2017青岛三模数学理科题及答案

保密★启用并使用完毕前部分学校高三仿真试题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A = ，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是A ．3[,0]4- B ．[ C ．[ D ．2[,0]3-5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,, n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈ 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8(4)π+B ．8(8)π+C ．16(π+ D ．7．B D k 值是A ．4B ．5C ．6D ．7 9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1 C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,4110．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+fmf m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ． 12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=, tan AMC ∠=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AMABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值．18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．OBCPM∙19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈ ．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N *n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e = 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．。

【关键字】试题山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A．B．C．D．2.已知集合，，则（）A．B．C．D．3.直线与曲线围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C. 关于点对称D．关于直线对称5.下列说法错误的是（）A．对于命题，则B．“”是“”的充分不必要条件C.若命题为假命题，则都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（）A．B． C. D．7.点与圆上任一点连线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C. D．8.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（）A．29 B．31 C. 33 D．369.已知双曲线：的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．10.已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数满足，则的最小值为．12.若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为．13.已知，则．14.函数，则．15.在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．17. 如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．18. 已知正项数列满足，且．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角大小为，求线段的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13- 12. 5±13. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-= 1333sin 242S ab C ab ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b += ∴ABC ∆周长为57a b c ++=+.17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ， 在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点， 所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高， 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯11822343323=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-= 又111a =，∴数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列∴121n n a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ 又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = 又3PQ =(3,3)PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又(0,QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c=∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x轴上存在点(,0)Qm ，使得716QA QB =-恒成立. ①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =± ②当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x m ⇒<<，令'()0f x <x m ⇒>，∴()f x 在(0,)m 递增，在(,)m +∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2xu x xe m =-，则'()0xxu x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0mu m m e=->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*） 构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+， 显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<， 则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解， 而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.54. 双曲线22145x y -=的渐近线方程为A．y = B．y x = C．y x = D．y = 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是A ．5B ．7C ．9D ．11 6. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π= B ．3x π= C ．34x π= D ．x π=7.过点(1P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =AB ．2 CD ．48. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则1y w x +=的最小值是A ．2-B ．2C ．1-D ．19. 由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成封闭的平面图形的面积为 A ．329B ．4ln 3-C ．4ln 3+D ．2ln 3- 10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*． 关于函数1()()x xf x e e =*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中所有正确说法的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知2a ib i i+=+（R a b ∈，），其中i 为虚数单位，则a b += ；12. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P a ξ>=，a 为常数,则(10)P ξ-≤≤= ； 13. 二项式621()x x -展开式中的常数项为 ； 14.则该几何体的体积为 ；15. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.左视图（Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若a c +=，b =求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）2013年6月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响．（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;（Ⅱ）若用X 表示该班某一位同学收看的环节数,求X 的分布列与期望．18．（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，24AB BC ==，DE AE CF BF ===，2EF =，//EF AB ，CF AF ⊥.（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）求二面角A BF C --的余弦值.CABDEFG19．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈.20．（本小题满分13分）已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率e =2，其一个焦点在抛物线2:C 22y px =的准线上，若抛物线2C与直线: 0l x y -=相切． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹为3C ．若点T 满足：OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r，其中,M N 是3C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，试说明：是否存在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()x g x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ） 当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．青岛市高三统一质量检测 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A C B C D A D B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.1 12.12a - 13.15 14．4 15．34k ≤或54k ≥ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-= ………………………………………………………2分∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=∴1cos()2A C +=-，………………………………………………………………………4分∴1cos 2B =，又0B π<<3B π∴=……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==22()2122a c acb ac +--∴=， ………………………………………………………………8分又a c +=，b =27234ac ac ∴--=，54ac =……………………………10分115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A , 则22333333327()()(1)()44432P A C C =⨯-+=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由条件可知X 可能取值为0,1,2,3,4.31121(0)(1)(1)(1)(1);432336P X ==-⨯-⨯-⨯-=31123112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)432343233112311213(1)(1)(1)(1)(1)(1);4323432372P X ==⨯-⨯-⨯-+-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯⨯-+-⨯-⨯-⨯=311231123112(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4323432343233112311231127(1)(1)(1)(1)(1)(1);43234323432318P X ==⨯⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯-+-⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯=31123112(3)(1)(1)432343233112311223 (1)(1);4323432372P X ==-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-=31121(4);432312P X ==⨯⨯⨯=即X 的分布列…………………………………………………………………10分 X的期望11372319()0123436721872124E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG 因为点G 为FC 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线， 所以//OG AF………………………………………………………………………2分AF ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ， 所以//AF 面BDG (4)分（Ⅱ）取AD 中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则////MQ AB EF ，所以MQFE 共面作FP MQ ⊥于P ，EN MQ ⊥于N ，则//EN FP 且EN FP =AE DE == BF CF =，AD BC = ADE ∴∆和BCF ∆全等，EM FQ ∴=ENM∴∆和FPQ ∆全等，1MN PQ ∴==BF CF =，Q 为BC 中点，BC FQ ∴⊥又BC MQ ⊥，FQ MQ Q = ，BC ∴⊥面MQFEPF BC∴⊥，PF ∴⊥面ABCD …………………………………………………………6分 以P 为原点，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(3,1,0)A ，(1,1,0)B -，(1,1,0)C --，设(0,0,)F h ，则(3,1,)AF h =-- ，(1,1,)CF h =AF CF ⊥ ，203102AF CF h h ∴⋅=⇒--+=⇒=设面ABF 的法向量1111(,,)n x y z =(3,1,2)AF =-- ，(1,1,2)BF =-由111111110320200n AF x y z x y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令11110,2z x y =⇒==1(0,2,1)n ∴=………………………………………………………………………………8分设面CBF 的法向量2222(,,)n x y z =(1,1,2)BF =- ，(0,2,0)BC =-由222222020200n BF x y z y n BC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，令22210,2z y x =⇒==- 2(2,0,1)n ∴=-……………………………………………………………………………10分1212121cos ,5||||n n n n n n ⋅∴<>===⋅设二面角A BF C --的平面角为θ， 则12121cos cos(,)cos ,5n n n n θπ=-<>=-<>=- …………………………………12分19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++= 则24620330a a a a ++++= 则10910(3)23302d d ⨯++⨯= 解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=……………………………………………………4分所以3927q a ==，3q = 所以123n n b -=⋅………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2(13)3113n n n W -==-- 要证1(31)n n n W nW ++≥， 只需证1(31)(31)(31)n n n n ++-≥- 即证：321n n ≥+……………………………………………………………………………8分 当1n =时，321n n =+下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，321n n >+（1）当2n =时，左边9=，右边5=，左>右，不等式成立 （2）假设(2)n k k =≥，321k k >+则1n k =+时，13333(21)632(k+1)+1k k k k +=⨯>+=+>1n k ∴=+时不等式成立根据（1）（2）可知：当2n ≥时，321n n >+ 综上可知：321n n ≥+对于N n *∈成立所以1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈ ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（I）由22220-0y pxy py x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩， 抛物线2:C 22y px =与直线: -0l x y =相切，240p p ∴∆=-=⇒= ……………………………………………………2分∴抛物线2C的方程为：2y =，其准线方程为：x =c ∴=离心率e =，∴c e a ==∴2222, 2a b a c ==-=， 故椭圆的标准方程为221.42x y +=…………………………………………………………5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,)P x y ''，(,)T x y则2x v u y u v '=-⎧⎨'=+⎩1(2)31()3u y x v x y ⎧''=-⎪⎪⇒⎨⎪''=+⎪⎩当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹3C2222111[(2)]2[()]44233u v y x x y ''''∴+=⇒-++= 2 2212x y ''⇒+=3C ∴的轨迹方程为：22212x y += ………………………………………………………7分 由OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r 得212111221212(,)(,)2(,)(,)(2,2),x y x x y y x y x y x x y y =--++=++ 12122,2.x x x y y y =+=+设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y +=…………………………………………9分因为点,M N 在椭圆22212x y +=上，所以22221122212,212x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 2222112212121212(2)4(2)4(2)604(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++所以22260x y +=，从而可知：T 点是椭圆2216030x y +=上的点，∴存在两个定点,F F 12，且为椭圆2216030x y +=的两个焦点，使得TF TF 12+为定值，其坐标为12(F F ． …………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………1分当0a <时，1()()a x a f x x+'=， 若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大 …………………………………………………………4分(Ⅱ) 函数()g x 的导函数()x g x e '=，()x g x e c ∴=+(0)(1)g g e'=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e =……………………………………5分(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立， ∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-成立，令()3h x x e =-，则问题可转化为：max ()m h x <对于()3h x x e =-，(0,)x ∈+∞，由于()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时， 1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<………………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2x x e x ϕ=--， ∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->-=()()2f x g x ∴<- …………………………………………………………………………14分。

12017年第三次全国大联考【新课标III 卷】理科数学·参考答案13．3 14．590490 15．12 16．2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭17．【解析】（Ⅰ）由cos cos 2a B b A +=，根据余弦定理，得222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos cA b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+，又sin B ＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，………4分sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．………………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）因为13sin cos 226x x x x x ⎫π⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以6C π=．………………8分 由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………9分 所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分 所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==………………12分18．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420180240m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分2（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4P435 1835 1235 135所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．【解析】（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AFBG DE ，BG DE =，AF ⊥平面ABCD ，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MHBGAF ，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且ACMH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥．………………5分（Ⅱ）由题意，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设1AB AF BG DE ====，………………6分则()0,0,1E ，()1,0,1F ，()1,1,1G ，()0,1,0C ，()1,0,0EF =，()0,1,1EC =-，()1,1,0EG =． …………………………………………………………………7分 设()1111,,x y z =n 为平面FCE 的一个法向量，则由110EF EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得11100x y z =⎧⎨-=⎩，取11y =，得()10,1,1=n ．………………9分3设()2222,,x y z =n 为平面GCE 的一个法向量，则由2200EG EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得222200x y y z +=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1=-n ，………………11分∴1212126cos ,||||323⋅===⋅⨯n n n n n n ， ∴二面角F CE G --的余弦值为6．………………12分20．【解析】（Ⅰ）由题意，得63c a = ①，且12||2F F c =，21||b PF a=，则212146||||2b F F PF c a ⋅=⋅= ②．………………2分由①②联立，并结合222a b c =+，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．………………4分 （Ⅱ）当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为()()20y k x k =-≠，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得()222213121260k x k x k +-+-=．………………5分 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21221213k x x k+=+，212212613k x x k -=+．………………6分 根据题意，假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x ，使得MA MB ⋅的值为定值， 则()()()()101202102012,,MA MB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()222002222120120231210612413x x k x k x x k x x x k x k-++-=+-++++=+．…………7分要使上式为定值，即与k 无关，则()220003121036x x x -+=-，解得073x =，4此时，20569MA MB x ⋅=-=-，………………8分 所以在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……………9分当直线m 与x 轴垂直时，将2x =代入椭圆方程可求得出,A B 的坐标，不妨设,2,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，则161,,,33MA MB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴115()()339MA MB ⋅=-⨯--=-．…………11分 综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()1+∞－，，()()()()2331212111x a af x x x x +-'=+++－＝，………………2分 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；……………3分 当0a >时，若1x ≥，则()0f x '≥，函数()f x 在1,)+∞上单调递增；若11x -<<，则()0f x '<，函数()f x 在(1)-上单调递减．……………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()1-上单调递减，在)1,+∞上单调递增．………………5分（Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………7分而()1224327g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，所以，()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，………………8分 依题意，只需当12,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()11134x f x ++≥恒成立， 即()()1111x f x +≥，即()()1ln 111a x x x +++≥+在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5亦即()()()211ln 1a x x x ≥+-++在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．………………9分 令()()()2()11ln 1h x x x x =+-++2,13x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()()()21ln 1h x x x x '=--++，………9分显然(0)0h '=， 当2,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， 0x ->，()()21ln 10x x ++<，()0h x '>，即()h x 在2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增；………………10分当(]0,1x ∈时，0x -<，()()21ln 10x x ++>，()0h x '<，即()h x 在区间(]0,1上单调递减； 所以，当0x =时，函数()h x 取得最大值(0)1h =，………………112分 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分 （Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>，（当且仅当2a=时等号成立）……………7分()110b b=-+≥>，（当且仅当2b=时等号成立）………………8分()110c c=-+≥>，（当且仅当2c=时等号成立）………………9分则8abc≥≥（当且仅当2a b c===时等号成立），即8abc≥．………………10分67。

青岛市高三统一质量检测理科综合本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共16页。

满分300分。

考试时间150分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（必做，共107分）注意事项：1．第Ⅰ卷共20小题，共107分。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。

相对原子质量：H 1 O 16 Mg 24 S 32 Al 27 Fe 56 一、选择题（共13小题，每小题5分，共65分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A．磷脂是构成细胞膜的重要物质，但磷脂与物质的跨膜运输无关B．吞噬细胞对抗原—抗体复合物的处理离不开溶酶体的作用C．破伤风杆菌分泌外毒素（一种蛋白质）离不开高尔基体的作用D．洋葱根尖分生区细胞的有丝分裂离不开中心体的作用2．下列有关实验的叙述，正确的是A．将发芽的小麦种子研磨液置于试管中，加入斐林试剂，即呈现砖红色沉淀B．探究淀粉酶对淀粉和蔗糖作用的专一性时，可用碘液替代斐林试剂进行鉴定C．绿叶中色素的分离实验中，滤纸条上胡萝卜素扩散最快是因为其溶解度最大D．紫色洋葱鳞片叶内表皮细胞不能发生质壁分离，因而不能用于质壁分离观察实验3．西非地区爆发了埃博拉疫情。

埃博拉病毒(EBV)是一种RNA病毒，侵入人体后发生免疫反应，下列叙述正确的是A．EBV被吞噬细胞特异性识别，产生特异性免疫反应B．EBV刺激T细胞分泌淋巴因子与该病毒结合C．在T细胞和EBV的共同刺激下，B细胞才能增殖、分化为浆细胞D．细胞免疫产生的效应T细胞可识别并破坏被EBV侵染的细胞4．下图为人体某细胞的生命历程，据图分析下列说法正确的是A．与甲相比，乙中细胞与外界环境进行物质交换的效率低B．①②③三个过程中已经发生了基因突变的是②③C．丁细胞膜上的糖蛋白减少，细胞周期变长D．①②③④过程都能发生转录和翻译5．科学家们在研究成体干细胞的分裂时提出这样的假说：成体干细胞总是将含有相对古老的DNA链（永生化链）的染色体分配给其中一个子代细胞，使其成为成体干细胞，同时将含有相对新的合成链的染色体分配给另一个子代细胞，这个细胞分化并最终衰老凋亡（如下图所示）。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A= 2 2(x, y│)x y 1 ，B= (x, y│) y x ，则A B 中元素的个数为A ．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足(1+i) z=2i，则∣z∣=A ．12B．22C． 2 D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D．各年 1 月至6 月的月接待游客量相对7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳5的展开式中x3 y 3 的系数为4．( x+ y )(2 x- y )A ．-80 B．-40 C．40 D．805．已知双曲线C：2 2x y2 2 1a b(a＞0,b＞0) 的一条渐近线方程为5y x ,且与椭圆22 2x y 12 3 1有公共焦点，则 C 的方程为A ．2 2x y8 101 B．2 2x y4 51 C．2 2x y5 41 D．2 2x y4 316．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是3A ．f(x)的一个周期为-2 πB．y=f(x)的图像关于直线x= 83对称C．f( x+π的)一个零点为x= D．f( x)在( , π单)调递减6 27．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5 B．4 C．3 D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB．3π4C．π2D．π49．等差数列a n 的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则a n 前6 项的和为A ．-24 B．-3 C．3 D．810．已知椭圆C：2 2x y2 2 1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为a b直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为A．63B．33C．23D．1311．已知函数 2 x 1 x 1f ( x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则a=A．12B．13C．12D．112．在矩形ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP = AB + AD ，则+ 的最大值为A．3 B．2 2 C． 5 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7 8 9 94 5 6 4 7 3第2题图高三自主检测数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数ii 21)1(2+-等于A ．5254i --B ．5254i +-C ．5254i -D ．5254i + 2. 如图是2011年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的众数和中位数分别为A ．84，85B ．84，84C ．85，84 D. 85，853. 已知幂函数()af x x =（a 为常数）的图象过点1(2,2，则()f x 的一个单调递减区间是A ． (,0]-∞B ．(,)-∞+∞C ．(1,1)-D ．(1,2)4. 已知)0(54)2sin(ππ<<-=+x x ，则sin 2x 的值为 A ．1225B ．2512-C ．2425 D. 2425-5. 如图所示正三角形中阴影部分的面积S 是(0)h h H ≤≤的函数，则该函数的图象是6. 已知 αβ、是平面， m n 、是直线，给出下列命题 ①若 m m αβ⊥⊂，，则αβ⊥；②若α⊂m ，α⊂n ，// //m n ββ，，则//αβ;③如果 m n αα⊂⊄，， m n 、是异面直线，那么n 与α相交;④若m αβ= ，//n m ，且 n n αβ⊄⊄，，则//n α且//n β.其中正确命题的个数是A ．3 B ．2 C ．1 D ．07. 把函数sin()(0 ||)y x ωϕωϕπ=+><，的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点 的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象解析式为sin y x =，则 A ．26πωϕ==， B ．32πϕω-==， C ．126πωϕ==， D ．1221πϕω==， 8．若偶函数()f x 在,0](-∞上是减函数，则下列关系中成立的是A. 02020(01)(11)(11)f f f (6).<.<. B. 02002(11)(11)(01)f f f ..6..<.<. C. 02020(01)(11)(11)f f f (6).>.>. D. 02020(11)(01)(11)f f f (6).<.<. 9．过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为 A ．3420x y -+=B ．3420x y -+=或2x =C ．3420x y -+=或2y =D ．2x =或2y =10．设0x 是函数()log xb f x a x =-的一个零点，其中011a b <<>，则有 A.0(1,1)x ∈- B.0(0,)x b ∈ C.0(,1)(1,)x b b ∈-- D.0(,1)(0,1)x b ∈-- 11. 在ABC ∆中，31=，P 是BN 上的一点，若m 112+=，则实数m 的值为A ．911 B ．511 C. 211 D. 31112．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)...(2011)f f f f ++++的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该生不能同时选择这两所学校，则该学生不同的选学校方法种数是 ．14． 在ABC Rt ∆中,若90,,C AC b BC a ∠===,则ABC ∆外接圆半径222b a r +=;运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半 径R = ．15．已知),(y x 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，求点),(y x 落在曲线y =与y x =所围成区域内的概率为 ．16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则ab 312+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若函数22()cos ()sin ()sin ([0,])2f x x A x A x x π=+--+∈，求函数()f x 的取值范围.18．（本小题满分12分）某同学报名参加“星光大道”青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，该同学能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试（必须3题全部答完），至少答对2题才能入选.(Ⅰ)求该同学答对试题数ξ的概率分布列及数学期望；(Ⅱ)设η为该同学答对试题数与该同学答错试题数之差的平方，记“函数1()||2xf x η=-在定义域内单调递增”为事件C ，求事件C 的概率． 19．（本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M N 、分别是111 AB AC 、的中点，1MN AB ⊥.(Ⅰ)求实数a 的值并证明//MN 平面11BCC B ；(Ⅱ)在上面结论下，求平面11AB C 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足2121 (22)n n n a a a a a +++=+（其中*N n ∈）,01≠a ,且01≠+-n n a a . (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；(Ⅱ)请比较n a2与n n a a +2的大小，并说明理由. 21．（本小题满分12分）设椭圆 221221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别是12 F F 、，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），若抛物线2:C 21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过12 F F 、点． (Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)设4(0,)5M -，N 为抛物线2C 上的一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于P Q 、两点，求MPQ ∆面积的最大值．22. （本小题满分14分）已知函数()(R)xf x e kx x =-∈正视图 侧视图(Ⅰ)若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若0k >且对任意R x ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)(3)...()(2)n n F F F F n e +⋅⋅>+，*N n ∈高三自主检测数学 (理) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—12 A A D D C B B A C C D C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13． 16 14．15． 61 16．2三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解：(Ⅰ)由sin sin sin a c B b c A C -=-+，得a c bb c a c-=-+………………1分 即222a b c bc =+-，即222bc b c a =+-，所以，222122b c a bc +-=……………3分 由余弦定理，1cos 2A =，因为,0A π<<所以3A π= …………………5分 (Ⅱ)22()cos ()sin ()sin f x x A x A x =+--+22cos ()sin ()sin 33x x x ππ=+--+ 221cos(2)1cos(2)33sin 22x x x ππ++--=-+…………………7分1cos 2sin 2x x =-+…………………9分22113sin sin (sin )224x x x =+-=+-…………………10分 因为[0,]2x π∈，所以sin [0,1]x ∈………………11分由二次函数的图象，所以函数()f x 的取值范围13[,]22-…………12分 18．解：(Ⅰ)依题意，答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3………………1分 则343101(0)30C P C ξ===，12643103(1)10C C P C ξ⋅=== 21643101(2)2C C P C ξ⋅===，363101(3)6C P C ξ=== …………………………5分 其分布列如下：………………………………6分 答对试题数ξ的数学期望：1311901233010265E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………8分 (Ⅱ)η的可能取值为1,9……………9分当1η=时, 11()||()22x xf x η=-=在定义域内是减函数. 当9η=时, 117()||()22x xf x η=-=在定义域内是增函数………………………10分其中 9η=分别是答对题数为0和3的情形，两事件为互斥事件1161()(0)(3)306305P C P P ξξ==+==+==………………………12分19.解: (Ⅰ)由图可知，111ABC A B C -为直三棱柱，侧棱1CC a =，底面为直角三角形，,3,4AC BC AC BC ⊥==以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则13(3,0,0),(0,4,),(,0,)2A B a N a ，所以，3(,2,)22a M ，1(0,2,),(3,4,)2a MN AB a =--=-因为1MN AB ⊥，所以1(0,2,)(3,4,)02aMN AB a =---= 解得：4a =………………………………3分此时，(0,2,2)MN =-- ，平面11BCC B 的法向量(1,0,0)b =(1,0,0)(0,2,2)0MN b =--= MN与平面11BCC B 的法向量垂直，且MN ⊄平面11BCC B所以，//MN 平面11BCC B ……………………………6分(Ⅱ) 平面ABC 的法向量(0,0,1)m =设平面11AB C 的法向量为(,,1)n x y =,平面11AB C 与平面ABC 所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角θ的大小，法向量n 满足:110,0n AC n AB ==………………8分因为11(3,0,0),(0,0,4),(0,4,4)A C B ,11(3,0,4),(3,4,4)AC AB =-=-所以,11(3,0,4)(,,1)340(3,4,4)(,,1)3440n AC x y x n AB x y x y ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-++=⎪⎩所以,430x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，4(,0,1)3n = ………………10分所以, 3cos 5||||m n m n θ===平面11AB C 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为35………………12分 20. (Ⅰ)解： 因为221212n n n a a a a a +=+++ （1） 所以 211121212---+=+++n n n a a a a a （2n ≥） （2）………………1分 所以2n ≥时，（1）－（2）得 ：))((21)(21111---+-+-=n n n n n n n a a a a a a a ………2分变形可得 0))(1(11=+----n n n n a a a a由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a ，即}{n a 是公差为1的等差数列…………4分 在（1）式中取1n =，可得2112121a a =，而01≠a ，故11=a ……………5分 所以1(1)n a a n d n =+-=…………………6分 (Ⅱ)当1n =时, 22222na n n n a a n n ==+=+=；当2,3,4n =时, 22n a n n a a <+；当5n ≥时, 22na n n a a >+…………………8分证明:4n ≤时,计算比较可得结论……………………9分 5n ≥时，采用数学归纳法证明上述结论 i)当5n =时,55222325530a==>+=ii)假设:(5)n k k =≥时结论成立，即22kk k >+(5)k ≥……………10分 则当1n k =+时，有11222222.22()(21)(1)(2)k a k k k k k k k k k ++==>+=+++++-- 2(21)(1)(2)(1)k k k k k =+++++-+当5k ≥时，(2)(1)0k k -+>所以，222(21)(1)(2)(1)(21)(1)(1)1k k k k k k k k k k +++++-+>++++=+++ 即：只要(5)n k k =≥时结论成立，当1n k =+时，结论22na n n a a >+就成立…11分综合i) ii)可得：当5n ≥时, 2222na n n n a a n n =>+=+即：4n ≤时，22n an n a a ≤+5n ≥时, 22n a n n a a >+…………………12分21．解：由题意可知(0,1)B -，则(0,2)A -，故2b =………………1分令0y =得210x -=即1x =±，则12(1,0),(1,0)F F -，故1c =………………2分 所以2225a b c =+=………………3分于是椭圆1C 的方程为：22154x y +=……………4分 (Ⅱ)设2(,1)N t t -，由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--………………5分代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=………6分222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-4280(183)t t =-++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+……………7分故12PQ x =-=215t=+…………………8分设点M到直线PQ的距离为d，则d==9分所以，MPQ∆的面积12S PQ d=⋅2211215tt+=+=10分==当3t=±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意．综上可知，MPQ∆………………12分22．(Ⅰ) k e=,()xf x e ex=-()xf x e e'=-………………1分令()0f x'=，解得1x=………………2分当(1,)x∈+∞时，0()f x>'，所以()f x在(1,)+∞单调递增当(,1)x∈-∞时，0()f x'<，()f x在(,1)-∞单调递减所以, k e=时,函数()f x的单调增区间为(1,)+∞,减区间为(,1)-∞……………4分(Ⅱ)因为(||)f x为偶函数，(||)0f x>恒成立等价于()0f x>对0x≥恒成立当0x≥时，()xf x e k'=-，令()0f x'=，解得lnx k=…………5分（i）当ln0k>，即1k>时，()f x在(0,ln)k减，在(ln,)k+∞增min()(ln)ln0f x f k k k k==->，解得1k e<<，所以1k e<<……………7分（ii）当ln0k≤，即01k<≤时，()0xf x e k'=-≥，()f x在[0,)+∞上单调递增，所以min()(0)10f x f==>，符合，所以01k<≤………………8分综合（i ）（ii ）,若0k >且对任意R x ∈,(||)0f x >恒成立,实数(0,)k e ∈………9分 (Ⅲ) n n x x e e n F e e F e e x F ---+=+=+=)(,)1(,)(111111(1)()2n n n n n F F n e e e e e +-+---+⋅=+++>+………………11分12211(2)(1)2n n n n n F F n e e e e e +-+---+⋅-=+++>+…………………12分…………………………1()(1)2n F n F e +⋅>+……………………13分将上述n 个式子相乘,可得: 所以12(1)(2)()(2)nn F F F n e +>+ ……………………14分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．2 C ．2 D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年全国3卷 理数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】由题意可得：圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，()1,1-- ，则A B I 中有两个元素.2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C 【解析】由题意可得：22,2112i i z z i i =∴===++ . 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A 错误； 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C 【解析】由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=-当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ， 则33x y 的系数为804040-= .5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】学科￥网由题意可得：3,3b c a == ，又222a b c += ，解得224,5a b == ， 则C 的方程为2145x y 2-= . 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调.7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B 【解析】如果，画出圆柱的轴截面11,2AC AB ==，所以3r BC ==，那么圆柱的体积是223314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．8【答案】A 【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-，故选A. 10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6 B ．3C ．2 D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离22d a a b ==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，6c e a ==，故选A. 11．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．2C 5D ．2【答案】A 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+ ，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤21514z -≤+ ，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。