2017届重庆市三峡名校联盟高三联考文科数学试题及答案

重庆市部分区2017届学年高三上学期期末数学（文）试卷 1．已知2i i ia b +=+（a ，b 是实数），其中i 是虚数单位，则ab =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．3 2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12a =-，30S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x y x y A ==∈，则AB =（ ） A ．{}2 B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,44．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组10101x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数字成绩低于100分，则()p q ∨￢表示（ ） A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,3,98．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．72B ．143C ．7D ．149．设曲线x 上的点到直线20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值为（ ）A ．2BC ．12+D ．210．函数1sin y x x=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知ABC △的外接圆半径为2，D 为该圆上一点，且AB AC AD +=，则ABC △的面积的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．D ．12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且2QP PF =，120QF QF ∙=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1BC 1D 1+13．若直线()120a x y +-+=与直线()110x a y +--=平行，则实数a 的值为________．14．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=+_________． 15．已知0x =是函数()()()22322f x x a x a x a =-++的极小值点，则实数a 的取值范围是_________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()121*n n n S a a n +++-=∈N ，若不等式n n S a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是_________．17．已知向量()sin ,cos a x x =，πcos sin ,cos 6b x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =∙． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且π1cos 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α． 18．心理学家分析发现“喜欢空间现象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人），给每位同学立体几何体，代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如表：（单位：人）（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，1CD DA ⊥，AC BC ⊥，145ABB ∠=，12AC BC BB ===．（1）证明：1B D BD ⊥；（2）求点A 到平面1ACD 的距离．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，AB =，点P 是椭圆C 上的动点，且12cos F PF ∠的最小值为35． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0-的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求22F M F N ∙的取值范围．21．已知函数()()e 0,x f x x a b a b =-+>∈R ．（1）求()f x 的最大值；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：122x x lna <-+．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l ：2x t y t=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(A ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11AM AN+的值． 23．已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）若1a =，2b =，解不等式()5f x ≤； （Ⅱ）若()f x 的最小值为3，求22a b b a+的最小值．。

2017年重庆市高考文科数学试题与答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A BA. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=A. 1-iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i 3. 函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为A. 4πB. 2πC. πD. 2π4. 设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a5. 若a ＞1，则双曲线x y a=222-1的离心率的取值范围是A. ∞）B. ）C. （1D. 12（，）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分后所得，则该几何体的体积为A. 90πB.63πC.42πD.36π7. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。

则2z x y =+ 的最小值是A. -15B.-9C. 1D. 9 8. 函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(-∞,-2)B. (-∞,-1)C.(1, +∞)D. (4, +∞)9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩10. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S=A. 2B. 3C. 4D. 511. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上 的数的概率为A.110 B. 15 C. 310D. 2512. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A.B.二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x,则()2=f15. 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=三、解答题：共70分。

2017年秋高三（上）期末测试卷文科数学文科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3、回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的。

1． 已知等差数列{}n a 中，163,13a a ==，则{}n a 的公差为A 、53B 、2C 、10D 、13 2．已知集合{|25},{1,2,3,4,5,6}A x R x B =∈〈〈=，则()A B ⋂=R ?A 、{1，2}B 、{5，6}C 、{1，2，5，6}D 、{3，4，5，6} 3、命题:P “若1x 〉，则21x 〉”，则命题:P 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4 4、已知两非零复数12,z z ，若12z z R ∈，则一定成立的是A 、21z z R ∈B 、12zR z ∈ C 、12z z R +∈ D 、12z R z ∈5、如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为6、根据如下样本数据：x3 5 7 9 y6a32得到回归方程$ 1.412.4y x =-+，则A 、变量x 与y 之间是函数产关系B 、变量x 与y 线性正相关C 、当x ＝11时，可以确定y ＝3D 、5a =7、执行如图所示的程序框图，若输入的k 值为9，则输出的结果是 A 、22-B 、0C 、2D 、1 8、函数2cos ()1x xf x x =-的图象大致为9、已知点(,)P x y 的坐标,x y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(2)(2)x y -+-的最小值为A 、0B 、425C 、5D 、8 10、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

【关键字】数学重庆二外高2017学部2016—2017学年度下期第2次月考文科数学1. 已知集合，，则=（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 设，则=（）D. 2A. B. C.3. 若，满足，则的最小值为（）A. B. 7 C. 2 D. 54. 阅读下图的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在中，“”是“为钝角三角形”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 定义在上的函数，则满足的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，8. 设，，为的三个内角A,B,C的对边，，若，且，则角A,B的大小分别为（）A. B. C. D.9. 在中，是边上一点，且，，则（）A. B. C. D.10. 给出下列三个命题：①函数的单调增区间是,②经过任意两点的直线，都可以用方程来表示；③命题：“，”的否定是“，”，其中正确命题的个数有（）个A. 0B. 1C. 2D. 311. 设m，，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是（）A. B.C. ,D.12.已知函数（，e为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a取值范围是（）A. B. C. D.13. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为___________14. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为___________15. 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．16. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为___________17. 已知函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小正周期与单调递加区间18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8 （1）在坐标系中作出这些数据的频率分布直方图（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定？19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．20. 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于MN两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围21. 已知函数（1）讨论的单调性并求最大值；（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围22. 选修4—4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程是（t为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线与曲线C交于P，Q两点（1）求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线L的普通方程23. 选修4-5：不等式选讲.函数（Ⅰ）若a=-2求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围参考答案1.C2. B3.D4.B5.C6.C7.D8.C9.A 10.B 11.D 12.A13. 14. 15.B 16.17. 解：（Ⅰ）因为，最大值为2；（Ⅱ）最小正周期为令，解之得.单调递增区间为.18.解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104；（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定19.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．20. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由已知得：，解得，所以椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）2+y2=1相切，所以，2k=，t≠0，把y=kx+t代入，并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2-24=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，因为=（x1+x2，y1+y2），所以C（，），又因为点C在椭圆上，所以，，因为t2＞0，所以，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为（-，0）∪（0，）．21.解：（1）由题设有x>0，，可知f(x)在(0，1)单调递增，在单调递减；f(x)的最大值为；（2）由题有，令，则，设，则，当x>0时，可知为增函数，且，当，即时，当x>0时，，则单调递增，，则h(x)单调递增，则h(x)>h(0)=0，即恒成立，故；当2a>2，即a>1时，则唯一存在t>0，使得，则当，，则h'(x)单调递减，h'(x)<h'(0)=0，则h(x)单调递减，则h(x)<h(0)=0，则，不能在上恒成立，综上：实数a的取值范围是.22.解：（1）由、及已知得：；由直线的参数方程知直线的直角坐标方程为：，所以直线恒过定点A(2,0)；（2）将直线l的方程代入曲线C的方程得：，由t的几何意义知：，，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，则，所以，因为，所以，，则，由此直线的方程为或.23.解：（Ⅰ）当a=-2时，f(x)=|x+2|，f(x)+f(2x)=|x+2|+|2x+2|>2，不等式可化为或或，解得；（Ⅱ），当时，f(x)=a-x+a-2x=2a-3x，则；当时，f(x)=x-a+a-2x=-x，则；当时，f(x)=x-a+2x-a=3x-2a，则，所以函数f(x)的值域为，因为不等式的解集非空，即为，解得a>-1，由于a<0，则a的取值范围为(-1，0).此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

重庆市2017年高考文科数学试题及答案(Word)抽取1张，求抽到的两张卡片上数字的和为偶数的概率为A。

1/2.B。

2/5.C。

3/5.D。

4/512.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则必存在A。

x0∈[0,1/2]，使得f(x0)=f(x0+1/2)B。

x0∈[0,1/2]，使得f(x0)=f(1-x0)C。

x0∈[0,1/2]，使得f(x0)=f(1/2-x0)D。

x0∈[0,1/2]，使得f(x0)=f(3/2-x0)答案：1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.B8.D9.C 10.C 11.B 12.B2017年重庆市高考文科数学试题共12小题，每小题5分，共60分。

选择题的难度适中，考察的知识点涉及集合、复数、三角函数、向量、双曲线、空间几何、不等式、对数函数、概率、函数连续等多个方面。

其中第9题考察了逻辑思维能力，需要通过分析老师的话来推断出每个人的成绩。

整体而言，这份试卷对考生的综合能力有一定的考查。

随机抽取两张卡片，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.1213 B. C.212.过抛物线C:y=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且XXX⊥l，则M到直线NF的距离为A.5 B.22 C.23 D.33.13.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为3.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x趋近于负无穷时，f(x)=2x^3+x^2.15.长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为10π。

16.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=60°。

17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=-1，b1=1，a3+b2=2.1)若a3+b2=5，求{bn}的通项公式；2)若Tn=21，求Sn。

2017届高三数学下第一次月段考试试题（重庆市文科附答案）2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷（科）一选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1已知集合，则集合的子集个数为A 6B 7 8 D 42设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为A B D3抛物线的焦点到直线的距离是A B D4“ 是真”是“ 为假”的A 充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条已知等比数列的前三项分别是，则数列的通项公式为A BD6变量之间的一组相关数据如下表所示：若之间的线性回归方程为，则的值为A 096B -094 -092 D-0987若是等差数列的前项和，且，则的值为A B 48 44 D 128在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的的取值范围是A B D9如图，网格纸的小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A B D10已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是A B D11已知点的坐标满足不等式组，N为直线上任一点，则的最小值是A B D12已知函数在处取得最大值，以下各式中：①；②；③；④；⑤，正确是序号是A③⑤B ②⑤①④D ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分13 函数，任取一点，则的概率为14 已知平面向量，且，则1 如图，球面上有A,B,三点，,球心到平面AB的距离为，则球的体积为16 已知函数，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的字说明或推理、验算过程17（本题满分12分）（中国好声音（The Vie f hina））是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出，每期节目有四位导师参加导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身导师的团队中接受指导训练已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两位参加某节目录制（1）请回答基本事总数并列出所有的基本事；（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率18（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面（1）求三棱柱的体积；（2）已知点D是平面内一点，且四边形为平行四边形，在直线上是否存在点P，使平面？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由19（本题满分12分）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象（1）求函数的解析式；（2）在中，内角A,B,满足，且其外接圆的半径为，求的面积的最大值20（本题满分12分）平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6（1）求椭圆的方程；（2）A,B是抛物线上两点，且A,B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆相交于,D两点，求弦的最大值21（本题满分12分）已知函数在点处切线与直线垂直（注：e为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（3）求证：当时，恒成立请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），且与有两个不同的交点（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求实数的取值范围23（本题满分10分）选修4-：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围。

全国大联考2017届高三第三次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容+数列+不等式.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]2.已知数列{a n}为等差数列,其前9项和为S9=54,则a5的值为A.4B.5C.6D.93.用12米的绳子围成一个矩形,则这个矩形的面积最大值为A.24B.16C.12D.94.若tan θ=1,则cos 2θ的值为A.22B.0 C.1 D.325.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是A.a>b+1B.a>b-1C.a+1>b+1D.a2>b26.已知在等比数列{a n}中,a3+a6=4,a6+a9=1,则a10+a13等于A.14B.18C.116D.1327.已知平面向量a、b,|a|=3,|b|=23且a-b与a垂直,则a与b的夹角为A.πB.πC.2πD.5π8.设变量x,y满足约束条件x+y≥3x-y≥−12x-y≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为A.23B.30C.7D.169.若函数f(x)=a x-k-1(a>0,a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是10.若对于任意的x>0,不等式x2≤a恒成立,则实数a的取值范围为A.(-∞,14]B.[14,+∞)C.(-∞,16]D.[16,+∞)11.已知在各项为正的等比数列{a n}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1等于A.8B.4C.2D.112.在数列{a n}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足a n+T=a n,则称{a n}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{x n}满足x1=1,x2=a(a≤1),x n+2=|x n+1-x n|,若数列{x n}的周期为3,则{x n}的前100项的和为A.66B.67C.68D.69第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.在等比数列{a n}中,a1=2,若a1,2a2,a3+6成等差数列,则a5=▲.14.已知a>0,b>0,ab=4,当a+4b取得最小值时,a=▲.15.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第16个图形中小正方形的个数是▲.的取值范围是▲.16.当x,y满足条件|x-1|+|y+1|<1时,变量u=x-1y-2三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2+ax+6.(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}满足a2=3,a4+a5=16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n-1,求数列{b n}的前n项和T n.19.(本小题满分12分)已知向量m=(2cos x,3sin 2x),n=(cos x,1),函数f(x)=m·n.(1)求f(x)的解析式和函数图象的对称轴方程;(2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且满足a+c>2b,求f(B)的取值范围.20.(本小题满分12分)已知正项等比数列{b n}(n∈N*)中,公比q>1,且b3+b5=40,b3·b5=256,a n=log2b n+2.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)若c n=1,求数列{c n}的前n项和S n.a n·a n+121.(本小题满分12分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(ax 2-1)·e x ,a ∈R .(1)若函数f (x )在x=1时取得极值,求a 的值; (2)当a ≤0时,求函数f (x )的单调区间.参 考 答 案1.A 由题知集合M={x|-3<x<2},所以M ∩N={x|1≤x<2},即[1,2).2.C 因为S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=54,所以a 5=6. 3.D 设矩形的一边长为x ,则矩形面积S=x (6-x )≤[x +(6−x )2]2=9,当且仅当x=6-x ,即x=3时取等号.4.B cos 2θ=cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ=1−tan 2θtan 2θ+1=0.5.A 根据题意可知,选项A 、C 都能推出a>b 成立,但是根据a>b 不能推出A 选项成立,故答案选A.6.Da 6+a 9a 3+a 6=q 3=18,q=12,a 10+a 13=(a 6+a 9)q 4=12×116=132.7.A 因为 a-b 与a 垂直,所以(a-b )·a=0,所以a ·a=b ·a ,所以cos a ,b =a ·b |a ||b |=a ·a |a ||b |=|a ||b |= 32,所以<a ,b >=π6. 8.B 作出可行域,如图所示:当目标函数z=2x+3y 经过x+y=3与2x-y=3的交点(2,1)时,有最小值2×2+3=7,经过x-y+1=0与2x-y=3的交点(4,5)时,有最大值2×4+3×5=23,其最值和为30.9.A 由题意可知f (2)=0,解得k=2,所以f (x )=a x-2-1,又因为是减函数,所以0<a<1.此时g (x )=log a (x+2)也是单调减的,且过点(-1,0).故选A 符合题意. 10.Dx x 2+2x+4=1x +2+4x ≤2+2 x ·4x=16,所以要使x x 2+3x+1≤a 恒成立,则a ≥16,即实数a 的取值范围为a ≥16.11.C 由题意知a 2a 8=82=a 52,即a 5=8,设公比为q (q>0),所以4a 3+a 7=4a 5q 2+a 5q 2=32q 2+8q 2≥2 32q 2×8q 2=32,当且仅当32q 2=8q 2,即q 2=2时取等号,此时a 1=a 54=2.12.B 由x n+2=|x n+1-x n |,得x 3=|x 2-x 1|=|a-1|=1-a ,x 4=|x 3-x 2|=|1-2a|,因为数列{x n }的周期为3,所以x 4=x 1,即|1-2a|=1,解得a=0或a=1.当a=0时,数列为1,0,1,1,0,1,…,所以S 100=2×33+1=67.当a=1时,数列为1,1,0,1,1,0,…,所以S 100=2×33+1=67.13.32 4a 2=a 1+a 3+6,∴8q-8-2q 2=0,q=2,a 5=a 1q 4=32.14.4 a+4b ≥2 =8,当且仅当a=4b 时取等号,结合a>0,b>0,ab=4,所以a=4,b=1,a b=4. 15.136 a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10,所以a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n-1=n ,等式两边同时累加得a n -a 1=2+3+…+n ,即a n =1+2+…+n=n (n +1)2,所以第16个图形中小正方形的个数是136.16.(-13,13) u=x -1y -2表示点M (1,2)与点P (x ,y )两点连线的斜率的倒数.画出可行域如图,当点P 为区域内的点(0,-1)时,u max =1,当点P 为区域内的点(2,-1)时,u min =-1.17.解:(1)当a=5时,f (x )=x 2+5x+6.由f (x )<0,得x 2+5x+6<0, 即(x+2)(x+3)<0, 所以-3<x<-2. ........................................................... 5分(2)若不等式f (x )>0的解集为R ,则有Δ=a 2-4×6<0,解得-2 6<a<2 6,即实数a 的取值范围是(-2 6,2 6). ...................... 10分 18.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+d =32a 1+7d =16,解得a 1=1,d=2, 所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1,即{a n }的通项公式为a n =2n-1. ......................... 5分 (2)由(1)知b n =22n-2,b 1=1,b n +1b n =22n 22n -2=4,所以数列{b n }是以1为首项,4为公比的等比数列,其前n 项和T n =1−4n 1−4=13(4n-1). ................................................. 12分19.解:(1)由已知可得:f (x )=2cos 2x+ 3sin 2x=1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin (2x+π6)+1, ∴函数的解析式为f (x )=2sin (2x+π6)+1,∴函数图象的对称轴方程为x=k 2π+π6(k ∈Z ). ................................. 6分(2)由题意可得:cos B=a 2+c 2-b 2>a 2+c 2-(a +c 2)2=3a 2+3c 2-2ac ≥4ac =1,当且仅当 a=c 时等号都成立,∴B ∈(0,π3).∴由(1)知f (B )=2sin (2B+π6)+1,又∵B ∈(0,π3),∴2B+π6∈(π6,5π6). ∴f (B )∈(2, 3]. ........................................................ 12分20.解:(1)由b3+b5=40,b3·b5=256,知b3,b5是方程x2-40x+256=0的两根,注意到b n+1>b n,得b3=8,b5=32,因为q2=b5b3=4,所以q=2或q=-2(舍去),所以b1=b3q2=84=2,所以b n=b1q n-1=2n,a n=log2b n+2=log22n+2=n+2.因为a n+1-a n=[(n+1)+2]-[n+2]=1,所以数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列................................ 7分(2)因为a n=3+(n-1)×1=n+2,所以c n=1,所以S n=13×4+14×5+…+1(n+2)(n+3)=1-1+1-1+…+1-1=n3n+9................................................................ 12分21.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则30x+20y≤300 5x+10y≤110 x≥0y≥0x,y∈Z,目标函数为z=6x+8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0,如图:...................................................................... 6分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组30x+20y=3005x+10y=110(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得x=4y=9,所以点M坐标为(4,9),将x=4,y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96(万元).所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元. 12分22.解:(1)f'(x)=(ax2+2ax-1)·e x,x∈R........................................ 2分依题意得f'(1)=(3a-1)·e =0,解得a=1.经检验符合题意........................ 4分 (2)f'(x )=(ax 2+2ax-1)·e x ,设g (x )=ax 2+2ax-1.①当a=0时,f (x )=-e x ,f (x )在(-∞,+∞)上为单调减函数. ......................... 5分 ②当a<0时,方程g (x )=ax 2+2ax-1=0的判别式为Δ=4a 2+4a , 令Δ=0, 解得a=0(舍去)或a=-1.1°当a=-1时,g (x )=-x 2-2x-1=-(x+1)2≤0,即f'(x )=(ax 2+2ax-1)·e x≤0,且f'(x )在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于0, 则f (x )在(-∞,+∞)上为单调减函数.2°当-1<a<0时,Δ<0,则g (x )=ax 2+2ax-1<0恒成立, 即f'(x )<0恒成立,则f (x )在(-∞,+∞)上为单调减函数.3°a<-1时,Δ=4a 2+4a>0,令g (x )=0,得x 1=-1+a 2+aa,x 2=-1- a 2+aa,且x 2>x 1.所以当x<-1+ a 2+aa时,g (x )<0,f'(x )<0,f (x )在(-∞,-1+a 2+aa )上为单调减函数; 当-1+2<x<-1-2时,g (x )>0,f'(x )>0,f (x )在(-1+2,-1- 2)上为单调增函数;当x>-1-2a时,g (x )<0,f'(x )<0,f (x )在(-1-2a,+∞)上为单调减函数.综上所述,当-1≤a ≤0时,函数f (x )的单调减区间为(-∞,+∞);当a<-1时,函数f (x )的单调减区间为(-∞,-1+ a 2+aa),(-1-a 2+aa,+∞),函数f (x )的单调增区间为(-1+a 2+aa,-1-a 2+aa). .................................................. 12分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知（是实数），其中是虚数单位，则（）A. -2B. -1C. 1D. 3【答案】A【解析】解析：由题设可得，则，故，应选答案A。

2. 设为等差数列的前项和，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题设可得，解之得，应选答案B。

3. 已知集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解析：由题设可知，则，应选答案B。

4. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】画出不等式组表示的区域如图，因，点到直线的距离为，则其面积为，应选答案B。

5. 命题甲的数学成绩不低于分，命题乙的数学成绩低于分，则表示（）A. 甲、乙两人数学成绩都低于分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于分【答案】D【解析】解析：由题设可知：表示乙的数学成绩不低于100分，则表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，应选答案D。

6. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人【答案】B【解析】解析：由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为，则，应选答案B。

7. 执行如图所示的程序框图，若分别输入，则输出的值的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：当时，，则输出；当时，，则输出；当时，则输出，故输出的数值构成的集合，应选答案A。

8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. 7 D. 14【答案】B9. 设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】解析：由题设可知这是一个半圆上点到直线的距离的最大值和最小值问题，因圆心到直线的距离，则，故，应选答案B。

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(适用地区：云南、贵州、广西、四川)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{1 ，2，3，4} ，B＝{2 ，4，6，8} ，则A∩B 中元素的个数为( )A ．1 B．2 C．3 D．4[解析] 由题意可得A∩B＝{2 ，4} ，故选B．答案：B2．复平面内表示复数z＝i(–2＋i)的点位于( )A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析] 由题意z＝－1－2i，故选B．答案：B3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 由折线图，7 月份后月接待游客量减少， A 错误，故选A．答案：A- 1 -4，则s in2α＝( ) 4．已知sinα－cosα＝3A ．－79B．－2929C．D．792－1(sinα－cosα)[解析] sin2α＝2sinαcosα＝＝－1 79，故选A．答案：A3x＋2y－6≤0x≥0，则z＝x－y 的取值范围是( )5．设x，y 满足约束条件y≥0A ．[–3，0] B．[–3，2] C．[0，2] D．[0，3][解析] 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3．在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2，故选A．答案：B6．函数 f (x)＝sin x＋π＋cos x－3π的最大值为()665 A ．35B．1 C．15D．[解析] 由诱导公式可得cos x－π＝cos6ππ－x＋2 3π＝sin x＋，31π则f(x)＝sin x＋5 3 ＋sin x＋π 66 π＝sin x＋，函数的最大值为，故选A．3 5 3 5答案：A7．函数y＝1＋x＋s in x2 的部分图像大致为( ) x[解析] 当x＝1 时，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，D．D，故选满足条件的只有答案：D- 2 -8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( ) A ．5 B．4 C．3 D．2[解析] 若N＝2，第一次进入循环，1≤2成立，S＝100，M ＝－10010＝－10，i＝2≤2成立；第二次进入循环，此时S＝100－10＝90，M＝－－10＝1，i＝3≤2不成立，∴输出S＝90<91 成立，∴输入的正整数N 10的最小值是2，故选D．答案：D9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )3πA ．πB．4πC．2πD．4[解析] 如果，画出圆柱的轴截面12，∴r＝BC＝AC＝1，AB＝3 32h＝π×，那么圆柱的体积是V＝πr2 22×1＝3π，故选B．4答案：B10．在正方体ABCD －A1B1C1D1 中，E 为棱C D 的中点，则( )A ．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC[解析] 根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那么也垂直斜线在平面内的射线．- 3 -对于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C 时，也能推出BC1⊥A1E，∴C 成立，对于D，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立，故选C．答案：C11．已知椭圆C：2 2x y2＋2＝1( a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx a b－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )A ．63B．33C．23D．132＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d[解析] 以线段A1A2 为直径的圆是x＝2ab＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2) 2a2＝3c2，即2＝3b2，即a2＝3(a2－c2) 2a2＝3c2，即2＋b2a2c 2 c，e＝＝2＝a 3 a6，故选 A ．3答案：A2－2x＋a(e x－1＋e－x＋112．已知函数f(x)＝x )有唯一零点，则a＝( )A ．－12 B．1 13 C．2 D．12－2x＋a(e x－1＋e－x＋1[解析] 方法一：由条件，f(x)＝x )，得：2－2(2－x)＋a(e2－x－1＋ e－(2－x)＋1f(2－x)＝(2－x) )2 1－x x－1＝x －4x＋4－4＋2x＋a(e ＋e)＝x2－2x＋a(e x －x＋1)－1＋e∴f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)的对称轴，由题意，f(x)有唯一零点，∴f(x)的零点只能为x＝1，1即f(1) ＝12－2·1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝．22 x－1 －x＋1 x－1 －x＋1 x－1 －x＋1 x－1方法二：x －2x＝－a(e ＋e ＋e ，g′x()＝e －e ＝e)，设g(x)＝e －2(x－1)－11 ex－1＝x－1 ，e e当g′x()＝0时，x＝1，当x<1时，g′x()<0，函数单调递减，当x>1时，g′x()>0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1；若－a>0，函数h( x)和ag(x)没有1交点，当－a<0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1 a＝，故选C．2 答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90 分)本试卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 题～第24 题为选考题，考生根据要求作答．- 4 -二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．)→13．已知向量 a→→＝(－2，3)，b ＝(3，m)，且 a→⊥b ，则m＝．[解析] 由题意可得－2×3＋3m＝0，∴m＝2．答案：214．双曲线2x2－a2y 3＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝9 5x，则a＝．3[解析] 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y＝±x，结合题意可得a＝5．a答案：515．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝．[解析] 由题意b＝sinBc bsinC，即sinB＝＝sinC c36×2＝32，结合b<c 可得B＝45°，则A＝180°－B－C2＝75°．答案：75°16．设函数f(x)＝x＋1，x≤0则满足f(x)＋f(x－x，x>0212)>1 的x 的取值范围是．[解析] 方法一：∵f(x)＝x＋1，x≤0 1，f(x)＋f x－x，x>02 212>1，即f x－>1－f(x)，由图象变换可画出y＝f x－12与y＝1－f(x)的图象如下：y1y f(x)21 1( , )4 41 1 x2 2y 1 f (x)12 由图可知，满足f x－>1－f(x)的解为(－14，＋∞)．11 1 x＋x－11方法二：由题意得，当x> 时，2 ；当0< x≤时，2 ＋1>1 恒成立，即x＋2x－2>1 恒成立，即x>2 2 2 20< x≤12；当x≤0时x＋1＋x－12＋1>1 x>－14，即－1 14< x≤0；综上x的取值范围是(－4，＋∞)．1答案：(－，＋∞)4三、解答题(本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．- 5 -(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12 分)设数列{ a n} 满足a1＋3a2＋⋯＋(2n－1)a n＝2n．(1)求{ a n}的通项公式；(2)求数列a n2n＋1的前n 项和．[解析] (1)∵a1＋3a2＋⋯＋(2n－1)a n＝2n，①∴n≥2时，a1＋3a2＋⋯＋(2n－1)a n－1＝2(n－1)，②2①－②得，(2n－1)a n＝2，a n＝2n－1，又n＝1 时，a1＝2 适合上式，2∴a n＝； 2n－1(2)由(1)a n＝2n＋12＝(2n－1)(2n＋1)1 1－，2n－1 2n＋1a1 a2 a n 1 1 ∴S n＝＋＋⋯＋＝(1－)＋( －3 5 2n＋1 3 3 15)＋⋯＋(1 1 1－)＝1－＝2n－1 2n＋1 2n＋12n．2n＋118．(本小题满分12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解析] (1)需求量不超过300 瓶，即最高气温不高于25℃，从表中可知有54 天，∴所求概率为P＝54 3＝．90 5(2)Y 的可能值列表如下：最高气温[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) Y －100 －100 300 900 900 900 低于20℃：y＝200×6＋250×2－450×4＝－100；[20，25)：y＝300×6＋150×2－450×4＝300；不低于25℃：y＝450×(6－4)＝900，2 16 ∴Y 大于0 的概率为P＝＋＝90 90 15．- 6 -19．(本小题满分 12 分)如图，四面体 ABCD 中，△ ABC 是正三角形， AD ＝ CD ．(1)证明： AC ⊥BD ；(2)已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝BD ．若 E 为棱B D 上与 D 不重合的点， 且 AE ⊥EC ，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比．[解析 ] (1)证明：取A C 中点 O ，连O D ，OB ， ∵AD ＝CD ，O 为 AC 中点，∴ AC ⊥OD ， 又∵△ ABC 是等边三角形，∴ AC ⊥ OB ，又∵ OB ∩OD ＝O ，∴ AC ⊥平面 OBD ，BD 平面 OBD ， ∴AC ⊥BD ；(2)设A D ＝CD ＝2，∴ AC ＝ 2 2，AB ＝CD ＝2 2，又∵ AB ＝BD ，∴ BD ＝2 2，∴△ ABD ≌ △ CBD ，∴ AE ＝EC ， 又∵ AE ⊥EC ，AC ＝2 2，∴ AE ＝EC ＝2， 在△ ABD 中，设D E ＝x ，根据余弦定理cos ∠ ADB ＝ AD 2＋BD 2－AB 2 2AD ·BDAD＝2＋DE 2－AE 2 2AD ·DE＝ 2＋(2 2)2－(2 2)22＋x 2－22 2 2 ＝ ， 2×2×x 2×2×2 2解得 x ＝ 2，∴点 E 是 BD 的中点，则V D －ACE ＝V B －ACE ，∴V D －ACE＝1． V B －ACE－ACE2＋mx –2 与 x 轴交于A ，B 两点，点 C 的坐标 20．(本小题满分 12 分)在直角坐标系x Oy 中，曲线 y ＝x为(0，1)．当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现A C ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．2＋mx －2＝0 的根， [解析 ] (1)设A (x1，0)，B(x 2，0)，则x 1，x 2 是方程 x∴x 1＋x 2＝－ m ，x 1x 2＝－ 2，→ →则A C ·BC＝ (－x 1，1) ·(－x 2，1)＝x 1x 2＋1＝－ 2＋1＝－ 1≠0， ∴不会能否出现A C ⊥BC 的情况．(2)解法一：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段A B 垂直平分线上，设圆心E(x 0， y 0)，- 7 -x1＋x2则x0＝＝－2 m，由|EA |＝|EC|得2x1＋x2－x1 2＋y02＝2x1＋x222＋(y0－1)2，1＋x1x2化简得y0＝＝－2 1 2 ，∴圆E 的方程为x＋m22＋y＋122＝－m22＋－1－1－122，令x＝0 得y1＝1，y2＝－2，∴过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1－(－2)＝3，∴过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解法二：设过A，B，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2 可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得|OD ||OC |＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝2，又|OC |＝1，∴|OD |＝2，∴过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值．2＋(2a＋1) x． 21．(本小题满分12 分)已知函数 f (x)＝ln x＋ax3－2． (1)讨论f( x)的单调性；(2)当a<0 时，证明f(x) ≤－4a[解析] (1) f′x()＝2＋(2a＋1)x＋12ax (2 ax＋1)( x＋1)＝(x>0)，x x当a≥0 时，f′x()≥，0则f(x )在(0，＋∞)单调递增，当a<0 时，则f(x)在(0，－ 1)单调递增，在(－1，＋∞)单调递减． 2a 2a(2)由(1) 知，当a<0 时，f( x)max＝f(－12a)，1f(－)－(－2a 3＋2)＝ln(－4a1)＋2a1＋1，令y＝ln t＋1－t(t＝－2a1>0)，2a则y′＝1t－1＝0，解得t＝1，∴y 在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，3∴y max＝y(1)＝0，∴y≤0，即f (x)max≤－( ＋2)，∴f( x) ≤－4a 3－2．4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10 分)选修4―4坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，直线l1 的参数方程为x＝2＋ty＝kt(t 为参数)，直线l2 的参数方程为x＝－2＋mmky＝(ml1 与l2 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．为参数)．设(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M 为l3 与C 的- 8 -交点，求M 的极径．[解析] (1)将参数方程转化为普通方程1l1：y＝k(x－2)⋯⋯①；l2：y＝(x＋2)⋯⋯②k由①②消去k可得：x2－y2＝4，即P的轨迹方程为x2－y2＝4；(2)将参数方程转化为一般方程l3：x＋y－2＝0⋯⋯③联立l3和曲线C得x＋y－2＝0，解得2－y2＝4x3 22x＝，由2y＝－2x＝ρcosθ，解得ρ＝5，y＝ρsinθ即M的极半径是5．23．(本小题满分10 分)选修4— 5 不等式选讲：已知函数f( x)＝|x＋1|–|x–2|．(1)求不等式f(x) ≥1的解集；2(2)若不等式f(x) ≥x –x＋m 的解集非空，求m 的取值范围．－3，x≤－12x－1，－1<x<2．由f (x) ≥1可得：[解析] (1) f( x)＝|x＋1|–|x–2|可等价为f(x)＝3，x≥2①当x≤－1时显然不满足题意；②当－1< x<2时，2x－1≥1，解得x≥1；③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立．综上，f( x) ≥的1解集为{ x|x≥1}．2－x＋m等价为f(x)－x2＋x≥m，(2)不等式f(x) ≥x令g(x)＝f( x)－x2＋x，则g( x) ≥m解集非空只需要[g(x)] max≥m．－x2＋x－3，x≤－1而g(x)＝－x2＋3x－1，－1<x<2．－x2＋x＋3，x≥2①当x≤－1时，[ g(x)]max＝g(－1)＝－3－1－1＝－5；3②当－1< x<2时，[g(x)]max＝g(2)＝－322＋3·3－1＝－1＝5；2 4③当x≥2时，[ g(x)] max＝g(2)＝－22＋2＋3＝1．综上，[g( x)]max＝5 5 ，故m≤．4 45∴m 的取值范围为(－∞，]．4- 9 -。

2017-2018学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=3，a6=13，则{a n}的公差为（）A．B．2 C．10 D．132．（5分）已知集合A={x∈R|2＜x＜5}，B={1，2，3，4，5，6}，则（∁R A）∩B=（）A．{1，2}B．{5，6}C．{1，2，5，6}D．{3，4，5，6}3．（5分）命题P：“若x＞1，则x2＞1”，则命题P：以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知两非零复数z1，z2，若z1z2∈R，则一定成立的是（）A．B．C．z 1+z2∈R D．5．（5分）如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为（）A．B．C．D．6．（5分）根据如下样本数据：得到回归方程，则（）A．变量x与y之间是函数产关系B．变量x与y线性正相关C．当x=11时，可以确定y=3 D．a=57．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的结果是（）A．B．0 C．D．18．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C． D．9．（5分）已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则（x﹣2）2+（y ﹣2）2的最小值为（）A．0 B．C．5 D．810．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”．其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤．”则在此问题中，第5关收税金（）A．斤B．斤C．斤D．斤11．（5分）已知函数在区间[]内单调递减，则ϖ的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，若，则k=．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则a=．15．（5分）已知抛物线y2=2px过点A（1，2），O这坐标原点，以A为圆心、|AO|为半径的圆交抛物线的准线于M，N两点，则|MN|=．16．（5分）当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆（x﹣2m）2+（y+m）2=m2相切，则直线l的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=4，a n a n+1+4=4a n．（I）求证：为等差数列；（II）设b n=（a n﹣2）（a n+1﹣2），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为AD的中点，将△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面与梯形ABCE所在平面垂直（如图2），M是BD的中点．（I）求证：AM∥平面CDE；（II）求三棱锥M﹣AED的体积．19．（12分）某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款．单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案．（I）商场客服部门随机统计了100位消费满200元的顾客选择的优惠方案，结果如表：K2=是否有99%以上的把握认为顾客的消费金额与优惠方案的选择有关？（II）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最终支付金额不超过250元的概率．20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率之积为．（I）求椭圆C的方程；（II）延长AP至点M使P恰为AM的中点，直线MB与椭圆C交于另一点N，若直线PN与y轴平行，求点P的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x1nx+ax2（a≠0）．（I）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）讨论f（x）的极值点的个数．请从下面所给22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y=a（a＞0），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．（I）求a的值；（II）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C交于不同的两点O，A，与直线交于点B，若|OA|=|AB|，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b=m，证明：．2017-2018学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=3，a6=13，则{a n}的公差为（）A．B．2 C．10 D．13【解答】解：设{a n}的公差为d，∵a1=3，a6=13，∴3+5d=13，解得d=2．故选：B．2．（5分）已知集合A={x∈R|2＜x＜5}，B={1，2，3，4，5，6}，则（∁R A）∩B=（）A．{1，2}B．{5，6}C．{1，2，5，6}D．{3，4，5，6}【解答】解：∁R A={x|x≤2，或x≥5}；∴（∁R A）∩B={1，2，5，6}．故选：C．3．（5分）命题P：“若x＞1，则x2＞1”，则命题P：以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题P：“若x＞1，则x2＞1”，它是真命题；它的否命题是：“若x≤1，则x2≤1”，它是假命题；逆命题是：“若x2＞1，则x＞1”，它是假命题；逆否命题是：“若x2≤1，则x≤1”，它是真命题；综上，这四个命题中真命题的个数为2．故选：B．4．（5分）已知两非零复数z1，z2，若z1z2∈R，则一定成立的是（）A．B．C．z 1+z2∈R D．【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，（a，b，c，d∈R），则=（a+bi）（c﹣di）=ac+bd+（bc﹣ad）i，∴∈R不一定成立，故A不正确；==，∴∈R不一定成立，故B不正确；z1+z2=a+bi+c+di=a+c+（b+d）i，∴z1+z2∈R不一定成立，故C不正确；∵=，且z1z2∈R，∴∈R正确，故D成立．故选：D．5．（5分）如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四棱锥的底面是矩形，结合正视图和左视图，可得原几何体为如图：∴其俯视图为：故选：C．6．（5分）根据如下样本数据：x3579y6a32得到回归方程，则（）A．变量x与y之间是函数产关系B．变量x与y线性正相关C．当x=11时，可以确定y=3 D．a=5【解答】解：由题意，==6，==∵y关于x的线性回归方程，∴根据线性回归方程必过样本的中心，=﹣1.4×6+12.4，∴a=5．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的结果是（）A．B．0 C．D．1【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图是计算并输出T=cos+cos+…+cos的值．由于T=cos+cos+…+cos=+0﹣﹣1﹣+0++1+=．故选：C．8．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C． D．【解答】解：函数是奇函数，排除选项C、D；当x∈（0，1）时，f（x）＜0，排除选项B，故选：A．9．（5分）已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则（x﹣2）2+（y ﹣2）2的最小值为（）A．0 B．C．5 D．8【解答】解：由x，y满足作出可行域如图，（x﹣2）2+（y﹣2）2的几何意义为A（2，2）到直线3x+4y﹣12=0的距离的平方，由d==，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为．故选：B．10．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”．其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤．”则在此问题中，第5关收税金（）A．斤B．斤C．斤D．斤【解答】解：设第一关收税金，则第二关收税金，第三关收税金=，第四关收税金x=x，第五关收税金（1﹣）x=x，由题意得：=1，解得x=，∴第5关收税金：=斤．故选：B．11．（5分）已知函数在区间[]内单调递减，则ϖ的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数=cos（2ωx）∵区间[]内单调递减，∴，k∈Z．可得，∵ω＞0∴当k=0时，可得ω=．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=，令f′（x）=0得lnx=1﹣a，x=e1﹣a．∴当0＜x＜e1﹣a时，f′（x）＞0，当x＞e1﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e1﹣a）上单调递增，在（e1﹣a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（e1﹣a）=e a﹣1．即f（x）的值域为（﹣∞，e a﹣1]．∴f[f（x）]的值域为（﹣∞，e a﹣1]．∴e a﹣1≥e1﹣a，解得：a≥1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，若，则k=．【解答】解：∵向量，∴﹣=（3，2﹣k），∵，∴，解得k=．故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则a=6．【解答】解：在△ABC中，b=5，c=7，cosC=，由余弦定理可得：cosC=，则有=，变形可得：a2﹣2a﹣24=0，解可得：a=6或﹣4（舍）；则a=6，故答案为：615．（5分）已知抛物线y2=2px过点A（1，2），O这坐标原点，以A为圆心、|AO|为半径的圆交抛物线的准线于M，N两点，则|MN|=2．【解答】解：抛物线y2=2px过点A（1，2），∴4=2p，解得p=2，∴准线方程为x=﹣1，∴点A到准线的距离为AB=2，|∵A（1，2），∴AO|==，∴|MN|=2=2=2故答案为：2．16．（5分）当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆（x﹣2m）2+（y+m）2=m2相切，则直线l的方程为y=﹣．【解答】解：设l：y=kx+b，则，即（3k2+4k）m2+2b（2k+1）m+b2=0，因为该等式对任意m＞0成立，故3k2+4k=0，2b（2k+1）=0，b2=0，即，∴．故答案为：y=﹣三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=4，a n a n+1+4=4a n．（I）求证：为等差数列；（II）设b n=（a n﹣2）（a n+1﹣2），求数列{b n}的前n项和．【解答】证明：（Ⅰ），故为等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，∴=．18．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为AD的中点，将△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面与梯形ABCE所在平面垂直（如图2），M是BD的中点．（I）求证：AM∥平面CDE；（II）求三棱锥M﹣AED的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取BC的中点N，连接MN、AN，∵AE∥BC且AE=NC=1，∴AN∥EC，又M为BD的中点，∴MN∥DC，∵AN∩MN=N，EC∩DC=C，AN、MN⊂平面AMN，EC、DC⊂平面EDC，∴平面AMN∥平面EDC，∴AM∥平面EDC．…（6分）===，解：（Ⅱ）S△ABE三棱锥M﹣AED的体积：．…（12分）19．（12分）某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款．单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案．（I）商场客服部门随机统计了100位消费满200元的顾客选择的优惠方案，结果如表：K2=是否有99%以上的把握认为顾客的消费金额与优惠方案的选择有关？（II）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最终支付金额不超过250元的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，，所以有99%以上的把握认为二者有关．…（6分）（Ⅱ）顾客最终支付金额不超过250元，即至少摸到一个红球．顾客摸到球的情况共6种，分别为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2），至少摸到一个红球的情况有5种，故该顾客最终支付金额不超过250元的概率为p=．…（12分）20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率之积为．（I）求椭圆C的方程；（II）延长AP至点M使P恰为AM的中点，直线MB与椭圆C交于另一点N，若直线PN与y轴平行，求点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的短轴长为2，则b=1，设P（x0，y0），A（﹣a，0），B（a，0）；则，K PA•K PB=•==，故a=2，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知M（2x 0+2，2y0），直线即，与椭圆C的方程联立消y得，，则，由题知x N=x0，故，∴x0=1或﹣2（舍），∴．21．（12分）已知函数f（x）=x1nx+ax2（a≠0）．（I）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）讨论f（x）的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1+2ax，f'（e）=2+2ae=0，∴；…（4分）（Ⅱ）f'（x）=lnx+1+2ax，，①当a＞0时，f''（x）＞0，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递增，又x→0时，f'（x）＜0，f'（1）=2a+1＞0，故f（x）在（0，+∞）内有唯一极值点；②当a＜0时，，故f'（x）在上单增，在上单减，若即时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值点；若即时，又x→0时f'（x）＜0，x→+∞时f'（x）＜0，故此时f（x）有两个极值点．综上所述，a＞0时，f（x）在（0，+∞）内有唯一极值点，时，f（x）无极值点.时，f（x）有两个极值点．…（12分）请从下面所给22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y=a（a＞0），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．（I）求a的值；（II）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C交于不同的两点O，A，与直线交于点B，若|OA|=|AB|，求α的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程：（x﹣1）2+y2=1，∵直线的方程为x+y=a（a＞0），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．∴，解得a=4．…（5分）（Ⅱ）曲线C：ρ=2cosθ，直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，分别代入θ=α，得ρA=2cosα，，由|OA|=|AB|知ρB=2ρA，即，∴sinαcosα+cos2α=1，即，故，解得．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]．23．已知关于x 的不等式|2x |+|2x ﹣1|≤m 有解． （I ）求实数m 的取值范围；（II ）已知a ＞0，b ＞0，a +b=m ，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x |+|2x ﹣1|≥|2x ﹣（2x ﹣1）|=1，故m ≥1； …（5分） （Ⅱ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +2b ＞0，2a +b ＞0故==a 2+b 2+2ab=（a +b ）2，即由（Ⅰ）知a +b=m ≥1，∴．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合第21页（共22页）⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x第22页（共22页）①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

重庆市2017届高三数学3月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】 ,所以 ,选A.2. 复数（为虚数单位）的虚部是（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】由题意可得：，则z的虚部是-1.本题选择B选项.3. 已知向量，则（）A. -9B. 9C. 6D. -6【答案】B【解析】由题意可得：，结合向量垂直的充要条件有：，解得： .本题选择B选项.点睛： (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.4. 下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )A. y＝sin(2x＋)B. y＝cos(2x＋)C. y＝sin2x＋cos2xD. y＝sinx＋cosx 【答案】A【解析】逐一化简函数的解析式：A．B．C．D．结合函数的解析式可得：最小正周期为的偶函数是....本题选择A选项.5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为球的，其半径为1.则体积 .本题选择D选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．6. 长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3，4，5，则该球面的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球的半径为R，由题意可得：，球的表面积为： .本题选择B选项.7. 已知抛物线的准线与双曲线相交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】试题分析：依题意知抛物线的准线，代入双曲线方程得，不妨设．∵是等腰直角三角形，∴，求得，∴双曲线的离心率为，故选：A．考点：双曲线的简单性质．【思路点睛】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为4，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得．8. 道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（）A. 0.95B. 0.05C. 0.47D. 0.48【答案】D9. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）A. 119B. 600C. 719D. 4949【答案】C...【解析】模拟执行程序框图可得：k=1，S=0，T=1满足条件k⩽5，T=1，S=1，k=2满足条件k⩽5，T=2，S=5，k=3满足条件k⩽5，T=6，S=23，k=4满足条件k⩽5，T=24，S=119，k=5满足条件k⩽5，T=120，S=719，k=6不满足条件k⩽5，退出循环，输出S的值为719.故选：C.10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故左移后可得,由题设,即,所以,则,所以,故当时,取最小值为.应选B.考点：三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先待定函数解析式中的参数,再求其最小值.解答时先求出,再进行平移后得到,进而借助关于点对称求出了,代入,最后求出其最小值.11. 曲线上的点到直线的距离最大值为，最小值为，则的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为圆心到直线距离为，所以半圆到直线距离最大值为，到直线距离最小值为点到直线距离，为，所以，选C.12. 已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数f(x)的图象如图，若m<n,且f(m)=f(n)，则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e−1，则满足0<n⩽e−1，−2<m⩽0，则ln(n+1)= m+1,即m=2ln(n+1)−2，则n−m=n+2−2ln(n+1)，设h(n)=n+2−2ln(n+1)，0<n⩽e−1...则，当h′(x)>0得1<n⩽e−1，当h′(x)<0得0<n<1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln2，当n=0时,h(0)=2−2ln1=2，则3−2ln2⩽h(n)<2，即n−m的取值范围是[3−2ln2,2)，本题选择A选项.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________【答案】【解析】由题意可得： .14. 若变量x，y满足则的最大值是__________【答案】6【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值 .15. 已知函数且，则__________【答案】1【解析】∵f(a)=−1，∴a>0，−log2(a+1)+2=−1，∴a=7.f(6−a)=f(−1)=20=1.分段函数： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16. 在中，角的对边分别是，若，，则面积是__________【答案】1【解析】∵,可得：，∴ =2sinA，...∴sin2C+sin2B=2(sinBcosC+cosBsinC)sinBsinC=2sin2BsinCcosC+2sin2CsinBcosB，∴sin2C(1−2sinBcosB)+sin2B(1−2sinCcosC)=0，∴sin2C(sinB−cosB)2+sin2B(sinC−cosC)2=0，∴sinB=cosB,sinC=cosC,可得：B=C=45°，又∵b=，∴ .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 等比数列中，a1=1,a6=32，Sn是等差数列{bn}的前n项和，b1=3,S5=35（I）求数列，{bn}的通项公式（II）设Cn=an+bn，求数列{Cn}的前n项和Tn【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由等差数列与等比数列的通项公式、去前n项和公式可得：；；(2)分组求和可得数列的前n项和为.试题解析：（1）因为，，，所以，所以，所以；因为，，解得，所以，即．（2）因为，所以，所以+．18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（I）现从乙班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为90分的同学被抽中的概率；（II）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 附：参考公式及数据【答案】（1）0.7（2）有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”【解析】试题分析：(1) 乙班数学成绩不低于分的同学共有名, 从中随机抽取两名同学共有种,而没有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,因此至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,最后根据古典概型概率求法得所求概率为. (2)将数据对应代入表格及公式,可得,再对应参考公式可得把握率.试题解析：（I）乙班数学成绩不低于分的同学共有名,其中成绩为分的同学有两名,画数状图(略)知,从中随机抽取两名同学共有种,至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,所求概率为.(Ⅱ)如图所示由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. ...19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点（I）证明：平面；（II）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般方法为利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，可从两个方面出发，一是利用面面垂直得线面垂直，再得线线垂直，二是利用平几知识，如本题中正方形有关性质，(2)求点到直线距离，一般方法为利用等体积法，即根据可得分别求出两个三角形面积代入可得点到平面的距离.试题解析：（I）证明：由知,又平面平面，所以平面,而平面，∴,在正方形中，由分别是和的中点知,而，∴平面.(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作，交和分别于点和,则平面,即的长为到平面的距离，在正方形中,易知， ,即,得，故到平面的距离为.解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，则，将，代入得，得，故到平面的距离为.20. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为（I）求椭圆C的标准方程；（II）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点M，N.（i）求证：；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）（2）（i）见解析(ii)【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由＝结合（ⅰ）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问题得证；（ii）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解．试题解析：解：（1），又，所以．所以椭圆的标准方程为（2）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得，则，所以，，即（ii）当且仅当，即．（此时适合△＞0的条件）取得等号．三角形面积的最大值是方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，设，联立，整理得，则，所以，，即（ii）点到直线的距离为，=．令，则，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即三角形面积的最大值是考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式．【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．21. 已知函数（I）当时，求曲线在处的切线方程；（II）求证：当时，【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)根据导数几何意义得斜率为，再根据点斜式写出切线方程，(2)实际就是证明，即需证明，构造函数，利用导数求其最小值为，即可得证.试题解析：（I）解:∵∴得,切点为,斜率为,所求切线方程为,即.(Ⅱ)证明:法1：,即,∵∴只要证明即可.令，则,注意到，当时，；当时，，即在上是减函数，在是增函数，综上知, 当时，. 法2：由知, ,令则,注意到，当时，；当时，，即在上是减函数，在是增函数，，所以,即.综上知, 当时，. ...点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）（I）求曲线的直角坐标方程；（II）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1) 利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)根据直线参数方程几何意义得，所以先将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理得，从而可解得．试题解析：（I）曲线,即,于是有,化为直角坐标方程为:（II）方法1: ,即由的中点为得,有,所以,由得方法2:设,则,∵,∴,由得.方法3: 设,则由是的中点得,,∵,∴,知,∴,由得. 方法4:依题意设直线,与联立得,即,由得,因为 ,所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为（I）求的值；（II）若都是正实数，且，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意,即,∴（II）方法1:∵∴当且仅当,即时取等号方法2: ∵∴由柯西不等式得整理得...当且仅当,即时取等号.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 0或1B. 0或2C. 1或2D. 0或1或2【答案】C【解析】错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

故选C。

点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合。

2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解。

3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。

2. 设命题错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】命题错误！未找到引用源。

是全称命题，苦否定是特称命题：错误！未找到引用源。

故选B。

3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为（）A. 1760石B. 200石C. 300石D. 240石【答案】D【解析】可设这批米内夹谷约错误！未找到引用源。

石，则有错误！未找到引用源。

故选D。

4. 为了得到函数错误！未找到引用源。

的图象，只需把函数错误！未找到引用源。

的图象（）A. 向左平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度B. 向右平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度C. 向左平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度D. 向右平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度【答案】C【解析】错误！未找到引用源。

，故只需将错误！未找到引用源。

向左平移错误！未找到引用源。