5.1第一类曲线积分 彭秀平

第八章 曲线积分与曲面积分（续）上次课介绍了第一类曲线积分的定义、第一类曲线积分的计算方法以及第一类曲面积分的定义。

从定义可以看出第一类曲线、曲面积分实际上是定积分的推广。

=⎰Ls y x f d ),(i i i ni s f ∆ηξλ),(lim 1∑=→ ⎰Lds z y x f ),,(0lim →=λ∑=ni i i i i s f 1),,(∆ζηξ 若函数),(y x f 在曲线弧L 上连续，L 参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （βα≤≤t ） 其中],[)(),()1(βαC t y t x ∈，且)('t x 与)('t y 不同时为零． 则⎰⎰+=βαdt t y t x t y t x f ds y x f L)(')(')](),([),(22上面公式表明，计算对弧长的曲线积分⎰Lds y x f ),(只须依次将dt t y t x ds t y y t x x )(')('),(),(22+===代入到积分中对其从α到β求定积分即可（这里积分下限始终小于上限）．积分曲线为空间曲线的情形时有⎰⎰++=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L)(')(')(')](),(),([),,(222计算下列第一类曲线积分P186 2(4)(7)(8)（4）⎰Γds y ||,Γ为球面2222=++z y x 与平面y x =的交线解 将y x =代入2222=++z y x 得2222=+z x令t x cos =则t y cos =，t z sin 2=，π20≤≤t24sin 2cos 2|cos |||2022=+=⎰⎰πΓdt t t ds y （7）ds ⎰ΓτPrj ，Γ为曲线12+=t x ，2t y =，13+=t z 上相应于t 从0变到1的一段弧，τ为Γ上的切向量，指向参数增加的方向，k y j x i z u ++=解 )3,2,2())('),('),('(2t t t z t y t x ==τ，422944322Prj tt y t tx z u ++++==τττ30163234215394494422423102345104242234=⎪⎭⎫⎝⎛++++=++++++++=⎰t t t t t dtt t t t t t t tI（8）⎰∂Ln ，L 为椭圆周1222=+y x ，为L 的外法向量，22)2(),(y x y x f +-=解 记12),(22-+=y x y x F ，则L 的外法线方向向量为),2(2)2,4()),(),,((y x y x y x F y x F n y x === 单位法向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+=2222224,424),2(y x y y x x y x y x e n 22222424)2(4),(y x y y x x x e f f n n y x +++-=⋅=∂ L 的参数方程为：t y t x sin ,cos 21==，π20≤≤t t t y x 2222sin cos 24+=+dt t t dt t t ds 2222sin cos 221cos sin 21+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ22|)sin 242(21)sin 2cos 24cos 2(21sin 22cos 21cos 24212020222022=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰t t dt t t t dt t t t I第一类曲面积分定义⎰⎰∑dS z y x f ),,(∑=→=ni i i i i S f 1),,(lim ∆ςηξλ 数量值函数在曲面上的积分又称为第一类曲面积分．可以证明，如果函数),,(z y x f 在∑上连续，则第一类曲面积分一定存在．如果积分曲面∑为封闭曲面，习惯上写成⎰⎰∑dS z y x f ),,(．同样第一类曲面积分具有线性性质以及关于积分曲面具有可加性． 二、第一类曲面积分的计算第一类曲面积分可以化为二重积分来计算．设曲面∑方程为),(y x z z =，该曲面在xOy 面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x f 在∑上连续，则⎰⎰⎰⎰++=xyD y x d y x z y x z y x z y x f dS z y x f σ∑),(),(1)],(,,[),,(22下面解释一下上面公式．由于),,(z y x 在∑上取值，所以被积函数中z 用y x ，表示，被积函数成为)],(,,[y x z y x f ，而曲面面积元素，由二重积分应用可知σd y x z y x z dS y x ),(),(122++=同样，如果积分曲面由),(z y x x =或),(z x y y =表示．也有类似的计算公式．例1 计算曲面积分⎰⎰∑dS z 1，其中∑是2222a z y x =++夹在平面h z =（a h <<0）与平面a z =之间的一部分．解∑的方程为222y x a z --=，（xy D y x ∈),(） 这里xy D 为投影区域2222h a y x -≤+．σσd yx a a d z z dS y x 222221--=++=于是有haa r a rdr r a ad d y x a a dS z ha h a D xyln2)ln(212122220220220222ππθσπ∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰例2 计算⎰⎰∑zdS ，其中∑是由圆柱面122=+y x ，平面0=z 和x z +=1所围立体的表面．解 ∑由顶面1∑、底面2∑和侧面3∑构成，见下图z2∑ y对于1∑，方程为x z +=1，1),(22≤+∈y x y x ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤++=+++=112222221)1(21)1(y x y x y x d x d z z x zdS σσ∑πθθπ2)cos 1(2120=+=⎰⎰rdr r d ．对于2∑，0022==⎰⎰⎰⎰∑∑dS zdS ．对于3∑，被zOx 面分为两块，它们的方程分别为21x y -=和21x y --=，它们在xOz 面上的投影区域均为xz D ，用不等式组表示为⎩⎨⎧+≤≤≤≤-xz x 1011，并且都有 22211x d d y y dS z x -=++=σσ于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=-=xD dz xzdx d xzzdS xz102112111123σ∑231)1(1122π=-+=⎰-dx x x 于是πππ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⎰⎰2322302zdS三、数值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述从已经学过的积分的定义来看，研究的都是数值函数，并且都是通过：分割几何形体，求函数值与小几何形的度量的乘积，求乘积之和，取极限．于是以前学过的几种积分的定义可以统一叙述如下定义 设J 是一个几何形体（它可以是直线段、平面区域、空间区域、曲线、曲面），)(M f 是J 上的有界数量值函数．将几何形体任意分成若干个小几何形体，n J J J ∆∆∆,,,21 ，并把i J ∆的度量记为im ∆（n i ,,2,1 =）（它是长度、面积、或为体积）．在每一i J ∆中任取一点i M ，作和式∑=ni i i m M f 1)(∆（i i J M ∆∈）并记i J ∆λmax{=的最大直径}，如果当0→λ时，这和的极限总存在，则称此极限值为函数)(M f 在几何形体J 上积分，记作⎰Jdm M f )(，即⎰Jdm M f )(∑=→=ni i i m M f 1)(lim ∆λ．在此定义下，当J 分别为区间][b a ，、平面区域D 、空间区域V 、曲线L 、曲面∑时，⎰Jdm M f )(分别表示如下的积分：⎰ba dx x f )(，⎰⎰Ddxdy y x f ),(，⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(⎰Lds z y x f ),,(，⎰⎰∑dS z y x f ),,(对于数值函数的物理应用，无论J 是哪种形体，都有如下公式J 的质量 ⎰=Jdm M J M )()(ρJ 的质心坐标 ⎰⎰=JJdmdmx x ρρ，⎰⎰=JJdmdmy y ρρ，⎰⎰=JJdmdmz z ρρJ 绕x 轴、y 轴、z 轴和坐标原点O 的转动惯量⎰+=Jx dm z y I ρ)(22，⎰+=Jy dm z x I ρ)(22，⎰+=Jz dm y x I ρ)(22，⎰++=JO dm z y x I ρ)(222J 对于J 以外一点),,(0000z y x M 处单位质量质点的引力⎰-=J x dm r x x k F 30)(，⎰-=J y dm r y y k F 30)(，⎰-=Jz dm r z z k F 30)(小结 第一类曲面积分的计算 数值函数在几何形体上的积分以及物理应用综述。

第十八章 曲线积分和曲面积分§1 第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和0lim (,,)i i i i f s λξης→∆∑的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。

给定光滑曲线段:l AB ，),,(z y x f 定义在l 上且连续，给定l 的一个分割：T ：B A A A A n =<<<= 10这里“<”表示曲线上从A 到B 的顺序。

记1||i i i s A A -∆=（弧长），max{}i s λ=∆（分割细度）。

定义1、设存在实数I ，使对任意的0ε>，存在0δ>，使对任意分割T ，当λδ<时， 对任意的1(,,)i i i i i x y z A A -∈，都成立：1|(,,)|ni i i i i f x y z s I ε=∆-<∑，称I 为),,(z y x f 在l 上的第一类曲线积分，记为⎰=lds z y x f I ),,(。

其中),,(z y x f 称为被积函数，l 称为积分路径。

注、显然，定义表明==⎰s dszyxfI),,(iiiiszyxf∆∑→),,(limλ。

注、有时用l表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为(,,)lI f x y z dl=⎰。

不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一类曲线积分是对弧长的积分。

注、其几何意义为：1=f时，⎰=l dszyxfI),,(ls=，（l的弧长）。

注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。

二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对is∆的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。

先给出参数方程下的计算公式。

设给定曲线段l：βα≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===tt zztyytxx,)()()(是C'的，即],[)(),(),(βαCt ztytx'∈。

第一类曲线曲面积分是数学中的一个重要概念，它涉及到对曲线或曲面上的函数进行积分。

在解决实际问题中，第一类曲线曲面积分被广泛应用于物理、工程、经济等领域。

首先，让我们来了解一下第一类曲线积分的概念。

第一类曲线积分是针对平面上曲线上的函数进行积分的一种方法。

它的定义是，给定一条参数曲线 t \in [a, b]，如果有一个实值函数 f(t)，我们想要求出该函数在曲线上的积分。

具体来说，第一类曲线积分的计算公式为：∫f(t)dt，其中符号∫表示积分，f(t)表示函数，t表示参数。

第一类曲线积分在实际问题中有很多应用。

例如，在物理学中，第一类曲线积分可以用来计算电荷在电线上的分布情况；在工程学中，第一类曲线积分可以用来计算物体在运动过程中的能量变化情况；在经济领域，第一类曲线积分可以用来分析股票价格的波动情况。

接下来，让我们来了解一下第一类曲面积分的概念。

第一类曲面积分是针对空间中曲面上的函数进行积分的一种方法。

它的定义是，给定一个三维空间中的曲面Σ，如果有一个实值函数 f(x,y,z)，我们想要求出该函数在曲面上的积分。

具体来说，第一类曲面积分的计算公式为：∫f(x,y,z)dS，其中符号∫表示积分，f(x,y,z)表示函数，S表示曲面的面积。

第一类曲面积分在实际问题中也有很多应用。

例如，在物理学中，第一类曲面积分可以用来计算磁场在导体表面上的分布情况；在工程学中，第一类曲面积分可以用来计算热量的传导情况；在经济领域，第一类曲面积分可以用来分析市场价格的波动情况。

总之，第一类曲线曲面积分是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。

通过深入了解第一类曲线曲面积分的概念和方法，我们可以更好地理解和解决各种问题。

第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分教学目的：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学重点：第一型曲线积分的计算. 教学难点：第一型曲线积分的计算公式. 教学过程一、引言 金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,,n A A A -,这样曲线C就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为,1,2,,i S i n∆=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:b) 作和: m=∑=mi m 1i ∑=≈mi i i p 1),(ηξSi ∆c) 取极限:令s=max Si ∆,则m=lim ∑=ni i i p 1),(ηξSi ∆上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1 =），i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为in i s T ∆=≤≤1m a x ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1 =）．若有极限()∑=→∆ni iiiT sf 1,limηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作()dsy x f L⎰,．（二）、第一型曲线积分的性质（1）若()dsy x f Li⎰,（n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则()ds y x f c L n i ii ⎰∑=1,=()dsy x f c ni Lii ∑⎰=1,.（2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()dsy x f iL ⎰,都存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,=()dsy x f ni L i∑⎰=1,.（3）若()ds y x f L⎰,，()dsy x g L⎰,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则()ds y x f L⎰,≤()dsy x g L⎰,.（4）若()dsy x f L ⎰,存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,≤()dsy x f L⎰,.（5）若()dsy x f L⎰,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得()dsy x f L⎰,=c s ，这里()()y x f c y x f LL,max ,inf ≤≤.三、第一类曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线L ：()()[]βαψϕ,,,∈⎩⎨⎧==t t y t x ， ()y x f ,为定义在上的连续函数，则()dsy x f L⎰,=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22, . (3)证明 由弧长公式知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,=∆i s ()()⎰-'+'ii t t dtt t 122ψϕ，由()()t t 22ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ22()i i i t t <'<-τ1，所以()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ，这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1．设=σ()()()()()()()ii i ni i i it f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ，则有()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆'''+'''''''∑=122,τψτϕτψτϕ+σ， (4)令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆ ，则当0→T 时，必有0→∆t ．现在证明0lim 0=→∆σt .因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,，()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，再由()()t t 22ψϕ'+'在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的0>ε，必存在0>δ，使当δ<∆t 时有()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，从而()∑=-=∆≤ni i a b M t M 1εεσ, 所以0lim 0=→∆σt .再由定积分定义()()()()()ini i i i t f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22,，因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ表示，且()x y ψ=在[]b a ,上有连续导函数时，(3)式成为 ()()()⎰'+badxx xt x f 21,ψψ.注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限．1.上述公式可能为在替换)().().(t z z t y y t x x ===下积分ds z y x f c⎰),,(的变形.2.注意: =ds3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.4.特别地,如果曲线C 为一光滑的平面曲线,解为 y=)(x ϕ ),(b x a ≤≤ 那么有⎰⎰+=dx x x x f ds y x f c)(1)](,[),('2ϕϕ.若曲线C 方程为],[),(d c y y x ∈=ϕ, 则dy y y y f y x f dc c)(1]),([),('2ϕϕ+=⎰⎰.5.这个积分的特性在于曲线C 的方向无关,又称为关于弧长的积分.例1 设L 是半圆π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x 0,s i n,c o s试计算第一型曲线积分()⎰+Ldsy x22.解 ()⎰+Ldsy x22=()⎰=+ππ032222sin cos a dt t t a a .例2 设L 是x y 42=从()0,0O 到()2,1A 的一段，试计算第一型曲线积分⎰Lyds .解 ⎰L yds =()12234024*******32202-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎰y dy y y .空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t .函数)( , )( , )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()⎰⎰'+'+'=Ldt t t t t t t f ds z y x f βαχψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.例3计算积分⎰Lds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平0=++z y x截得的圆周 .解 由对称性知 , ⎰=Lds x 2⎰=Lds y 2⎰Lds z 2, ⇒⎰L ds x 2=⎰⎰==++L L a ds a ds z y x 32222323)(31π. ( 注意L 是大圆 ).作业 1.。