2016-2017年江苏省南京市鼓楼区高一(上)期中数学试卷及参考答案

高一上期期中试卷数学 2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 设全集{}1,3,5U =，集合{}1,5A =，则U C A = .2. 函数y = . 3.设集合{}{}1,2,2,A B a ==，若{}1,2,4A B =，则a = .4.已知映射{}{}:,1,3,,,,f A B A B a b a b →==是实数，对应法则2:f x x →，则a b +的值是 .5．函数23y x =-+的最小值是 .6.已知函数()f x 满足()123f x x +=+，若()3f m =，则m = .7.若函数()y f x =的图象与函数1x y e -=的图象关于y 轴对称，则函数()y f x =的解析式是 .8.若幂函数n y x =（n 是有理数）的图象经过点()8,4和()8,m -，则m = .9.若lg 2,lg3a b ==，则5log 12=为 .（用,a b 表示）10.设集合{}{}|45,|21A x x B x a x a =≤<=<≤-，若A B A =，则实数a 的取值范围为 .11.设()2,01,0x a x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，若()f x 是单调函数，则a 的取值范围为 .12.若函数22ax y x +=+在区间()2,-+∞上是增函数，则a 的取值范围为 . 13.设函数()f x 满足()()1f x f x +=对一切实数x 恒成立，若01x ≤<时，()2x f x =，则()2log 12f = .14.下列说法中，正确的是 .（填序号）①若函数()f x 满足()()1f x f x <+对一切实数x 成立，则()f x 是增函数； ②若函数满足()()f x f x -<对一切实数x 成立，则是奇函数或是偶函数； ③若函数()f x 满足()()11f x f x -=+对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称；④若函数()f x 满足()()11f x f x -=-对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）设集合{}{}2|9,,|2.A x x x Z B x x a =<∈=>（1）若1a =，写出A B 的所有真子集；（2）若A B 有4个子集，求a 的取值范围.16.（本题满分14分）设a =（1（2a =-，求b 的值.17.（本题满分14分）设()()lg 5.f x x =-（1）若()()()23101010f k f f =⨯，求k 的值；（2）若()()211f m f m -<+，求实数m 的取值范围.18.（本题满分16分）设()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，(),,0.1k f x k R k x =∈≠+. （1）当1k =时，求()f x 的解析式；（2）已知01x <<时，()1f x >恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本题满分16分）已知函数()()()332log 3log 1.f x x x =--+.（1）求()f x 的定义域；（2）当02x ≤≤时，求()f x 的最大值和最小值.20.（本题满分16分）设()33,,x x f x m m x -=+⋅是实数（1）若()y f x =是偶函数，求m 的值；（2）若1x ≥时，()310x f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1m =时，若()3log 32x f x x a ⎡⎤⋅->⎣⎦对一切实数x 恒成立，求a 的最大值.。

2016-2017学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．已知集合{}{}0,,1,2,M x N ==若==N M N M 则},1{ .2．函数y =的定义域是 . 3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)4)(3()4(3)(x x f x x x f ，则(1)f -= . 4．函数x x y 21--=值域为 .5．22log 3321272log 8-⨯+= . 6．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是 .7．方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = .8．对,a b R ∈,记{},max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数{}()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值 是 .9．函数()log 23a y x =-图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 图象上，则()9f = ． 10．函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f . 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .12．函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足))](()([2121x x x f x f --0<对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 .13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= . 二、解答题：(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)15.(本题满分14分)设全集{|5U x x =≤且*2},{|50}x N A x x x q ∈=-+=，2{|120}B x x px =++=且(){1,3,4,5}U C A B ⋃=，求实数,p q 的值.16．(本题满分14分) 已知集合{A x y ==，)}127lg(|{2---==x x y x B ，}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围．17. (本题满分15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示。

金中高一数学一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．）请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置．上． 1．已知集合{}1124=-，，，A ，{}10=-，B ，则=A B ∩ ． 2．已知集合{}|2=≤A x x ，{}|=≥B x x a ，且=R A B ∪，则实数a 的取值范围是 ．3．已知函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()=f x ．4．设()lg 01010>⎧=⎨⎩，，≤x x x f x x ，则()()5-f f 的值是 ． 5．函数()()12log 21=+f x x 的定义域为 ．6．已知函数()31=++f x x x ，若()2=f a ，则()-=f a ．7= ．8．已知函数()f x 是定义R 上的奇函数，当0<x 时，()22=+f x x x ，当0>x 时，()=f x ．9．设12log 4=a ， 3.316⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，0.26=c ，则a ，b ，c 中最大的数是 ． 10．已知函数()()2212=---f x x a x 在区间[]52--，上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．11．已知函数2211⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭f x x x x ，则32⎛⎫ ⎪⎝⎭f f 的值是 ． 12．下列说法：①若{}2|==A y y x ，{}2|2==-B y y x ，则{}11=-，A B ∩； ②函数1=y x是定义域上的减函数； ③若()00≠f ，则()f x 一定不是奇函数；④若{}13=-，A ，{}503=-，，B ，21→-∶f x x ，则f 是从A 到B 的映射．其中正确的是 ．（填写正确的序号）13．已知函数()()ln 0ln 0>⎧⎪=⎨--<⎪⎩，，x x f x x x ，若()()>-f m f m ，则实数m 的取值范围是 ．14．已知函数()22121⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，x kx x f x x x ，若存在a ，∈R b ，且≠a b ，使得()()=f a f b 成立，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共58分．）请把答案填写在答题卡的相应位置上．15．（本题满分8分）设{}2|1==A x x ，{}2|20=-+=B x x ax b ．（1）若2=a 且=∅B ，求实数b 的取值范围；（2）若∅B A 噜，求实数a ，b 的值．16．（本题满分8分）（1）已知32a =，用a 表示33log 4log 6-；（2）11222x x --=，求22144x x x x --+-++的值． 17．（本题满分10分） 已知函数()221x x a f x -=+，a ∈R 为奇函数． （1）求a 的值；（2）用定义证明()f x 是R 上的增函数；（3）求不等式()35f x ≤的解集． 18．（本题满分8分）已知()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，其中0a >，且1a ≠．（1）当2a =时，作出函数()y f x =的示意图，并写出其单调区间；（2）当01m <<时，试比较()f m 与()g m 的大小．19．（本题满分12分）提高南京长江大桥的通行能力，能有效改善南京市的交通状况．研究发现：大桥上的车充速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到230辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20230x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1）当0230x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）若车流速度不低于50千米/小时，试求当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出该最大值（精确到1辆/小时）．20．（本题满分12分）已知()211f x x a x =---，a ∈R ．（1）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）若()0f x ≥对[)1x ∈+∞，恒成立，求a 的取值范围； （3）写出()f x 在[]22-，上的最大值()g a ．（不需要解答过程）参考答案1．{}1 2．2a ≤ 3．3x 4．5-5．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 6．0 7．π1-8．22x x -+ 9．C 10．1a -≥11．174 12．③④ 13．()()101-+∞，，∪ 14．()()23-∞+∞，，∪ 解析：若在a ，b ∈R ，()()f a f b = 考虑相反情况，则函数图像必为，单调有123221k k k⎧⎪⇒⎨⎪-+⎩≥≤≤≥相反，()()23k ∈-∞+∞，，∪ 15．（1）2a =，b ≠∅1640b ∆=-≥∴4b ≤（2）B A ∅噜∴B 中只有一个元素∴22440a b b a -=⇒={}1B =或{}1-∴11a b =⎧⎨=⎩11a b =-⎧⎨=⎩16．（1）3log 2a =3332log 4log 6log 3-= 23log 1=-1a =-（2）11222x x --=124x x -+-=16x x -++=22236x x -++=2234x x -+= 原式30310== 17．（1）1a =（2）证略（3）213215x x fw -=+≤ 15232328x x x +-⋅+⇒≤≤132x x +⇒≤≤18．（1）()2log 1y x =+()10-， ()0+∞， （2）()()()()()()1log 1log 1log 1n m n f m m m g m m -+==+-∴()101m -∈，∴原式()()()111lg 1log 1m m m m -+=-+=+()01m ∈， ∴211m >-所以又有111m m >-+，∴()()()111lg 1log 11m m m m--<=-+ ∴()()f m g m <19．（1）()6002024602023077x f x x x ⎧⎪=⎨-+<⎪⎩≤≤≤（2）∵50v ≥∴24605077x -+≥ ∴055x ≤≤()22602024605577x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+∞⎪⎩≤≤≤ 在()()0202055，，当55x =时，max 2750f =20．（1）0a >为偶，证略（2）[)1x ∈+∞，()210x a x =-≥恒成立1x =成立1x >成立1a >时()211a x x --≤1a x +≤∵1x >∴2x ≤（3）()221111x ax a x f x x ax a x ⎧-+-⎪=⎨+--<⎪⎩≥在[]22-，上最大值因为两段都是开口向上的则最大值必在2x =-，1x =，2x =取到 ()10f =()233f a -=-()23f a =-则max f 为()0f 、()2f -、()2f 中最大值∴max03033303a f aa a a ⎧⎪=-<⎨⎪-<⎩≥≤。

南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高一数学参考答案及评分标准 2017.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2} 2．(－∞，1) 3．2π3 4．－513 5．126．9 7．－148．5 9．c ＜a ＜b 10．1 11．3 12．4 13．(0，13)∪(3，＋∞) 14．(0，14) 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15． 解：（1）因为sin α＋cos αsin α－2cos α＝2，化简得sin α＝5cos α． ……………………………2分 当cos α＝0时不符合题意，所以cos α≠0，所以tan α＝5． ………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sin αcos α ……………………………8分 ＝－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1…………………………………………12分 ＝－ 526． ……………………………………………14分 16．解：（1）因为a ＝(－2，1)，b ＝(3，－4)，所以a ＋b ＝(1，－3)，2a －b ＝(－7，6)， ……………………4分所以(a ＋b )·(2a －b )＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25． ……………………6分（2）由（1）可知a ＋b ＝(1，－3)，且a ＝(－2，1)，所以|a |＝5，|a ＋b |＝10，a ·(a ＋b )＝－5． ……………………9分设向量a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝－22． ……………………11分 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a 与a ＋b 的夹角为3π4． ……………………14分 17．解：（1）依题意，y ＝x (a －2x )(2a －2x )，x ∈(0，1]． ………………………………4分（2）y ＝V (x )x＝(a －2x )(2a －2x ) …………………………………6分 ＝4x 2－6ax ＋2a 2．因为对称轴x ＝34a ，且a ＞2 ，所以x ＝34a ＞32＞1， …………………………8分 所以当x ＝1，y min ＝4－6a ＋2a 2． ………………………12分答：当x ＝1时，y 最小，最小值为4－6a ＋2a 2． …………………………14分18． 解：（1）由T ＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2． 因为点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A ＞0，所以A ＝2．…………2分 此时f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又将点P (π6，2)的坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ． ………………………4分 又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6． 综上，f (x )＝2sin(2x ＋π6)． ………………………6分 （2） 因为x ∈[－π2，0]，所以2x ＋π6∈[－5π6，π6]， ………………………8分 所以sin(2x ＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x ＋π6)∈[－2，1]， 所以函数y ＝f (x )的值域为[－2，1]． ………………………10分（3）y ＝g (x )＝2sin[2(x －θ)＋π6]＝2sin(2x －2θ＋π6)． ………………………12分 因为0≤x ≤π4，所以π6－2θ≤2x －2θ＋π6≤2π3－2θ， 所以⎩⎨⎧π6－2θ≥2k π－π2，2π3－2θ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得－k π＋π12≤θ≤－k π＋π3，k ∈Z ． ………………………14分 因为0＜θ＜π2，所以k ＝0，所以π12≤θ≤π3． ………………………16分 19．解：（1）因为AB →＝CB →－CA →， ………………………2分所以AB →2＝(CB →－CA →)2＝CB →2－2CB →·CA →＋CA →2＝22－2×2×1×12＋12＝3， 所以|AB →|＝3． ………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE →＝12CB →－CA →，CD →＝12(CB →＋CA →)． ……………………6分 所以AE →·CD →＝(12CB →－CA →)·12(CB →＋CA →)＝12×(12CB →2－12CB →·CA →－CA →2) ＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14． …………………8分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为BE →＝λBC →，所以AE →＝CE →－CA →＝(1－λ)CB →－CA →． …………………10分因为AD →＝λAB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝λCB →＋(1－λ)CA →． ……………………12分所以AE →·CD →＝[(1－λ)CB →－CA →]·[λCB →＋(1－λ)CA →]＝λ(1－λ)CB →2＋(λ2－3λ＋1)CB →·CA →－(1－λ)CA →2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12 ＝－3λ2＋2λ＝0． ………………………14分解得λ＝23或λ＝0． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 解法2：由（1）得CA ＝1，CB ＝2，AB ＝3，满足CB 2＝AB 2＋CA 2， 所以∠CAB ＝90︒．如图，以A 原点，AB 边所在直线为x 轴，AC 边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (3，0)，C (0，1)． ……………6分 ①当λ＝12时，AE →＝(32，12)，CD →＝(32，－1)， 则AE →·CD →＝14． ………………………10分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为AE →＝(3(1－λ)， λ)，CD →＝(3λ，－1)，所以AE →·CD →＝－3λ2＋2λ＝0， ………………………14分解得λ＝0或λ＝23． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 20．解：（1）F (x )＝f (x )－g (x )＝x －a －a |x |．①当a ＝12时，由F (x )＝0，得x －12－12|x |＝0． 当x ≥0时，x －12－12x ＝0，解得x ＝1，满足条件． 当x ＜0时，x －12＋12x ＝0，解得x ＝13，不满足条件． 综上，函数y ＝F (x )的零点是1． ………………………2分②F (x )＝0，则x －a －a |x |＝0，即a (1＋|x |)＝x ．因为1＋|x |≠0，所以a ＝x 1＋|x |． ………………………4分 设φ(x )＝x 1＋|x |， 当x ＞0时，φ(x )＝x 1＋x ＝1－11＋x，所以φ(x )∈(0，1)． ………………………6分 因为φ(－x )＝－φ(x )，所以φ(x )是奇函数，所以当x ＜0时，φ(x )∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x ∈R ，φ(x )∈(－1，1)，所以a ∈(－1，1)． ………………………8分（2）设函数h (x )的最大值和最小值分别是M ，N ．因为对任意x 1，x 2∈[－2，2]，| h (x 1)－h (x 2)|≤6成立，所以M －N ≤6． ………………………10分解法1：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当a ＞1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＜0，所以h (x )在(－∞，0)单调减．因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2)，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (0)＝－a ，所以a ＋2－(－a )≤6，解得a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． ………………………12分②当a ＝1时，h (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，－1， x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝3，N ＝h (x )min ＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以 a ＝1符合题意．③当－1＜a ＜1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以(a ＋2)－(a －2)＝4≤6恒成立，所以－1＜a ＜1符合题意．④当a ＝－1时，h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≥0，2x ＋1，x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝1，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝－3，所以1－(－3) ＝4≤6恒成立，所以a ＝－1符合题意． ……………………14分⑤当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以h (x )在(0，＋∞)单调减；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (0)＝－a ，因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2) ，所以N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以－a －(a －2)≤6，解得a ≥－2．又因为a ＜－1，所以－2≤a ＜－1．综上，a 的取值范围为[－2，2]． ……………………16分解法2：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．可知函数的图象是由两条折线段构成．所以函数的M 和N 分别为h (－2)＝－2＋a ，h (0)＝－a ，h (2)＝2＋a 三个值当中的两个． 显然2＋a ＞－2＋a ．当a ≤－1时，2＋a ≤－a ；当a ＞－1时，2＋a ＞－a ．当a ≤1时，－2＋a ≤－a ；当a ＞1时，－2＋a ＞－a ．所以，①当a ＞1时，M ＝2＋a ，N ＝－a ，M －N ＝2＋2a ，因为M －N ≤6，所以a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． …………………12分②当－1＜a ≤1时，M ＝2＋a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝4．因为M －N ≤6恒成立，所以－1＜a ≤1满足条件． …………………14分③当a ≤－1时，M ＝－a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝2－2a ．因为M －N ≤6，所以a ≥－2．又因为a ≤－1，所以－2≤a ≤－1.综上，a 的取值范围为[－2，2]． ………………………16分解法3：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当0≤x≤2，h(x)＝(1＋a)x－a．若a＞－1，则1＋a＞0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是增函数．所以h(x)max＝h(2)＝2＋a，h(x)min＝h(0)＝－a．若a＜－1，则1＋a＜0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(0)＝－a，h(x)min＝h(2)＝2＋a．若a＝－1，h(x)＝1，所以h(x)max＝h(x)min＝1．②当－2≤x＜0，h(x)＝(1－a)x－a．若a＜1，则1－a＞0，所以h(x)＝(1－a)x－a是增函数．所以h(x)＜h(0)＝－a，h(x)min＝h(－2)＝－2＋a．若a＞1，则1－a＜0，所以h(x)＝(1－a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(－2)＝－2＋a，h(x)＞h(0)＝－a．若a＝1，h(x)＝－1，所以h(x)max＝h(x)min＝－1．………………12分显然2＋a＞－2＋a．因为当a≤－1时，2＋a≤－a；当a＞－1时，2＋a＞－a；当a≤1时，－2＋a≤－a；当a＞1时，－2＋a＞－a．………………………14分所以，(Ⅰ)当a＞1时，M＝2＋a，N＝－a，M－N＝2＋2a．因为M－N≤6，所以a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．(Ⅱ)当－1＜a≤1时，M＝2＋a，N＝－2＋a，M－N＝4．因为M－N≤6恒成立，所以－1＜a≤1满足条件．(Ⅲ)当a≤－1时，M＝－a，N＝－2＋a，M－N＝2－2a．因为M－N≤6，所以a≥－2．又因为a≤－1，所以－2≤a≤－1．综上，a的取值范围为[－2，2]．………………………16分。

2016-2017学年江苏省南京九中、雨花四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（2016秋•南京期中）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，5}，则（C u A）∩（C u B）={4}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集和交集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，5}，所以C u A={4，5}，C u B={1，3，4}，所以（C u A）∩（C u B）={4}．故答案为：{4}．【点评】本题考查了补集和交集的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016秋•南京期中）函数f（x）=﹣lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=﹣lg（2﹣x）有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=﹣lg（2﹣x）有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x＞0，解得1≤x＜2，则定义域为[1，2）．故答案为：[1，2）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．3．（2016秋•南京期中）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，16），则实数a的值是4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（2，16），列出方程，求出a的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，16），∴2a=16；解得a=4；故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•南京期中）若函数f（x）满足f（x+3）=2x﹣1，则函数f（x）的解析式：f（x）=2x﹣7．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】设x+3=t，则x=t﹣3，得到关于t 的解析式，即得到f（x）的解析式．【解答】解：设x+3=t，则x=t﹣3，所以f（t）=2（t﹣3）﹣1=2t﹣7，以f（x）=2x﹣7；故答案为：2x﹣7．【点评】本题考查了利用换元法求函数的解析式；属于基础题．5．（2016秋•南京期中）已知f（x）是奇函数，当x＞0 时，f（x）=x3﹣x，则f（﹣2）=﹣6．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】直接利用奇函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）=23﹣2=6，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．6．（2016秋•南京期中）计算：﹣+lg0.01+（0.75）﹣1+ln=﹣．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：原式=4﹣﹣2+﹣1=﹣8+=﹣6﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2016秋•南京期中）设a=log0.60.7，b=ln0.7，c=30.7，则a、b、c 由小到大的顺序是b＜a＜c．（用“＜”连接）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵0=log0.61＜a=log0.60.7＜log0.60.6=1，b=ln0.7＜ln1=0，c=30.7＞30=1，∴a、b、c 由小到大的顺序为b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．8．（2016秋•南京期中）函数y=log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点坐标（4，1）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣3=1，即x=4时，y=1，则函数y=log a（x﹣3）+1的图象恒过定点（4，1）．故答案为：（4，1）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题9．（2016秋•南京期中）函数f（x）=的值域[0，]．【考点】函数的值域．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，根据定义域求出函数y=3﹣x2的值域可得函数f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=，其定义域必须满足3﹣x2≥0，解得：﹣≤x．令y=3﹣x2，在[，]的值域为[0，3]，∴函数f（x）=的值域为[0，]，故答案为：[0，]，【点评】本题考查了复合函数的值域问题，要抓住定义域入手．注意定义域范围．属于基础题．10．（2015春•龙岩期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}，要求函数的单调递增区间，只要求解函数t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减区间即可【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解本题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，写成函数的单调增区间为：（﹣∞，1），是基础题．11．（2016秋•南京期中）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的序号是②③．①若f（﹣4）=f（4），则函数f（x）是偶函数；②若函数f（x）是R上单调减函数，则必有f（﹣4）＞f（4）；③函数f（x）是奇函数，则必有f（﹣4）+f（4）=0；④函数f（x）不是R上的单调增函数，则f（﹣4）≥f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若f（﹣4）=f（4），由于取值不具有任意性，故不能得到函数f（x）是偶函数，不正确；②若函数f（x）是R上单调减函数，则必有f（﹣4）＞f（4），正确；③函数f（x）是奇函数，根据奇函数定义，则必有f（﹣4）+f（4）=0，正确；④函数f（x）不是R上的单调增函数，则f（﹣4）≥f（4），即f（﹣4）＜f（4），函数f（x）是R上的单调增函数，由于取值不具有任意性，故不正确．故答案为：②③．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．12．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是[2，5）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=为R上的增函数，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=为R上的增函数，∴，解得a∈[2，5），故答案为：[2，5）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，正确理解分段函数单调的含义，是解答的关键．13．（2016秋•南京期中）函数f（x）对任意正整数a、b满足条件f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则+++…+的值是1008．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令b=1，得=，由此能求出+++…+的值．【解答】解：∵数f（x）对任意正整数a、b满足条件f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，∴令b=1，得f（a+1）=f（a）•f（1）=2f（a），∴=，∴===…==，+++…+=2016×=1008．故答案为：1008．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣，故答案为：a≤﹣2或a＞﹣．【点评】本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了方程与不等式、函数的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（8分）（2016秋•南京期中）已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，集合C={x|x＞a}．（1）求集合A UC R B；（2）若A∩C≠φ，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（2）由A，C，以及两集合交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，∴C R B={x|x≤0或x≥2}，∴A UC R B={x|x＜1或x≥2}，（2）集合C={x|x＞a}，A∩C≠∅，∴a＜1故实数a的取值范围（﹣∞，1）．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．16．（8分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=（1）作出函数f（x）的图象；（2）直接写出函数f（x）的值域；（3）求f[f（﹣1）]的值．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当x≥0时，函数为y=（）x；当x＜0时，函数为y=（）﹣x=2x，画出指数函数的图象即可；（2）根据图象求出f（x）的值域即可；（3）先求出f（﹣1），再求出f（f（﹣1））的值即可．【解答】解：（1）当x≥0时，函数为y=（）x；当x＜0时，函数为y=（2）﹣x=2x，其图象由y=（）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象合并而成．而y=（）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称，图象如图：（2）由图象可知，值域是（0，1]；（3）f[f（﹣1）]=f（）==．【点评】本题考查函数图象的画法，考查数形结合的数学思想，正确作图是关键．17．（10分）（2016秋•南京期中）已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；（1）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣2，求实数a的值．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）求解得出对称轴x=a，根据二次函数的性质得出a≤﹣1或a≥2，即可判断在在区间（﹣1，2）上是单调函数；（2）不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，则△=4a2﹣4＜0，解得即可；（3）分析函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象和性质，结合函数在区间[1，+∞）的最小值为﹣2，分类讨论，满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，∵f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，∴a≤﹣1或a≥2，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），（2）∵不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，∴△=4a2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1，故a的取值范围为（﹣1，1），（3）：二次函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，当a≤1时，函数在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时函数取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，当a＞1时，函数在区间[1，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，当x=a时函数取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a=，或a=﹣（舍去），综上所述，a=．【点评】本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于中档题．18．（10分）（2016秋•南京期中）某农场种植黄瓜，根据多年的市场行情得知，从春节起的300天内，黄瓜市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示．（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（x）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问从春节开始的第几天上市的黄瓜纯收益最大？并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用；函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用一次函数、二次函数的图象与性质即可得出．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为f（t）=，由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g（t）=（t﹣150）2+100，0≤t≤300；（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=，当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=﹣（t﹣50）2+100，所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=﹣（t﹣350）2+100，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300]上的最大值87.5；综上所述，纯收益最大值为100元，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最答．【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（10分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f （x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1．（1分）当a＞1时，x＞0；（2分）当0＜a＜1时，x＜0．所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．（4分）（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．（6分）因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）．（8分）故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴a x﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1；（3）∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min=﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23．【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（12分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=|﹣1|，其中x＞0（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）若存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域是[0，b]，值域是[ma，mb]（m≠0 ），求实数m的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】（1）去绝对值依据图象求解；（2）（3）问都是根据函数的单调性、定义域、值域的关系，转化为根的分布求解．【解答】解：f（x）=（1））．∵0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增f（x）的单调减区间：（0，1），单调增区间：（1，+∞）；（2）．由函数图象知，0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增∴有两种可能情况：0＜a＜1＜b或1＜a＜b当0＜a＜1＜b时，因f（1）=0，故值域为[0，b]，与值域为[a，b]相矛盾（a＞0）当1＜a＜b时，由图象知，f（a）＜1f（b）＜1另一方面，由y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]得：，∴a，b是方程1﹣=x的两个大于1的实根，又因为方程程1﹣=x没有两个大于1的实根，所以不存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]；（3）∵函数f（x）的值域为[0，+∞）∴m＞0，ma＞mb，∴1＜a＜b，要使函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]，则，即方程有两个大于1的实根，方程mx2﹣x+1=0有两个大于1的不等实根，⇒0＜m＜所以实数的取值范围为（0，）．【点评】本题实际上是考查了分段函数的图象与性质，及一元二次方程根的分布，属于中档题．。

2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a＜b．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P（2017，8）是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x 取值范围为（0，）∪（3，+∞）．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，又因为x＞0递减，f（1）＞f（log3x），|log3x|＞1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，∵f（1）＞f（log3x）∴|log3x|＞1，∴0＜x＜或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为（0，）∪（3，+∞），故答案为（0，）∪（3，+∞）．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得t anα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．。

2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）求值：（log23）（log34）=．4．（5分）计算：=．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））．6．（5分）化简式子的结果是．7．（5分）函数的值域是．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第象限．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为，（按由小到大的顺序排列）．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i＜x＜…＜x n=q）．﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B={0，1，2，4} ．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}2．（5分）函数的定义域为．【解答】解：由2x+1＞0，得x．∴函数的定义域为．故答案为：．3．（5分）求值：（log23）（log34）=2．【解答】解：：（log23）（log34）=．故答案为2．4．（5分）计算：=．【解答】解：分数指数幂的运算，故答案为：5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））1．【解答】解：由题意得：g（1）=3，f（3）=1，∴f（g（1））=f（3）=1．故答案为：1．6．（5分）化简式子的结果是a﹣b．【解答】解：=|b﹣a|=a﹣b，故答案为：a﹣b7．（5分）函数的值域是．【解答】解：∵，∴函数（x∈[﹣3，2]）单调递减，又f（2）=，f（﹣3）=9，∴函数（x∈[﹣3，2]）的值域为，故答案为．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．【解答】解：当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．∴幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．故答案为：二、四．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b，（按由小到大的顺序排列）．【解答】解：根据幂函数y=x0.5是定义域R上的单调递增函数，所以2.30.5＜30.5；又因为指数函数y=3x是定义域R上的单调递增函数，所以30.5＜30.8；所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是；．【解答】解：根据题意，函数y=﹣x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[﹣1，2]上单调递减，则2a≤﹣1，所以，即a的取值范围为；故答案为：．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若，则，即，解可得：＜x＜，即；故答案为：（，）．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是4．【解答】解：等号两边同时取对数，得lg（•y）=lg100=2即，利用换元法，令t=lgy（t∈R），则lgx=8﹣4t，∴lgx•lgy=（8﹣4t）t=﹣4t2+8t=﹣4（t﹣1）2+4，当t=1时，取最大值，最大值为4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）①②④．【解答】解：∵f（x）=3﹣x﹣3x，f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x），∴f（x）=﹣f（﹣x），即函数f（x）=3﹣x﹣3x是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是R上的单调递减函数，y=3x是R上的单调递增函数，由函数单调性的性质，减函数﹣增函数=减函数，∴f（x）=3﹣x﹣3x在R上单调递减．又∵函数值域为R，对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，∴③错误，④正确．∴正确的有①②④．故答案为：①②④．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，①a≤1时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=|2|x﹣3|∈[1，4]，故符合题意；②时，1﹣a＜0，4﹣a＞0且a﹣1≤4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，4﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，4]，故符合题意；③时，1﹣a＜0，4﹣a＞0，且a﹣1＞4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，1﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，1]故不符合题意；④a＞4时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=2a﹣2|x﹣3|∈[2a﹣4，2a﹣1]，故不符合题意．综上所述：（﹣∞，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}；（2）函数y=ln（x+3）的定义域为E={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，由（1）知A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，∴∁E（A∩B）={x|﹣3＜x≤﹣2或x≥﹣1}．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，又由于f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x），故当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=x2﹣6x+10，故：；（2）由题意知：当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，若a≥3，f min（x）=f（3）=1，不符合题意，当0＜a＜3时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1在[0，a]内单调递减，∴f min（x）=f（a）=5，解得：a1=1，a2=5（舍）．综上所述：a=1．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．【解答】解：（1）由题意知：，解得f（x）的定义域为：（1，1），定义域关于原点对称．∵，∴f（x）是奇函数．（2）设h（x）=g（x）﹣3=f（x）+mx3由（1）知，h（x）为奇函数，∴，即，解得：．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【解答】解：（1）当x=30时，y=300×30=9000，∴x=30时，该项目的月处理成本为9000元．（2）当x∈[100，200]时，利润g（x）=200x﹣（﹣10x2+2000x+48000），化简得：g（x）=10x2﹣1800x﹣48000=10（x﹣90）2﹣129000，g（x）为单调递增函数，故此时g（x）＜0，∴该项目不能获利；当x=100时，g min（x）=﹣128000，当x=200时，g max（x）=﹣8000，故补偿金额的范围是[8000，128000]．19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2+3x﹣4，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得：x1=﹣4，x2=1．即函数的零点为﹣4与1；（2）根据题意，设，y2=log3x，如图，两个函数只有一个交点，则方程只有一个解；（3）设，又由f（4）=2﹣log34＞0，，则f（x）在[4，5]必有零点，故k=4．20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a2=4，∵a＞0，∴a=2，b=1，f（x）=2x；（2）函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，代入a=2，b=1得函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，设，∵在（﹣∞，2]上单调递减，y=﹣4x在（﹣∞，﹣2]上单调递减，∴g（x）在（﹣∞，﹣2]上为单调递减函数，∴g min（x）=g（﹣2）=13﹣m，要使g（x）在x轴上方恒成立，即13﹣m＞0恒成立，即m＜13；（3）∵f（x）=2x在[﹣1，3]上单调递增，∴=|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n）﹣f（x n﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=﹣f（x0）+f（x n）=f（3）﹣f（﹣1）=23﹣2﹣1=，∴m的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

第1页（共17页）2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x |x +1＞0}，则A ∩B=．2．函数f （x ）=log 2（1﹣x ）的定义域为．3．函数f （x ）=3sin （3x+）的最小正周期为．4．已知角α的终边过点P （﹣5，12），则cosα=．5．若幂函数y=x a （a ∈R ）的图象经过点（4，2），则a 的值为．6．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm 2．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k 的值为．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx 的图象与y=cosx 的图象的交点个数为．9．若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系用“＜”表示为．10．函数f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，则a 的值为_．11．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若•=﹣2，则•的值为12．已知函数f （x ）对任意实数x ∈R ，f （x +2）=f （x ）恒成立，且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=2x +a ，若点P 是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．设函数f （x ）=﹣3x 2+2，则使得f （1）＞f （log 3x ）成立的x 取值范围为．14．已知函数f （x ）=，其中m ＞0，若对任意实数x ，都有f （x ）＜f （x +1）成立，则实数m 的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos （﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P （，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB 上一点，满足=λ，点E是边CB 上一点，满足=λ．第2页（共17页）①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．第3页（共17页）2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2}．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}．【考点】对数函数的定义域．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．第4页（共17页）【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，第5页（共17页）所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．设，是不共线向量，﹣4与k +共线，则实数k的值为﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．]上的图象如图实数：【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．第6页（共17页）第7页（共17页）故答案为：5．9．若a=log 32，b=20.3，c=log 2，则a ，b ，c 的大小关系用“＜”表示为c ＜a ＜b ．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log 2＜0，∴c ＜a ＜b ．故答案为：c ＜a ＜b ．10．函数f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，则a 的值为1_．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即f （﹣x ）=2﹣x +a•2x =2x +a•2﹣x ，则（2﹣x ﹣2x ）=a （2﹣x ﹣2x ），即a=1，故答案为：111．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若•=﹣2，则•的值为3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为2．【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x ＞3．第8页（共17页）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减∵f（1）＞f（log3x）∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得第9页（共17页）2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m ＜．．故答案为：（0，）二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos （﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos （﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．第10页（共17页）第11页（共17页）【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos ＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．如图，在一张长为2a 米，宽为a 米（a ＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x 米（0＜x ≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x ）表示铁盒的容积．（1）试写出V （x ）的解析式；（2）记y=，当x 为何值时，y最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V （x ）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x 为何值时，y 最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V （x ）=（2a ﹣2x ）（a ﹣2x ）x （0＜x ≤1）；（2）y==（2a ﹣2x ）（a ﹣2x ）=，∵a ＞2，0＜x ≤1，∴x=1时，y 最小，最小值为2（a ﹣1）（a ﹣2）．18．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P （，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=，∴f（x）=2sin（2x +）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x +∈[﹣，]，∴sin（2x +）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，第12页（共17页）可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB 上一点，满足=λ，点E是边CB 上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB 的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，第13页（共17页）第14页（共17页）求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC 中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2﹣2CA•CB•cos ∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x ﹣|x |﹣=0得：|x|=x ﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：第15页（共17页）第16页（共17页）由图可知，当0＜a ＜1时，折线y=a |x |与直线y=x ﹣a 有交点，即函数y=F （x ）存在零点；同理可得，当﹣1＜a ＜0时，求数y=F （x ）存在零点；又当a=0时，y=x 与y=0有交点（0，0），函数y=F （x ）存在零点；综上所述，a 的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h （x ）=f （x ）+g （x ）=x ﹣a +a |x |，x ∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x ＜0时，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a ；当0≤x ≤2时，h （x ）=（1+a ）x ﹣a ；又对任意x 1，x 2∈[﹣2，2]，|h （x 1）﹣h （x 2）|≤6恒成立，则h （x 1）max ﹣h （x 2）min ≤6，①当a ≤﹣1时，1﹣a ＞0，1+a ≤0，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递增；h （x ）=（1+a ）x ﹣a 在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h （x ）=﹣a ）；∴h （x ）max =h （0）=﹣a ，又h （﹣2）=a ﹣2，h （2）=2+a ，∴h （x 2）min =h （﹣2）=a ﹣2，∴﹣a ﹣（a ﹣2）=2﹣2a ≤6，解得a ≥﹣2，综上，﹣2≤a ≤﹣1；②当﹣1＜a ＜1时，1﹣a ＞0，1﹣a ＞0，∴h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递增，且h （x ）=（1+a ）x ﹣a 在区间[0，2]上也单调递增，∴h （x ）max =h （2）=2+a ，h （x 2）min =h （﹣2）=a ﹣2，由a +2﹣（a ﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a ＜1适合题意；③当a ≥1时，1﹣a ≤0，1+a ＞0，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．第17页（共17页）。

2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是．5．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=．7．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．14．（5分）下列说法中，正确的是．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3} ．【解答】解：全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3}．故答案为：{3}．2．（5分）函数的定义域为（1，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则2x﹣2＞0，得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=4．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，a}，A∪B={1，2，4}，∴a=4．故答案为：4．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是10．【解答】解：映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a=12=1，b=32=9，故a+b=10，故答案为：105．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是3．【解答】解：y=|x﹣2|+3≥3，当x=2时，取得等号．故函数y=|x﹣2|+3的最小值是3，故答案为：36．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=1．【解答】解：∵f（x+1）=2x+3=2（x+1）+1，∴f（x）=2x+1，∵f（m）=3，∴2m+1=3，解得m=1，故答案为：17．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是y=e x+1．【解答】解：在函数y=e1﹣x的解析式中，取x=﹣x，可得y=e1+x，又函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）的解析式是y=e x+1．故答案为：y=e x+1．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=4．【解答】解：幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），∴8n=4，解得n=，∴y=；当x=﹣8时，y=m==4．故答案为：4．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【解答】解：log512==．故答案为：．10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为[3，4）．【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∵A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，∴，∴3≤a＜4．故答案为：[3，4）．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：由题意可知f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，a），在[0，+∞）上的值域为[1，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴a≤1．故答案为（﹣∞，1]．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：y′==，∵函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，∴＞0在（﹣2，+∞）上恒成立，∴2a﹣2＞0，即a＞1，故答案为（1，+∞）．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．【解答】解：f（x+1）=f（x），可得函数的周期为1，当0＜x≤1，f（x）=2x，f（log212）=f（log212﹣3）=f（log2）=2=，故答案为：14．（5分）下列说法中，正确的是④．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．【解答】解：对于①，若f（x）=[x]，[x]表示不大于x的整数，显然[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1），而f（x）不是增函数，故①错误；对于②，若f（x）是奇函数或偶函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|，与已知矛盾，故②错误；对于③，若f（1﹣x）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③错误；对于④，若f（1﹣x）=f（x﹣1），则f[1﹣（1﹣x）]=f[（1﹣x）﹣1]，即f（x）=f（﹣x），所以f（x）关于y轴对称，故④正确．故答案为④．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1，B={x|x＞}，A={x|x2＜9，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={1，2}，真子集为∅，{1}，{2}．（2）若A∩B有4个子集，则A∩B中有且仅有2个元素，显然A∩B={1，2}，即1∈B，0∉B，∴0≤＜1，∴0≤a＜2，即a的取值范围是[0，2）．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．【解答】解：由已知得到a==，所以（1）==；（2）=﹣=﹣=﹣3，解得﹣b=9，即b=﹣9．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵10f（k）=10f（2）×10f（3），∴f（k）=f（2）+f（3），∴lg（5﹣k）=lg3+lg2，∴5﹣k=2×3，解得k=﹣1．经过验证满足条件．∴k=﹣1．（2）∵f（x）=lg（5﹣x）单调递减．f（2m﹣1）＜f（m+1），∴2m﹣1＞m+1，5﹣（2m﹣1）＞0，5﹣（m+1）＞0，解得2＜m＜3．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[]=；当x=0时，f（0）=0．∴；（2）由在（0，1）上恒成立，∵x+1＞0，∴k＞x+1在（0，1）上恒成立，∵x+1∈（1，2），∴k≥2．即k的取值范围为[2，+∞）．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）由f（x）有意义得，解得﹣1＜x＜3．∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log3，令g（x）==，则g′（x）==，∵x∈[0，2]，∴（x+1）2﹣16＜0，∴g（x）是减函数，∴g（2）≤g（x）≤g（0）即≤g（x）≤9，∴当g（x）=时，f（x）取得最小值log 3=﹣1，当g（x）=9时，f（x）取得最大值log39=2．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．【解答】解：（1）若y=|f（x）|是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即|3﹣x+m3x|=|3x+m3﹣x|，3﹣x+m3x=3x+m3﹣x，①或3﹣x+m3x=﹣3x﹣m3﹣x，②由①得m=1，由②得m=﹣1．综上m=1或m=﹣1；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，则等价物f（x）+1≥0，即3x+m3﹣x+1≥0，即（3x）2+3x+m≥0恒成立，则m≥﹣[（3x）2+3x]，∵y=﹣[（3x）2+3x]=﹣（3x+）2+，∵x≥1，则3x≥3，∴y≤﹣（9+3）=﹣12，∴m≥﹣12．（3）当m=1时，f（x）=3x+3﹣x，则log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，等价为log3[3x（3x+3﹣x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，即log3[（3x）2+1]﹣2x＞a则log3＞a，∵log3＞log31=0，∴a≤0，即实数m的取值范围是（﹣∞，0]．第11页（共11页）。