湖南省郴州市资兴矿务局第一职工子弟中学2019年高一数学理测试题

湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果仝集，，3，，则A. B. C. D.2.设，则z的虚部是A. B. C. D.3.已知，则A. B. C. D.4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是A. 7B. 8C. 9D. 105.已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在，有；命题q：若函数在区间上有，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A.B.C. 1D.7.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的一个值为A. B. C. D.8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形阴影设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形阴影内的米粒数大约为A. 134B. 67C. 200D. 2509.将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥的外接球体积为A. B. C. D.10.在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是A. 或B.C.D.11.已知椭圆的左右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是A. 2B.C.D.12.若函数的图象和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满约束条件，则的最小值是______．14.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是______．15.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且，，则的最小值为______．16.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，在等差数列中，公差为b．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，设为数列的前n项和，求的取值范围．18.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：Ⅰ从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；Ⅱ从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．19.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．Ⅰ求证：平面平面PAC；Ⅱ在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由．20.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作，垂足为M，使是等边三角形且面积为．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若点H是圆O：与抛物线C的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆O的方程．21.设函数．Ⅰ若恒成立，求a的取值范围；Ⅱ对函数图象上任意两个点，，，设直线AB的斜率为其中为函数的导函数，证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．Ⅰ求点P的直角坐标：；Ⅱ若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．23.已知函数Ⅰ求函数的值域；Ⅱ若，使成立，求a的取值范围．湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）24.如果仝集，，3，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，且，且；．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．25.设，则z的虚部是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则z的虚部为，故选：D．根据复数的运算法则进行计算即可．本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则是解决本题的关键．26.已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，即，和同号．则．故选：A．由，即，可知和同号，则答案可求．本题考查了三角函数值的符号，是基础题．27.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选：B．该程序的作用是累加14次考试成绩大于等于90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．本题考查循环结构以及茎叶图，解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用，是基础题．28.已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在，有；命题q：若函数在区间上有，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：根据零点存在定理，可得在区间上的连续不断的函数，存在，使时，不一定成立；若，则函数在区间上存在零点，即存在，使．是q的必要不充分条件．故选：C．根据零点存在定理及充要条件的定义即可判断答案．本题考查零点存在定理，考查充要条件的判定，是基础题．29.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A.B.C. 1D.【答案】A【解析】解：由几何体的三视图知，该几何体正六棱锥，且正六棱锥的底面边长为，高为；该几何体的侧视图是，如图所示；则侧视图的面积为．故选：A．由三视图知该几何体正六棱锥，结合图中数据求出该正六棱锥的侧视图的面积．本题考查了几何体三视图的画法与应用问题，是基础题．30.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的一个值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则，，则的一个值为，故选：B．利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性求得的值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．31.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形阴影设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形阴影内的米粒数大约为A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B【解析】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，则小正方形的边长为，小正方形的面积则落在小正方形阴影内的米粒数大约为，故选：B．根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键．32.将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥的外接球体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：易知和都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，且，设BD的中点为点O，则，所以，点O为三棱锥的外接球的球心，BD为该三棱锥外接球的直径，设该球的半径为R，则．因此，三棱锥的外接球的体积为．故选：C．由已知条件得知和都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，于是得出BD即为三棱锥的外接球的直径，可得出球的半径，再利用球体的体积公式可得出答案．本题考查球的体积的计算，解决本题的关键在于找出三棱锥外接球的直径，考查计算能力，属于中等题．33.在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是A. 或B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，则，则，由，得，即，即，即，即，则，则，则，即或，即或，故选：A．由余弦定理先求出A的大小，结合正弦定理以及两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键考查学生的计算能力．34.已知椭圆的左右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：设，，，可得，，作差可得，代入，，，可得，解得．故选：D．设，，，运用中点坐标公式和椭圆方程，作差，以及直线的斜率公式，解方程即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法注意运用直线的斜率、中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．35.若函数的图象和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，由得，得，当时，由得，此时时方程的一个根，当时，，设，当时，，由得得，得此时函数为增函数，由得得，得，此时函数为减函数，即当时，取得极小值，当时，，作出的图象如图：要使与直线有四个不同的公共点，等价为与有3个不同的交点，则a满足或，即实数a的取值范围是，故选：D．根据分段函数的表达式，先得到是与的一个根，利用参数分离法构造函数，得到与有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）36.设x、y满约束条件，则的最小值是______．【答案】【解析】解：由x、y满约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．37.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是______．【答案】252【解析】解：令，可得的展开式中各项系数之和为，，，它的展开式的通项公式为，令，可得，则展开式中的系数为，故答案为：252．由题意利用二项式系数的性质求得，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．38.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：是的重心，，又，，，G，N三点共线，，，故答案为：．首先利用M，N，G三点共线得到x，y的关系式，再巧用不等式求最值．此题考查了三点共线，不等式等，难度适中．39.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．【答案】【解析】解：是以为顶角的等腰三角形，A在左支上，B在右支上，其中设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即，即有，在中，由余弦定理可得，，解得．故答案为：由题意设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即有，在中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）40.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，在等差数列中，公差为b．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，设为数列的前n项和，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，可得，，即，即，可得数列的通项公式为，；Ⅱ，则，由数列为递增数列，可得，且，则．【解析】Ⅰ由等比数列的中项性质和三角形的面积公式可得，再由等差数列的通项公式可得所求；Ⅱ求得，由数列的裂项相消求和，以及数列的单调性和不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查三角形的面积公式和等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．41.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：Ⅰ从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；Ⅱ从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．【答案】解：Ⅰ由条件得表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：．【解析】Ⅰ表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，利用互斥事件概率加法公式能求出这2名学生来自同一小组的概率．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．42.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．Ⅰ求证：平面平面PAC；Ⅱ在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．【答案】证明：Ⅰ，E为AC的中点，，又平面ABCP，面ABC，，，面PAC，面BEF，平面平面PAC．解：Ⅱ如图，由Ⅰ知，，点E，F分别为AC，PC的中点，，，，又，，EC，EF两两垂直，分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，0，，2，，设，，，2，，4，，设面PBC的法向量y，，则，取，得，直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为，，解得或舍，．线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而面PAC，由此能证明平面平面PAC．Ⅱ分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．本题考查面面垂直的证明，考查线面有的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．43.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作，垂足为M，使是等边三角形且面积为．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若点H是圆O：与抛物线C的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆O的方程．【答案】解：Ⅰ如图所示，等边的面积为，设其边长为a．所以，，，则．，．所以，抛物线C的方程为；Ⅱ解法一：设点H的坐标为．因为抛物线C的焦点为，．，．所以，．当且仅当，即当时，取得最小值．此时，点H的坐标为，则圆O的方程为；解法二：如下图所示，过点H作HN垂直于抛物线C的准线，垂足为点N，设，则．由抛物线的定义可得，所以，．结合图形可知，当取得最大值时，取得最小值．此时，直线HA与抛物线C相切，设直线HA的方程为．将该直线方程与抛物线C的方程联立得，得，解得，代回方程可得．于是得出点H的坐标为或，代入圆O的方程可得出圆O的方程为．【解析】Ⅰ由三角形的面积公式得出的边长为4，再利用锐角三角函数得出p的值，从而可得出抛物线C的方程；Ⅱ解法一是设点，计算出和的表达式，利用基本不等式求出的最小值，注意等号成立的条件求出的值，可得出点H的坐标，代入圆O的方程可求出圆O的方程；解法二是过点H作HN垂直于抛物线的定义得出，并设，利用取到最小值时，取到最大值，此时HA与抛物线相切，并设直线HA的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由得出m的值，进而得出点H的坐标，再将点P的坐标代入圆O的方程可得出圆O的方程．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，解决本题的关键在于灵活使用数形结合的思想，属于中等题．44.设函数．Ⅰ若恒成立，求a的取值范围；Ⅱ对函数图象上任意两个点，，，设直线AB的斜率为其中为函数的导函数，证明：．【答案】解：Ⅰ，，，解得：，，解得：，故在递减，在递增，故，由已知，解得：，故a的范围是；Ⅱ，，要证，只需证明，，只需证明，即证，令，，即证，也即证，设，，则，故F在递减，故F，即，从而．【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，，即证，设，，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．45.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．Ⅰ求点P的直角坐标：；Ⅱ若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．【答案】解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，直线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，得，点P的直角坐标．Ⅱ圆C：为参数，圆C的普通方程为，圆心，其半径，，，的范围是．【解析】Ⅰ由直线的参数方程能求出直线的直角坐标方程，由直线的极坐标方程，能求出直线的直角坐标方程，联立方程组能求出点P的直角坐标．Ⅱ圆C的普通方程为，圆心，其半径，由此能求出的范围．本题考查点的直角坐标的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．46.已知函数Ⅰ求函数的值域；Ⅱ若，使成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由题意得，当时，，故的值域是；Ⅱ，化为，故存在，使得成立，令，，得，故时，，故．【解析】Ⅰ求出的分段函数的形式，根据x的范围，求出对应的的范围，求出函数的值域即可；Ⅱ问题转化为成立，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．34．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）aaA．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.459．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣5612．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即必要性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即充分性不成立，故“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥．【解答】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S=×（1+2）×2=3，则该几何体的体积V=•3•x=，故x=．故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0，满足条件k≤n，S=2，k=2满足条件k≤n，S=6，k=3满足条件k≤n，S=14，k=4满足条件k≤n，S=30，k=5由题意，此时应该不满足条件5≤n，退出循环，输出S的值为30，则输入的n为4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得该函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数的图象经过点（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，求得sinφ=﹣，可得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53=60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42=12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32=6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22=2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2=20种，故它为“凹数”的概率是=．故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出导函数的解析式，由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵f （x）=sin2x，f′（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]，∴将f （x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数f′（x）的图象．故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】频率分布直方图．【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．9．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，∴a2+b2=25，a=2b，∴b=，a=2∴双曲线的方程为﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣56【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】在所给的等式中，分别令x=1，可得a0=62；令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，从而求得a1+a2+a3+a4+a5 的值．【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，令x=1，可得a0=2+22+23+24+25=62，再令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，∴a1+a2+a3+a4+a5 =﹣57，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，令x=﹣2便可得到f（2）=2f（2），从而得出f（2）=0，从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而f（x）在[0，2]上单调递减，从而得到f（x）在[8，10]上单调递减．容易得到x=4和x=﹣4为f（x）的对称轴，从而便可以得到，即得到x1+x2=﹣8，这样便可得出不正确命题的序号．【解答】解：f（x）为R上的偶函数，且f（x+4）=f（x）+f（2），令x=﹣2得：f（2）=2f（2）；∴f（2）=0，∴①正确；∴f（x+4）=f（x）；∴f（x）为周期为4的周期函数；f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0+4×2，2+4×2]=[8，10]上单调递减，∴②错误；f（x）关于y轴对称，即x=0是f（x）的一条对称轴；∴x=4为函数f（x）图象的一条对称轴，∴③正确；x=﹣4为f（x）的一条对称轴，∴；∴x1+x2=﹣8，∴④正确；∴不正确的命题序号为②．故选B．【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，周期函数的单调性，本题中f（x）的对称轴为x=4n，n∈Z，以及中点坐标公式．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），，∴z=的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为3．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用半径r，圆心M到点P的距离MP以及切线长组成直角三角形，即可求出弦长AB．【解答】解：如图所示，⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，∴圆心为M（2，2），半径为r=3；则圆心M到点P的距离为d=MP==3，∴切线长PA===3，∴弦AB的长为2×=2×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是[，2]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】先根据，min{a，b}表示a，b中的较小数求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）＜时x的集合．【解答】解：根据，min{a，b}表示a，b中的较小数，得到函数f（x）=min{x，}（x＞0）的图象，如图所示：当x=或2时，y=，由图象可知，f （x）≥log42的解集是[，2]，故答案为：[，2]【点评】本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．．【分析】（I）由，可得n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（II）=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．=﹣【解答】解：（I）∵，∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n．n=1时也成立．∴a n=n．（II）=，∴数列{b n}的前项和T n=++…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣=，∴T n=2﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（2B+）=0，结合B为锐角可求B，由正弦定理即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，利用基本不等式可得ac≤4，根据三角形面积公式即可求其最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∥，⇒2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，…⇒sin2B+cos2B=0⇒2sin（2B+）=0（B为锐角）⇒2B=⇒B=，…∴R=[1，2]…（Ⅱ）由cosB==，可得：ac=a2+c2﹣4，…∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，…∴S△ABC=acsinB≤=，即S△ABC的最大值为．…【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式．【分析】（Ⅰ）可设（0＜λ＜1），从而，这便可得到，而，根据条件即可得到，从而便可求出，这样便可解出，从而用表示出向量；（Ⅱ）根据题意便可求出点B，A，C三点的坐标，从而求出向量的坐标，这样根据便可求出，从而得到，这样即可求出，从而由线性规划的知识即可求出m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意不妨设，则；∴；；又；∴；∴==，；∴=；解得；∴；（Ⅱ）由题意知；∴；∴=；又P（x，y），∴；∴；∴；∵点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点P处于点A（）位置时m﹣n最大，且最大值为1．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x求导，利用，计算可知b n+1=b n+1，进而可知数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=n，裂项可知c n=﹣，并项相加得S n=，进而问题转化为求f（n）=的最小值，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：∵f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x，∴f′（x）=，∴，即a n+﹣a n+1=0，∴2n a n+1=2n﹣1a n+1，即b n+1=b n+1，又∵=1，∴数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n=n，∴c n===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n恒成立，∴m＜=1+n+对任意的正整数n恒成立，记f（n）=1+n+，则f（1）=﹣6，f（2）=9，f（3）=﹣，f（4）=10，…，显然当n=1时f（n）取最小值，∴m＜f（1）=﹣6，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣6）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（Ⅱ）由函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f′（x）≥0在x＞0恒成立，即有x2+（2﹣2a）x+1≥0，当x＞0时，2a﹣2≤x+，求得右边函数的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）运用分析法证明．要证，只需证＜，即证ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣=，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，检验成立．可得切线的斜率为f′（1）=﹣，切点为（1，0），可得切线的方程为x+3y﹣1=0；（Ⅱ）f ′（x ）=，由函数f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f ′（x ）≥0在x ＞0恒成立，即有x 2+（2﹣2a ）x+1≥0，当x ＞0时，2a ﹣2≤x+，由x+≥2=2，当且仅当x=1时，取得最小值2，即有2a ﹣2≤2，可得a ≤2，可得a 的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：要证，只需证＜，即证ln ＞，即证ln ﹣＞0，设h （x ）=lnx ﹣，由（Ⅱ）知，h （x ）在（1，+∞）递增，又＞1，可得h （）＞h （1）=0，即ln ﹣＞0，故．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式的证明，注意运用分析法，以及构造函数，判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果全集，，3，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】进行补集、交集的运算即可．【详解】解：，且，且；．故选：C．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．2.设，则的虚部是（）A. -1B.C.D. -2【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z，结合虚部的定义即可得出．【详解】，∴的虚部是-2故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式可知同号，又，从而得到结果.【详解】由可得，即同号，又，∴故选：A【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为8个故选：B．【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．5.已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【详解】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.6.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为，侧棱为1，从而可得该几何体的侧视图的面积．【详解】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥（如图），依题意，底面边长为，侧棱为1，侧面斜高为，侧视图的底面边长为正六边形的高：该几何体的侧视图的面积为故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图像，若为偶函数，则的一个值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数可得，经图象变换可得，结合对称性求出的值. 【详解】，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图像，即又为偶函数，∴，即故选：B【点睛】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B【解析】【分析】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为x，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），落在小正方形（阴影）内的米粒数个数．【详解】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为x，向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则，解得a＝500（）≈67．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9.将边长为的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的体积．【详解】将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC⊥CD，BA⊥AD，OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD＝2，外接球的体积为π＝．故选：C．【点睛】本题考查了平面图形的折叠问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．10.在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）A. 或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值.【详解】∵，∴cos A，由0＜A＜π，可得A，∵，∴sinBsinC=∴，即解得tan2C=，又∴2C=或，即C=或故选：A【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．11.已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得•，结合条件可得结果.【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，∵P为线段AB的中点，∴2x p＝x1+x2，2y p＝y1+y2，∴•，又k AB＝2，∴，即，∴故选：D【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.12.若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：故选：D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】-22【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化为y x．由图可知，当直线y x过C（1，6）时z有最小值，等于2×1×6＝﹣22．故答案为：﹣22．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．【答案】252【解析】【分析】令x＝1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数．【详解】的展开式中，令x＝1可得各项系数之和为（3﹣1）n＝256，求得n＝8，则＝的通项是••，••，令，解得故展开式中的系数是•故答案为：252．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由条件通过三角形的重心与三点共线推出∴1，然后根据基本不等式即可求出x+y的最小值．【详解】根据条件：，；又；∴；又M，G，N三点共线；∴1；∵x＞0，y＞0；∴3x+y＝（3x+y）（）2；3x+y的最小值为．当且仅当时“=”成立．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题．16.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即有，在中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e 的范围．【详解】解：是以为顶角的等腰三角形，A在左支上，B在右支上，其中设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即，即有，在中，由余弦定理可得，，解得．故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，，解得从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法得到前项和，从而得到的取值范围. 【详解】解：（1）∵，，，∴，.（2）∵，∴∵是关于n的增函数，∴.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查，各活动小组人数统计如下图：（1）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；（2）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用表示抽得“表演社”小组的学生人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人.利用古典概型计算公式得到这2名学生来自同一小组的概率；（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】解：（1）由条件可知，表演社、演讲社、围棋社分别有45人、30人、15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人.从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为.（2）的所有可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面从而平面平面；（2）由题意可知两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系，求出平面的法向量及，代入公式可得未知量的方程，解之即可.【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴又平面，平面，∴∵∴平面∵平面∴平面平面（2）解：如图，由（1）知，，，点，分别为的中点，∴，∴，，又，∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.则，，，，设，所以，，设平面的法向量，则，，令，则，，∴由已知或（舍去）故故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上存在一点，过点作，垂足为，使是等边三角形且面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若点是圆与抛物线的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等边三角形可得值，从而得到抛物线的方程；（2）设的坐标为，易得，所以，结合最值即可得到圆的方程.【详解】解：（1）如图所示，∵等边的面积为，设边长为，∴，∴，∴∵，∴所以抛物线的方程是.（2）法一：设的坐标为，因为抛物线：的焦点，，，所以当且仅当时取等号，即当取最小值时，点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.法二：设的坐标为，因为抛物线：的焦点，，，所以，当且仅当时取等号，即当取最小值时，点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.【点睛】求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．21.设函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）对函数图像上任意两个点，，设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）恒成立即，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；（2）由要证，即证，令，，即证. 【详解】（1）解法一：，，在为减函数，在为增函数.∴，由已知，所以所求范围为.解法二：由，有，∵，∴恒成立，，，易知在为减函数，在为增函数，，∴（2）证明：∵，∴，要证，即证∵，只要证，即证令，，即证，也即证设，，∵∴在为减函数故，即，所以成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．1求点P的直角坐标：；2若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)把直线的参数方程与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点的直角坐标；(2) 依题意知，圆的普通方程为，.【详解】解：（1）依题意知，直线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为联立方程组，所以点的坐标为（2）依题意知，圆的普通方程为所以圆心为，其半径∴∴故.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数1求函数的值域；2若，使成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用零点分段法可得进而可得函数的值域；(2)，使成立即使得成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：（1）依题意可得：当时，所以的值域为（2）因为，所以，化为得使得成立令，，得所以，当时，，所以.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．。

湖南省郴州市2019-2020学年下学期期末教学质量监测试卷高一数学（试题卷）一、选择题：1．已知角θ的终边过点()12,5P −，则tan θ=（ ） A ．512−B ．125−C ．125D ．5122．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知向量(),2a m =−，()1,2b =．若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．2B ．2−C ．1D ．1−4．已知3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．2425 B ．2425−C ．1225D ．1225−5．已知向量2a =，2b =，若2a b ⋅=−，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．34π D ．54π 6．从2021年起，湖南考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试选择性考试科目成绩构成．选择性考试成绩等级分数区间由高到低分为A ，B ，C ，D ，E ，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%．现采用分层抽样的方法，从参加化学选择性考试的学生中抽取1000人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．550B ．500C ．350D ．1507．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A B C ．13D ．38．设E 为ABC △所在平面内一点，若2BC EC =，则（ ） A ．1122AE AB AC =+ B ．1123AE AB AC =− C ．1123AE AB AC =+ D ．1122AE AB AC =− 9．某校高一年级要在甲、乙、丙、丁、戊5位优秀数学教师中随机抽取2人参加录课，则甲教师被选中的概率为（ ） A ．310B ．25C ．12D ．1510．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 图象关于直线6x π=对称 C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设1OA =．则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为32,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；②以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π；③22OA OD ⋅=；④(BF =−中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()()()2sin 20f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x R ∈，()3f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭恒成立，若()()124f x f x ⋅=−，则12x x +的最小值是（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π二、填空题：13．sin 45cos15cos 45sin15︒︒−︒=___________．14．如图，设A ，B 两点在河的两岸，在A 所在河岸边选一定点C ，测量AC 的距离为，30ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离是________m ．15．地摊经济作为推进地方经济社会发展的一个支点，有利于促进经济社会秩序的恢复．小李的流动摊位某商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是： 3.2y x a =−+，则a =________．16．已知函数()()sin 0,2f x A wx w πϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()0f 的值为________；函数sin cos 6y f x x x π⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭的最大值为________．三、解答题： 17．已知3cos 5α=−，且α为第二象限角． （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin cos sin cos αααα+−的值．18．学校采取随机抽样的方式，调查了学生家长对自己小孩自主学习能力的评价情况．根据反馈到的家长对自己小孩的自主学习能力评价得分情况，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据图中，估计该校学生自主学习能力评价分的平均值． 19．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =，()f x a b =⋅．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()65fα=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos α的值．20．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a C A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）如图，1AC =，点D 在边BC 上，且1BD =，CD =ABD △的面积．21．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表（Ⅰ）根据2015-2019年的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；（Ⅱ）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户．该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况．为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率． 参考数据：5115526838049251001299i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑参考公式：()()()1122211nni iiii i nniii i x y nx y x x yyb xnx x x ====−−−==−−∑∑∑∑，a y bx =−22．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=−⎪⎝⎭，其中常数0ω>． （Ⅰ）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移4π个单位，纵坐标变为原来的2倍，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式； （Ⅱ）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下的函数()y g x =的图像，区间[],a b （,a b R ∈且a b <）且满足：()y g x =在[],a b 上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a −的最小值．湖南省郴州市2019-2020学年下学期期末教学质量监测试卷高一数学参考答案及评分细则一、选择题：1-5 ABDAC 6-10 BDABA 11-12 BA 二、填空题： 13．1214．50 15．40 16．第一空21三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵3cos 5α=−，且α为第二象限角． ∴4sin 5α=， （Ⅱ）∴4tan 3α=− ∵cos 0α≠ ∴sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=−−41134713−+==−−18．解：（Ⅰ）由图可知，()0.0060.0080.0120.0260.034101a +++++⨯= ∴0.014a =（Ⅱ）450.08550.14650.34750.26850.12950.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯68.8x =19．解：（Ⅰ）∵()3sin cos 2sin 6f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭∴函数()y f x =的最小正周期为221T ππ==，令()322262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()42233k x k k Z ππππ+≤≤+∈． 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()42,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）∵()65fα=，∴62sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，27,636πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=− ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210−=−⋅+⋅=20．解：（Ⅰ）由cos sin C A α=及正弦定理得，sin cos sin A C C A =∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠∴tan C =又∵()0,C π∈∴6C π=．（Ⅱ）∵6C π=，1AC =，CD =∴2222cos AD AC CD AC CD C =+−⋅2212112=+−⨯= ∴1AD = ∴6ADC C π∠=∠=∴566ADB ADC ππππ∠=−∠=−=∴ABD △的面积1sin 2S AB AD ADB =⋅⋅∠15111sin 264π=⨯⨯⨯=． （Ⅱ）法二：ABD ABC ACD S S S =−△△△11sin sin 22AC BC C AC CD C =⋅⋅=⋅⋅ ()1sin 2AC BC CD C =⋅−⋅ 1111sin 112224AC BD C =⋅⋅=⋅⋅⋅= 21．解：（Ⅰ）5115526838049251001299i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑3x =，556880921003957955y ++++===521149162555ii x==++++=∑，21299537911411.4555310b −⨯⨯===−⨯， 7911.4344.8a =−⨯=，∴11.444.8y x =+，当6x =时，11.4644.8113.2y =⨯+=， 即预测2020年一年内该乡镇约有113贫困户脱贫．∴预测6年内该乡镇脱贫总户数有55688092100113508500+++++=>， 即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫． （Ⅱ）由题意可得：按分层抽样抽取的5户脱贫户中， 有1户五保户a ，1户低保户b ，3户扶贫户c ，d ，e ． 从这5户中选2户，共有10种情况：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ．其中抽取的2户中至少有1户是扶贫户有(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共9种情况∴求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率为91022．解：（Ⅰ）∵()sin 26f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭∴sin 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴212sin 2143f x x ππ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）由22262k wx k πππππ−≤−≤+，k z ∈得22233k k x w w w wππππ−≤≤+，k z ∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为222,33k k w w ww ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k z ∈，又2,43x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以0k = 即342233w wππππ⎧−≤−⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得01w <≤ （Ⅲ）令()0g x =得：1sin 232x π⎛⎫+=− ⎪⎝⎭∴72236x k πππ+=+或112236x k πππ+=+，k Z ∈解得：512x k ππ=+或34x k ππ=+，k Z ∈ ∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π若b a −最小，则a ，b 均为()g x 的零点，此时在区间[],a a π+，[],2a a π+，…，[]()*,a m a n N π+∈分别恰有3，5，…，21m +个零点∴在区间[],9a a π+恰有29119⨯+=个零点 ∴(]9,a b π+至少有一个零点 ∴()93b a ππ−+≥，即28933b a πππ−≥+=检验可知，在5528,12123πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰有20个零点，满足题意∴b a−的最小值为283π．。

湖南省郴州市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·林芝期中) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分）若，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）若直线ax-by=2=0（a>0,b>0)截得的弦长为4，则最小值是（）A .B .C . 3D .4. （2分）(2017·江门模拟) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A . 2B . 4+2C . 4+4D . 6+45. （2分） (2019高一下·湛江期末) 已知函数，则（）A . 的最小正周期为，最大值为3B . 的最小正周期为，最大值为4C . 的最小正周期为，最大值为3D . 的最小正周期为，最大值为46. （2分）(2018·临川模拟) 已知等差数列的前项和为（），若，则（）A . 6B .C .D .7. （2分）如下图是函数图像的一部分，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·寻乌月考) 如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A . y=x﹣1B . y=tanxC . y=x3D . y=log2x10. （2分） (2020高二上·广州期末) 已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（）A . 29B . 31C . 33D . 3511. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知函数为的导函数，则函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为，此四边形内任一点P到第i条边的距离为，若，则.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为，若,则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·濠江月考) 若，则 ________.14. （1分）(2018·泸州模拟) 已知函数，则的解集为________.15. （1分）圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，其表面积为________．16. （1分）(2019·上饶模拟) 若不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是________.三、解答题 (共7题；共67分)17. （10分） (2019高三上·湖南月考) 在中，内角的对边分别为 .已知（1）求的值（2）若，求的面积.18. （10分） (2016高二下·民勤期中) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19. （2分）(2019·浙江模拟) 如图，圆的直径AC=2，B为圆周上不与点A，C重合的点，PA垂直于圆所在的平面，∠PCA=45°．（Ⅰ）求证：PB⊥BC；（Ⅱ）若BC= ，求二面角B-PC-A的余弦值．20. （10分）(2019·天津模拟) 已知等比数列的前项和为，公比.数列满足 .（1）求数列的通项公式；（2）证明数列为等差数列；（3）设数列的通项公式为：，其前项和为，求 .21. （15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．22. （10分） (2018高一上·阜城月考) 已知函数（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为-7，求a的值和函数的最大值。

湖南省郴州市资兴矿务局第一职工子弟中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（）A．5 B．40C．20 D．10参考答案：D令x=1，得，所以，，由，所以展开式中的系数为。

2. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D3. 若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为A. －2B. 6C.4 D. －6参考答案：D4. 在复平面内，复数的对应点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：B,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.6. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，，则此抛物线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：D7. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．8. 已知数列为等比数列，且成等差数列，则（）A． B．1 C． D．参考答案：B9. 已知集合M={x|0＜x＜3}，N={x|x＞2}，则M∩（?R N）=（）A．（0，2] B．[0，2）C．（2，3）D．[2，3）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和补集的运算求出?R N，由交集的运算求出M∩（?R N）．【解答】解：由题意知N={x|x＞2}，则?R N={x|x≤2}，又集合M={x|0＜x＜3}，则M∩（?R N）={x|0＜x≤2}=（0，2]，故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．10. 已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵点是以，为焦点的椭圆上一点，，，∴，设，则．由椭圆定义可知，∴，∴，则．由勾股定理知，即，计算得出，∴．故选．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC 中,,其面积为,则的取值范围是__________参考答案：(－1，0) 12. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为▲ ；参考答案：略13. 已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则x =＿＿＿参考答案： 114.设函数，点为函数图像上横坐标为的点，为坐标原点．,，用表示向量与的夹角，记，那么____________．参考答案：答案：解析:∵ ∴（事实上） 故15. 已知满足不等式组，则的最小值等于 .参考答案：316. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的离心率为 ．参考答案：17. 已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形, 则圆锥的体积为参考答案：π三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省郴州市资兴矿务局第一职工子弟中学2018-2019学年高一化学测试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 某溶液中只存在以下4种离子：NO3-、SO42-、H+、R离子(忽略微量的H+和OH-)，且浓度均为1mol/L，则R离子可能为A. Fe2+B. Mg2+C. Ba2+D. Al3+参考答案：B【分析】根据离子之间不能结合生成沉淀、气体、水等，不能发生氧化还原反应，则离子能大量共存，并结合电荷守恒来解答。

【详解】根据溶液的电中性可知，正电荷数等于负电荷数，设R离子所带电荷数为x，则同一溶液中，c(H+) + x×c(R离子) = c(NO3-) + 2c(SO42-)，所以1 mol/L + x mol/L = 1 mol/L +2×1 mol/L，所以x = 2，即R离子带两个单位的正电荷，A. Fe2+与NO3-和H+会发生氧化还原反应而不能共存，A项错误；B. 溶液中电荷守恒，且四种离子不反应，能共存，满足题意，B项正确；C. Ba2+与SO42-会反应生成硫酸钡沉淀而不共存，C项错误；D. 不满足电荷守恒规律，D项错误；答案选B。

2. 在FeCl3、CuCl2的混合溶液中加入一定量的铁粉，充分反应后仍有固体存在，则下列判断不正确的是A．加入KSCN溶液一定不变红色 B．溶液中一定含Fe2+C．溶液中一定含Cu2+ D．剩余固体中一定含Cu参考答案：C略3. 下列各组物质与其用途的关系不正确的是（）A．漂白粉：供氧剂、漂白剂 B．石英：光导纤维[C．水玻璃：制备硅胶和木材防火剂 D．氧化铁：用作红色油漆和涂料参考答案：A略4. 下列试剂中，不能鉴别乙醇和乙醛两种液体的是：（A）新制氢氧化铜（B）银氨溶液（C）金属钠（D）氢氧化钠溶液参考答案：D5. 下列递变规律正确的是A．HClO4、H2SO4、H3PO4的酸性依次增强 B．HCl、HBr 、HI的稳定性依次增强C．钠、镁、铝的还原性依次减弱 D．N、O、F原子半径逐渐增大。

湖南省郴州市第一完全中学2019年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数为偶函数且在上为增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B2. 在△中，所对的边长分别是，若，则△的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形参考答案：D3. （5分）函数f（x）=lgx﹣sinx的零点个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分），即可判断两个函数图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：函数f（x）=lgx﹣sinx的零点的个数，即函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数，如图所示：显然，函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．4. 设，，且，则A．B． C. D．参考答案：B5. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足，则是A．奇函数 B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数参考答案：A6. 的值是（）A．B． C． D．参考答案：A略7. 将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（）A. B.C. D.参考答案：B8. 函数在区间的简图是A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数解析式可得当x时，y＝sin[（2]＞0，故排除A，D；当x时，y＝sin0＝0，故排除C，从而得解．【详解】解：当时，，故排除A，D；当时，，故排除C；故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作图，特值法，属于基础题．9. 函数y=2sin(ωx+φ)（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得ω，最后根据x=2时取最大值，求得φ，即可得解．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当x=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．10. （5分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：D考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．解答：∵直线经过A（0，4），B（，1）两点，∴，设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故选：D．点评：本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知扇形的弧长为2，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为；参考答案：略12. P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为．参考答案：3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，用2加上半径1，即为所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3．13. 给出下列命题：①函数都是周期函数；②函数在区间上递增；③函数是奇函数；④函数，的图像与直线围成的图形面积等于；⑤函数是偶函数，且图像关于直线对称，则2为的一个周期.其中正确的命题是__________.（把正确命题的序号都填上）.参考答案：①③④⑤略14. 等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.参考答案：1440 解析：设S k=a1+a2+…+a k，易知S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，从而S3m= 810．又易知S2m－S m，S3m－S2m，S4m－S3m成等差数列，即S4m=3S3m－3S2m+S m=2430－1080+90=1440 故填144015. 已知，则________.参考答案：2【分析】首先利用，求出t值，然后利用数量积运算即可得到答案.【详解】根据题意，可知，又，求得，所以，故答案为2.【点睛】本题主要考查数量积运算，难度不大.16. 计算所得结果为参考答案：17. 在等比数列中，＝1，，则＝_____________.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省郴州市资兴振兴中学2018-2019学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则( ▲ )A. B. C. D.参考答案：C略2. 已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．【分析】一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角，则可知三棱锥四个面都是直角三角形，从而可得结论【解答】解：如果一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．因为BC垂直于VA的射影AB，所以VA垂直于平面ABC的斜线VB，所以∠VBC是直角．由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选：A3. 下列说法正确的是（）A、若都是单位向量，则B、方向相同或相反的非零向量叫做共线向量C、若，，则D、若，则A,B,C,D四点构成一个平行四边形参考答案：B4. 在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 ( )A b=20，A=45°，C=80°B a=30，c=28，B=60°C a=14，b=16，A=45°D a=12，c=15，A=120°参考答案：C略5. 已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(?U B)∩A＝{9}，则A ＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}参考答案：D解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5?B(否则5∈A∩B)，从而5∈?U B，则(?U B)∩A＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5?A.同理1?A，7?A，故A＝{3，9}．6. f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．3 B．1 C．－1D．－3参考答案：D7. 若，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B8. 已知向量=(3, 2),=(x, 4)，若与共线,则x的值为( )A.6B.-6C.D.参考答案：A略9. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积和体积分别为A．88 ,48B．98 ,60C．108,72D．158,120参考答案：A10. （5分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．AC＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0参考答案：C考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0，在y轴上的截距小于0，从而得到A，B，C同号．解答：由Ax+By+C=0，得，∵直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，∴，则A，B，C同号．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程化斜截式，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数的图象关于原点对称，则．参考答案：-1512. 如果函数f ( x ) = a x 2 + b x + c，x∈[ 2 a– 3，a 2 ]是偶函数，则a = ，b = 。