3.5 整式的化简

浙教版数学七年级下册3.5《整式的化简》教学设计一. 教材分析《整式的化简》是浙教版数学七年级下册3.5节的内容，主要包括平方差公式、完全平方公式的运用，以及整式的加减运算。

本节内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的运算，对代数概念有一定的理解。

但学生在运用平方差公式和完全平方公式时，可能会出现混淆，需要通过实例让学生加深对公式的理解，并能够熟练运用。

三. 教学目标1.理解平方差公式和完全平方公式的含义，掌握其运用方法。

2.能够进行整式的化简和加减运算，提高运算能力。

3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：平方差公式和完全平方公式的运用，整式的化简和加减运算。

2.难点：学生对公式的理解和运用，以及整式运算的准确性。

五. 教学方法采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。

通过实例引导学生发现规律，自主探究，合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方差公式和完全平方公式的运用实例。

2.练习题：准备一些关于整式化简和加减运算的练习题，用于巩固所学知识。

3.小组合作学习：分组，确保每个小组成员都能参与讨论和交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入整式化简的概念，例如：“已知一个正方形的面积是25平方厘米，求这个正方形的边长。

”让学生思考如何用代数式表示这个问题，并尝试化简。

2.呈现（10分钟）展示平方差公式和完全平方公式的运用实例，引导学生发现规律，让学生自主探究公式的含义和运用方法。

3.操练（10分钟）让学生根据平方差公式和完全平方公式，解决一些类似的整式化简问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）挑选一些练习题，让学生独立完成，检验学生对平方差公式和完全平方公式的掌握程度。

教师及时反馈，指出学生的错误，并给予讲解。

3．5 整式的化简知识点1.整式的化简与求值1．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是(D)A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]2．(x＋y＋z)2＝()2＋2y()＋y2，两个括号内应填(C)A．x＋y B．y＋zC．x＋z D．x＋y＋z3．运用乘法公式计算：(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(a＋b－c)2.解：(1)原式＝9a2－b2＋4b－4；(2)原式＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2.4．[2019春·邗江区校级月考]化简求值：(1)(2x－1)2－(3x＋1)(3x－1)＋5x(x－1)，其中x＝－1 9；(2)已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．解：(1)(2x－1)2－(3x＋1)(3x－1)＋5x(x－1)＝4x2－4x＋1－9x2＋1＋5x2－5x＝－9x＋2，当x＝－19时，原式＝－9×⎝⎛⎭⎪⎫－19＋2＝1＋2＝3；(2)(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝3y2－4xy，当4x＝3y时，原式＝3y2－3y·y＝3y2－3y2＝0.知识点2.整式的应用5．[2019春·岐山期末]王老师家买了一套新房，其结构如图1所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．图1(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？解：(1)卧室的面积是2b(4a－2a)＝4ab(平方米)，厨房、卫生间、客厅的面积和是b·(4a－2a－a)＋a·(4b－2b)＋2a·4b＝ab＋2ab＋8ab＝11ab(平方米)，即木地板需要4ab平方米，地砖需要11ab平方米；(2)11ab·x＋4ab·3x＝11abx＋12abx＝23abx(元)．即王老师需要花23abx元．6．如图2，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．(1)画出拼好的长方形，并标注相应的数据；(2)求拼好后长方形的周长；(3)若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．图2 第6题答图解：(1)如答图所示；(2)拼好后长方形的周长＝4b＋4(a－b)＝4a；(3)拼好后长方形的面积＝(a－b)(a－b＋2b)＝(a－b)(a＋b)，当a＝9，b＝3，(a－b)(a＋b)＝6×12＝72.【易错点】求代数式的值时，忽视化简结果的特殊性．7．[2019春·相城区期中]“已知x＝2 019，求代数式(2x＋3)(3x＋2)－6x(x＋3)＋5x＋16的值”，马小虎把“2 019”看成了“2 091”，但他的计算结果却是正确的，这是为什么？请你说明理由．解：原式＝6x2＋4x＋9x＋6－6x2－18x＋5x＋16＝22，化简结果与x的取值无关，故马小虎把“2 019”看成了“2 091”，但他的计算结果却是正确的．。

第3章　整式的乘除3.5　整式的化简基础过关全练知识点1　整式的化简1.化简(m2+n2)-(m+n)(m-n)的结果是( )A.-2n2B.0C.2n2D.2m2-2n22.当x=2时,代数式2x4(x2+2x+2)-x2(4+4x3+2x4)的值是( )A.-48B.0C.24D.483.当a=2,b=-1时,(a+b)2+b(a-b)-4ab= .24.化简:(1)(2a-b)2-(a+b)(a-b);(2)3(m+1)2-5(m+1)(1-m)-2m(m-1).5.(1)(2022浙江丽水中考)先化简,再求值:;(1+x)(1-x)+x(x+2),其中x=12,求(2x+1)·(2x-1)+x(3-4x)的值.(2)(2023浙江金华中考)已知x=136.先化简,再求值:2x2-(x+1)(2x-1)-3(x+1)(x-3),其中x=3.知识点2　整式的化简的应用7.【教材变式·P81T1】填空:(1)992= ;(2)712= ;(3)1 001×999= ;(4)4-4×62+622= .8.解方程:(1)(x+3)(x-2)-(x+1)2=1;(2)x2+(x+1)2-(x+2)2=(x+2)(x-2).9.(2023浙江温州瑞安期中)如图,某公园有一块长为(4a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划在其内部修建一座底面边长为(a+b)米的正方形雕像,雕像的左右两边修两条宽为a米的长方形道路,其余阴影部分为绿化场地.(1)用含a,b的代数式表示绿化面积(结果要化简);(2)若a=3,b=2,请求出绿化面积.能力提升全练10.【整体代入法】(2023内蒙古赤峰中考,7,★★☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是　( )A.6B.-5C.-3D.411.(2023浙江绍兴嵊州期末,8,★★☆)若a满足(a+2 023)(a+2 022)=5,则(a+2023)2+(a+2 022)2=( )A.5B.11C.25D.2612.设a,b是实数,定义一种新运算:a*b=(a-b)2.下面有四个推断:①a*b=b*a;②(a*b)2=a2*b2;③a*(b-c)=(b-c)*a;④a*(b+c)=a*b+a*c.其中所有正确推断的序号是　( )A.①②③④B.①③④C.①③D.①②13.计算(x+y)(x-3y)-my(nx-y)(m、n均为常数)的值时,粗心的小明把错误的y值代入计算,其结果等于9,细心的小红把正确的x、y值代入计算,结果恰好也是9,为了探个究竟,小红又把y的值随机地换成了2 023,结果竟然还是9,根据上述情况,探究其中的奥妙,计算n= .14.【新独家原创】当a、b互为相反数时,整式ab·(5ka-3b)-(ka-b)(3ab-4a2)的值恒为0,则k的值为 .15.(2023浙江金华义乌期中,19,★★☆)先化简,再求值:(1)(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2;(2)(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3y)+6x·-x-5y,其中x=1,y=2.216.(2023浙江杭州上城期中,19,★★☆)(1)先化简,再求值:(2x-5)(2x+5)-(2x-3)2,其中 x=11.12(2)已知a+b=6,ab=7,求下列式子的值:①a2+b2;②(a-b)2.17.(2023浙江杭州富阳期中,21,★★☆)(1)已知a,b满足:(a-2)2+b+1=0,求代数式(a-3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)的值;(2)已知代数式(ax-3)(2x+4)-3x2-b化简后不含x2项和常数项,求a,b的值.素养探究全练18.【运算能力】(2022河北中考)发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.验证　如(2+1)2+(2-1)2=10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和.探究　设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请说明“发现”中的结论正确.19.【运算能力】《数书九章》中的秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,现在利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法.例如,计算当x=8时,多项式3x3-4x2-35x+8的值,按照秦九韶算法,可先将多项式3x3-4x2-35x+8进行改写:3x3-4x2-35x+8=x(3x2-4x-35)+8=x[x(3x-4)-35]+8.按改写后的方式计算,它一共做了3次乘法,3次加(减)法,与直接计算相比减少了乘法的次数,使计算量减小.请参考上述方法,将多项式x3+2x2+x-1进行改写,并求出当x=8时,这个多项式的值.答案全解全析基础过关全练1.C 原式=m 2+n 2-(m 2-n 2)=m 2+n 2-m 2+n 2=2n 2,故选C.2.D 原式=2x 6+4x 5+4x 4-4x 2-4x 5-2x 6=4x 4-4x 2.当x=2时,原式=4×24-4×22=48.故选D.3.答案 5解析　(a+b)2+b(a-b)-4ab=a 2+2ab+b 2+ab-b 2-4ab=a 2-ab,当a=2,b=-12时,原式=4+1=5.4.解析 (1)原式=4a 2-4ab+b 2-(a 2-b 2)=4a 2-4ab+b 2-a 2+b 2=3a 2-4ab+2b 2.(2)原式=3(m 2+2m+1)+5(m 2-1)-(2m 2-2m)=3m 2+6m+3+5m 2-5-2m 2+2m=6m 2+8m-2.5.解析　(1)(1+x)(1-x)+x(x+2)=1-x 2+x 2+2x=1+2x,当x=12时,原式=1+2×12=1+1=2.(2)原式=4x 2-1+3x-4x 2=3x-1,当x=13时,原式=3×13-1=0.6.解析　原式=2x 2-(2x 2-x+2x-1)-3(x 2-3x+x-3)=2x 2-2x 2-x+1-3x 2+6x+9=-3x 2+5x+10.当x=3时,原式=-3×9+5×3+10=-2.7.答案　(1)9 801　(2)5 041　(3)999 999(4)3 600解析　(1)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10 000-200+1=9 801.(2)712=(70+1)2=702+2×70×1+12=4 900+140+1=5 041.(3)1 001×999=(1 000+1)×(1 000-1)=1 0002-12=1 000 000-1=999 999.(4)4-4×62+622=(2-62)2=3 600.8.解析　(1)去括号,得x 2+x-6-x 2-2x-1=1,移项、合并同类项,得-x=8,系数化为1,得x=-8.(2)去括号,得x 2+x 2+2x+1-x 2-4x-4=x 2-4,移项、合并同类项,得-2x=-1,系数化为1,得x=12.9.解析　(1)绿化面积为(4a+b)(2a+b)-(a+b)2-a(4a+b-a-b)=8a2+6ab+b2-a2-2ab-b2-3a2=(4a2+4ab)平方米.(2)当a=3,b=2时,4a2+4ab=4×32+4×3×2=36+24=60,故绿化面积为60平方米.能力提升全练10.D　原式=4a2-32+4a2-4a+1=8a2-4a-9+1=8a2-4a-8=4(2a2-a)-8.∵2a2-a-3=0,∴2a2-a=3,∴4(2a2-a)-8=4×3-8=4.故选D.11.B　设a+2 023=m,a+2 022=n,则m-n=a+2 023-(a+2 022)=1,∵(a+2 023)(a+2 022)=5,∴mn=5,∴(a+2 023)2+(a+2 022)2=m2+n2=(m-n)2+2mn=12+2×5=1+10=11,故选B.12.C　根据题中的新定义得,①a*b=(a-b)2,b*a=(b-a)2,(a-b)2=(b-a)2,正确;②(a*b)2=[(a-b)2]2=(a-b)4,a2*b2=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2,不正确;③a*(b-c)=[a-(b-c)]2=(a-b+c)2,(b-c)*a=(b-c-a)2,(a-b+c)2=(b-c-a)2,正确;④a*(b+c)=(a-b-c)2,a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2,不正确.故选C.13.答案　-23解析　(x+y)(x-3y)-my(nx-y)=x2-3xy+xy-3y2-mnxy+my2=x2+(-2-mn)xy+(-3+m)y2,由题.意可知,原式的值与y的取值无关,∴-2-mn=0,-3+m=0,∴mn=-2,m=3,∴n=-2314.答案　-2解析　ab(5ka-3b)-(ka-b)(3ab-4a2)=5ka2b-3ab2-(3ka2b-4ka3-3ab2+4a2b)=5ka2b-3ab2-3ka2b+4ka3+3ab2-4a2b=2ka2b-4a2b+4ka3=(2k-4)a2b+4ka3,∵a、b互为相反数,即b=-a时,整式的值为0,∴(2k-4)a2·(-a)+4ka3=0,∴(4-2k)a3+4ka3=0,∴(2k+4)a3=0,∴2k+4=0,∴k=-2.15.解析 (1)(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)=6x2-9x+2x-3-6x2+24x+5x-20=22x-23,当x=-2时,原式=-44-23=-67.(2)(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3y)+6x -x-52y =2x 2+2xy-xy-y 2+4x 2-6xy-6x 2-15xy=-20xy-y 2,当x=1,y=2时,原式=-20×1×2-22=-44.16.解析 (1)原式=4x 2-25-(4x 2-12x+9)=4x 2-25-4x 2+12x-9=12x-34,当x=1112时,原式=12×1112-34=11-34=-23.(2)①∵a+b=6,ab=7,∴a 2+b 2=(a+b)2-2ab=62-2×7=36-14=22.②∵a+b=6,ab=7,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=62-4×7=36-28=8.17.解析 (1)原式=3a 2+2ab-9ab-6b 2-(10ab-6b 2)=3a 2+2ab-9ab-6b 2-10ab+6b 2=3a 2-17ab,∵(a-2)2+b +1=0,∴a-2=0,b+1=0,解得a=2,b=-1,∴原式=3×22-17×2×(-1)=12+34=46.(2)原式=2ax 2+4ax-6x-12-3x 2-b=(2a-3)x 2+(4a-6)x-12-b,由题意得2a-3=0,-12-b=0,解得a=32,b=-12.素养探究全练18.解析　验证　12×10=5,5=1+4=12+22.探究　(m+n)2+(m-n)2 =m 2+2mn+n 2+m 2-2mn+n 2 =2m 2+2n 2=2(m 2+n 2),∵m,n 为正整数,∴m 2+n 2是整数,∴2(m 2+n 2)是偶数,∴(m+n)2+(m-n)2一定是偶数,该偶数的一半为12[(m+n)2+(m-n)2]=12×[2(m 2+n 2)]=m 2+n 2,∴“发现”中的结论正确.19.解析　x 3+2x 2+x-1=x(x 2+2x+1)-1=x[x(x+2)+1]-1,当x=8时,原式=8×[8×(8+2)+1]-1=647.。

3.5 整式的化简参考教案【教学目标】1、掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序。

2、会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简。

3、会利用加、减、乘、乘方运算解决简单实际问题。

【教学重点难点】重点：整式的化简。

难点：例2的问题情景比较复杂，且涉及平均变化率的概念，是本节的难点。

【教学准备】电脑、投影【教学过程】一、创设情景。

用多媒体出示“合作学习”内容（略）由“合作学习”图形的面积计算为背景，让学生经历列代数式－化简－求值过程。

使学生在活动中体验，领悟特征实质；引导学生探索，整合知识系统。

教师在以下环节中应予指导：（1）如何用a、b的代数式表示两个正方形的边长，根据已知点M是AB的中点，可得：AM＝(1/2)AB=BM=2a，∴AP=2a+b；BP=2a－b则S＝（2a＋b）2 －（2a－b）2（2）当a＝4，b＝1/2时，求s的值的时候，是直接代入，还是先将整式（2a＋b）2 －（2a－b）2化简后再代入？让学生动手后进行比较和选择。

（3）概括整式化简过程一般运算顺序？二、例题设计：例1：化简：（1）（2x－1）（2x+1）－（4x+3）（x－6）（2）（2a+3b）2－4a（a+3b+1）分析：例1是整式的化简。

教学中要着重讲清以下几点：（1）先观察所要化简的整式，其中含有哪些运算？哪些运算的顺序；（2）各种运算应遵循怎样的运算法则？乘法公式是否适用？（3）结果的形式应保持最简，有同类项的必须合并同类项。

师生双边活动，教师板演。

例2：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。

（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？分析：讲解例2的关键是使学生理解4月份的销售额，5月份的销售额与平均每月增长x%或下降率x%之间的关系。

教学中可作如下处理：（1）指出平均增长率（或下降率）并不是各个月的实际增长率（或下降率）的平均数，而是一种假设：假设每个月的增长率都相同。

3.5整式的化简同步练习一、单选题1．下列运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣42．下列各式中，与(2−√3)的积为有理数的是（）A．2√3B．2−√3C．−2+√3D．2+√33．下列运算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2B．2a2﹣a2＝2C．a2•a＝a3D．（a﹣1）2＝a2﹣14．若a=20180，b=2017×2019−20182，c=(−45)2017×(54)2018，则a，b，c的大小关系式() A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b5．下列一元二次方程中，有实数根的是（）A．x2-2x+2=0B．x2+4x+5=0C．4x-2x2=0D．6x2=4x-16．当n为自然数时，(n+1)2−(n−3)2一定能（）A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除7．如果x2+y2=8,x+y=3，则xy=（）A．1B．12C．2D．−128．已知M=20222,N=2021×2023，则M与N的大小关系是（）A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实取方法还有其他重要应用.例：已知 x 可取任何实数，试求二次三项式 2x 2−12x +14 的值的范围解: 2x 2−12x +14=2(x 2−6x)+14=2(x 2−6x +32−32)+14=2[(x −3)2−9]+14=2(x −3)2−18+14=2(x −3)2−4 .∵ 无论 x 取何实数，总有 (x −3)2⩾0 ，∴2(x −3)2−4⩾−4.即无论 x 取何实数， 2x 2−12x +14 的值总是不小-4的实数.问题:已知 x 可取任何实数，则二次三项式 −3x 2+12x −11 的最值情况是（ ）A ．有最大值-1B ．有最小值-1C ．有最大值1D ．有最小值110．如图，在长方形ABCD 中，AB<BC ，点P 为长方形内部一点，过点P 分别做PE⊥BC 于点E 、PF⊥CD 于点F ，分别以PF 、CF 为边做作正方形PMNF ，正方形GHCF ，若两个正方形的面积之和为 734，EH= 52 ，BE=DF=2，则长方形ABCD 的面积为（ ）A ．17B ．21C ．24D ．28二、填空题11．若x 2-2xy+y 2=4，则x -y 的值为 .12．已知： a =(12)−1+(−√3)0 ， b =(√3+√2)(√3−√2) ，则 √a +b = . 13．如果代数式x 2+mx+9＝（x+b ）2，那么m 的值为 .14．已知 174 a 2+10b 2+ 19 c 2﹣4ab ＝ 13 a ﹣2bc ﹣ 19，则a ﹣2b+c ＝ .15．已知：x +1x =3，则x 2+1x 2= . 16．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S 1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S 2．若a+b ＝8，ab ＝10，则S 1+S 2= ；当S 1+S 2＝40时，则图3中阴影部分的面积S 3= .三、计算题17．计算：（1）(3x −y)2（2）a 2−4a+2÷(a −2)⋅1a−2（3）(√3−2)0+√3×(2√2−√113) （4）√2×(√6+√2)−√27四、解答题18．在一个边长为（√3+√5）cm 的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm 的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．19．若无理数A 的整数部分是a ，则它的小数部分可表示为A -a ．例如：π的整数部分是3，因此其小数部分可表示为π-3．若x 表示 √47 的整数部分，y 表示它的小数部分，求代数式( √47 +x)y 的值．20．小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2−8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3，∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1.∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2(−1)+1=−1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=√2−1，求4a2−8a−3的值.五、综合题21．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a+b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3展开式中的系数.（1）根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式;（2）利用上面的规律计算: 25−5×24+10×23−10×22+5×2−1.22．阅读理解.“若x满足(70−x)(x−20)=30，求(70−x)2+(x−20)2的值”.解:设(70−x)=a,(x−20)=b，则(70−x)(x−20)=ab=30,a+b=(70−x)+(x−20)=50，那么(70−x)2+(x−20)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=502−2×30=2440.解决问题.（1）若x满足(40−x)(x−10)=−10，求(40−x)2+(x−10)2的值;（2）若x满足(2021−x)2+(2020−x)2=4321，求(2021−x)(2020−x)的值;（3）如图，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.(结果必须是一个具体的数值).答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】±212．【答案】213．【答案】±614．【答案】-1415．【答案】716．【答案】34；2017．【答案】（1）解：(3x −y)2=9x 2−6xy +y 2（2）解：a 2−4a+2÷(a −2)⋅1a−2=(a−2)(a+2)a+2⋅1a−2⋅1a−2=1a−2（3）解：(√3−2)0+√3×(2√2−√113)=1+2√2×3−√43×3，=1+2√6−2，=2√6−1（4）解：√2×(√6+√2)−√27=√2×√6+√2×√2−3√3，=2√3+2−3√3，=2−√3.18．【答案】解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5−√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．19．【答案】解：6< √47<7，∴√47的整数部分为6，即x=6，则√47的小数部分y= √47-6，∴( √47+x)y=( √47+6)( √47-6)=( √47)2-62= 47- 36= 1120．【答案】解：⊥ a=√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，⊥ a−1=√2，⊥ (a−1)2=2,a2−2a+1=2，⊥ a2−2a=1，⊥ 4a2−8a−3= 4（a2−2a)−3=4×1−3=1.21．【答案】（1）解：如图，∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.（2）解：设a=2，b=-1，由(2)得原式=25+5×24×(−1)+10×23×(−1)2+10×22×(−1)3+5×2×(−1)4+(−1)5 =(2-1)5=1.22．【答案】（1）解：设(40−x)=m,(x−10)=n，∴m+n=(40−x)+(x−10)=30，∴(40−x)2+(x−10)2=m2+n2=(m+n)2−2mn=302−2×(−10)=920.（2）解：设2021−x=c,2020−x=d，∴c2+d2=(2021−x)2+(2020−x)2=4321∴c−d=(2021−x)−(2020−x)=1∴2cd=(c2+d2)−(c−d)2=4320∴(2021−x)(2020−x)=2160（3）解：∵正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30，∴DE=x−14,DG=x−30∴(x−14)(x−30)=500设x−14=a,x−30=b，∴ab=500,a−b=(x−14)−(x−30)=16∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=162+4×500=2256故阴影部分的面积为2256.。

3.5整式的化简【教学目标】1．知识与技能：熟练掌握运用整式的乘法法则和乘法公式进行计算、化简、求值。

2．过程与方法：让学生主动参与到学习的探索过程中来，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养学生的解题能力，提高运算的速度和准确性。

3．情感态度价值观：体会数学学习与生活的密切关系，了解数学的应用价值和数学化简的简约美，体验数学的转化思想。

【教学重难点】重点：整式的化简和应用难点：用平均增长率问题解决实际问题。

【教学准备】多媒体，投影仪。

【教学过程】一、创设情景，引入新课比一比：(看谁最快)二、合作学习，探究新知1．热身训练：化简（抢答）：2200921)(1)(1)x x x x +--+当分别取0,1,时，求整式(的值？221)21m m m -=-+3、(21)(3)43m m m m ++=++4、(222(2)(2)(2)24224x x x x x x x x x++-+=++-=+-5、22221)(1)(3)2143224m m m m m m m m m-+++=-++++=++ 6、(从上述化简过程中，你能总结出整式化简的一般运算顺序吗？2．概括新知：整式化简的一般顺序：①先________，再________，最后算________的顺序；②能用___________的则运用公式。

（注意：最后能合并同类项的合并同类项）3．尝试练习：化简：例题2(1)(1)(3) m m m--++4．巩固练习5．学以致用（1）图片欣赏（2）目前，扬子鳄村门票价格为35元/人，为了更好的开放扬子鳄村，扬子鳄管理部门研究决定，将在“五。

一”假日期间对门票进行降价活动，其中成年人门票降价的百分率为x，那么“五.一”期间成年人的门票价格为_______元/人；另外学生在成年人的门票价格基础上再降，百分率也为x，则学生的门票价格为______元/人。

（3）近些年，越来越多的人开始关注扬子鳄，据统计，06年来扬子鳄村的游客有a人，此后平均每年游客人数增加的百分率为x，那么08年的游客人数有______人（4）已知鳄鱼池（白色图形）和垂钓休闲区（黑色图形）都是正方形，到2008年底，它们的面积都为a，根据扬子鳄村的发展规划，为了给扬子鳄一个更大的活动空间，在未来两年里，鳄鱼池面积要扩大，平均每年扩大的百分率为x，垂钓休闲区的面积减少，平均每年减少的百分率也为x。

课题：整式的化简●教学目标：一、知识与技能目标：1.能够准确的说出整式化简的顺序和遵循的规则；2.能够准确的对方程式进行化简；3.能够准确的运用乘法公式对方程式进行计算、化简和求值；二、过程与方法目标：经历探索方程式化简的顺序，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；三、情感态度与价值观目标：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。

●重点：1.整式的化简；2.整式的化简的应用。

●难点：整式化简过程中根据题目的特点确定合理的运算顺序（或运用乘法公式）。

●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经学习了一系列的乘法公式，现在我们一起来回忆一下：同底数幂乘法：a m×a n=a m+n，积的乘方：（ab）n=a n b n，幂的乘方（a n）m=a nm，单项式乘多项式:a（b+c）=ab+ac，多项式乘多项式:(a+n)（b+m）=ab+am+bn+nm，平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²，完全平方和公式: (a+b)²=a²+2ab+b²，完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²。

这些乘法公式在数学界里到底有什么用处呢？在前面的几节课里，我们大体的了解了乘法公式的一些奇妙用处，这节课我们将进一步的走进这些乘法公式，体会乘法公式对于整式的化简的奇妙作用。

整式的化简是什么呢？乘法公式和整式的化简又有什么奇妙关系呢？现在我们一起来学习。

【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

二、活动探究同学们，我们首先来看一个例子。

看看整式的化简到底是怎样的呢？同学们，大家先看下这个例子，这里我们到底要怎么解决这个问题呢？学生活动：看例子并思考问题。

（1）在这里我们根据题意，可以发现两个等式关系：AP=AM+MP，BP=BM-MP，而又得知M是AB的中点，于是我们可以得到AP=2a+b，BP=2a-b。

浙教版数学七年级下册《3.5 整式的化简》教学设计1一. 教材分析浙教版数学七年级下册《3.5 整式的化简》是学生在学习了整式的加减、乘除以及合并同类项等知识后，进一步深化对整式运算法则的理解和应用。

本节课的主要内容是引导学生掌握整式化简的方法，通过具体例题让学生体会化简的技巧，提高学生解决问题的能力。

教材中安排了丰富的练习题，有助于巩固所学知识。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的基本运算，对合并同类项、整式的加减、乘除等运算规则有所了解。

但部分学生在面对复杂的整式化简问题时，仍缺乏解决问题的策略和技巧。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行有针对性的指导。

三. 教学目标1.理解整式化简的概念和方法。

2.掌握整式化简的技巧，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：整式化简的方法和技巧。

2.难点：如何将复杂整式化简为简单形式，并正确运用化简后的式子。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究整式化简的方法。

2.通过合作学习，让学生在讨论中取长补短，共同提高。

3.利用多媒体教学手段，展示例题的解题过程，增强学生的直观感受。

4.注重个体差异，给予学生个性化指导，提高学生的学习兴趣和自信心。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括例题、练习题及相关教学素材。

2.准备教案和学案，为学生提供学习指导。

3.准备黑板和粉笔，用于板书关键知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习整式的基本运算规则，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题目特点，分析解题思路。

在这个过程中，教师要注意引导学生关注化简过程中的关键步骤，让学生体会化简的技巧。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成教材中的练习题。

教师在课堂上巡回指导，针对不同层次的学生进行有针对性的辅导。

浙教新版七年级下册《3.5整式的化简》2024年同步练习卷一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.化简的结果是()A. B.0 C. D.2.化简的结果是()A. B. C. D.3.化简的结果是()A. B. C. D.4.若，则的值为()A. B.6 C.18 D.305.某商品原价a元，因需求量大，经营者连续两次提价；每次提价，后因市场价格调整，又一次降价，则降价后商品的价格为元()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.某公园一块草坪的形状如图所示阴影部分，用代数式表示它的面积为______.7.已知且，则代数式的值为______.8.我们规定一种运算：，例如按照这种运算规定，已知，则______.9.已知，，则______.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

10.当x取什么值时，代数式的值为零．四、解答题：本题共6小题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分化简：；；；12.本小题8分先化简，再求值：，其中；，在，0，3这三个数中选择合适的数代入求值.13.本小题8分解方程：14.本小题8分一种蔬菜a千克，不加工直接出售每千克可卖b元，如果经过加工重量减少了，价格增加了，问：写出a千克这种蔬菜加工后可卖钱数的代数式．如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售，每千克可卖元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？15.本小题8分小红设计了两幅美术作品，第一幅的宽是，长比宽多，第二幅的宽是第一幅的长，且第二幅的长比宽多求第一幅美术作品的面积；第二幅美术作品的面积比第一幅大多少？16.本小题8分阅读下列材料：在公式中，当a分别取1、2、3、4、…n可得以下等式：；；；；…将这n个等式的左右两边分别相加，可以推导出求和公式：…______若，仿照上述方法，求…答案和解析1.【答案】B【解析】解：原式故选：先利用平方差公式，再合并同类项．本题考查了平方差公式和合并同类项法则．掌握平方差公式是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则、平方差公式及合并同类项法则，掌握平方差公式及单项式乘以多项式法则是解决本题的关键．先用平方差公式、单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项．【解答】解：原式故选：3.【答案】A【解析】解：原式故选：根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则进行计算即可．本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．4.【答案】B【解析】【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：，即，原式故选：5.【答案】C【解析】解：降价后商品的价格为，故选：原价为a，第一次提价后的价格为：，第二次提价后的价格：，再降价，进而化简即可．本题考查了根据实际问题列代数式，正确理解问题中的数量关系，总结问题中隐含的规律是解题的关键．6.【答案】【解析】解：由图可知：大矩形的面积为：；两块空白矩形的面积为：；因此草坪的面积就应该是：草坪的面积=大矩形的面积-两个空白矩形的面积，应该根据图中数据逐一进行计算，然后求差．本题考查了单项式乘法，解决这类问题首先要从简单图形入手，认清各图形的关系，然后求解．7.【答案】6【解析】解：且，，，故答案为：根据且，可以求得的值，然后即可求得题目中的式子的值，本题得以解决．本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．8.【答案】【解析】【分析】本题考查了新定义、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则以及一元一次方程的解法．根据题意给出的运算法则，然后将其原式进行化简即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，，，故答案为9.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：由得到，则，根据完全平方公式得到，然后利用平方根的定义求解．本题考查了完全平方公式，熟记是解答此题的关键．10.【答案】解：根据题意得：原式，解得：【解析】原式第二项利用多项式乘多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，根据结果为0即可求出x的值．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】解：；；；【解析】根据平方差公式和多项式乘多项式可以解答本题；根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题．本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．12.【答案】解：原式，当时，原式；原式，当时，原式【解析】首先利用整式的乘法法则去掉括号，然后化简，最后代入数值计算即可求解；首先计算加法，然后把除法变为乘法约分即可化简，最后代入数值计算即可求解．此题分别考查了整式的化简求值，分式的化简求值，解题的关键都是化简，然后代入数值计算即可求解．13.【答案】解：当时，方程整理得：，无解；当时，方程整理得：，解得：；当时，方程整理得：，无解，综上，方程的解为【解析】分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简方程，求出解即可．此题考查了解一元一次方程，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】解：千克这种蔬菜加工后可卖钱数为；当，时，元，元，答：加工后原1000千克这种蔬菜可卖1800元，比加工前多卖300元．【解析】根据加工后的重量乘以加工后的价格列式、化简即可；将、代入中所列代数式计算，再结合加工前的总价钱即可得出答案．本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意，掌握加工后总价钱的等量关系式及代数式书写规范、求值．15.【答案】解：第一幅美术作品的面积为；第二幅美术作品的面积为，则第二幅美术作品的面积比第一幅大【解析】根据第一幅美术作品的长与宽的关系表示出长，进而表示出面积，化简即可；表示出第二幅美术作品的面积，相减即可求出所求．此题考查了整式的混合运算，列出正确的代数式是解本题的关键．16.【答案】【解析】解：把已知的式子左右分别相加得：………，即………，则…，即……在立方公式中，取得，依次取，2，3，…，，n得，，，…，将以上n个式子相加，得……，…将这n个等式的左右两边分别相加，去掉相同的项，即可化简求得；先在立方公式中，取，那么，再让，2，3，…，，n得，，，…，，再把这些式子相加可得……，从而可证…本题考查了完全平方公式和立方公式．在证明过程中可仿照平方公式的证明方法，注意先对立方公式进行变形．。

3.5整式的化简溪口初中——胡向阳教学目标: 知识目标: 熟练运用整式的乘法法则和乘法公式进行计算、化简、求值和解方程能力目标: 让学生主动参与到学习的探索过程中来,逐步形成独立思考,主动探索的习惯,培养学生的解题能力,提高运算的速度和准确性.情感目标: 体会数学学习与生活的密切关系,了解数学的应用价值和数学化简的简约美,体验数学的转化思想.重难点:重点: 整式的化简和应用难点: 化简过程中根据题目的特点确定合理的运算顺序.教学过程一、神秘岛二、智慧屋三、拼拼凑凑快乐学习分析:先计算乘方和括号内的,注意要在括号的计算的时候先填括号再去括号,防止把符号弄错.分析:注意化简过程中不要弄错符号,不要漏项.1)10)(52()442()53)(53(5)(3x2++-++-+--+xxxxxx2)53(+x)53)(53(+--xx xx4422+xx4422--501522-+xx253092++xx2592-x2592+-x四、展开你想象的翅膀如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上，分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF.设AB=4a ，MP=b ，正方形APCD 与正方形PBEF 的面积之差为S (1) 用a,b 的代数式表示S ；(2)当a=4,b=0.5时，S 的值是多少？165.0488=⨯⨯=ab分析:要引导学生先化简再求值. 注意:本题由学生分析化简计算五、爱我家乡 (一) 填空1、一棵18公分的香樟树可以卖到1000元,有段时间苗木价格有点波动,18公分的香樟树降价10%,则降价后为 900 元2、去年3月份,一棵18公分的香樟树收购价格为a 元,在4月份降价,降价率为x,则4月份收购价格为 元 ,5月份又以同样的降价率降价,则5月份收购价格为 元 .3、去年3月份,一棵10公分的野生银杏的收购价格为a 元,在4月份涨价,涨价率为x,则4月份收购价格为 元 ,5月份又以同样的涨价率涨价,则5月份收购价格为 元 .(二) 应用: 去年3月份,一棵18公分的香樟树和10公分的野生银杏收购价格均为a 元,在4月和5月这两个月中,香樟树的收购价格平均每月下降率为x,)1(x a -2)1(x a -)1(x a +2)1(x a +而银杏树的收购价格平均每月增长率为x,（1）5月份野生银杏的收购价格比香樟树的收购价格多多少？ 列表分析:（2）如果a=1500，x=0.02，那么5月份野生银杏的收购价格比香樟树的收购价格多多少元？ 12002.0150044=⨯⨯=ax分析:本题给出表格,让学生以填表的形式完成题目.六、欢乐大比拼1、有两个圆，较大圆的半径为r ，较小圆的半径比较大圆的半径小3mm ，求: (１) 两圆的面积差;(２)当r=10mm 时，面积之差是多少？2、在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加ｍ米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加ｎ米长的铁丝，则ｍ与ｎ的大小关系是（ ）A 、ｍ＞ｎB 、ｍ＜ｎC 、ｍ＝ｎD 、不能确定七、勇敢大挑战ax4=小结:小结:本节课的主要内容:１、整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减。

整式的运算与化简在代数学中，整式是由常数、变量和加减乘除运算符组成的代数表达式。

整式的运算与化简是代数学中非常重要的内容，它们在解决实际问题、推导公式以及简化计算中发挥着重要的作用。

本文将介绍整式的运算规则和化简方法。

一、整式的运算规则1. 加减法运算：整式的加减法运算遵循“同类项相加”的原则。

所谓的同类项是指变量的指数相同且字母部分相同的项。

例如：2x + 3x = 5x（同类项 2x 和 3x 相加）4x² - 2x² = 2x²（同类项 4x²和 -2x²相加）2. 乘法运算：整式的乘法运算采用分配律，即将一个整式乘以另一个整式时，将其中一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘，然后将所得乘积相加。

例如：(3x + 2)(2x - 1) = 6x² - x + 4x - 2 = 6x² + 3x - 2（使用分配律展开）注意，乘法运算后需要对结果进行合并同类项的处理，得到最简整式。

3. 除法运算：整式的除法运算可以通过因式分解的方法进行。

例如：(4x³ - 2x² + x) ÷ x = 4x² - 2x + 1（将 x 提取出来进行因式分解）二、整式的化简方法1. 合并同类项：在整式中，我们可以将具有相同变量和指数的项进行合并。

例如：2x + 3x = 5x4x² - 2x² = 2x²2. 因式分解：将整式表示为更简单因式的乘积形式。

例如：6x² + 3x - 2 = (3x - 1)(2x + 2)（根据乘法运算展开分解）x² + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)²（根据乘法运算展开分解）3. 提取公因式：在整式中，如果所有的项都可以被一个公因式整除，则可以提取该公因式。

例如：3x³ + 6x² = 3x²(x + 2)（提取公因式 3x²）5xy - 10y = 5y(x - 2)（提取公因式 5y）4. 合并同底数幂：如果整式中存在有相同底数的幂运算，则可以将它们合并。

3.5 整式的化简整式的化简的顺序：应遵循先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。

重要提示：（1）运用公式时，括号前是负号的要注意变号。

（2）结果中有同类项的一定要合并同类项。

（3）有时逆用乘法公式可以达到化简的目的。

合理应用公式（1）mc mb ma c b a m ++=++)(（2）nm nb am ab m b n a +++=++))((（3）22))((b a b a b a -=+-（4）2222)(b ab a b a ++=+（5）2222)(b ab a b a +-=-知识点1类型一 整式的化简例1 （1）化简22)1()1(--+a a 的结果是（2）将代数式142-+x x 化成q p x ++2)(的形式为（3）化简：①2225)2()3(y y x y x ++-- ②)4)(2)(2()12)(12(2224++---+-a a a a a a类型二 化简求值例2 （1）先化简再求值：)3)(()(2n m n m n m -+++，其中1,2==n m（2）根据实际问题列代数式并化简求值有两块底面呈正方形的长方形金块,它们的高都为h,较大一块的底面边长比1cm 大x cm,较小 一块的底面边长1cm 小x cm 。

已知金块的密度为19.3g/cm ³,问两块金块的质量相差多少? 若h=0.9cm,a=0.3cm 呢?类型三 解方程例3 解方程：)13(2)4)(3()4(2+=+---x x x x类型四 整式的化简在生活中的应用例4 如图，某市有一块长为)3(b a +米，宽为)2(b a +米的长方形地块，•规划部门计划将阴影部分进行绿化， 中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？•并求出当3=a ，2=b 时的绿化面积．类型五 利用整式乘法说明理由例5 说明：整式)24)(42()241)(241(33n n n m n m +-+-+的值与n 无关。

整式的化简求值整式的化简求值是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，并求出具体的数值。

在本文中，我们将探讨整式的化简求值的方法和技巧。

让我们来了解一下什么是整式。

整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除）组成的代数表达式。

例如，2x^2 + 3xy - 4y^2就是一个整式。

整式的化简求值就是将这样的代数表达式简化为一个具体的数值。

在进行整式的化简求值时，我们需要遵循一些基本的规则和原则。

首先，我们要按照运算符的优先级进行计算。

乘法和除法的优先级高于加法和减法，因此我们需要先进行乘法和除法的运算，然后再进行加法和减法的运算。

我们要注意变量的指数运算。

例如，x^2表示x的平方，y^3表示y的立方。

在进行指数运算时，我们需要按照指数的大小进行计算。

例如，x^2 * x^3 = x^(2+3) = x^5。

我们还要注意符号的运算。

正数乘以正数等于正数，正数乘以负数等于负数，负数乘以负数等于正数。

这个规则同样适用于加法和减法运算。

接下来，让我们通过一个具体的例子来演示整式的化简求值的过程。

假设我们要求解表达式：2x^2 + 3xy - 4y^2，其中x=2，y=3。

我们将x和y的值代入到表达式中：2(2^2) + 3(2)(3) - 4(3^2)。

然后，我们按照运算符的优先级进行计算。

首先进行指数运算：2(4) + 3(2)(3) - 4(9)。

接下来，进行乘法运算：8 + 18 - 36。

进行加法运算：8 + 18 - 36 = -10。

因此，当x=2，y=3时，表达式2x^2 + 3xy - 4y^2的值为-10。

通过这个例子，我们可以看到整式的化简求值的过程是比较简单和直观的。

只需要按照一定的规则和顺序进行运算，最后得出具体的数值。

除了基本的规则和原则，还有一些特殊的情况需要我们注意。

例如，当整式中存在括号时，我们需要先进行括号内的运算，然后再进行其他运算。

另外，当整式中存在相同的项时，我们可以将它们合并为一个项，并进行系数的运算。

新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识构造⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎩同位角相等，两直线平行直线平行的判定内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等平行线与相交线两直线平行，同旁内角互补作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角相交线：补角、余角、对顶角二、要点诠释1.两条直线的位置关系〔1〕在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。

〔2〕平行线：在同一平面，不相交的两条直线交平行线。

2.几种特殊关系的角〔1〕余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。

②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

〔2〕对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。

〔3〕同位角、错角、同旁角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。

①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。

②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做错角。

③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁角。

三、主要容〔1〕平行线的判定：同位角相等，两直线平行；错角相等，两直线平行；同旁角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两直线平行。

〔2〕平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，错角相等；两直线平行，同旁角互补；经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行。

第二章：二元一次方程组2.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

2.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。