4.自主招生专题之三角变换(答案)

专题三：三角函数与三角变换（附参考答案）1.高考要求解读1.1考纲要求：1.1.1三角函数 1.任意角、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能进行弧度与角度的互化。

2.三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性。

（3）正确理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等），理解正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的单调性。

（4）理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ （5）了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响。

（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

1.1.2三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量出两角差的余弦公式。

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系。

2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

1.2考点解读1.2.1考情分析三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个选择题（或填空题）和一个解答题，其中选择题（填空题）一般多为基础题，解答题为中档题。

解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的教会问题。

近年宁夏高考题，命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。

高考中三角函数所占分值大约在10~14分之间。

高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知是方程的两个根，且，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】因为是方程的两个根，所以，因此：因为，所以则或而，则，故选B.【考点】本题主要考查两角和的正切公式。

点评：首先利用韦达定理求出，,再由两角差的正切公式对其进行化简，进一步求角。

此类问题，要注意角的范围。

2.设（）【答案】Ｂ【解析】，故选B。

【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

点评：本题主要找已知角与要求的角的关系：，采取整体思想，再利用两角和与差的正切公式.“变角”是常用技巧之一，属常考题型。

3.求【答案】【解析】。

【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意“1”的代换，配凑公式。

4.若，则＝（）A．B．C．D．【解析】因为，所以=，即，cos=，所以=，故选B。

【考点】本题主要考查“倍半公式”、诱导公式、同角公式的应用点评：此类问题，主要是通过三角恒等变换先“化一”，再求值。

5.若，则_________；＝___________.【答案】3，【解析】因为，所以，，所以3【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：解题过程中，注意观察已知与所求的差异，灵活选用公式，通过变名、变角、变式，达到解题目的。

6.化简的结果为____________.【答案】【解析】=【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用。

点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。

解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。

7.已知，求①的值；②.【答案】（1），，（2）【解析】（1）由，得，，（2）=【考点】本题主要考查“万能公式”、两角和与差的正弦公式的应用点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。

解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。

8.若，则（）A．B．C．D．【解析】因为，所以即故选B。

【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

专题5.4 三角恒等变换1．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点()2cos80,2sin 80A ︒︒，()2cos 20,2sin 20B ︒︒，那么AB =（ ）A ．2B．C．D ．4【答案】A 【解析】利用利用两点间的距离公式求得AB .【详解】AB ==2====.故选：A2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若sin α=13，则cos2α=（ ）A ．89 B ．79 C ．―79 D ．―89【答案】B 【解析】cos2α=1―2sin 2α=1―29=79故答案为B.3．（2021·商丘市第一高级中学高三月考（文））已知2sin 21sin 22πθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan θ的所有取值之和为（ ）A ．－5B ．－6C ．－3D ．2【答案】D练基础利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，即得tan θ的可能取值，求和即可.【详解】依题意得，2cos 21sin 2θθ-=+，即()()2222sincos sin cos θθθθ-=+，即()()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-=+，故sin cos 0θθ+=或()2sin cos sin cos θθθθ-=+，所以sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，可得tan 1θ=-或tan 3θ=，所以tan θ的所有取值之和为2．故选：D.4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）已知()0,απ∈，且1cos 23α=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 【答案】A 【解析】由余弦的二倍角公式，先求出2sin α的值，结合角α的范围可得答案.【详解】由21cos 212sin 3αα=-=，可得21sin 3α=又()0,απ∈，则sin α=故选：A5．（2022·河南高三月考（理））若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos sin 210αα-=，则tan α=（ ）A ．-7B ．13C ．17-D ．-7或13【答案】A 【解析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；解：因为23cos sin 210αα-=，所以2222cos sin 2cos 2sin cos 31sin cos 10ααααααα--==+，所以212tan 3tan 110αα-=+，得23tan 20tan 70αα+-=，则tan 7=-α或1tan 3α=，又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan 7=-α.故选：A6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设2sin 46a =︒，22cos 35sin 35b =︒-︒，2tan 321tan 32c ︒=-︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a 的范围；利用二倍角公式化简b 、c ，结合函数单调性，可得到b 、c 的大致范围；从而，可以比较a 、b 、c 的大小.【详解】因为sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，所以有222sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，即222sin 46<︒<，所以1324a <<；因为222cos 35sin 3512sin 35︒-︒=-︒，而sin 30sin 35sin 45︒<︒<︒，所以有211sin 3542<︒<，所以21012sin 352<-︒<，即102b <<；因为22tan 3212tan 321tan 641tan 3221tan 322︒︒=⨯=︒-︒-︒，而tan 64tan 60︒>︒=所以c >显然，b a <，而22233(44c >=>，所以34c >，即c a>所以b a c <<故选：D7．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数()22sincos f x x x x ωωω=+(0>ω)的最小正周期为π，关于函数()f x 的性质，则下列命题不正确的是（ ）A ．1ω=B ．函数()f x 在R 上的值域为[]1,3-C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图象的对称轴方程为3x k ππ=+(k ∈Z )【答案】D 【解析】首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.【详解】解：函数()22sincos f x x x xωωω=+1cos 222sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，所以1ω=，故A 正确；故()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于B ：由于x ∈R ，所以函数()f x 的最小值为1-，函数的最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，故B 正确；对于C ：当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：当262x k πππ-=+，()k Z ∈时，整理得23k x ππ=+(k ∈Z )为函数的对称轴，故D 错误.故选：D .8.（2020·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.9．（2021·贵溪市实验中学高二期末）tan 42tan1842tan18︒+︒︒︒的值是___________.【解析】由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒进行转化，可得答案.【详解】解：由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒)tan18tan 421tan18tan 42∴︒+︒=-︒⋅︒tan18tan 42tan 42∴︒+︒︒⋅︒=.10．（2021·山东高三其他模拟）若tan()4πα-=，则3cos 22απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________________．【答案】﹣817【解析】先用诱导公式化简，再根据二倍角及22sin cos 1a a +=变形，再求值即可.【详解】解：因为tan （π﹣α）＝﹣tan α＝4，2sin 3x =-cos 2x =1922281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=19所以tan α＝﹣4，则cos （2α＋32π）＝sin2α＝2sin αcos α＝222sin cos sin cos a a a a +＝22tan 1tan a a+＝﹣817．故答案为：﹣817．1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）(sin 40tan10-=（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D 【解析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 40sin 402(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin -︒︒⋅-︒==︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-2．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，练提升它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．ABCD【答案】A 【解析】分别用SA 和θ表示出AB 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设O 为正八棱锥S ABCDEFGH -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，取AB 的中点M ，连接SM 、OM ，则OM 是底面内切圆半径R ，如图所示：设侧棱长为x ，底面边长为a ，由题意知2ASB θ∠=，ASM θ∠=，则12sin axθ=，解得2sin a x θ=；由底面为正八边形，其内切圆半径OM 是底面中心O 到各边的距离，AOB V 中，45AOB ∠=︒，所以22.5AOM ∠=︒，由22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，解得tan 22.51︒=，所以12tan 22.512aa R R==︒=-，所以2sin 12x R θ=-，解得x R =，．故选:A ．3.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若，则的值为( )3cos 22sin()4παα=-(,)2παπ∈sin 2αA ．B ．C ．D．【答案】C 【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以所以，两边平方得，所以，故选：C4．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____..【解析】由，得，解得，或.79-793cos 22sin()4παα=-3cos 22(sincos cossin )sin )44ππααααα=-=-223(cos sin )sin )αααα--3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+--(,)2παπ∈cos sin 0αα-≠3(cos sin )αα+cos sin αα+=212cos sin 9αα+=7sin 29α=-tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=tan 2α=1tan 3α=-，当时，上式当时，上式综上，5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数2ππ()sin 6212x f x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,]m 上恰有10个零点，则m 的取值范围是________________．【答案】55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再转化为图象与x 轴交点个数问题.【详解】∵()2ππππsin sin 1cos 621266x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 6x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π()02sin 06f x x ⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭，∵()f x 在[0,]m 上恰有10个零点，sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭tan 2α=22221221⎫⨯+-⎪+⎭1tan 3α=-22112133113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 06x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]m 上恰有10个解，∴π9π10π6m -<…，解得55π61π66m <…，故答案为：55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭．6．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+.若存在0x R ∈，对任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥成立.给出下列两个命题：（1）对任意x ∈R ，不等式()02f x f x π⎛⎫+⎪⎝⎭≤都成立.（2）存在512πθ>-，使得()f x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】由辅助角公式可得()5sin(2)f x x ϕ=+，由题意可得0x 是()f x 的最小值点，()f x 关于0x x =对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．【详解】解：函数()3sin 24cos 25sin(2)f x x x x ϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且3cos 5ϕ=，由题意，0x 是()f x 的最小值点，所以()f x 关于0x x =对称，因为()f x 的最小正周期22T ππ==，所以0()2f x π+为最大值，所以任意x ∈R ，0()(2f x f x π+…，故（1）正确；因为函数()f x 在()00,2x k x k k Z πππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，取4πθ=-，则00005,,1242x x x x πππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ü，所以()f x 即在005,124x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，故（2）正确；故答案为：（1）（2）7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，若3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos αβ-=___________.【答案】【解析】根据,αβ的范围确定,33ππαβ--的范围，然后求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()cos αβ-变形为cos 33ππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3312πππα-<-<-，2336πππβ-<-<-，又3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 032πβ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴2332πππβ-<-<-∴4cos 35πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，sin 3πβ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴()cos cos 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭413525⎛⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=.故答案为：.8．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为35，则点P 的横坐标为___________.【答案】【解析】首先设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，根据题意得到cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据cos cos 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解即可.【详解】由题意设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭，从而点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，即Q 点坐标为cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，∵3cos 045πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴,424πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，则4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455=-=所以点P 的横坐标为故答案为：9.（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知，，，则02πα<<4sin 5α=1tan()3αβ-=-tan β=_________.【答案】3 【解析】因为，，所以，所以，因为所以，，故答案为：3；.10．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在①6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，②12π是函数()f x 的一个零点，③函数()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数1()2sin cos (02)62f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，__________，求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析；单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)6f x x πω=-，=3202πα<<4sin 5α=3cos 5α===sin 4tan cos 3ααα==1tan()3αβ-=-tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+-415()33334151()339--===+⨯-sin tan 33cos sin 1tan 132βββββ---====---32若选①，利用正弦函数的对称性可得362k πωπππ--=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(26f x x π=-；若选②，由题意可得2126k ππωπ⨯-=，可得61k ω=+，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(2)6f x x π=-；若选③，可求22T ππω==，可得1ω=，可得()sin(2)6f x x π=-，利用正弦函数的单调性，结合22x ππ-……，即可求解()f x 在[2π-，]2π上的单调递减区间．【详解】解：11()2sin cos 2sin cos cos sin sin 62662f x x x x x x πππωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 2x x x ωωω=+-12cos 22x x ωω=-sin x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭26．①若6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，则362k πωπππ--=+，k Z ∈，即233k πωππ-=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，∴当1k =-时，1ω=，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．②若12π是函数()f x 的一个零点，则2126k ππωπ⨯-=，即66k ππωπ=+，k Z ∈，得61k ω=+，k Z ∈．又02ω<<，∴当0k =时，1ω=，所以，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．③若()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π．则22T ππω==，故1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得536x ππ≤≤，令1k =-，得236k ππ-≤≤-，又22x ππ-≤≤，所以()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．1．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．2．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】练真题由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】=4．（2019·全国高考真题（文理））已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．BCD【答案】B 【解析】，．，又，，又，B ．5.（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-π2152sin 2cos 21α=α+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭sin 0,2sin cos α>∴α=α22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5∴α=α=sin 0α>sin α∴=【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.6．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 【答案】B 【解析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：B.。

三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。

如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

2,三角函数恒等变形的基本策略。

(1 )常值代换：特别是用"1”的代换，如 仁cos 2 0 +sin 2 0 =tanx • cotx=tan45 °等。

2 2 2 2 2 2(2)项的分拆与角的配凑。

如分拆项： sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x ;配凑角：a = (a+3)_3,3 =—2 (3)降次与升次。

(4)引入辅助角。

2 (4)化弦(切)法。

asin 0 +bcos 0 = • a b sin( 0 + )，这里辅助角 所在象限由a 、b 的符号确定， 角的值由tan=—确定。

a1.已知 tanx=2,求 sinx , cosx 的值.解：因为tan xsin x ，又 sin x + cos x=1 ,cosxsinx 2 cosx联立得Ex Ex 1解这个方程组2亦.sinxsin x5J5， cosx cosx 5 2.55 .5~5tan( 120 )cos(210 )sin( 480 )2.求——的值.tan( 690 ) sin( 150 ) cos(330 )解：原式tan( 120 180 ) cos(180 30 )sin( 360 120 ) tan( 720 30o )sin( 150 )cos(36030 )tan 60 ( cos30 )( sin 120 ) tan30 ( sin 150 )cos302,解：法一：因为 sinx cosx 2, si nx cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),得到sinx= — 3cosx ,又sin 2x + cos 2x=1，联立方程组，解得所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),sin x3 .10 sinx 3.10 10 1010,-.10， cosx 10 cosx 10所以 sin xcosx310法 因为卄 sin x cosx 3.若sin x cosx2,，求 sinxcosx 的值.sin x cosx sin x cosxf(x)取最小值为 2 所以(sinx — cosx)2=4(si nx+ cosx)2, 所以 1 — 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx ,所以有 sin x cosx 4.求证： 证明：法二: 10tan x sin x=tan x — sin x . 法 ：右边一 tan 2x — sinknan 2x — (tan 2x cos 2x)=tan 2x(1 — cos 2x)=tan 々 sin 2x , 冋题得证.左边 =tan 2x sin 2x=tan 2x(1 — cos 2x)=tan 2x — tan 2x c os 2x=tan 2x — sin 2x ,问题得证. x n 5.求函数y 2sin( )在区间[0, 2 ]上的值域.2 6解：(1)y=sin 2x — cosx + 2 = 1 — cos 2x — cosx + 2= — (cos 2x + cosx) + 3,利用二次函数的图象得到 y [1 d].，4(2)y = 2sinxcosx — (sinx + cosx)=(sinx + cosx)2— 1 — (sinx + cosx)，令 t=sinx + cosx 、. 2 , sin(x J ，则4t [2, 2 ]则，y t 2 t 1,利用二次函数的图象得到y [ —,1.2].47.若函数y=Asin@x 妨(3>0, $>0)的图象的一个最高点为(2^. 2)，它到其相邻的最低点之间的图 象与x 轴交于(6, 0),求这个函数的一个解析式.1 解：由最高点为(2,、、2),得到A ,2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是 14个周期，这样求得T 4 , T=16，所以 n48又由血 於sin(上2)，得到可以取-.y J2sin(-x -).848 48.已知函数 f(x)=cos 4x — 2sinxcosx — sin 4x .n(i )求f(x)的最小正周期；(n )若x [0,—],求f(x)的最大值、最小值.21 sin x数y的值域.3 cosx解：(I )因为 f(x)=cos 4x — 2sinxcosx — sin4x = (cos 2x — sin 2x)(cos 2x + sin 2x) — sin2x (cos 2 x sin 2 x) sin 2x cos2x解: 因为O W x < 2 n,所以 n xn-6 2nin 由正弦函数的图象,6 6si n (x £ [2 6 y €[ — 1, 2]. 6.求下列函数的值域. (1)y = sin 2x — cosx+2;得到 所以 討,(2)y = 2sin xcosx — (sinx + cosx).令 t=cosx ，则 t [ 1,1], y (t 2t) 3(t A 213(t1)213sin 2x 2s in(n2x) 、2s in (2x —)4 4所以最小正周期为n(n )若x [0,丄]，则(2x )[，-],所以当x=0时，f(x)取最大值为'• 2 sin( ) 1;当x —时,2 4 4 4 4 8f(x)取最小值为 2说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过o 3 .已知函数 f (x) 4sin x 2sin 2x(1 )求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x 的集合; (2)证明：函数f (x)的图像关于直线x 卫对称。

第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3D.32答案 B解析 利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.5． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.题型一 三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 答案 (1)D (2)－5665解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.(2)因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)>0.易得cos(α＋β)＝45.又π2<β－π4<3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4<0， 易得cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33B ．－33C.539D ．－69答案 C解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2<β<0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. (2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案 －142解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)．∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12，两边平方得1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＋sin α＝cos α＋sin α2＝1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142. 题型二 解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B 的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角B . 解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，又0°<B <180°，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°. 反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3.(2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.题型三 解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．审题破题 首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB 的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断． 解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝162＋102－2×16×10cos C ．①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D＝142＋142－2×142cos C ．② 由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，整理可得cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以∠C ＝60°. 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形， 即AB 的长度是14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低．反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，b ＝1，S△ABC＝3，求a 的值．规范解答解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.[3分] 当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z .∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分]∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，∴kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.[7分](2)f⎝⎛⎭⎪⎫A2＝sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π6＝1，在△ABC中，0<A<π，π6<A＋π6<76π，∴A＋π6＝π2，A＝π3.由S△ABC＝12bc sin A＝3，b＝1，得c＝4.[9分]由余弦定理得a2＝42＋12－2×4×1×cosπ3＝13，故a＝13.[12分]评分细则(1)f(x)没有化成sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωx＋π6的得1分；(2)k∈Z没写的扣1分；(3)得出A＝π3的给1分．阅卷老师提醒(1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力．(2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成y＝A sin(ωx＋φ)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题．(3)解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围．1．已知cosπ－2αsinα－π4＝－22，则sin α＋cos α等于( )A．－72B.72C.12D．－12答案 D解析cosπ－2αsinα－π4＝－cos 2αsinα－π4＝sin2α－π2sinα－π4＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－22，∴sin α＋cos α＝－12，故选D.2． (2012·江西)已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 3． (2013·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于 ( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC 得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.4． 设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( ) A ．2B. 3C ．1D.33答案 C解析 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cosα(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，∵β为锐角，∴cos β＋sin β≠0，因此有cos α＝sin α， 从而tan α＝1.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B sin B ，∴sin B ＝32.又∵0＜B ＜π，∴角B 为π3或2π3.故选D. 6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为( )A.π3 B.π4C.π6D.2π3答案 A解析 由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4，所以B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵0<A <3π4，∴π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.故选A.专题限时规范训练一、选择题1． 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 2． (2013·四川改编)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是( )A. 3 B ．2 3 C.32D.12答案 A解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.3． 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 由题意知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝32.又0°<C <90°，∴C ＝60°.4． 在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定答案 B解析 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形，选B.5． 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255答案 A解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.572答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝327，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7． 函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 C解析 f (x )＝sin 2x －2sin 2x sin 2x ＝sin 2x (1－2sin 2x )＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，所以函数的周期为T ＝2πω＝2π4＝π2，选C.8． 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题9． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A－C )＝sin B ，则△ABC 的面积为________． 答案3解析 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝sin(A ＋C )－sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝2cos A sin C . ∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ≠0，∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.10．设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，则sin α－cos 2α＋1tan α的值为________． 答案14＋5250解析 方法一 由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. 所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210，所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325， 两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案 2π3解析 应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.12．给出下列四个命题：①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ； ②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π； ④函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是________． 答案 2解析 ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确； ②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3知，函数的最大值为2，正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin 2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误． 三、解答题13．(2013·安徽)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝4ab cos C ，且c 2＝3ab .(1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(ωx －C )－cos ωx (ω>0)，且直线y ＝3与函数y ＝f (x )图象相邻两交点间的距离为π，求f (A )的取值范围． 解 (1)由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∵a 2＋b 2＝4ab cos C ，c 2＝3ab ， ∴4ab cos C －3ab ＝2ab cos C ，cos C ＝32. 又∵0<C <π，∴C ＝π6.(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin(ωx －π3)．由已知2πω＝π⇒ω＝2，则f (A )＝3sin(2A －π3)，∵C ＝π6，∴0<A <5π6，－π3<2A －π3<4π3.∴根据正弦函数图象知－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1， ∴－32<f (A )≤ 3。

简单的三角恒等变换[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式及其推导(1)2S α：sin α2＝± 1－cos α2； (2)2C α：cos α2＝± 1＋cos α2； (3)2T α：tan α2＝± 1－cos α1＋cos α(无理形式) ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)． 思考1 试用cos α表示sin α2、cos α2、tan α2. 答案 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2， ∴2sin 2α2＝1－cos α，∴sin 2α2＝1－cos α2， ∴sin α2＝± 1－cos α2； ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝± 1＋cos α2； ∵tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α21＋cos α2＝1－cos α1＋cos α， ∴tan α2＝± 1－cos α1＋cos α. 思考2 证明tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2， ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2. (1)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； (2)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；(4)3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．答案 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)．题型一 半角公式的应用例1 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2. 解 sin α2＝± 1－cos α2＝± 1－132＝±33， cos α2＝± 1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.跟踪训练1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2. 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二 三角恒等式的证明例2 (1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2.(2)求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x . 证明 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ ＝2＝右边．所以原等式成立．(2)原式＝2sin x cos x (2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2)(2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2) ＝2sin x cos x 4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2) ＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x＝右边． 所以原等式成立．跟踪训练2 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 证明 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝tan x 2＝右边． 所以原等式成立．题型三 与三角函数性质有关的综合问题例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝ 12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22. 此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π4)＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4. ∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4， 即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．构建三角函数模型，解决实际问题例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．分析 解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR 、PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．解 如图连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ.所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12. 所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 2．下列各式与tan α相等的是( )A. 1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α 3．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的最大值等于( ) A.12 B.32C ．1D ．2 4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋ 1－sin α1＋cos α＋1－cos α.5．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－ 1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－ 1＋cos α2 D. 1＋cos α22．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010 C.310 3 D ．－354．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2二、填空题7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10．sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．三、解答题11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值．13．已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．当堂检测答案1．答案 A解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 3．答案 A解析 ∵f (x )＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2 ＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－12. ∴f (x )max ＝12. 4．解 原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2| ＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 5．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314. 所以f (x )max ＝7.课时精练答案一、选择题1．答案 C 2．答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x . 3．答案 B解析 由题意知α2∈(34π，π)， ∴sin α2>0，sin α2＝ 1－cos α2＝1010. 4．答案 B解析 ∵f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78， ∴T ＝2π4＝π2. 5．答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b .6．答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12. 二、填空题7．答案 π解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 8．答案 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780. 9．答案 3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)． ∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝1－cos (180°－α)sin (180°－α)＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10．答案 34解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 三、解答题11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.12．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－453. ∴32sin α＋12cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410. 13．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。

由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。

2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。

高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。