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一、单项选择题（102⨯）1、函数y x z -=的定义域为（ ）A {}200|),(x y x y x ≤≤>且B {}200|),(x y x y x ≤≤≥且 C {}200|),(x y x y x <<>且 D {}200|),(x y x y x <≤>且2、函数),(y x f z =，则=∂∂),(00|y x xz（ ） A 00000(x x,y y)(x ,y )lim x f f x ∆→+∆+∆-∆ B 0000(x x,y)(x ,y )lim x f f x∆→+∆-∆ C 00000(x x,y )(x ,y )lim x f f x∆→+∆-∆ D 000(x x,y )lim x f x ∆→+∆∆3、二元函数3341)(3y x y x z --+=的极值点为（ ）A （1, 2）B （1, -2）C （-1, 2）D （-2, 2） 4、设}10,11|),{(≤≤≤≤-=y x y x D ，则⎰⎰Dxydxdy =（ ）A 0 B21 C 41D 1 5、设积分区域是由1,0,2===x y x y 围成，则⎰⎰DxydxdyA⎰⎰1020),(xdyy x f dx B⎰⎰102),(xdyy x f dx C⎰⎰10),(ydxy x f dy D⎰⎰10),(yxdxy x f dy6、设)(x f y =的微分方程042'''=+-y y y 的一个解，若0)(0>x f ，且0)(0'=x f ，则函数)(x f 在0x 处（ ）A 取得极大值B 取得极小值C 某个领域内单增D 某个领域内单减7、下列为一阶线性微分方程的是（ ） Ay e xy y =+' B y xy y =+2' C x y e xy x =+' D 2)('xy x y y =+8、下列级数收敛的是（ ）A ∑∞=1n n B ∑∞=-+1)1(n n n C ∑∞=123n n nD ∑∞=-198)1(n n nn9、对级数∑∞=+1)3121(n nn ，下列说法正确的是（ ） A 发散 B 收敛于0 C 收敛于23D 以上都不对10、若级数∑∞=-+1212)(n n n u u收敛，则（ ）A∑∞=1n nu必定收敛 B∑∞=1n nu未必收敛 C 0lim =∞→n n u D∑∞=1n nu发散二、填空题（102⨯）1、 设函数22),(y x xy y x f +=+，则),(y x f =2、 (x,y)(2,5)sin(xy)limx→=3、 设xy xy u +=，则y u ∂∂=4、 交换积分顺序⎰⎰⎰⎰-=+101111ln 2),(),(x exdy y x f dx dy y x f dx5、⎰⎰≤+1222y x d σ=6、 一阶线性微分方程)()('x Q y x P y =+的通解为7、 微分方程yx ey 2'+=的通解为8、∑∞=+121n n n = 9、 若级数∑∞=1n nu收敛，则lim n n u →∞=10 若幂级数nn nx x a∑∞=-10)(的收敛区间为（-2, 4），则幂级数的收敛半径为 三、计算题（76⨯）1、 设函数)2cos(x y y z -=，求z d2、 设xyz e z=，求22xz∂∂3、 计算二重积分dxdy yx D⎰⎰22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域4、 求微分方程x y xdx dy =-2的通解5、 判断级数)311(ln 1n n +∑∞=的敛散性6、 求幂级数nn n x n ∑∞=+-021)1(的收敛半径，收敛区间及收敛域四、应用题（81⨯）某企业在雇佣x 名技术工人，y 名非技术工人，产品的产量223128y xy x Q -+-=，若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少名技术工人，多少名非技术工人才能使产量Q 最大 五、证明题（52⨯）1、 设)11(yx e z +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂2、 已知级数∑∞=12n nu收敛，且0≥n u 证明∑∞=1n nn u 收敛。
安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。
南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散，证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
2012—2013学年度第二学期期末考试安排一、考试安排：公共课考试：2013年6月22日～6月24日（考试安排见附件2）。
专业（基础）课考试时间：2013年6月25日—6月26日（如安排不下，可在6月22日前择期进行）。
二、考试时间：上午第一场：8：10～9：50 第二场：10：20～12：00下午：14：30～16：10三、考试试卷：教务处从各教学院部命题库中抽取一份试卷，使用同一版本教材的课程原则上使用相同的试卷。
《计算机文化基础》试卷统一由计算机学院命题。
四、考试课程：1、公共课考试由教务处统一安排，未安排的公共课为考查课。
2、专业（基础）课由院部自行安排。
五、考试实施要求：1、保持考试期间教室卫生。
2、每个考场2个监考老师，请监考老师严格按照考场纪律认真履行职责监考，要求考生单人单桌，填写好考场情况记录单。
3、考生必须带学生证或身份证参加考试。
4、试卷装订要求严格按教务处考务科相关文件执行。
锥子由各院部、校区自行采购。
试卷封皮各院部、校区到总务处领取。
成绩记录单、成绩分析单由各院部、校区秘书自行印制。
5、教学管理部门及院系要将加强巡考和考风考纪督查。
六、阅卷：公共课、专业基础课阅卷由开课院部归口管理、流水作业。
考试结束后，请学生所在教学院部第一时间将成绩记录单、成绩分析单、班级登分表连同考卷一起递交阅卷单位安排阅卷。
七、登分：专科单科登分及总评成绩计算工作由阅卷单位完成，单科成绩记录单任课教师必须签字，成绩单不得涂改，由任课教师直接交各院部教务科长。
由各院部教学秘书按班级汇总。
各院部2013年7月2日前将本学期考试成绩汇总（电子版、纸质档案）报教务处学籍科。
本科任课老师务必在第17周将学生平时成绩录入系统，卷面成绩由阅卷教师在阅卷结束三天内将学生成绩录入教务管理系统，各院部教学秘书不得代替，规定时间内未录入成绩所出现的后果由任课教师承担。
附件22012—2013学年度第二学期期末考试安排表（公共课）专业（基础）课考试时间院部自行安排。
2013-2014学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题3分，共24分）1. 设()2,1,13-=a ，()3,1,2-=b ，则()()=-⨯- b a b a 5834 。
2. xOy 平面上曲线9422=-y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 。
3. 函数y x z =在点()2,1沿)1,1(=a 方向的方向导数是 。
4. 交换积分次序()=⎰⎰dx y x f dy ee y ,10 。
5. 设C 为222a y x =+在第一象限内的部分，则=⎰+ds e C y x 22 。
6. 设∑为2222a z y x =++，则()=++⎰⎰∑dS z y x 222 。
7. 级数∑∞=+112n nn α收敛的充要条件是α满足不等式 。
8. 若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x e y =1，x e y -=2，则p 等于 ，q 等于 。
二、计算题（每小题8分，共32分）1. 求过直线223221-=-+=-z y x ，且垂直于平面052=--+z y x 的平面方程。
2. 设()y x f ,具有连续的一阶偏导数，()11,1=f ，()a f =1,11，()b f =1,12，又()()[]{} x x f x f x f x ,,,=ϕ，求()1ϕ，()1ϕ'。
3. 计算二重积分()dxdy y x D 22⎰⎰+，其中D ：x y x 222≥+，x y x 422≤+ 。
4. 试将函数()256512xx x x f ---=展开成x 的幂级数。
三、综合题（每小题11分，共44分）1. 沿厂房的后墙修建一座容积为V 形状为长方体的仓库，已知仓库的屋顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的2倍和1.5倍，厂房后墙的长和高足够，因而这一面墙壁的造价不计，问如何设计，方能使仓库的造价最低？2. 计算曲面积分()dxdy z ydzdx xdydz I ⎰⎰∑+++=1，其中∑是曲面221y x z --=在0≥z 部分的下侧。
2011-2012学年度第二学期期末考试试卷考试班级：2010会计（1）、（2）；电子商务考试时间：90分钟得分一、单项选择题（每小题3分）1、书架上有3本不同的语文书，6本不同的数学书和2本不同的英语书，小明从书架上任选一本，则不同的选法种数为A、9B、11C、24D、292、某电影院有4个门，若从一个门进另一个门出，则不同的走法有A、12B、14C、18D、223、下列各事件中，随机事件是A、在标准大气压下，将水加热到100°C时水沸腾B、在标准大气压下，100°C时，金属铁变为液态。
C、抛掷一颗骰子，出现的点数是5。
D、抛掷一颗骰子，出现的点数是8。
4、抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件中的基本事件A、{点数是偶数}B、{点数是奇数}C、{点数是2或3}D、{点数是1}5、抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件中的复合事件A、{点数是偶数}B、{点数是1}C、{点数是2 }D、{点数是3}6、从3名同学中选取2名同学参加某项比赛，则这个事件的基本总数为A、2B、3C、4D、57、一张录有学校文艺汇演节目的光盘，要在4个班级中轮流观看，不同的排序方法的种数有A、P14 B、 C14C、P44D、C448、将5个小球放入4个盒子里，不同的方法种数为A 、45B 、54C 、P 45D 、C 459、某文件箱设置0到9中的6位数字作密码（允许重复），则可以使用的密码总数为A 、610B 、106C 、 P 610D 、C 610 P 6610、⨯⨯161718…89⨯⨯=A 、P 818B 、P 918C 、P 1018D 、P 111811、10)1(-x 的展开式的第6项的系数是A 、C 610B 、-C 610 C 、C 510D 、-C 51012、62)12(x x - 展开式中的常数项是 A 、60 B 、40 C 、12 D 、-60二、填空题（每空3分）13、 P 45= ， C 38= 。
试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013学年第二学期统一检测试题高二数学(文科)本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、座位号、考号 填写在答题卷上密封线内相对应的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点P 的极坐标为)3,2(π，则点P 的直角坐标为A.（1，3）B.（1，-3）C.（3，1）D.（3，-1） 2. 计算=+2)1(iA. 2B. -2C. 2iD. -2i 3. 一物体作直线运动，其运动方程为t t t s 2)(2+-=，则t =1时其速度为A. 4B. -1C. 1D. 0 4. 若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x =A. -1B. 1C. -1或1D. 05. 曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x （t 为参数）与x 轴交点的直角坐标是A.（1，4）B.（1，-3）C.（1625，0）D.（1625±，0） 6. 设函数x ex f x3)(2+=（R x ∈），则)(x fA. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数 7. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，应该先A. 假设三内角都不大于60︒B. 假设三内角都大于60︒C. 假设三内角至多有一个大于60︒D. 假设三内角至多有两个大于60︒ 8. 若函数x x a x f sin cos )(+=在4π=x 处取得极值，则a 的值等于A. 3-B.3C. -1D. 1 9. 复数i i+-11与i 31-在复平面上所对应的向量分别是，，O 为原点，则这两个向量的夹角∠AOB = A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π10. 已知数列{n a }的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ，通过计算)1(f ，)2(f ，)3(f ，)4(f 的值，猜想)(n f 的值为A.2)1(12+-n n B. )1(2++n n n C. 12++n n D. )1(22++n n 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11. i 是虚数单位，则=+-21ii▲ . 12. 若直线l 经过点M （1，5），且倾斜角为32π，则直线l 的参数方程为 ▲ . 13. 圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .14. 观察下列等式：1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第五个等式应为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）某地有两所中学，为了检验两校初中毕业生的语文水平，从甲、乙两校九年级学生中各随机抽取20%的学生（即占各自九年级学生总数的20%）进行语文测验. 甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格.（1）试根据以上数据完成下列2⨯2列联表；（2）判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K++++-=.16．（本小题满分12分）某产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时销售收入y 的值.附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑∑∑====-⋅-=---=ni ini ii ni ini i ix n xy x n yx x xy y x xb 1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值.17．（本小题满分14分）已知函数x x x x f --=23)(. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）求曲线)(x f y =在点P （-1，f （-1））处的切线方程.18．（本小题满分14分）已知复数1z 满足：i z i 34)21(1+=+，i z z n n 221+=-+（*N n ∈）. （1）求复数1z ；（2）求满足13||≤n z 的最大正整数n .19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S -=2（*N n ∈）. （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值； （2）猜想n a 的表达式，并加以证明.20．（本小题满分14分）已知x x a x f ln )(+=， xxx g ln )(=，(]e x ,0∈，其中e 是无理数且e …，R a ∈. （1）若a =1，求)(x f 的单调区间与极值； （2）求证：在（1）的条件下，21)()(+>x g x f ； （3）是否存在实数a ，使)(x f 的最小值是-1？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.2012—2013学年第二学期统一检测题 高二数学（文科）参考答案及评分标准二、填空题11. 1-i 12. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,235,211t y t x （t 为参数）（其它正确答案同样给分）13. )4cos(2πθρ-= （其它正确答案同样给分） 14. 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81三、解答题 15．（本小题满分12分） 解：（2）058.020362432)1511921(56))()()(()(22≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d c b a d b c a bc ad n k . （10分） 因为455.0058.0<≈k ，所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别. （12分）16．（本小题满分12分） 解：（1）5586542=++++=x ， （1分）5057050604030=++++=y ， （2分）∑==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=511380708506605404302i ii yx ， （3分）∑==++++=512145643625164i ix， （4分）5.65514550551380ˆ21221=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==ni ini ii x n xyx n yx b， （6分） 5.1755.650ˆˆ=⨯-=-=x b y a， （8分） 所以回归直线方程为5.175.6ˆ+=x y. （9分） （2）x ⨯10+17.5=82.5. （12分）17．（本小题满分14分）解：（1）函数)(x f 的定义域为（-∞，+∞）. （1分）)1)(31(3123)(2-+=--='x x x x x f . （4分）当)31,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增； （5分）当)1,31(-∈x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 单调递减； （6分） 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增. （7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为)31,(--∞与),1(+∞，单调减区间为)1,31(-. （9分） （2）因为11)1()1()1(23-=+---=-f ， （10分）41)1(2)1(3)1(2=--⨯--⨯=-'f ， （12分）所以所求切线方程为)1(41+=+x y ，即34+=x y . （14分） 18．（本小题满分14分）解：（1）设),(1R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=1. （1分） 因为i bi a i 34))(21(+=-+，所以i i b a b a 34)2()2(+=-++. （3分）于是⎩⎨⎧=-=+,32,42b a b a 解得⎩⎨⎧==.1,2b a （5分）故i z +=21. （6分） （2）由i z z n n 221+=-+（*N n ∈）得：i z z 2212+=-，i z z 2223+=-，┅，i z z n n 221+=--（2≥n ） （7分）累加得i n n z z n )1(2)1(21-+-=-，i n n z n )12(2-+=（2≥n ）. （9分） 因为i i z )112(1221-⨯+⨯=+=，所以i n n z n )12(2-+=（*N n ∈）. （10分） 故148)12(4||222+-=-+=n n n n z n （11分）令13||≤n z ，即1691482≤+-n n ，解得5433711<+≤≤n ， （13分） 因此n 的最大正整数取值是4. （14分） 19．（本小题满分14分）解：（1）因为n n a n S -=2，n n a a a S +++= 21，*N n ∈ （1分）所以，当1=n 时，有112a a -=，解得012121-==a ； （2分）当2=n 时，有22122a a a -⨯=+，解得1221223-==a ； （3分） 当3=n 时，有332132a a a a -⨯=++，解得2321247-==a ； （4分）当4=n 时，有4432142a a a a a -⨯=+++，解得34212815-==a . （5分）（2）猜想1212--=n n a （*N n ∈） （9分）由n n a n S -=2（*N n ∈），得11)1(2----=n n a n S （2≥n ）， （10分） 两式相减，得12-+-=n n n a a a ，即1211+=-n n a a （2≥n ）. （11分） 两边减2，得)2(2121-=--n n a a ， （12分） 所以{2-n a }是以-1为首项，21为公比的等比数列，故1)21(12-⨯-=-n n a ， （13分）即1212--=n n a （*N n ∈）. （14分）20．（本小题满分14分） 解：（1）当a =1时，x x x f ln 1)(+=，21)(xx x f -='，(]e x ,0∈ （1分） 令01)(2=-='xx x f ，得x =1. 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 单调递减； （2分） 当),1(e x ∈时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增. （3分） 所以)(x f 的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e ），)(x f 的极小值为1)1(=f . （4分） （2）由（1）知)(x f 在(]e ,0上的最小值为1. （5分） 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，(]e x ,0∈，所以2ln 1)(x xx h -='. （6分） 当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 在(]e ,0上单调递增， （7分）所以min max )(12121211)()(x f e e h x h ==+<+==. 故在（1）的条件下，21)()(+>x g x f . （8分）（3）假设存在实数a ，使x xax f ln )(+=（(]e x ,0∈）有最小值-1. 因为221)(xax x x a x f -=+-='， （9分） ①当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在(]e ,0上单调递增，此时)(x f 无最小值； （10分）②当e a <<0时，当),0(a x ∈时，0)(<'x f ，故)(x f 在（0，a ）单调递减；当),(e a x ∈时，0)(>'x f ，故)(x f 在（a ，e ）单调递增； （11分） 所以1ln )()(min -=+==a a a a f x f ，得21ea =，满足条件； （12分） ③当e a ≥时，因为e x <<0，所以0)(<'x f ，故)(x f 在(]e ,0上单调递减.1ln )()(min -=+==e e ae f x f ，得e a 2-=（舍去）； （13分） 综上，存在实数21e a =，使得)(xf 在(]e ,0上的最小值为-1. （14分）。
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
南昌大学 2013～2014学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 微分方程x yy e 2'-=满足初始条件y (0)0=的特解为_________.2. 在y 轴上与点A (1,3,7)-和B (5,7,5)-等距离的点是_________.3. 函数arccosz u =的定义域是_______.4. 设函数 cos(2)xyz e x y =+, 则 zy∂=∂________.5. 改换二次积分的积分次序1101(,)xx dx f x y dy --=⎰⎰_______. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 已知3,3OA i k OB j k =+=+,则OAB ∆的面积为（ ）（A； （B； （C）； （D ）2.2. 设(,)z z x y =是由方程3330z xyz a --=所确定的隐函数,则zy ∂=∂（ ）（A ）2xz z xy +；（B ）2xz z xy -；（C ）2xz z xy --；（D ）2yzz xy-.3. 设 ()y f x = 是方程 ''2'40y y y -+= 的一个解，若0()0f x >，且0'()0f x =，则函数()f x 在点0x （ ） （A ）取得极小值 ； （B ）某个邻域内单调增加；（C ）取得极大值； （D ）某个邻域内单调减少.4. 设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解, 12,C C 是任意常数, 则该非齐次线性微分方程的通解是（ ） （A ）1122123(1)C y C y C C y +---； （B ）11223C y C y y ++；（C ）1122123()C y C y C C y +-+； （D ）1122123(1)C y C y C C y ++--。
上海财经大学浙江学院《高等数学》期末考试卷答案（A 卷）(2012—2013学年第二学期)一、单项选择题（每小题3分，共30分）1—5：DACAA ； 6—10：DDBAC二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 22x xy -12. -2 13. 110d (,)d x f x y y ⎰ 14. 3 15. 1x -三、计算题（每小题6分，共48分）16．t =，则有2x t =4221112d 2(2)d 11t t t t t ==-++⎰⎰⎰222111222d d [22ln(1)]2(1ln )13t t t t t =-=-+=++⎰⎰ 17．解：101220()d (1)x f x x x dx e dx --=-+⎰⎰⎰012021()52x x x e e -=-+=- 18. 解：sin()x y z e x y -=+sin()cos()x y x y z e x y e x y x--∂=+++∂ 2sin()cos()cos()sin()x y x y x y x y z e x y e x y e x y e x y x y----∂=-+++-+--+∂∂ 2sin()x y e x y -=-+19．解：232111(2)d d d (2)d 4(1)d 10D x y x y x x y y x x +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰20. 解：令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则积分区域{(,)0,}22D r r a ππθθ=≤≤-≤≤ 2222202d d d d (1)2a x y r a D I ex y e r r e πππθ-----∴===-⎰⎰⎰⎰ 21. 解：令123n n n a =+，则11123n n n n n n n x a x ∞∞===+∑∑111231lim lim 233n n n n n n n na a ρ+++→∞→∞+===+，所以收敛半径13R ρ== 当3x =-时，级数1(3)23nn n n ∞=-+∑发散， 当3x =时，级数1323nn n n ∞=+∑也发散， 所以，级数1123n n n n x ∞=+∑的收敛区域为(3,3)-. 22. 解：()d d d d ()x x x x x y e e e x c e x c e x c ----⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23．解：方程的对应齐次方程为0y y ''-=，齐次方程的特征方程为210x -=，解得两特征根为1,21x =±其次方程通解为12x x y c e c e -=+1λ=是特征方程的单根，所以设非齐次方程的一特解为：*x y e ax =， 代入原方程，得：12a =. 所以，原方程的通解为：1212x x x y c e c e xe -=++ 四、应用题（每题7分，共7分）解:设产出为414380),(y x y x Q =,约束方程为x 600+000,4002000=y .构造辅助函数)000,4002000600(80),(4143-++=y x y x y x F λ, 3分解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+⨯='=+⨯='--.000,4002000600,020004180,0600438043434141y x y x F y x F y x λλ 5分 得500=x ,50=y 为唯一驻点. 7分 由实际问题知必存在最大产出量,所以当投入500个劳力单位和50个资本单位时,可使产出量最大,是最佳资金投入方案.五、证明题（每题5分，共5分） 证明：(1).先证级数收敛 令1sin n a n =，则有111(1)sin (1)n n n n n a n ∞∞==-=-∑∑是一交错级数. 又因为：111sin sin 1n n a a n n +=>=+，1lim limsin 0n n n a n→∞→∞== 所以由莱布尼兹判别法，级数111(1)sin (1)n n n n n a n ∞∞==-=-∑∑收敛. (2)证明级数11|(1)sin|n n n∞=-∑发散 1111|(1)sin |sin n n n n n ∞∞==-=∑∑，又因为 1sinlim 11n n n →∞=， 11n n ∞=∑发散， 所以由比较判别法的极限形式：11sin n n ∞=∑发散。
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
历年第二学期高数期末考试试题(经管类)(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--Ａ卷2006—2007学年第二学期《高等数学》试卷（管理类）专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2007年7月2日题号一二三四五六总分得分阅卷人2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸。
3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。
一：填空题(共10小题,每小题3分,共30分)1．微分方程322323()0d y d y dx x dx += 的阶数为_______3_____2．微分方程22x xe xy dx dy -=+的通解是22212x xx e ce --+3. 三角形的顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC ∆;过这三点的平面方程是420x y z --+=4．2ln()z x y =-(写出集合形式) 222{(,)1}x y x y x y +≥>且5．设(),f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y =则z zx y x y ∂∂-=∂∂()()121ln ln 1y x yx x f xy y f ''-+-6．曲面222326x y z ++=在点()111--，，的法线方程是111132x y z -++==-- 7.函数23u xyz yz z =--在点(1,1,1)P 处沿从点P 到点(3,3,2)Q 方向的方向导数等于43-；该函数在点(1,1,1)P 沿方向{1,1,4}--的方向导数值最大，其方向导数最大值是8．已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围，则Dyd σ⎰⎰= 09．2(,)ydy f x y dx⎰⎰交换积分次序得22(,)xdx f x y dy⎰⎰10．若级数1(1)nn u∞=+∑收敛，则n u →∞=n lim -1二:选择题(共10小题,每小题2分,共20分)1. 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个解()()12,y x y x ，C 为任意常数，则该方程通解是（ B ） (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ (B) ()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦(D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦2．已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ A ）（A ）2 （B ）22 （C ）22（D ）13．直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是( A ) (A)平行,但直线不在平面上 (B)直线在平面上(C)垂直相交 (D)相交但不垂直4. 双曲抛物面22234x y z -=与xoy 平面的交线是（ D ）(A)双曲线 (B)抛物线 (C)平行直线 (D)相交于原点的两条直线5. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z 在点),(00y x f x 存在全微分的（ B ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件6．设),1sec(-=xy z ，则=x z ( B )(A)sec(1)tan(1)xy xy -- (B)sec(1)tan(1)y xy xy --(C)2tan (1)y xy - (D)2tan (1)y xy --7. 设函数(),f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dyππ⎰⎰等于( B )(A) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ+⎰⎰(B) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ-⎰⎰(C)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰ (D)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰8．设曲面∑是上半球面：()22220,x y z R z ++=≥曲面1∑是曲面∑在第一卦限中的部分，则有( C ) (A)14xdS xdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (B)14ydS ydS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C)14zdS zdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D)14xyzdS xyzdS∑∑=⎰⎰⎰⎰9. 级数21cos (0)n nxx n ∞=≠∑，则该级数（ B ）(A)是发散级数 (B)是绝对收敛级数(C)是条件收敛级数 (D)仅在()()1,00,1-内级数收敛,其他x 值时数发散10. 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ D ）(A) 1nn a ∞=∑收敛 (B) ()11nnn a ∞=-∑收敛 (C) 11n n n a a ∞+=∑收敛 (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛三、解答题(本题共8小题,共50分)1.（本题6分）求微分方程''2xy y e -=的通解.解： 210,1r r -==±，123x x y c e c e -'=+设 *2x y Ae =，*2*22,4x x y Ae y Ae '''==22214,31,53x x x Ae Ae e A A '∴-=∴==222163x x xe c e e -'∴++1通解y=c2. （本题6分）设某一曲面由曲线⎩⎨⎧==02y x z 绕oz 周旋转一周生成，求该旋转曲面的方程;若该区面上的一个切平面与平面0324=+-+z y x 平行，求此切平面的方程.解：令22(,,)F x y z x y z =+-， 00{2,2,1}2n x y '=-00221421x y -==- 0002,1,5x y z ⇒==={4,2,1}5n '∴=- 4(2)2(1)(5)0x y z -+---= 即 42506x y z '+--=3. （本题6分）sin ,uz e v =而,,u xy v x y ==-求,.z z x y ∂∂∂∂ 解：sin ,,,sin cos 1sin()cos()3u u u xy xyz e v u xy v x y z z u z v e v y e v x u x v xye x y e x y ===-∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂'=-+-sin()cos()6xy xy z z u z vxe x y e x y y u y v y∂∂∂∂∂'=+=---∂∂∂∂∂ 4. （本题6分）设fx y x f x z ),,(2=有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2.解：21222()z y xf x f f x x ∂''=+-∂2' 22212222222122222122211112[]26z y x f x f f f x y x x x x xyf xf f f x yf xf f x∂''''''=+--∂∂''''''=+--''''''=+-或2222221222126z x f xf y xz z y f xf f x y y xx ∂'''==∂∂∂''''''∴==+-∂∂∂∂5. （本题6分）设(),f x y 连续，且()(),,,Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由20,,1y y x x ===所围区域，求(),f x y .解：()()()()()()()2211,,2,,11,512311,,688DDD DDDDxx DDDf x y dxdy xydxdy f u v dudvdxdyxydxdy f u v dudv dxdydx xydxdy f x y dxdy dx dxdyf x y dxdy f x y dxdy f x y xy '=+=+=+'=+'∴=∴=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. （本题6分）求()21Dx y dxdy++⎰⎰,其中D 为224x y +≤.解：()222222220122214484126DDDDx y dxdy x y x y xy dxdyx y dxdy dxdyd r rdr πθππππ++=+++++'=++'=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. （本题6分）判别级数11(1)(1)nnn e ∞=--∑是否收敛如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛解：考虑级数()11111(1)(1)nnnn n e e ∞∞==--=-∑∑111111lim 1,(1)31nn n n n e e n n∞∞→∞==-'=∴-∑∑且发散发散11(1)(1)n nn e ∞=--∑是交错级数且1111111,lim 10n n nn n n u e eu e ++→∞=->-=-=，由莱布尼兹判别法知，11(1)(1)nnn e ∞=--∑收敛。
院（系）别班级班级 学号学号学号 姓名姓名成绩成绩 大题大题一 二三 四 五 六 七 小题小题1 2 34 5得分得分，把答案直接填在题中横线上），a = ，b = = ．，则2z x y¶=¶¶ ．处的切平面方程为处的切平面方程为 ．处收敛于处收敛于 ，在处收敛于处收敛于 ．= ．，答题时必须写出详细的解答过程，1ln n n 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？,)y 具有二阶连续偏导数，求,z z x x y¶¶¶¶¶．,dSz òò三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-ò，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ¥=×å的收敛域及和函数．的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy S=++-òò，其中S 为曲面221(0)z x y z =--³的上侧．的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv W =+++òòò，其中t W 是由曲面22z x y=+与222z t x y =--所围成的闭区域，求所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+®．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面®答题纸®草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
皖西学院2012–2013学年度第二学期期末考试试卷（A 卷）
一．判断题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
1.由平面图形0≤a ≤x ≤b ，0≤y ≤f(x)绕x 轴旋转所成旋转体体积是dx x f b a )(2⎰π。
2.
如果y 1（x ）和y 2(x)是二阶齐次线性方程y ’’+P(x)y ’+Q(x)=0的两个解，那么y=C 1y 1(x)+C 2y 2(x) （其中C 1，C 2为任意常数）是该方程的通解. 3.设=（x 1,y 1,z 1）,=(x 2,y 2,z 2)，如果⊥，那么
21x x =21y y =21z z 。
4.如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，那么该函数在（x,y ）处的偏导数x ∂∂z 和y ∂∂z 必存在. 5.对于数项级数∑∞=1n n u ，如果m n li ∞→u n =0,那么∑∞=1n n u 必收敛. 二．填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1.dx x x x ⎰+11-2101sin = . 2.⎰2
0sin d x tdt t dx = .
3.曲线y=23
x 32
上相应于0≤x ≤3的一段弧的长度是 .
4.已知=+,=-,那么△OAB 的面积是 .
5.在空间解析几何中，方程x ²-y ²=1表示的图形是 .
6.通过x 轴和点（4，-3，-1）的平面方程是 .
7.曲面e z -z+xy=3在点（2,1,0）处的切平面方程是 .
8.改换二次积分的积分次序⎰⎰100),(y
dx y x f dy = . 9.级数∑∞=++1
)3)(1(1n n n 的和为 . 10.幂级数∑∞=1n 3·
n n
n x 的收敛域是 .
三．计算题：本大题共7小题，每小题6分，共42分。
1.计算dx x ⎰++40122
x .
2.求过点（0,2,4）且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程.
3.设z=e u sinv ，而u=xy,v=x+y,求x ∂∂z 和y
∂∂z . 4.计算⎰⎰++D
dxdy y x )1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一
象限内的闭区域.
5.计算⎰⎰∑
+dS y )x 22（，其中Σ是锥面z ²=3(x ²+y ²)被平面z=0和z=3所截得的部分.
6.求微分方程y 〞=y ˊ+x 满足初始条件y|x=0 =0,y ’|x=0=1的特解.
7．求幂级数∑∞
=-1n 1n nx 的和函数.
四．应用题：本大题共1小题，每小题9分，共9分。
某厂要用铁板做成一个体积为2m ³的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
五．证明题：本大题共1小题，每小题9分，共9分。
证明(x+2y)dx+(2x+y)dy 在xoy 平面内是某个函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).。
