的角为负角；射线没有旋转形成零角。
3、角的分类：（1）正角、负角、零角；（2）象限角与轴线角象限角：把角放进直角坐标系中，始边与x轴正半轴重合，终边落在哪个象限，就叫哪象限的象限角。
轴线角：终边落在坐标轴上的角4、终边相同的角：与a终边相同的角的集合可记作：或知识点二：度量角的制度角度制与弧度制1、角度制：周角的叫做1度的角，用度做量角单位。
2、弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
圆心角的弧度数的绝对值：弧度制的意义在于实现了用实数来度量角。
3、角度制与弧度制的换算：（1）基本公式：；。
（2）4、弧度制中的两个公式：弧长公式：（弧长等于弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积）。
扇形面积公式：（其中l是扇形弧长，R是圆的半径）。
知识点三：任意角的三角函数1、定义：设是一个任意角，角终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是|OP|=r (r ＞0)，那么角的三个三角函数定义如下：sin=, cos=, tan=三角函数定义的本质是给“角”这个几何量的代数表达，借助的工具是把角放进直角坐标系中完成的。
三角函数的运算与化简三角函数是数学中常见的一类函数，用于描述角度与边长之间的关系。
它们在几何学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。
在本文中，我将讨论三角函数的运算与化简。
在三角函数中，最常见的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数可以通过定义、图像和特性来进行研究。
首先，我们来看一下这些函数的定义。
正弦函数表示角度与对应的纵坐标之间的关系，其定义为：sinθ = y / r，其中θ是角度，y是对应角度下的纵坐标，r是半径。
余弦函数则表示角度与横坐标之间的关系，其定义为：cosθ = x / r，其中x是对应角度下的横坐标。
正切函数定义为：tanθ = y / x，可以看作是正弦函数与余弦函数的比值。
接下来是三角函数的图像。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅在-1到1之间，周期为2π。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但是平移了一个四分之一个周期。
正切函数的图像也是波浪形状，但是它有垂直渐近线，即在90度和270度处有不连续点。
三角函数还有一些特性需要了解。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期是2π。
正切函数也是周期函数，但它的周期是π。
此外，这些函数都有特定的定义域和值域。
在运算和化简三角函数时，我们可以利用它们的周期性、对称性和特殊角的数值来简化计算过程。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数的和差公式来处理一些复杂的三角函数表达式。
其中，正弦函数的和差公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB；余弦函数的和差公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB。
此外，我们还可以利用双角公式和半角公式来进行三角函数的化简。
双角公式包括正弦函数的双角公式、余弦函数的双角公式和正切函数的双角公式。
半角公式则可以将正弦函数和余弦函数表示为较小角的函数。
除了以上提到的运算和化简方法，我们还可以借助计算工具如计算器或数学软件来进行三角函数的具体计算和化简。
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值在高考数学中，三角函数式的化简与求值是一个很常见的难点。
在解决这一难点时，我们需要掌握一些基本的化简公式和常用的解题技巧。
首先，我们来回顾一下一些常见的三角函数化简公式：1.两角之和的三角函数公式：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinBcos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)2.两角之差的三角函数公式：sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3.倍角的三角函数公式：sin2A = 2sinA·cosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)4.半角的三角函数公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]（在这里需要根据A的范围来确定取正还是取负）掌握了这些基本的化简公式后，我们可以运用它们来解决一些常见的难点问题。
1.求三角函数值：高考中经常会出现需要求一些特定角度的三角函数值的问题。
我们可以通过套用基本的化简公式，将所给的角度化简到我们熟悉的角度（如30°，45°，60°等），然后代入公式求值即可。
例如，要求sin75° 的值，我们可以化简为sin(45°+30°)，然后套用两角之和的公式，得到sin45°·cos30° + cos45°·sin30°。
高考数学专题—三角函数（三角公式的化简与求值）高中阶段三角函数公式主要包括：同角三角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、和差化积与积化和差关系式。
（1）同角三角公式—主要用于正弦、余弦、正切之间的计算与推导（2）诱导公式—将角的三角函数值推广到全体实数（3）两角和差与二倍角公式—研究不同角度之间的公式一、三角函数求值与化简必会的三种方法（常用）(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A ． 例2、cos 150−sin 150cos 150+sin 150=A,−√3 B,0 C√3 D,√33法一：利用两角和差公式，求出cos 150，sin 150因为cos 150=cos (450−300)=cos 450cos 30°−sin 450sin 300=√6+√24同理可得sin 150=√6−√24所以cos 15o −sin 150cos 150+sin 150=√6+√24−√6−√24√6+√24+√6−√24=√33故选D法二:利用利用同角的正弦与余弦平方和为1，求解。
因为sin 150>0，cos 150>0 所以令cos 150−sin 150cos 150+sin 150=t (t >0)t 2=cos 2150−2cos 150sin 150+sin 2150cos 2150+2cos 150sin 15°+sin 215°=1−sin 3001+sin 300=13故选D法三：利用平方差公式，将非特殊角转化为特殊角。
2014高考数学必考热点大调查：热点6三角化简与求值【最新考纲解读】1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念．(2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 【回归课本整合】 一．三角函数诱导公式1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2n πα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号； 2.对于形如3,()22a a k Z ππ±±∈即满足2nπα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变，符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于360的角时，可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时，可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角. 二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±. 变形式：()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式： ()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ；()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点.三．二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；二倍角的正切公式:tan 2α= 22tan 1tan αα- . 2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.注意：在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换.【方法技巧提炼】1. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(),cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.【考场经验分享】 1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k π±α(k ∈Z)的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定三角函数值的正负． 4.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．5.本热点一般难度不大，属于得全分的题目，一般放在选择题的中间位置.但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面，容易一时的思路堵塞，需冷静处理.如果一时想不到化简的方向，可暂且放一放，不要钻牛角尖，否则可能造成心理负担，情绪受到影响.因新课标高考对这个热点考查难度已经降低，同学们应有必胜的信心. 【新题预测演练】1.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知(0,)2πα∈，cos α=cos()6πα+=（ ）A．12 B ．1 C ．12-+ D ．1-4. [2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试]已知，则sin2xBC5.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 已知=3，则tanx 的值是(A)3 (B)—3 (C)2(D)-26.【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 A ．51-B ．51C ．57-D ．579.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于A.552 B.1053- C.552- D.10103-10.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】当0＜x ＜2π时,函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为A ．2B ．32C ．4D ．3412.【2013届河北省重点中学联合考试】已知3sin 25α=(2)2παπ<<，1tan()2αβ-=，则tan()αβ+=（ ）A ．-2B ．-1C ．211-D ．21113.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于 A.1-B.D.114.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】若，则的值是（ ）BCD18.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 已知角a 的终边经过点P(x,- 6),且tan a=35-,则x 的值为 ____.19.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ．20.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知(,2),tan 2,αππαα∈=-=则cos 。
23.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．24.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.。
