江阴高中高三数学专题复习⑴分类与整合的思想 (1)

分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。

下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和 为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1． 综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。

分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝02．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16D ．323．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实 数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，124．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值 范围是________．二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或8336．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12 C ．0D ．0或－127．已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为______．8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三 角形，则这样的点P 的个数为________．9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0D ．x ≠010．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB ．若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实 数m 的取值范围是________．6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三 棱锥P －ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2407．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足 －1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－23．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是()A ．(0,2e)B ．(0，e)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 8．已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A ．[－2，－1]B ．[－2，2]C ．[－2，－1)∪(1，2]D ．(－2，－1)∪(1，2)9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．11．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________， 最大值是________．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________．。

分类与整合1.分类与整合思想概念：分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2.分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．3.分类讨论的类型：1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．4.引起分类的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．题型一：由数学概念、运算引起的分类讨论：esp1: 函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为()A．1 B．1，－C．－D．1，审题破题由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1<a<0，a≥0两种情形讨论．解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝e a－1，∴a＝1.当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.1/2∵－1<a<0，∴a＝－√2/2答案 Besp2：已知数列{a n}的前n项和S n＝p n－1(p是常数)，则数列{a n}是() A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对解析∵S n＝p n－1，∴a1＝p－1，a n＝S n－S n－1＝(p－1)p n－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{a n}是等比数列；当p＝1时，{a n}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，a n＝0(n≥2)，此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列．答案 D小结：(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等．题型二由图形或图象引起的分类讨论esp3：设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜.求|PF1/PF2|的值．审题破题直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF1|>|PF2|知，只需分∠PF2F1和∠F1PF2分别为直角两种情况即可．解若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F2F1|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6 |F1F2|＝2√5解得|PF1|＝14/3，|PF2|＝4/3，∴|PF1/PF2|＝7/2若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1｜2＋｜PF2｜2，∴｜PF1｜2＋(6－｜PF1｜)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，∴|PF1/PF2|＝2.综上知，|PF1/PF2|＝7/2或2.小结：(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．题型三由参数引起的分类讨论：esp4: 是否存在非零实数a，使函数f(x)＝ax2＋(a－2)x＋1在[－2,3]上的最大值为？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．解若f(－2)＝，则a＝－，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x＝－∈[－2,3]，显然f(－2)不可能是最大值，因此a≠－17/8.若f(—a—2／2a)＝3/4，即a(—a—2／2a)2＋(a－2)(—a—2／2a)＋1＝3/4，则a2－5a＋4＝0，解得a＝1或a＝4.当a＝1时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝∈[－2,3]，此时f是最小值而不是最大值，因此a≠1；当a＝4时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝－∈[－2,3]，此时f是最小值而不是最大值，因此a≠4.若f(3)＝3/4，则a＝23/48，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝∈[－2,3]，此时，在[－2,3]内f(－2)是最大值，因此a≠23/48.综上可知满足条件的a不存在．小结：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．esp5: 设函数f(x)＝ . 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析若a>0，则log2a> a，即2log2a>0，所以a>1；若a<0，则(－a)>log(－a)，即2(－a)<0，2所以0<－a<1，－1<a<0.所以实数a的取值范围是a>1或－1<a<0，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 Cesp6: 函数f(x)的图象如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(3，＋∞)解析由x[f(x)－f(－x)]<0得，2xf(x)<0.当x<0时，则f(x)>0，由图象知－3<x<0；当x>0时，则f(x)<0，由图象知0<x<3.答案 Aesp7: 已知数列{a n}满足：a1＝m(m为正整数)，a n＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为解析根据题意可知，当a n为奇数时，a n＋1为偶数，∴由a6＝1为奇数可以判定a5为偶数，∴a5＝2a6＝2.又当a n＋1为偶数时，若a n＋1是被3除余1的数，则a n为奇数或偶数，否则a n仍为偶数．a4可能为奇数也可能为偶数，∴a4＝4，依次有a3＝1，a2＝2，a1＝4，即m＝4.或者a3＝8，a2＝16，a1＝32或a1＝5.答案4,5,32。

高考数学复习考点知识讲解与专项练习第25讲分类与整合思想「思想方法解读」分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．常见的分类整合问题有以下几种：①由概念引起的分类整合；②由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；③由数学运算引起的分类整合；④由图形的不确定性引起的分类整合；⑤由参数的变化引起的分类整合．热点题型探究热点1公式、定理的分类整合法例1(1)(2020·全国卷Ⅰ)x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．20答案C解析(x ＋y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r5x 5－r ·y r (r ∈N且r ≤5)，所以x ＋y 2x 与(x ＋y )5展开式的乘积可表示为xT r ＋1＝x C r 5x 5－r y r ＝C r 5x 6－r y r 或y 2x T r ＋1＝y 2xC r 5x 5－r y r ＝C r5x 4－r y r ＋2.在xT r＋1＝C r 5x6－r y r中，令r ＝3，可得xT 4＝C 35x 3y 3＝10x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为10，在y 2xT r ＋1＝C r5x4－r yr ＋2中，令r ＝1，可得y 2x T 2＝C 15x 3y 3＝5x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为5，所以x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.(2)(2020·山西省大同市高三模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2∈Z ，且S n ≤S 5(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋＋|a n |＝________．答案 10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n >5解析等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，a 2∈Z ，且S n ≤S 5，∴a 5＝9＋4d ≥0，a 6＝9＋5d <0，∵a 2∈Z ，∴d ＝－2，∴S n ＝9n ＋n （n －1）2×(－2)＝10n －n 2，∴当n ≤5时，|a 1|＋|a 2|＋＋|a n |＝10n －n 2；当n >5时，|a 1|＋|a 2|＋＋|a n |＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(10n －n 2)＝2(10×5－52)＋n 2－10n ＝n 2－10n ＋50，∴|a 1|＋|a 2|＋＋|a n |＝ 10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n >5.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1.则数列{a n }的通项公式是________．答案a n ＝ 1，n ＝1，12·32n －2，n ≥2解析①当n ＝1时，由已知可得a 1＝2a 2，即a 2＝12a 1＝12.②当n ≥2时，由已知S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n ＋1－2a n ⇒2a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝32，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n ≥2，n ∈N *时有a n ＝12·32n －2.所以a n ＝ 1，n ＝1，12·32n －2，n ≥2. 2．已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是12，2的等比中项，c 是1，5的等差中项，则a 的取值范围是________．答案(22，10)解析因为b 是12，2的等比中项，所以b ＝12×2＝1. 因为c 是1，5的等差中项，所以c ＝1＋52＝3. 因为△ABC 为锐角三角形，①当a 为最大边时，有12＋32－a 2＞0，a ≥3，1＋3＞a ，解得3≤a ＜10；②当c 为最大边时，有12＋a 2－32＞0，a ＋1＞3，a ≤3，解得22＜a ≤3.由①②得22<a <10，所以实数a 的取值范围是(22，10). 热点2位置关系的分类整合法例2(1)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是()A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案A解析如图，设DE 是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A ，D ，B 作圆F ，根据圆周角定理，易知∠AMB ≤∠ADB .若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠ADB ≥120°，所以|OB ||OD |＝tan ∠ODB ≥tan 60°＝ 3.当焦点在x 轴上时，|OB |＝3，|OD |＝m ，3m ≥3，解得0<m ≤1；当焦点在y 轴上时，|OB |＝m ，|OD |＝3，m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)，选A.(2)(2020·天津高考)已知函数f (x )＝ x 3，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是()A ．－∞，－12∪(22，＋∞)B ．－∞，－12∪(0，22)C ．(－∞，0)∪(0，22)D ．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案D解析注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f （x ）|x |恰有3个实根即可，令h (x )＝f （x ）|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个不同交点．因为h (x )＝f （x ）|x |＝x 2，x ＞0，1，x ＜0，当k ＝0时，y ＝2，如图1，y ＝2与h (x )＝f （x ）|x |有1个交点，不满足题意；当k＜0时，如图2，y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）恒有3个不同交点，满足题意；当k＞|x|0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，令 ＝0得k2－8＝0，解得k＝22(负值舍去)，所以k＞2 2.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22∞).故选D.六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．如图，M，N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A 的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是()A ．(－3，3]B ．(－∞，3]C ．(－6，－3)D ．(－6，－3)∪(－3，3]答案A解析①若直线MN 的斜率不存在，则点B 的坐标为(3，0).②若直线MN 的斜率存在，设A (3，t )(t ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝4，即k MN ＝2t ，∴直线MN 的方程为y －t ＝2t (x －3)，∴点B 的横坐标x B ＝3－t 22，由y －t ＝2t （x －3），y 2＝4x消去x ，得y 2－2ty ＋2t 2－12＝0，由 >0得t 2<12，又t ≠0，∴x B ＝3－t 22∈(－3，3).综上，点B 的横坐标的取值范围为(－3，3].2．若函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1，1]上的最大值为4，则a 的值为________．答案5或－5解析函数f (x )＝－x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图1可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图2可知f (x )在[－1，1]上的最大值为fa 2＝a24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去).③当a>2时，由图3可知f(x)在[－1，1]上的最大值为f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，满足题意．综上可知，a＝5或－5.热点3含参数问题的分类整合法例3(2020·海南省高三三模)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋12x2＋ax3，a∈R.(1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0；(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a的值．解(1)证明：当a＝0时，f(x)＝ln (x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞).f′(x)＝1x＋1－1＋x＝x2x＋1.当x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．又因为f(0)＝0，所以当－1<x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0.(2)若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥ln (x＋1)－x＋12x2>0＝f(0).这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．若a <0，f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＋3ax 2＝3ax 3＋（3a ＋1）x 2x ＋1＝3ax 2x ＋1x ＋3a ＋13a ，x >－1. 令f "(x )＝0，可得x ＝0或x ＝－3a ＋13a .①若a <－13，则－3a ＋13a <0. 当－1<x <－3a ＋13a 时，f ′(x )>0，当x >－3a ＋13a 时，f ′(x )≤0.所以f (x )在－3a ＋13a ，＋∞上单调递减，与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．②若－13<a <0，则－3a ＋13a >0. 当－1<x <－3a ＋13a 时，f ′(x )≥0，当x >－3a ＋13a 时，f ′(x )<0.所以f (x )在－1，－3a ＋13a 上单调递增，与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．③若a ＝－13，则－3a ＋13a ＝0.当－1<x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．此时x ＝0是f (x )的极大值点．综上所述，若x ＝0是f (x )的极大值点，则a ＝－13.利用分类与整合思想的注意点(1)分类整合要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类整合时要先根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0). (1)设F (x )＝g （x ）f （x ），讨论函数F (x )的单调性；(2)若0<a ≤12，证明：f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立.解(1)F (x )＝g （x ）f （x ）＝ax 2＋x ＋1e x ，F ′(x )＝－ax 2＋（2a －1）x e x ＝－axx －2a －1a e x.①若a ＝12，F ′(x )＝－x 22e x ≤0，∴F (x )在R 上单调递减.②若a >12，则2a －1a >0，当x <0或x >2a －1a 时，F ′(x )<0，当0<x <2a －1a 时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)， 2a －1a ，＋∞上单调递减，在0，2a －1a 上单调递增．11 / 11 ③若0<a <12，则2a －1a <0，当x <2a －1a 或x >0时，F ′(x )<0，当2a －1a <x <0时，F ′(x )>0.F (x )在 －∞，2a －1a ，(0，＋∞)上单调递减，在 2a －1a ，0上单调递增．(2)证明：0<a ≤12，∴ax 2＋x ＋1≤12x 2＋x ＋1.设h (x )＝e x －12x 2－x －1，则h "(x )＝e x －x －1.设p (x )＝h "(x )＝e x －x －1，则p "(x )＝e x －1，在(0，＋∞)上，p ′(x )>0恒成立．∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又h "(0)＝0，∴x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，∴e x －12x 2－x －1>0，e x >12x 2＋x ＋1，∴e x >12x 2＋x ＋1≥ax 2＋x ＋1，∴f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立.。

3．分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1 由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】(1)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)在等比数列{a n }中，已有a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. (1)14 (2)32或6 [(1)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意． 若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立． 当q ≠1时，由a3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]【对点训练1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74 B ．－54 C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(3)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝2B ，b ≠c ，若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，则A ＝________.(1)A (2)－32 (3)π4 [(1)由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x ＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f (6－a )＝－74.(2)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解． 当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(3)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin C .由余弦定理得cos B ＝sin C ， ∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛盾． ∴A ≠π2.②当C ＝π2＋B 时， 由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π8，C ＝5π8，A ＝π4.]应用2 由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】(1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0D ．－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．(1)D (2)12或32 [(1)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.]【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833 B ．4 3 C.239D ．43或833(2)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1的离心率为________． (1)D (2)32或5 [(1)当正三棱柱的高为4时，体积V ＝2×3×12×4＝43； 当正三棱柱的高为6时，体积V ＝43×233×12×6＝833，故选D. (2)由题意可知m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为椭圆，离心率e ＝1－14＝32.为m ＝－4时，曲线为双曲线，离心率e ＝1＋4＝ 5.]应用3 由参数变化引起的分类讨论【典例3】 已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求a 的取值范围；(2)当x ＞1时，f (x )＜(1－m )x 2恒成立，求m 的取值范围． 切入点：(1)求f ′(x )，就a 的取值结合f (x )的单调性分析．(2)构造函数h (x )＝f (x )－(1－m )x 2，就m 的取值及h (x )的最大值情况求m 的取值范围．[解](1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x .①当a ＝0时，g (x )＝x 2，在x ∈(0，＋∞)上，g (x )＝0无解．∴x ＞0时无零点，即a ≠0.②当a ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a ＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a 2＜0， 因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)＜0，此时函数g (x )恰有一个零点，即a ＞0. ③当a ＜0时，令g ′(x )＝0， 解得x ＝－a2. 当0＜x ＜－a 2时， g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减； 当x ＞－a 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．要使函数g (x )有一个零点，则g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e.综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a ＞0.(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0恒成立．又h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝(x －1)(2mx －1)x.①若0＜m ＜12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意．②若m ≥12，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．③若m ≤0，则x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是“h (x )＜0对任意x ∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上，m 的取值范围是[－1,0]．【对点训练3】已知函数f (x )＝ax ＋a －1x ＋1－2a (a ＞0)，若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．[解] 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2.①当1－a a ＞1，即0＜a ＜12时，若1＜x ＜1－a a ，则g ′(x )＜0，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1－a a 上是减函数，所以存在x ∈[1，＋∞)，使g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ，所以f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－a a ≤1，即a ≥12时，若x ≥1，则g ′(x )≥0，g (x )在[1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x ， 所以当x ≥1时，f (x )≥ln x 恒成立． 综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

高考数学 分类与整合的思想在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法．分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。

一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？例如（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；（2）有的运算法则和定理,公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为1=q 和1≠q 两种情况;对数函数的单调性就分为a ＞1，a ＜1两种情况;求一元二次不等式的解又分为0,0<>a a 及00,0<∆=∆>∆，共六种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；（3）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧,异侧,二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；（4）对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（5）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。

二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏； 三是分类之后如何研究； 四是如何整合.【分析及解】 本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求,因此,就要针对甲,乙是否被挑选上,甲,乙去何处游览进行研究. 对甲,乙是否被挑选上可分为4类.(1) 有甲有乙：这时有72222324=A A C 种；(2) 有甲无乙：这时有72331334=A A C 种； (3) 无甲有乙：这时有72331334=A A C 种；(4) 无甲无乙：这时有2444=A 种由以上，不同的选择方案共有24024723=+⨯种，因此选（B ）.【分析及解】(Ⅰ)将31=x ,42=x 代入方程()012=+-x x f 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a ()()222≠-=∴x x x x f (Ⅱ)不等式可化为<-x x 22()xkx k --+21, 进而有()0212<-++-x k x k x . 这等价于()()(),012>---k x x x解到这里就要针对k 与2,1的大小关系进行分类:(1) 当21<<k 时,解集为()()1,2,x k ∈+∞U ; (2) 当2=k 时, 解集为()()1,22,;x ∈+∞U (3) 当2>k 时, 解集为()()1,2,x k ∈+∞U .【分析及解】本题是浙江文科卷的压轴题，主要考查函数图象的对称，二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，分类讨论的数学思想以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。