003振动波动习题汇编(答案)

一、填空题1.1一质点做简谐振动的振动方程为0.5cos 3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（SI ），则该质点振动的振幅A = m ，周期T = s ，初相0ϕ= ，1t =s 时的相位ϕ= ，0t =时刻该质点的位置坐标0x = m ，速度方向沿x 轴 （选填“正向”或“负向”）。

1.2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，其振动方程用余弦函数表示，0t =时质点过平衡位置向负向振动，则该振动的初相0ϕ= 。

（初相在(,]ππ−内取值）1.3 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，其振动方程用余弦函数表示，0t =时质点过2Ax =向正向振动，则该振动的初相0ϕ= 。

（初相在(,]ππ−内取值）1.4 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取做0t =，则该振动初相0ϕ= （初相在(,]ππ−内取值）1.5 一水平弹簧振子做简谐振动，已知振动周期3T s =，则质点从平衡位置振动到振幅一半位置处所需的最短时间为 s 。

1.6 一质点在x 轴做简谐振动，振幅4A cm =，周期2T s =，取其平衡位置为坐标原点，若0t =时刻质点第一次过2x cm =处且向x 轴正方向运动，则质点第二次通过2x cm =处的时刻为 s 。

1.7 已知一水平弹簧振子做简谐振动的振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，则该谐振子系统的总能量E = ，以平衡位置为坐标原点，当弹簧振子运动到2Ax =处时的系统的势能P E = ，此时系统的动能k E = ，当弹簧振子处于x = 处时，系统的动能和势能相等。

1.8 两同方向同频率简谐振动的合成，已知振动方程分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=cm t x cm t x )372cos(4)32cos(321ππππ，则合振动的振幅为 cm ，合振动的初相0ϕ=（初相在(,]ππ−内取值）。

1.9 两同方向同频率简谐振动的合成，已知振动方程分别为123cos()654cos()6x t cm x t cmππππ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，则合振动的振幅A = cm ，合振动的初相0ϕ= （初相在(,]ππ−内取值）。

振动、波动练习题振动1. （3380）如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为(A) m k k 212+π=ν ． (B) m k k 2121+π=ν ．(C) 212121k mk k k +π=ν ． (D) )(212121k k m k k +π=ν ． ［ B ］2. （3042）一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ ］3.（5186） 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： (A) )3232cos(2π+π=t x ． (B) )3232cos(2π-π=t x ．(C) )3234cos(2π+π=t x ．(D) )3234cos(2π-π=t x ．(E) )4134cos(2π-π=t x ． ［ ］4. (5181) 一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是 (A) 4f . (B) 2 f . (C) f .(D) 2/f . (E) f /4 ［ ］ 5. （5311）一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是(A) T /4． (B) 2/T ． (C) T ．(D) 2 T ． (E) 4T ． ［ ］ 6. (3030) 两个同周期简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2． (B) 超前π/2．mk 1k 2x o A x A 21ω A 21ω A21-(D) o o o A 21x x x A A x A x ω ωx (cm)t (s)O121x(C) 落后π ． (D) 超前π． ［ ］7. （3009） 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________；(3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______． 8. （3015）在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ______________________________；(b) ______________________________；(c) ______________________________．9.（3553）无阻尼自由简谐振动的周期和频率由__________________________决定．对于给定的简谐振动系统，其振辐、初相由______________决定．10. （3057） 三个简谐振动方程分别为 )21cos(1π+=t A x ω，)67cos(2π+=t A x ω和)611cos(3π+=t A x ω画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线．11. （3816）一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz ．t = 0时x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是_____________________，振动的数值表达式为______________________________．12.（3046） 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为______________________________．13. （3017） 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ．(c)v 0v 0v = 0ωωπtxOt =0t = t π/43. (3072)如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知P 点的振动方程为)cos(0φω+=t A y ，则波的表达式为(A) }]/)([cos{0φω+--=u l x t A y ． (B) })]/([cos{0φω+-=u x t A y ．(C) )/(cos u x t A y -=ω．(D) }]/)([cos{0φω+-+=u l x t A y ． ［ ］4. (3434)两相干波源S 1和S 2相距λ /4，（λ 为波长），S 1的相位比S 2的相位超前π21，在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：(A) 0． (B) π21． (C) π． (D) π23． ［ ］5. (3101)在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动(A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． ［ ］6. (3112)一机车汽笛频率为750 Hz ，机车以时速 90 公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s ）．(A) 810 Hz ． (B) 699 Hz ．(C) 805 Hz ． (D) 695 Hz ． ［ ］二 填空题.7. (本题3分)(3420)一简谐波沿BP 方向传播，它在B 点引起的振动方程为 t A y π=2cos 11．另一简谐波沿CP 方向传播，它在C 点引起的振动方程为)2cos(22π+π=t A y ．P 点与B 点相距0.40 m ，与C 点相距0.5 m （如图）．波速均为u = 0.20 m/s ．则两波在P 点的相位差为______________________．8. (本题3分)(3076)xOu l PyS 1S 2P λ/4P CB图为t = T / 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为______________________________________________．9. (本题5分)(3133)一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ．若如图P 1点处质点的振动方程为)2cos(1φν+π=t A y ，则P 2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________．10. (本题3分) (3291)一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是___________．11. (本题3分)(3587)两个相干点波源S 1和S 2，它们的振动方程分别是 )21cos(1π+=t A y ω和)21cos(2π-=t A y ω．波从S 1传到P 点经过的路程等于2个波长，波从S 2传到P 点的路程等于7 / 2个波长．设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到P 点的振动的合振幅为__________________________．12. (本题4分)(3317)一弦上的驻波表达式为)90cos()cos(1.0t x y ππ=(SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波长为________________，频率为__________________．三 计算题13. (本题8分)(3335)一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：(1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移；x (m)O -0.101u =330 m/sy (m)234xOP 1P 2L 1L 2(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．14. (本题10分)(3410)一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100cos(05.0x t y π-π= (SI) (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长． (2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度． (3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差．15. (本题8分)(5516)平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．16. (本题8分)(3143)如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式；(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．17. (本题8分)(3158)在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为 )]/(2cos[1λνx t A y -π=与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．x (m)100-AP O 2/2A y (m)。

思考题3-1 如何判断简谐振动？3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？ 3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？3-5 振动的能量由什么决定？3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？ 3-7 什么是共振？3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪些量会变化？3-9 波动方程和振动方程有什么区别？ 3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？ 3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？ 3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？ 3-16 什么是多普勒效应？3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？ 参考答案3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动：①ks F -=；②02=+s dtds ω；③)cos(ϕω+=t A s ；3-2 当相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为π的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动.3-3 位移S 轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，沿顺时针方向的夹角取负.一般在2π内，小于π取正，大于π取负.例如，初相位23π，一般取2π-.3-4 因为简谐振动的速度和加速度表达式为),cos(ϕω+=t A sv=)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-t A t A)cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同,有时会一样有时会相反,在一、三象限方向一致,二、四象限方向相反，为正时方向和位移轴的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移2π滞后加速度2π.3-5 振动的能量守恒，能量221kA E =由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来决定.3-6 因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动.简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼.只有欠阻尼的振动具有周期性和重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动.受迫振动和阻尼振动不同，阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越小，而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态，振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变.3-7 当外界振动的频率ω与系统固有频率o ω满足βωω220-=这个关系时，系统的振动振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数β越小共振振幅越大，阻尼系数β越大，共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为零，所以共振振幅趋于无穷大.3-8 机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质.波在不同介质中传播周期保持不变，而波速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同.3-9 振动方程和波动方程都是描写质点的位移.振动方程是描写一个质点随时间的变化规律，而波动方程是描写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数.当波动方程中空间质点的位置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程.3-10 简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大势能为零，在最大位移处，动能为零势能最大.简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不守恒呈周期性的变化，任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的质点获得能量开始振动，振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及远由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程.3-11 当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这种现象称为波的干涉.发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同，相位差恒定.3-12 两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动，在这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波.驻波没有能量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动的特殊波，不是行波.简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和能量，所以有传播方向.3-13 引起人听觉的最低声强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率. 3-14 人耳听觉的频率范围是20-20000Hz ，所以人的听觉范围是20Hz 频率线、20000Hz 频率线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域.人耳最敏感的闻阈频率是1000 Hz -5000Hz.3-15 声强级大的响度级不一定高.例如，有可能30dB 的声音响度级小于10dB 的响度级.在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB 的声音响度级在20-20000Hz 范围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大. 3-16 当波源或者观察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应.3-17 次声波（小于20Hz ）的频率低波长长，超声波(大于20000Hz)的频率高波长短，所以，次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波，超声波不宜在空气中传播，衰减很快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播. 计算题3-1. 作简谐振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初相是多少？⑴在正的最大位移处； ⑵负的最大位移处；⑶平衡位置，向负方向运动； ⑷平衡位置，向正方向运动. 解： )cos(ϕω+=t A sv = )2cos(πϕωω++=t A )cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a⑴ 0,,2=-==ϕωA a A s ; v =0 ⑵ πϕω==-=,,2A a A s ; v =0 ⑶ 2,0,0πϕ===a s ; v =-ωA⑷ 2,0,0πϕ-===a s ；v =ωA3-2. 一简谐振动的振幅为A ，周期为T ，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：（1）物体过平衡位置向s 轴负方向运动；（2）过2A 处向s 轴正方向运动.)sin(ϕωω+-t A解：⑴ 由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为2π±=ϕ，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s 轴正方向运动，由题意得初相为：2πϕ=，振动的表达式为：)22cos()cos(ππϕω+=+=t TA t A s ；⑵ 由旋转矢量图示法可知，物体过2A 处，3πϕ±=，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动，取负号物体必然会向s 轴正方向运动，由题意知向s 轴正方向运动初相为：3πϕ-=，振动的表达式为)32cos()cos(ππϕω-=+=t T A t A s .3-3、 一弹簧振子放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为kg 2.0的物体，设弹簧的劲度系数为1m N 8.1-⋅，求在下列情况下的谐振动方程.（1）将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放.（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅. 解：32.08.1===m k ω1s rad -⋅ ⑴ 将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻向位移的负方向运动，所以，05.0=A m ,0=ϕ. 振动方程为 t s 3cos 05.0=(m)（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅,则 05.0cos 0==ϕA s ，v 0=15.0sin -=-ϕωA ,205.0)315.0(05.022=-+=A (m)，4)305.015.0arctan(πϕ=⨯=，振动方程为 )43cos(205.0π+=t s (m)3-4、质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为T ，当它作振幅为A 的简谐振动时，其振动能量E 是多少？ 解：,2Tπω=22222221A Tm A m E πω==3-5、 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，)324cos(05.01π+π=t s ， )344cos(03.02π-π=t s ，求合振幅的大小是多少？解： πππϕϕϕ∆2)34(3221=--=-=)(08.003.005.021m A A A =+=+= 合振动的振幅为0.08m ．3-6、 弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一，总能量是多少？,若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？解：8121811)3()3(2121222222E A m A m A m E =⨯==''='ωωω总能量是原来的81分之一.∵ 2222222221214)2(2121A m A m A m A m E ωωωω='⨯='=''=' ∴ 2ωω='，即要保持总能量不变，频率必须是原来大小的一半. 3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为61πϕϕ=-，若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅是多少？两个简谐振动的相位差)(21ϕϕ-是多少？ 解：已知61πϕϕ=-,20=A cm, 3101=A cm由矢量关系可知：1006cos 310202310(20)cos(22)21121222=⨯⨯-+=--+=πϕϕAA A A A102=A cm)c o s (2212122212ϕϕ-++=A A A A A )c o s (10310210)310(2021222ϕϕ-⨯⨯++= ,0)21c o s (=-ϕϕ ,...2,1,0,2)12(21=+±=-k k πϕϕ3-8、波源的振动方程为)39t 4cos(04.0s π+π=m ，以2.01s m -⋅无衰减地向 X 轴正方向传播，求：①波动方程，② x =8m 处振动方程；③ x =8m 处质点与波源的相位差.解：① 波动方程]39)2(4cos[04.0]39)(4cos[04.0ππππ+-=+-=x t u x t s (m)② x =8m 处振动方程)39384cos(04.0]39)28(4cos[04.0ππππ-=+-=t t s (m) ③ x =8m 处质点与波源的相位差πππϕϕϕ∆-=--=-=393938123-9、如图3-9图所示一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，求 (1)该波的波动表达式；(2)P 处质点的振动方程.解：从图中可知：04.0=A m, 40.0=λm,08.0=u 1s m -⋅,2πϕ-=508.040.0===uT λ,ππω4.02==T(1) 波动表达式：]2)08.0(4.0cos[04.0ππ--=x t s (m)(2) P 处质点的振动方程．)234.0cos(04.0]2)08.02.0(4.0cos[04.0ππππ-=--=t t s (m) 3-10、 O 1，O 2是两列相干波源，相距2.5λ，O 1超前O 2相位3π，两列波的振幅都是A ，波长为λ，两列波无衰减地传播，P 、Q 分别在O 1，O 2的连线上，P 在O 2的外侧1.5λ，Q 在O 1的外侧2.0λ，求：① O 1，O 2连线中点处质点的振幅？② P 点处质点的振幅？③ Q 点处质点的振幅？解：① πλππλπϕϕϕ∆3023)(2,212121=⨯-=---==x x x x ，021=-=A A A ,所以连线中点处质点的振幅为零. ② πλλππλπϕϕϕ∆25.223)(22121-=⨯-=---=x xA A A A 221=+=P 点处质点的振幅是A 2 ③ πλλππλπϕϕϕ∆8)5.2(23)(22121=-⨯-=---=x xA A A A 221=+=Q 点处质点的振幅是A 23-11、一波源以)9.14cos(03.0ππ-=t s m 的形式作简谐振动，并以1001s m -⋅的速度在某种介质中传播.求：① 波动方程；② 距波源40m 处质点的振动方程；③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相? 解：已知πϕπω9.1,100,4,03.0-====u A ，则① 波动方程为：]9.1)100(4cos[03.0ππ--=x t s (m)② 距波源40m 处质点的振动方程)24cos(03.0]9.1)10040(4cos[03.0ππππ-=--=t t s （m ）③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相?x (m) O -0.040.20 u = 0.08 m/ss(m)P0.400.6002.02203.0)20.14cos(03.0≈⨯=-⨯=ππs (m)v =-02.02203.0)20.14sin(4-≈⨯⨯-=-⨯πππωA (1s m -⋅) πϕ2-=3-12、初相相同的两相干波源A 和B 相距40m ，频率为50Hz ，波速为5001s m -⋅，求两相干波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？解：以A 为坐标原点，A 和B 连线为X 轴，方向由A 向B ：则波程差为 402)40(-=--=-=x x x r r B A δ,1050500===νλu m相干加强的位置λk x ±=-402，)3,2,1,0(520=±=k k x相干减弱的位置2)12(402λ+±=-k x)3,2,1,0)(5.0(520=+±=k k x3-13、沿绳子传播的波动方程为)7310.0cos(05.0πππ+-=t x s m ，求波的振幅，频率，传播速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度.解：]7)30(3cos[05.0)7310.0cos(05.0πππππ--=+-=x t t x s (m)振幅05.0=A m ，频率5.1232===πππωνHz ，传播速度为30=u 1s m -⋅， 波长为205.130===νλu m ，横向最大振动速度v max =1.47)14.33(05.0=⨯⨯=ωA c 1s m -⋅3-14、弦线上驻波相邻波节的距离为65cm ，振动频率为2102.3⨯Hz ，求波长和波的传播速度.解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为130652=⨯=λcm=1.3m416102.33.12=⨯⨯==λνu 1s m -⋅3-15、在空气中某点声波的强度为5100.2⨯2m W -⋅，振幅为2mm ，空气密度1.293m kg -⋅，波速为3441s m -⋅，求波长和平均能流密度.解：① 2221A u I ωρ=42352105.1)102(34429.1100.222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-uA I ρω341039.214.32105.12⨯=⨯⨯==πων4.141039.23443≈⨯==νλu cm② 581344100.221522≈⨯===u I A ρω3m J -⋅3-16、某声音的声强级比声强为26m W 10--⋅的声音的声强级大20dB 时，问此声音的声强是多少？解：601010lg 101262==--L （Db ）120110lg 10lg 10806020-===+=I I I L410-=I 2m W -⋅3-17、频率为5Mhz 的超声波进入人体软组织，求：①波长；②在20cm 处软组织中往返一次所需要的时间（超声波在体内软组织的传播速度为1s m 1540-⋅）.解：①mm m u 31.0)(1008.3105154046=⨯=⨯==-νλ② s s t μ260)(1060.2154022.04=⨯≈⨯=-3-18、已知空气、软组织、颅骨的密度分别为0.0012、1.016、1.658（3cm g -⋅），对应在其中传播的 声速分别为344、1500、3360（1s m -⋅），求超声波垂直入射时空气与软组织、软组织与颅骨交界面上的声强反射系数？ 解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为331111041.0344100012.0⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅33222101524150010016.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 33333105571336010658.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 空气与软组织的反射系数：9.99999.0)1041.010152410041101524()(2333321212=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α% 软组织与颅骨的反射系数：5757.0)101524105571101524105571()(2333322323=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α% 3-19、 一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，某人站在机车前和机车后所听到的声音频率分别是多少？（设空气中声速为340 m/s ）. 解：在车前听到的频率 5.63760020340340=⨯-=-='ννs u u v (Hz) 在车后听到的频率(Hz)7.56660020340340=⨯+=+='ννs u u v w3-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz 的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时，飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少？解：蝙蝠飞向墙壁时，蝙蝠发出超声波，自己作为声源在运动，而墙壁作为接收者不动，接收到的频率升高为：ννν3839)3811(1=+='u u从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动，因此，蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为4002638000)3839(3839)3811(2112=⨯='='+='νννu uHz .。

1. 一简谐振动的表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时的初位移为, 初速度为s -1，则振幅A = ，初相位 =解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： 1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以 9.36-=ϕ2. 两个弹簧振子的的周期都是, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。

解：从旋转矢量图可见，t = s 时，1A 与2A反相，即相位差为。

3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。

当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为 解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。

物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=，振动周期gl km T ∆==ππ224. 上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。

解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为1A 1A 2Ax=t .0=t 5.0=t(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 点。

振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 点。

振 动一、填空题： 1、21T ； 2、;10cm A =16-⋅=srad πω；3πϕ=； 3、gl 322π4、（略）； 二、计算题： 1、 解：是；假设木块的边长为L ，平衡时浸入水中的高度为h ， 平衡时: h gl F mg 2水浮＝ρ=在任一位置时：x l l x h h gl F mg F g )(g 222水水水浮＝ρρρ-=+-'-=∑ 令 K ＝g 2水ρl则∑Kx F ＝－，K 是一个常数，表明木块所作的运动是简谐振动。

由∑=22dtx d m F ，可得木块运动的微分方程为：22dtx d ＋0/2=m x gl 水ρ令m l /g 22水ρω=，可得其振动周期为：2/22l g m T 水ρπωπ==2、解：（1）要求物体的简谐运动方程，要确定角频率、振幅和初相：110.602.072.0--=⋅==skg m N mk ω再根据2202ωv x A +=由于0,05.000==v m x ，故m x v x A 05.0022020==+=ω初相：00=-=x v tg ωϕ，πϕ或0=，根据已知条件：0=ϕ则简谐振动的方程为：])0.6cos[()05.0(1t s m x -= （2）物体第一次抵达2A 处时，即t A ωcos 2=，故353ππω或=t ，用旋转矢量法，得3t πω=，故：126.0sin -⋅-=-=s m t A v ωω3、解： （1）由题意，假设简谐振动的表达式：)cos(ϕω+=t A x 得速度的表达式：)sin(ϕω+-=wt A v 故：ωA v m ==2103-⨯故：5.110210322=⨯⨯==--Av m ω（2）由速度的表达式可得加速度的表达式为：)cos(2ϕωω+-=t A a则：2ωA a m ==2222/105.45.1102s m --⨯=⨯⨯ （3）振动的表达式为：)25.1cos(1022π-⨯=-t x4、解： 如图所示，可得两个分振动分别为：)2cos(08.01ππ-=t x )2cos(04.02ππ+=t x故：合振动的方程为：)2cos(04.021ππ-=+=t x x x5、解：由旋转矢量法解。

振动、波动练习题及答案振动、波动练习题⼀．选择题1．⼀质点在X 轴上作简谐振动，振幅A=4cm。

周期T=2s。

其平衡位置取作坐标原点。

若t=0 时刻质点第⼀次通过x= -2cm 处，且向X 轴负⽅向运动，则质点第⼆次通过x= -2cm 处的时刻为（）。

A 1sB 2sC 4sD 2s332．⼀圆频率为ω的简谐波沿X 轴的正⽅向传播，t=0 时刻的波形如图所⽰，则t=0 的波形t=0 时刻，X 轴上各点的振动速度υ与X轴上坐标的关系图应（）3．图⽰⼀简谐波在 t=0 时刻的波形图，波速υ =200m/s ，则图中O 点的振动加速度的表达式为（）2A a 0.4 2 cos( t ) 2 23B a 0.4 2 cos( t )22C a 0.4 2cos(2 t ) 4．频率为 100Hz ，传播速度为 300m/s 的平⾯简谐波，波线上两点振动的相位差为 3 ，则这两点相距（）A 2mB 2.19mC 0.5mD 28.6m5．⼀平⾯简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最⼤位置处的过程中，（）。

A 它的动能转换成势能它的势能转换成动C 它从相邻的⼀段质元获得能量其能量逐渐增⼤Da20.4 2 cos(2 t2)υ (m/s)Bυ (m/s)DX(m)D 它把⾃⼰的能量传给相邻的⼀段质元，其能量逐渐减⼩6．在下⾯⼏种说法中，正确的说法是：（）。

A 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的B 波源振动的速度与波速相同C 在波传播⽅向上的任⼀质点振动位相总是⽐波源的位相滞后D 在波传播⽅向上的任⼀质点振动位相总是⽐波源的位相超前7．⼀质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X 轴正⽅向运动时，从⼆分之⼀最⼤位移处到最⼤位移处这段路程所需要的时间为（）。

A TBTCTDT4 12 6 88．在波长为λ的驻波中两个相邻波节之间的距离为（）。

A λB 3 λ/4C λ/2D λ /49．在同⼀媒质中两列相⼲的平⾯简谐波的强度之⽐I1I 4是，则两列波的振幅之⽐是：（）A A1 4 B1 2 CA1 16 DA11A2 A2 A2 A2 410．有⼆个弹簧振⼦系统，都在作振幅相同的简谐振动，⼆个轻质弹簧的劲度系数K 相同，但振⼦的质量不同。

大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。

＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。

练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。

若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。

2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。

3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。

已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。

振动和波一、选择题1.（3分,答D ）已知一平面简谐波的表达式为cos()y A at bx =-（,a b 为正值常量），则 （A ）波的频率为a （B ）波的传播速度为/b a （C ）波长为/b π （D ）波的周期为2/a π2.（本题3分，答B ）一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［］3. （3分,答B ）一质点在x 轴上作简谐振动，振幅A =4cm ，周期T =2s ，其平衡位置取作坐标原点，若t =0时刻质点第一次通过x =-2cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x =-2cm 处的时刻为(A) 1s (B) (2/3)s (C)(4/3)s (D) 2s4. （3分,答D ）一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1．若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m 21的物体，则系统振动周期T 2等于 (A) 2 T 1 (B) T 1(C)T 12/ (D) T 1 /2 (E) T 1 /45.（本题3分，答A ）轴一简谐波沿Ox 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形曲线如图所示，已知周期为 2 s ，则 P 点处质点的振动速度v 与时间t 的关系曲线为：6.（3分，答B ）一平面简谐波在弹性媒质时，某一时刻媒质中某质元在负最大位移处，则它的能量是（A ） 动能为零 势能最大 （B ）动能为零 势能为零 （C ） 动能最大 势能最大 （D ）动能最大 势能为零v (m/s)O 1 t (s)ωA(C)· v (m/s)O1 t (s)ω A(A)·1 v (m/s)t (s)(D)O－ω A1 v (m/s) t (s)－ωA(B) O ··x o A x A 21 ω(A)A 21ω(B) A 21-(C) (D)o oo A 21-xxxAxAxAxω ω2O 1 y (m)x (m)t =0 A u图17.（3分，答D ）沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为y 1=A cos2π (νt －x /λ)y 2=A cos2π (νt + x /λ) 叠加后形成的驻波中,波节的位置坐标为(A)x =±k λ.(B)x =±k λ/2 .(C)x =±(2k +1)λ/2 .(D)x =±(2k +1)λ/4 . 其中k = 0 , 1 , 2 , 3…….8.（3分,答D ）如图所示，有一平面简谐波沿x 轴负方向传播，坐标原点O 的振动规律为y =A cos(ω t+φ0)，则B 点的振动方程为 （A ）y =A cos[ω t-(x/u )+φ0] （B ）y =A cos ω[ t+(x/u )] （C ）y =A cos{ω [t-(x/u ) ]+φ0} （D ）y =A cos{ω[ t+(x/u ) ]+φ0}9.（3分,答D ）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：（A ）它的动能转换成势能. （B ）它的势能转换成动能. （C ）它从相邻的一段质元获得能量，其能量逐渐增大. （D ）它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小. 10.（3分，答B ）在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 （A ）λ/4 （B ）λ/2 （C ）3λ/4 （D ）λ11.（3分,答C ）某时刻驻波波形曲线如图所示，则a 、b 两点振动的相位差是 （A ）0 （B ）/2π （C ）π （D ）5/4π12.（本题3分，答B)在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（A ）振幅相同，相位相同 （B ）振幅不同，相位相同 （C ）振幅相同，相位不同 （D ）振幅不同，相位不同 二、填空题1. （3分）已知一个简谐振动的振幅A=2cm, 角频率14s ωπ-=，以余弦函数表达式运动规律时的A －Ayxλ λ/2O ··a b · · · · · · · · ··x 2A A/2x 1初相12φπ=，试画出位移和时间的关系曲线（振动图线） 2.（4分）两个简谐振动方程分别为x 1=Acos(ω t ) ；x 2=Acos(ω t +π/3) 在同一坐标上画出两者的x-t 曲线.3. (3分）有两相同的弹簧，其劲度系数均为k .（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为；（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为.[答案：（1）22m k π,（2）22mkπ] 4.(4分)一弹簧振子系统具有1.0J 的振动能量，0.10m 的振幅和1.0m/s 的最大速率，则弹簧的劲度系数，振子的振动频率.[答案：2210N/m,1.6Hz ⨯]5.（3分）一平面机械波沿x =-1m 轴负方向传播，已知处质点的振动方程cos()y A t ωϕ=+，若波速为u ，求此波的波函数.[答案：cos{[(1)/]}y A t x u ωϕ=+++]6.（3分）一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg ，系统振动频率为1000Hz ，振幅为0.5cm ，则其振动能量为.（答案：29.9010J ⨯ ）7.（3分）两个同方向同频率的简谐振动211310cos(),3x t ωπ-=⨯+221410cos()(SI)6x t ωπ-=⨯-，它们的合振幅是. （答案：2510m -⨯ ）8.（3分）一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波动表达式为cos[(/)/4]y A t x u ωπ=-+，则1x L =处质点的振动方程是；2x L =-处质点的振动和1x L =处质点的振动相位差为21φφ-=. （答案：1cos[(/)/4]y A t L u ωπ=-+，12()/L L u ω+）9.（5分）一余弦横波以速度u 沿x 轴正向传播，t 时刻波形曲线如图所示.试分别指出图中A ，B ，C 各质点在该时刻的运动方向.A 向下 ，B 向上 ，C 向上.10. （本题4分）一平面简谐波的表达式cos (/)cos(/)y A t x u A t x u ωωω=-=-其中/x u 表示，/x u ω表示，y 表示.[答案：波从坐标原点传至x 处所需时间（2分），x 处质点此原点处质点滞后的相位（1分），t 时刻x 处质点的振动位移（1分）]11. （本题3分）如图所示，两相干波源S 1和S 2相距为3λ/4，λ为波长，设两波在S 1 S 2连O Cyxu · · · A B线上传播，它们的振幅都是A ，并且不随距离变化，已知在该直线上S 1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的相位条件是__π/2_ 12. （3分）一驻波的表达式为y =2A cos(2πx/λ) cos(2πνt )，两个相邻波 腹之间的距离是.（答案：λ/2） 三、计算题1. （5分）一质点作简谐运动，其振动方程为110.24cos()()23x t SI ππ=+，试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到x =-0.12 m ，v <0的状态所经过的最短时间． 解：旋转矢量如图所示．图3分 由振动方程可得π21=ω，π=∆31φ1分667.0/=∆=∆ωφt s 1分2（本题10分）一质量m =0.25kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点，弹簧的劲度系数k =25N/m.（1）求振动的周期T 和频率ω. （2）如果振幅A =15cm ，t =0时物体位于x =7.5cm 处，且物体沿x 轴反方向运动，求初速度v 0及初相φ.（3）写出振动的数值表达式. 解：（1）12/10k m s ωπ-== (2分)2/0.63T s πω== (1分)(2) A=15cm ， 在t =0时，07.5cm x =，00v < 由2200(/)A x v ω=+得2200 1.3m/s v A x ω=--=- (2分)100(/)/3/3tg v x φωππ-=-=或400,/3x φπ>∴=(3分)（3）21510cos(10/3)(SI)x t π-=⨯+(2分)3.（10分）在一轻弹簧下端悬挂0100g m =砝码时，弹簧伸长8cm. 现在这根弹簧下端悬挂0250g m =物体，构成弹簧振子，将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时t=0）.选x 轴向下，求振动方程的数值式.解：k = m 0g / ∆l 25.12N/m 08.08.91.0=⨯=N/mx (m) ωωπ/3π/3t = 0t0.12 0.24 -0.12 -0.24 OAAO xS 1S 211s 7s 25.025.12/--===m k ω(2分) 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm (2分) 4/3)74/()21()/(tg 00=⨯--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad (3分))64.07cos(05.0+=t x (SI) (1分)4．（8分）在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长0 1.2cm l =而平衡.再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为2cm A =的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式.解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数（图参考上题）0/k mg l = 选平衡位置为原点，向下为正方向. 小球在x 处时，根据牛顿第二定律得202()d x mg k l x m dt -+=将k 代入整理后得 220d x g x dt l =-所以振动为简谐振动，其角频率为0/28.589.1(rad/s)g l ωπ===(5分)设振动表达式为 c o s ()x A t ωφ=+ 由题意：t=0时，200210m0x A v -==⨯=解得：0φ=2210cos(9.1)x t π-∴=⨯m (3分)5.(10分)在一轻弹簧下端悬挂m 0=100g 的砝码时,弹簧伸长8cm,现在这根弹簧下端悬挂m =250g 的物体, 构成弹簧振子. 将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s 的初速度(这时t =0) ，选x 轴向下，求振动方程的数值式. 解：物体受向下的重力和向上的弹性力.k=m 0g/∆l , x 0=4×10-2m, v 0=-21×10-2m/sω=()m l g m m k Δ0==7s -1A=22020ω/v x +=5×10-2m因A cos ϕ=4×10-2m, A sin ϕ=-v 0/ω=3×10-2m,有 ϕ=0.64rad 所以x=5×10-2cos(7t +0.64) (SI)6.（本题5分）一质量为0.2kg 的质点作简谐振动，其振动方程为10.6cos(5)(SI)2x t π=-求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力.解：（1）003.0sin(5)()0, 3.0m/s 2dx v t SI t v dt π==--==（2分） （2）2F ma m x ==-ω12x A =时， 1.5N F =-（无负号扣1分） （3分） 7.（5分）一平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为1m/s ，在x 轴上某质点的振动频率为1Hz ，振幅为0.01m. t = 0时该质点恰好在正最大位移处，若以该质点的平衡位置为x 轴的原点. 求此一维简谐波的表达式.解. 0.01cos[2()](m)y t x =-π8.（本题10分）某质点作简谐振动，周期为2s ，振幅为0.06m ，t =0时刻，质点恰好处在负最大位移处，求（1）该质点的振动方程.（2）此振动以波速u =2m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；（3）该波的波长. 解：（1）振动方程 00.06cos(2/2)0.06cos()(SI)y t t ππππ=+=+3分 （2）0.06cos[((/))0.06cos[(/2))(SI)y t x u t x ππππ=-+=-+ 4分（3）波长4m uT λ==9.（10分）一列平面简谐波在以波速5m/s u =，沿x 轴正向传播，原点O 处质点的振动曲线如图所示.1）求解并画出25cm x =处质元的振动曲线 2）求解并画出3s t =时的波形曲线 解：1）原点O 处质元的振动方程为211210cos(),(SI)22y t ππ-=⨯-(2分)波的表达式 (2分)211210cos((/5)),(SI)22y t x ππ-=⨯--x =25m 处质元的振动方程21210cos(3),(SI)2y t ππ-=⨯-振动曲线如右y-t 图 (2分)2）t=3s 时的波形曲线方程2210cos(/10),(SI)y x ππ-=⨯-(2分)波形曲线见右y-x 图 (2分)10.（10分）某质点作简谐振动，周期为2s ，振幅为0.6m ，t =0时刻，质点恰好处在负最大4O2 y(cm)t (s)2位移处，求（1）该质点的振动方程；（2）此振动以波速u =2m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；（3）该波的波长.解：(1) 振动方程)22cos(06.00π+π=ty )cos(06.0π+π=t (SI) (3分) (2) 波动表达式])/(cos[06.0π+-π=u x t y (4分)])21(cos[06.0π+-π=x t (SI)(3) 波长4==uT λm (3分)11.（5分）如图所示，一简谐波向x 轴正向传播，波速0500/,1,u m s x m P ==点的振动方程为10.03cos(500)(SI)2y t ππ=-. （1） 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式； （2） 在图上画出t=0时刻的波形曲线.解：(1) 2m )250/500(/===νλu m 波的表达式 ]/2)1(21500cos[03.0),(λπ--π-π=x t t x y110.03cos[500(1)2/2]0.03cos(500)(SI)22t x t x =π-π--π=π+π-π(3分)(2) t = 0时刻的波形曲线x x x y π=π-π=sin 03.0)21cos(03.0)0,( (SI) (2分)12.（10分）图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图(波向左传播)．已知波速为u ，波的周期大于2 s ，求(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时刻，O 处质点φcos 0A =，φωsin 00A -=<v ，故2πφ-= 又t = 2 s ，O 处质点位移为)24cos(2/ππ-=νA A 所以244πππ-=-ν，ν = 1/16 Hz 振动方程为)28/cos(0ππ-=t A y (SI)(2) 波速u = 20 /2 m/s = 10 m/s,波长λ = u /ν = 160 m 波动表达式]21)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) x (m)uP y (m)O-2-112-0.030.03x (m)O160A y (m)8020t =0t =2 s2A。

振动和波动计算题1..一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6cm 处速度是24cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．解：设振动方程为，则t A x ωcos =t A ωωsin -=v (1)在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有 t ωcos 126=t ωωsin 1224-=解得 ，∴ s 2分3/4=ω72.2s 2/3/2=π=π=ωT (2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由 t A ωωsin -=v 得 ，2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=解上式得1875.0sin 2-=t ω相应的位移为 cm3分8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω2. 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间． 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s2分07.7/≈=m k ω (1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ． 解以上二式得 A = 10 cm ，φ = 0． 2分∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力 f = m (g -a )，而a = -ω2x = 2.5 m/s 2 ∴ f =4 (9.8－3分(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = A cos ω t 1或cos ω t 1 = 0． ∵ 此时物体向上运动， v < 0 ∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω1分再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/23. 一质点作简谐振动，其振动方程为 (SI))4131cos(100.62π-π⨯=-t x(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：(1) 势能 总能量 221kx W P =221kA E =由题意，， m 2分4/2122kA kx =21024.42-⨯±=±=A x (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s从平衡位置运动到 的最短时间 ∆t 为 T /8．2A x ±=∴ ∆t = 0.75 s ．3分4. 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24 (SI)，试用旋转矢量法求出)3121cos(π+πt 质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．解：旋转矢量如图所示． 图3分由振动方程可得， 1分π21=ωπ=∆31φ s1分667.0/=∆=∆ωφt 5. 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也2/A 经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．解：依题意画出旋转矢量图．3分由图可知两简谐振动的位相差为． 2分π216. 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．解：(1) 设振动方程为)cos(φω+=t A x 由曲线可知 A = 10 cm , t = 0，，φcos 1050=-=x 0sin 100<-=φωv 解上面两式，可得 φ = 2π/3 2分由图可知质点由位移为 x 0 = -5 cm 和v 0 < 0的状态到x = 0和 v > 0的状态所需时间t = 2 s ，代入振动方程得-(SI))3/22cos(100π+=ω则有，∴ ω = 5 π/122分2/33/22π=π+ω故所求振动方程为 (SI)1分)3/212/5cos(1.0π+π=t x 7. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程． 解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6) = 3×10-2cos(4t - π/6- π/2) = 3×10-2cos(4t - 2π/3)．作两振动的旋转矢量图，如图所示．图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3．2分合振动方程为 x = 2×10-2cos(4t + π/3) (SI)1分8. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x 1 = 4×10-2cos2π (SI), x 2 = 3×10-2cos2π (SI) )81(+t 41(+t 求合振动方程．解：由题意 x 1 = 4×10-2cos (SI))42(π+πtx 2 =3×10-2cos (SI))22(π+πt 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为m22210)4/2/cos(2434-⨯π-π++=A = 6.48×10-2 m 2分=1.12 rad2分)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctgπ+ππ+π=φ合振动方程为x = 6.48×10-2 cos(2πt +1.12) (SI) 1分9. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程；(2) 该波的表达式． 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为)2cos(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时1分0)2cos(=+'π=φνt A y1分0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 所以 ，2分2/2π=+'πφνt t 'π-π=νφ221x = 0处的振动方程为1分]21)(2cos[π+'-π=t t A y νxO ωωπ/3-2π/3A1A2A xu Ot =t ′y(2) 该波的表达式为3分]21)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν10. 一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s 沿x 轴正向传播，原点O 处质元的振动曲线如图所示．(1) 求解并画出x = 25 m 处质元的振动曲线．(2) 求解并画出t = 3 s 时的波形曲线．解：(1) 原点O 处质元的振动方程为， (SI)2分)2121cos(1022π-π⨯=-t y 波的表达式为， (SI)2分)21)5/(21cos(1022π--π⨯=-x t yx = 25 m 处质元的振动方程为， (SI))321cos(1022π-π⨯=-t y 振动曲线见图 (a)2分(2) t = 3 s 时的波形曲线方程， (SI)2分)10/cos(1022x y π-π⨯=-波形曲线见图2分2×11. 已知一平面简谐波的表达式为 (SI) )37.0125cos(25.0x t y -= (1) 分别求x 1 = 10 m ，x 2 = 25 m 两点处质点的振动方程； (2) 求x 1，x 2两点间的振动相位差；(3) 求x 1点在t = 4 s 时的振动位移．解：(1) x 1 = 10 m 的振动方程为(SI) 1分)7.3125cos(25.010-==t y xx 2 = 25 m 的振动方程为(SI)1分)25.9125cos(25.025-==t y x (2) x 2与x 1两点间相位差∆φ = φ2 - φ1 = -5.55 rad 1分(3) x 1点在t = 4 s 时的振动位移y = 0.25cos(125×4－3.7) m= 0.249 m2分12. 如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为 (SI)．t y π⨯=-4cos 1032(1)以A 点为坐标原点写出波的表达式；(2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式．t (s)O -2×10-21y (m)234(a)ABxu解：(1) 坐标为x 点的振动相位为 2分)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π=波的表达式为 (SI) 2分)]20/([4cos 1032x t y +π⨯=-(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为(SI) 2分]205[4-+π='+x t t φω波的表达式为(SI)2分])20(4cos[1032π-+π⨯=-xt y 13. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω ，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图所示．(1) 写出此波的表达式．(2) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点的振动方程．(3) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为，0cos 0==φA y0sin 0<-=φωA v 所以π=21φ波的表达式为4分]21)/(cos[π+-=u x t A y ωω(2) 处振动方程为 8/λ=x1分]21)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω 的振动方程为8/3λ=x1分]218/32cos[π+-=λλπωt A y )4/cos(π-=t A ω(3))21/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t y t = 0，处质点振动速度8/λ=x1分]21)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -= t = 0，处质点振动速度8/3λ=x1分]21)8/32sin[(/d d π+⨯π--=λλωA t y 2/2ωA =14. 如图，一平面简谐波沿Ox 轴传播，波动表达式为 (SI)，])/(2cos[φλν+-π=x t A y 求(1) P 处质点的振动方程；(2) 该质点的速度表达式与加速度表达式．xuO yOP解：(1) 振动方程}]/)([2cos{φλν+--π=L t A y P2分])/(2cos[φλν++π=L t A (2) 速度表达式 2分])/(2sin[2φλνπν++π-=L t A P v 加速度表达式1分])/(2cos[422φλνν++ππ-=L t A a P 15. 某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求(1) 该质点的振动方程；(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；(3) 该波的波长．解：(1) 振动方程(SI) 3分)22cos(06.00π+π=ty )cos(06.0π+π=t (2) 波动表达式3分])/(cos[06.0π+-π=u x t y(SI) ])21(cos[06.0π+-π=x t (3) 波长 m2分4==uT λ16. 如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波速大小为u ，若P 处介质质点的振动方程为 ，求 )cos(φω+=t A y P(1) O 处质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式；(3) 与P 处质点振动状态相同的那些点的位置．解：(1) O 处质点的振动方程为2分](cos[0φω++=uLt A y (2) 波动表达式为 2分])(cos[φω+++=uLx t A y (3)x = -L ± k( k = 1，2，3，…) 1分ωuπ217.如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点的振动方程为 ，求 )cos(φω+=t A y P (1) O 处质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式；(3) 与P 处质点振动状态相同的那些质点的位置．解：(1) O 处质点振动方程2分])(cos[0φω++=uLt A y (2) 波动表达式 2分])(cos[φω+--=uLx t A y (3) (k = 0，1，2，3，…) 1分ωuk L x L x π±=±=218. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求 (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式．解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时刻，O 处质点，φcos 0A =，φωsin 00A -=<v 故2分π-=21φ又t = 2 s ，O 处质点位移为)214cos(2/π-π=νA A 所以， ν = 1/16 Hz 2分振动方π-π=π-21441ν程为(SI) 1分)218/cos(0π-π=t A y(2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s波长 λ = u /ν = 160 m 2分波动表达式(SI) 3分]2116016(2cos[π-+π=x t A y 19. 如图所示，两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2，其间距离为d = 30 m ，S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．解：设S 1和S 2的振动相位分别为φ 1和φ 2．在x 1点两波引起的振动相位差]2[]2[1112λφλφx x d π---π-π+=)12(K 即①2分π+=-π--)12(22)(112K x d λφφ在x 2点两波引起的振动相位差]2[]2[2122λφλφx x d π---π-π+=)32(K 即②3分π+=-π--)32(22)(212K x d λφφ②－①得π=-π2/)(412λx x m2分6)(212=-=x x λ由①2分π+=-π+π+=-)52(22)12(112K x d K λφφ当K = -2、-3时相位差最小1分π±=-12φφ20. 两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：(SI))244(31cos 1000.421t x y -π⨯=- (SI))244(31cos 1000.422t x y +π⨯=-求： (1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置； (3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．解：(1) 与波动的标准表达式 对比可得：)/(2cos λνx t A y -π= ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ， 各1分波速 u = λν = 6.00 m/s 1分(2) 节点位置)21(3/4π+π±=πn x m , n = 0，1，2，3, … 3分)21(3+±=n x (3) 波腹位置π±=πn x 3/4 m , n = 0，1，2，3, …2分 4/3n x ±=21. 设入射波的表达式为 ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定)(2cos 1Ttx A y +π=λ端．设反射时无能量损失，求 (1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置．解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反射波的表达式为 3分])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ(2) 驻波的表达式是 21y y y +=3分)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ (3) 波腹位置：, 2分π=π+πn x 21/2λ, n = 1, 2, 3, 4,… λ)21(21-=n x波节位置：2分π+π=π+π2121/2n x λ, n = 1, 2, 3, 4,…λn x 21=22. 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，= 3λ /4， = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运OP DP 动．求D 点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν．）解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为2分])/(2cos[1φλν+-π=x t A y 则反射波的表达式是2分](2cos[2π++-+-π=φλνxDP OP t A y 合成波表达式（驻波）为2分)2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， ，0)/(0<∂∂t y 故得2分π=21φ因此，D 点处的合成振动方程是2分22cos()6/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 323. 如图，一角频率为ω ，振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面．已知OO ＇= 7 λ /4，PO ＇= λ /4（λ为该波波长）；设反射波不衰减，求： (1) 入射波与反射波的表达式;； (2) P 点的振动方程．解：设O 处振动方程为)cos(0φω+=t A y 当t = 0时，y 0 = 0，v 0 < 0，∴π=21φ∴)21cos(0π+=t A y ω2分故入射波表达式为2分)22cos(x t A y λωπ-π+=在O ′处入射波引起的振动方程为)4722cos(1λλω⋅π-π+=t A y )cos(π-=t A ω由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变π．∴ 2分)cos(1π+π-='t A y ωt A ωcos =反射波表达式 )](2cos[x O O t A y -'π-='λω)]47(2cos[x t A -π-=λλω2分]22cos[π+π+=x t A λω合成波为 y y y '+=22cos[π+π-=x t A λω22cos[π+π++x t A λω 2分)2cos(2cos 2π+π=t x A ωλ将P 点坐标 代入上述方程得P 点的振动方程λλλ234147=-=x2分2cos(2π+-=t A y ω。

振动、波动练习题一．选择题1．一质点在X 轴上作简谐振动，振幅A=4cm 。

周期T=2s 。

其平衡位置取作坐标原点。

若t=0时刻质点第一次通过x= -2cm 处，且向X 轴负方向运动，则质点第二次通过x= -2cm 处的时刻为（ ）。

A 1sB 32s C 34s D 2s2．一圆频率为ω的简谐波沿X 轴的正方向传播，t=0时刻的波形如图所示，则t=0时刻，X 轴上各点的振动速度υ与X 轴上坐标的关系图应（ ）。

3．图示一简谐波在t=0时刻的波形图，波速υ=200m/s ，则图中O 点的振动加速度的表达式为（ ）。

)22cos(4.0)2cos(4.0)23cos(4.0)2cos(4.02222ππππππππππππ+-=--=-=-=t a D t a C t a B t a A4．频率为100Hz点振动的相位差为3π，则这两点相距（ ）。

A 2mB 2.19mC 0.5mD 28.6m5．一平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最大位置处的过程中，（ ）。

A 它的动能转换成势能B 它的势能转换成动能C 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大D 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小6．在下面几种说法中，正确的说法是：（ ）。

A 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的B 波源振动的速度与波速相同C 在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源的位相滞后D 在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源的位相超前7．一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（ ）。

A 4T B 12T C 6T D 8T8．在波长为λ的驻波中两个相邻波节之间的距离为（ ）。

A λ B 3λ/4 C λ/2 D λ/49．在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比421=I I 是，则两列波的振幅之比是：（ ） A=21A A 4 B =21A A 2 C =21A A 16 D =21A A 4110．有二个弹簧振子系统，都在作振幅相同的简谐振动，二个轻质弹簧的劲度系数K 相同，但振子的质量不同。

基础物理<II）第9、10章测验试卷一、单选题：<每题4分，共40分）1、一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为<）b5E2RGbCAP题5-１图分析与解：<b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为<B）．p1EanqFDPw2、一简谐运动曲线如图所示，则运动周期是< ）<A） 2.62s <B）2.40s <C）2.20s <D）2.00sb分析与解：由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为，且向x轴正方向运动，其相应的旋转矢量图<b ），由旋转矢量法可知初始相位为。

DXDiTa9E3d振动曲线上给出质点从处运动到处所需时间为1s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差：，则角频率为：，b周期：，故选<B）.3、两个同周期简谐运动曲线如图<a）所示，x1的相位比x2 的相位< ）<A）落后 <B ）超前 <C ）落后 <D ）超前分析与解：t=0时x1在x轴上位移为零；而t=0时x2的位移为负的最大，由此作出相应的旋转矢量图<b），即可得到答案为<b）．RTCrpUDGiT4、两个同振动方向，同频率，振幅均为的简谐运动合成后，振幅仍为，则这两个简谐运动的相位差为< ）<A） <B） <C） <D）分析与解：作旋转矢量图可知，只有当两个简谐运动1和2的相位差为时，合成后的振幅3仍为。

正确答案是<C）.5PCzVD7HxA5、图<a）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播；图<b）为一质点的振动曲线．则图<a）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图<b）所表示的振动的初相位分别为< ）jLBHrnAILg<Ａ）均为零。

第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。

掌握波的相干条件。

能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。

周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。

t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。

振动与波动一、选择题1.已知四个质点在x 轴上运动,某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是[](A)abxF =(B)abx F -=(C)bax F +-=(D)abx F /-=2.当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时,振动方程中不同的量是[](A)振幅(B)角频率(C)初相位(D)振幅、圆频率和初相位3.如图4-1-5所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体,则新的弹簧振子周期为[](A)T (B)2T(C)1.4T (D)0.7T4.两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中,每当它们经过振幅一半的地方时,其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为[](A)π(B)π32(C)π34(D)π545.在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号,这是意味着[](A)速度和加速度总是负值(B)速度的相位比位移的相位超前π21,加速度的相位与位移的相位相差π(C)速度和加速度的方向总是相同(D)速度和加速度的方向总是相反6.一质点作简谐振动,振动方程为)cos(ϕω+=t A x ．则在2Tt =(T 为振动周期)时,质点的速度为[](A)ϕωsin A -(B)ϕωsin A (C)ϕωcos A -(D)ϕωcos A 7.某物体按余弦函数规律作简谐振动,它的初相位为2π3,则该物体振动的初始状态为[](A)x 0=0,v 0(B)x 0=0,v 0＜0(C)x 0=0,v 0=0(D)x 0=A ,v 0=图4-1-58.一作简谐运动质点的振动方程为π)21π2cos(5+=t x ,它从计时开始,在运动一个周期后[](A)相位为零(B)速度为零(C)加速度为零(D)振动能量为零9.有一谐振子沿x 轴运动,平衡位置在x =0处,周期为T ,振幅为A ，t =0时刻振子过2Ax =处向x 轴正方向运动,则其运动方程可表示为[](A))21cos(t A x π=(B))cos(2t Ax π=(C))3π2sin(--=T t A x π(D)3π2cos(-=T t A x π10.一作简谐振动的质点某时刻位移为x ,系统的振动势能恰为振动动能的n 倍,则该振动的振幅为[](A)A n x =+⎛⎝⎫⎭⎪11(B)A n x =-⎛⎝⎫⎭11(C)A nx =-11(D)A nx =+1111.简谐振动的振幅由哪些因素决定?[](A)谐振子所受的合外力(B)谐振子的初始加速度(C)谐振子的能量和力常数(D)谐振子的放置位置12.弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时,弹性力在半个周期内所做的功为[](A)2kA(B)221kA (C)241kA (D)013.两个同方向、同频率、等振幅的谐振动合成,如果其合成振动的振幅仍不变,则此二分振动的相位差为[](A)2π(B)3π2(C)4π(D)π14.谐振子作简谐振动时,速度和加速度的方向[](A)始终相同(B)始终相反(C)在某两个41周期内相同,另外两个41周期内相反(D)在某两个21周期内相同,另外两个21周期内相反15.下列说法正确的是[](A)谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 81(B)谐振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为8T (C)谐振子从平衡位置出发经历T 121，运动的位移是A 31(D)谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T4116.关于振动和波,下面几句叙述中正确的是[](A)有机械振动就一定有机械波(B)机械波的频率与波源的振动频率相同(C)机械波的波速与波源的振动速度相同(D)机械波的波速与波源的振动速度总是不相等的17.关于波，下面叙述中正确的是[](A)波动方程中的坐标原点一定要放在波源位置(B)机械振动一定能产生机械波(C)质点振动的周期与波的周期数值相等(D)振动的速度与波的传播速度大小相等18.下列方程和文字所描述的运动中，哪一种运动是简谐波?[](A)t xA y ωλcos π2cos=(B))sin(2x cx bt A y ++=(C)波形图始终是正弦或余弦曲线的平面波(D)波源是谐振动但振幅始终衰减的平面波19.一平面简谐波的波动方程为)2π(sin 5.0x t y --=(m),则此波动的频率、波速及各质点的振幅依次为[](A)21，21，05.0-(B)21，1，05.0-(C)21，21，0.05(D)2，2，0.0520.一简谐波沿Ox 轴正方向传播，t ＝0时刻波形曲线如图4-1-56所示，其周期为2s ．则P 点处质点的振动速度v 与时间t 的关系曲线为[]21.平面简谐机械波在弹性介质中传播时,在传播方向上某介质元在负的最大位移处,则它的能量是[](A)动能为零,势能最大(B)动能为零,势能为零(C)动能最大,势能最大(D)动能最大,势能为零22.当机械波在介质中传播时,某一介质元的最大形变发生在(其中A 是振幅)[](A)介质质元离开其平衡位置的最大位移处(B)介质质元离开平衡位置A 22处(C)介质元在其平衡位置处(D)介质元离开平衡位置A 21处23.人耳能分辨同时传来的不同声音,这是由于[](A)波的反射和折射(B)波的干涉(C)波的独立传播特性(D)波的强度不同24.两初相位相同的相干波源,在其叠加区内振幅最小的各点到两波源的波程差等于[](A)波长的偶数倍(B)波长的奇数倍(C)半波长的偶数倍(D)半波长的奇数倍25.两列完全相同的余弦波左右相向而行,叠加后形成驻波．下列叙述中,不是驻波特性的是[](A)叠加后,有些质点始终静止不动(B)叠加后,波形既不左行也不右行(C)两静止而相邻的质点之间的各质点的相位相同(D)振动质点的动能与势能之和不守恒26.平面正弦波)π3π5sin(4y t x +=与下面哪一列波相叠加后能形成驻波?vxuy PA12Aωvs/t ()D 20Aωv15.0()A 120s/t ()B Aω-12vAω-05.0()C s/t s/t 图4-1-56[](A))2325π(2sin 4x t y +=(B)2325π(2sin 4xt y -=(C)2325π(2sin 4yt x +=(D))2325π(2sin 4yt x -=27.两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为1cos()x A t ωα=+．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为(A)21cos()2x A t ωαπ=++.(B)21cos()2x A t ωαπ=+-.(C)23cos()2x A t ωαπ=+-.(D)2cos()x A t ωαπ=++.28.一物体作简谐振动，振动方程为1cos()4x A t ωπ=+．在/4t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为(A)22A ω．(B)22A ω．(C)22A ω-．(D)22A ω．29.一物体作简谐振动，振动方程为1cos()4x A t ωπ=+．在/2t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为(A)22A ω．(B)22A ω．(C)22A ω-．(D)22A ω．30、已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程为(A)222cos ππ33x t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.(B)222cos ππ33x t ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.(C)422cos 33x t ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.(D)422cos 33x t ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.31、一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A)12T ．(B)8T ．(C)6T ．(D)4T ．32.机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则(A)波长为100m .(B)波速为10m/s (C)周期为1/3s.(D)波沿x 轴正方向传播.33.下列函数f (x ,t )可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常量．其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波？(A).()(,)cos +f x t A ax bt =(B).()(,)cos f x t A ax bt =-(C).(,)cos cos f x t A ax bt=⋅(D)(,)sin sin f x t A ax bt =⋅.34、有一谐振子沿x 轴运动,平衡位置在x =0处,周期为T ,振幅为A ，t =0时刻振子过2Ax =处向x 轴正方向运动,则其运动方程可表示为[](A))21cos(t A x π=(B))cos(2t Ax π=(C)3π2sin(--=T t A x π(D))3π2cos(-=T t A x π35、在真空中沿着x 轴正方向传播的平面电磁波，其电场强度波的表达式是0cos 2(/)z E E t x πνλ=-，则磁场强度波的表达式是：(A)0cos 2(/)y H t x πνλ=-.(B)0cos 2(/)z H t x πνλ=-.(C)0cos 2(/)y H t x πνλ=-.(D)0cos 2(/)y H t x πνλ=+.36、电磁波的电场强度E 、磁场强度H 和传播速度u的关系是：(A)三者互相垂直，而E 和H位相相差/2π．(B)三者互相垂直，而且, , E H u构成右旋直角坐标系．(C)三者中E 和H 是同方向的，但都与u垂直．(D)三者中E 和H 可以是任意方向的，但都必须与u垂直二、判断题1.在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动振幅相同，相位相同.2.电磁波在自由空间传播时，电场强度E 和磁场强度H互相垂直，且都垂直于传播方向．3.波动过程中，介质体积中的能量不随时间变化。