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正弦交流电路相量

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正弦交流电的相量表示法

正弦交流电的相量表示法

之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按 正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用 的电能形式，其电压和电流的大小和 方向随时间变化，且变化规律呈正弦 波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系 统、通信和控制等领域有广泛应 用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的 关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电 的幅度，虚部表示正弦交流电的相位 。
相量长度（模）表示正弦交流电的有 效值或最大值，相量的角度表示正弦 交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复 杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛 应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法 能够将时域的三角函数形式转换 为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分 析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴坐标，虚部 为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数 形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB， 其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系

10.正弦交流电路的相量表示法

10.正弦交流电路的相量表示法

I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im

2. 波形图法：

6

旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：

I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )

实验三 正弦稳态交流电路相量研究

实验三 正弦稳态交流电路相量研究

实验三 正弦稳态交流电路相量研究一、 实验目的1. 研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系。

二、2. 掌握日光灯线路的接线。

三、 3. 理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。

四、原理说明1. 在单相正弦交流电路中, 用交流电流表测得各支路的电流值, 用交流电压表测得回路各元件两端的电压值, 它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律, 即(I=0和(U=0 。

2．图3-1所示的RC 串联电路, 在正弦稳态信号U 的激励下, UR 与UC 保持有900的相位差, 即当R 阻值改变时, UR 的相量轨迹是一个半园。

U 、UC 与UR 三者形成一个直角的电压三角形, 如图3-2所示。

R 值改变时, 可改变(角的大小, 从而达到移相的目的。

五、 3. 日光灯线路如图3-3所示, 图中A 是日光灯管, L 是镇流器, S 是启辉器,C 是补偿电容器, 用以改善电路的功率因数（COS(值）。

有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。

六、 实验设备SC220V LU图3-2图3-32 交流电流表0~5A 1 D323 功率表 1 D344 自耦调压器 1 DG015 镇流器、启辉器与40W灯管配用各1 DG096 日光灯灯管40W 17 电容器1μF, 2.2μF,4.7μF/500V 各1 DG098 白炽灯及灯座220V, 15W 1~3 DG089 电流插座 3 DG09七、实验内容1. 按图3-1接线。

R为220V﹑15W的白炽灯泡, 电容器为4.7UF/450V。

经指导教师检查后,接通实验台电源, 将自耦调压器输出（即U）调至220V。

记录U﹑UR﹑UC值, 验证电压三角形关系。

测量值计算值U（V）UR （V）UC（V）U'（与UR'+ UC组成）U'=22R CU U+∆U=U'-U（V）∆U/U（%）220 214.2 47.03 219.3 -0.7 -0.322.日光灯线路接线与测量按图3-4接线。

正弦交流电路的相量表示法

正弦交流电路的相量表示法

直观，但不便于分析计算。
便于完成正弦量的加减乘除运算
【 重点与难点 】
1.正弦量的三要素。
2.正弦量各种表达方法之间的互相转换
Im
对应
新中国成立后，我国的整个工业行业师从前苏联，电力行业也不例外，完全执行前苏联的国家标准。苏联当时采用的频率是50赫兹，这个标准与IEC国际电工委员会推荐值之一，并不矛盾，所以我国一直采用50赫兹。 这是一种国家制定的标准,从此以后,所有生产的发电及用电设备,都按50赫芝控制.这样全国就统一了,就不会乱.否则你北京造的电视机是50HZ的,天津造的是30HZ的,上海造的是100HZ的.那不乱套了嘛.这就和秦始皇统一汉字,度量衡是一个目的.现在有的日本电器,是60HZ的.在中国用还要连接变频器,多麻烦啊! 其实其它频率也是有的，以前日本在东北使用的是25Hz；我国电网是50Hz；香港沿袭英国的习惯使用60Hz。 使用低于50Hz的电网供电时的照明光源往往存在一个频闪问题；如果给电机供电其同步速仅为1500rpm。 50或60是有政治因素的，学苏联的肯定不可能学日本的， 100，1000高频率的话对硅钢片材料的要求更高，危险性更大，损耗大，那将是现在技术不行的， 如果现在提高频率肯定不利的，大量设备将不能用。
知识链接
相量的加、减、乘、除运算公式
设：U1、U2均为正实数。
U1±U2 =
(U1a±U2a)＋j ( U1b±U2b)
ψ1＋ ψ2
U1×U2 =
U1×U2
U1÷U2 =
ψ1－ ψ2
U1÷U2
有U1=U1 ψ1=U1a+jU1b；
U2=U2 ψ2=U2a+jU2b；
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。

第四章-正弦交流电路的相量法

第四章-正弦交流电路的相量法

.
原理：
+.
I
.
U
IC
.
.
I1
IC
R
jL
j 1 C
12
.
U
.
I
.
IC
-
a）
.
b） I 1
图4-11 功率因数的提高
根据图4-11分析如下:
a）电路图 ； b）相量图
并联电容前，总电流
I
I1
,电压超前电流的相位差为
; 1
并联电容后，总电流
I
I1
IC
,电压超前电流的相位差为 2
因 2 1 故 cos 2 cos 1 首页
U
Z1
+
Z2
•
U2
-
1053.13 -
图4-2 例4-1图
首页
U 2 Z2I (1 j7)1036.87V 7.07 81.87 1036.87 V 70.7 45 V
U1 Z1I (5 j15)1036.87V 15.8171.57 1036.87 V 158.1108.44 V
Y Y
对比可得
Y 1 Z
•
•
当电压、电流关联参考方向时，相量关系式U Z I
也可表示为 U I 或 I YU
Y
首页
二、用复导纳分析并联电路
图4-6所示是多支路并联电路，根据相量形式的基尔霍
夫电流定律，总电流
.
.
.
.
I I1 I2 In
.
.
.
Y1 U1 Y2 U2 Yn Un
因并联电容前后电路消耗的有功功率是相等的,故
并联电容前
P UI1 cos 1

用相量法分析正弦交流电路

用相量法分析正弦交流电路

作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中，电感元件和电容元件 计算输出电压U2与端口电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端口正弦电压u的频率可以调节变化。
用网孔电流法分析正弦电路
的复阻抗分别为 其中，电感元件和电容元件的复阻抗分别为 j L j3 0 0 0 1 j1 k 作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。
.
1 2j . 1 j2 . 3 j1 .
IL
I
I
I
1 j1 j2 1 j1
2
由各相量写出对应的正弦量
i(t)16 2sin3(00t0370)mΑ iC(t)11.3 2sin3(00t0980)mΑ iL(t)25.3 2sin3(00t045.30)mΑ
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端 口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口 电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示， 则
.
I.3Z U i O R C 15 7 j/3 2 .3 9 .8 1 0 3 16 . 7 / 3 /9 2 .6 3 0 .8 1 0 2.9 9 /1.8 1 0
网孔方程为
Ib
180j380 13
则
I1
.
Ia
200j300 13
I2
Ib
180j380 13
.
I3
Ia
.
Ib
380j80 13
用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例３-１９中R支路 的电流。
解 先将例３－１９中所示的电路改画为下图 (a)所示的电路

正弦交流电路的相量表示法

正弦交流电路的相量表示法

03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。

正弦交流电路的相量图求解

正弦交流电路的相量图求解

U
U
2 R
U C2

82 112 13.60V
电压表读数为 13.60V ．
此题的相量图也可按比例画出，用尺子量 U 得
的长度即为电压表读数．
（b）此电路图为ＲＬ并联电路，设电压 U U0V，
考虑到 IR 和 U 同相，IL 滞后 U 90 且由ＫＣＬ得
I IR IL
4-37(a)所示． 解: (a)设： I I0A ．根据Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件的电
压电流的相量关系以及电路的ＫＶＬ方程
U U R U L UC
可定性画出相量图如图4－36，当 U LU时C 为图
4－36（a）所示，这时 ，0即 U 超前 的相位为 的电路为感性电路；当 U LU C 时 I 0 ，为电阻性电路如图4－36（b）所示；
IR仍与U同相， I仍为
IR 、IL 、IC的和，即正确
体现电路的基本定律是画 相量图的基本要求．
例4-15 电路相量模型如图4-39所示。已知 I1 10A ，
，I 2 20A ，U 220V ，R2 5 ，I 与U 同相。
求：I R X 2 及XC 。
分析：由题中给出的条件 I 与U 同相，设 U 2200 为参考相量画相量图。
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2

I
2 R

52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的 相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图

3.2相量表示法

3.2相量表示法
设相量 A rejψ A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。

I1

630
A

I 2 8 60 A


② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式

I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)

I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。

第5章 正弦交流电路相量法

第5章 正弦交流电路相量法
A B
a 1 b1 a 2 b 2
2 1
b
2 2
j
a 2 b1 a 1 b 2 b1 b 2
2 2
A B

A B
e
j ( a b )
( a b )
几何意义：
j
B A 1 A/B
8
二、正弦量的三要素
凡是按正弦规律变化的电压、电流等都称为正弦量。（即 能用sin或cos表示的电压、电流）。 i
1

i
（与t无关）。
（ 相位差）是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。

5.2 正弦量6
电压超前电流，即电压先达到最大值。

u

i
0,
u
i 0,
i
电流超前电压，即电流先达到最大值。 电压与电流同相。
u
0,


u


i
+
L
5.1 正弦量的基本概念
一、复数的几种表达形式
<一> 代数形式:
A a 1 ja 2
5.1 复数1
j 1
j
A
1
<二> 三角形式：
A A (cos j sin )
A
a1 a 2
2
2
为模（或幅值）；
tg
a2 a1
称为A的幅角。
<三> 指数形式：
A Ae
i 1 dt (Re
5.3 相量法的基础5
2 I 1 cos( t 1 )dt
j t
i1 I 1 I 1 e
j 1

(正弦交流电的基本概念及相量表示法)

(正弦交流电的基本概念及相量表示法)

（t ）：正弦波的相位角或相位
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t t 1 21
复数
瞬时值
正误判断
已知： i 10 sin( t 45 )
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im 10 e45
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10 ？
15
？ U 10 e j15
正误判断
已知： I 100 50
则： i 100 sin ( t 50 )？
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
二、正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
向线段在纵轴上的投影值来表示。
i
波形图
Im t
T
瞬时值 相量图
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
U 3 j4 u 5 2 sin( t 53 1)

电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法

电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法
３.ＫＣＬ和ＫＶＬ的相量形式 注意：第１点是相量图是否存在的主要依据，
第２ 、３点是如何正确画出相量图的主要依据．
二.用相量图法求解电路
１.参考相量的选择 （１）对于串联电路，选电流为参考相量 （２）对于并联电路，选电压为参考相量 （３）对于混联电路，参考相量选择比较灵活， 可根
据已知条件综合考虑 （４）较复杂的混联电路，常选末端电压或电 流为参考相量．
(b)设： U U0V， 先画出参考相量 U ，依据
Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件电压电流相位关系，依次画出
可I分R 别、I定L 性、I画C 出相如量图，4由-36IL(a)I
C,IL
、(b)
IC及IL IC 三种情况 、(c)所示相量
图，最后电路ＫＣＬ方程 I IR IL IC
I IR IL
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2

I
2 R

52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的 相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图
可求得 UC 。在电容元件上 I1 超前UC90，且 I2 I I1 ，
从而画出 I1 及 I2 。在 R2 上UR2与 I2 相同，
又 UX 2 UC UR2 ，可画出 UR2 和 UX 2 。
cos 2 I I 2 17.32 20
UX 2
U
2 C
U
2 R2

正弦稳态交流电路相量的研究

正弦稳态交流电路相量的研究

正弦稳态交流电路相量的研究在现代电路的世界里，交流电可谓是一位超级明星！如果你对它不太熟悉，那可真是大大错过了一个精彩的领域。

交流电的特点就是它的电流和电压会随着时间周期性地变化，像是在跳舞一样，真是好看得很！而其中，相量就是这场舞会的舞者，它帮助我们简单明了地理解电路的表现。

1. 认识相量1.1 什么是相量？相量，听上去是不是有点高大上？其实，简单来说，相量就是把交流电的变化用一个“向量”的方式表现出来。

就像你在街上走，可能东张西望，但一旦你确定了方向，那就是你的“相量”！在电路中，相量不仅告诉我们电流和电压的大小，还能给出它们之间的相位关系。

你想想，如果两个人在跳舞，没对好步伐，那可真是闹笑话！1.2 相量的好处相量的最大好处就是能把复杂的交流电现象简化成简单的数学问题。

电路分析中，尤其是涉及到正弦波的时候，相量的运用简直就像是给电路装上了飞速的“火箭”。

通过相量，我们可以轻松搞定那些看似复杂的电压和电流之间的关系，真是省时省力，完美得不要不要的！2. 相量的计算2.1 如何计算相量？我们先从基本的出发点来看看相量的计算。

电流和电压的表达式通常是这样的：( I(t) = I_m sin(omega t + phi) ) 和 ( V(t) = V_m sin(omega t + theta) )。

这里的 ( I_m ) 和( V_m ) 就是电流和电压的最大值，而 ( phi ) 和 ( theta ) 是相位角。

要是把这两位放在一起，那就能形成一个有趣的“相量图”！简单来说，只需把这些信息转化为相量，计算时就能把时间因素“抛弃”，留下一些非常有趣的结果。

2.2 相量的运算说到运算，相量也有自己的法则。

比如说，加法运算就像两个朋友一起分担烦恼，简单得很！如果有两个电流相量 ( I_1 ) 和 ( I_2 )，那么它们的合成相量就是 ( I = I_1 +I_2 )。

而乘法就有点儿复杂了，不过没关系，这就像调配鸡尾酒，各种成分混合之后，才会有令人惊喜的味道。

正弦稳态交流电路相量的研究

正弦稳态交流电路相量的研究

正弦稳态交流电路相量的研究正弦稳态交流电路是电工学中重要的内容，它是指电路中电流、电压等信号都是正弦函数的交流电路。

相比于非稳态交流电路，稳态交流电路的分析更加简单，并且实际应用非常广泛。

本文将对正弦稳态交流电路的相量进行详细研究。

在正弦稳态交流电路分析中，我们经常将电压或电流表示为以下形式：V = Vm * exp(jωt + φ)其中，V表示电压的相量形式，Vm是电压信号的幅值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示电压相对于参考电压的相位差，exp(jωt)是一个指数函数。

在相量形式中，我们可以使用复数运算的方法简化电路计算。

例如，如果在电路中有两个电阻R1和R2串联，流过它们的电流分别为I1和I2，那么我们可以使用相量表示为：I=I1+I2其中I是总电流的相量。

此外，相量还可以用来表示电路中的复杂元件，如电感和电容。

对于电感元件，其电流和电压之间的关系为：V=jωL*I其中L表示电感的感值。

这样，我们可以将电感的电压表示为相位比电流大90°的相角函数。

同样，对于电容元件，其电流和电压之间的关系为：I=jωC*V其中C表示电容的电容值。

这样，我们可以将电容的电流表示为相位比电压小90°的相角函数。

利用相量的思想，我们可以将正弦稳态交流电路简化为求解线性方程组的问题。

通过建立和求解这些线性方程组，我们可以求得电路中各元件的电流和电压。

在正弦稳态交流电路中，还有一些重要的定理可以帮助我们更好地理解和分析电路。

例如，欧姆定律在稳态下仍然成立，即电压等于电流乘以电阻。

此外，有理电路定理也适用于正弦稳态交流电路。

有理电路定理表明，只要电路中只包含电阻、电感和电容这些有理元件，那么该电路的响应将始终是正弦函数。

总之，正弦稳态交流电路的相量分析方法非常重要，它帮助我们简化电路分析，并且可以应用于各种电路中，包括线性电路和非线性电路。

通过正确理解和运用相量分析方法，我们可以更好地理解电路中电流和电压之间的关系，以及各元件之间的相互影响。

分析正弦交流电路的相量法

分析正弦交流电路的相量法

2.1.3正弦交流电路的功率、相量法一、正弦交流电路的功率（一）、瞬时功率二端网络吸收的瞬时功率p =ui = J2U sin（国t 站21 sin cc t =UI Cos® - coS2豹t + ® 卩（3.54）其波形如图3.44 （b）所示。

在一个周期里，有两段时间p 0，p .. 0。

这表明二端网络与外电路往返交换能量，这是由于二端网络中含有储能元件的缘故。

iU P图3.44二端网络的瞬时功率（二）、有功功率、无功功率和视在功率1、有功功率和功率因数将式（3.54 ）代入式（3.18 ），可得有功功率p =1 （ui Cos® -cosgt ）dt =UI cos® =UI h（3.55）式中’=COS ：：称为二端网络的功率因数。

由于能量守恒，所以二端网络吸收的有功功率等于各部分吸收的有功功率的和。

2、无功功率无功功率定义为Q=Ulsi n® （3.56）对于电感性二端网络，：：・0, Q • 0 ,二端网络接受无功功率；对于电容性二端网络,--0，Q 0，二端网络发出无功功率。

在既有电感又有电容的二端网络中，其无功功率应等于两者的代数和，即图3.45功率三角形S p ；p 2 Q 2 tan■ = cos=p(3.58)(3.59)(3.60)正好构成一个直角三角形（如图 3.45所示），称为功率三角形。

例3.25试求图3.46所示电路的有功功率、无功功率和视在功率，其中 尺=2OJR 2 =1OJC =2mF,L =0.1H ,u =50 2sin100tV 。

22Mt图 3.46 例 3.25解:Q = Q L Q C一般来说，二端网络吸收的无功功率等于各部分吸收的无功功率的代数和。

3、视在功率 视在功率定义为S =UI（ 3.57）其SI 主单位为伏安（VA ），工程上也常用千伏安（KVA ）。

由于电机和变压器的容 量是由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此可以用视在功率来表示它们的容量。

正弦交流电的相量表示法

正弦交流电的相量表示法

相量的两种表示形式
例：已知同频率的正弦量的表达式分别为
例： 用相量图来表示下列正弦量
u 1 U m sin ω t V
u2 U m sin(ω t - 120 o ) V
u3 U m sin(ω t 120 o ) V
解：
•
U3
•
120 °
•
120° U1
U2
例：
例：写出下列正弦量的相量,并
求出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1 20 2 sin(t 60o)A
i2 10 2 sin(t - 30o )A
解：
İ1= 20∠60°A
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠－30°
=20(cos60 °+jsin60 °)+ 10[cos(－30°)
+jsin (－30°)
加减运算用代数式, 实部与实部相加减, 虚部与虚 部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除， 辐角相加或减。
复数及其四则运算
用画图法作相量的加、减运算
03 正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令：矢量长度＝Im 矢量初始角＝Ψ
如图所示：
矢量旋转速度＝ω
注意：
• ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关
系。 i=Im sin(t )≠Im
•
Im Im
• 正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两 者不能划等号！
• ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 • 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。 • ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
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i1 i2 = i3
时域
I1 I2 I3
频域
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。
向量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析,
属于频域分析。
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例
u1(t) 6 2sin(314t 30) V
A(t)是旋转相量
相量 旋转因子
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
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二. 相量图
i(t) 2Isin(ω t y i ) I Iy i
u(t) 2Usin(wt y u ) U Uy u
•
U
•
I
yu
yi
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三. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 sin(wt y 1) Im(
若对A(t)取虚部： Im[ A(t )] 2Isin(wt y )
i 2Isin(wt y ) A(t ) 2Ie j(wty )
A(t)还可以写成
A(t ) 2 I e jy e jw t 2 Ie jw t
复常数
•
称 I Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。北方民族大学
•
U1 630o V
u2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
U2 460o V
U U1 U2 630 460 5.196 j3 2 j3.464
7.196 j6.464 9.6741.9o V
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 9.67 2sin(314t 41.9o ) V
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2(t)
2 U2 sin(wt y 2) Im(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Im(
2
•
U
1
e
jw
t
)
Im(
2
•
U
2
e
jw
t
)
Im(
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e
jw
t
)
Im(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jw
t
)
U
得： U U1 U2
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这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
i(t) 2I sin(wt y ) I Iy
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
u(t) 2U sin(wt y ) U Uy
例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
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例2.
•
已知I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
解：
i 50 2sin(314t 15o ) A
相量的几何意义
I Iy i(t ) 2I sin(wt y )
I Iy A(t ) 2 I e jwt
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初相位 y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt y
波形图
i
00 0 0
t
y
y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
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二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u) i(t)=Imsin(w t+y i)
u, i u i
相位差
0
wt
yu yi
= (w t +y u) - (w t +y i)
= y u-y i
>0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
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特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i
u
i
0
wt
= ( 180o ) ，反相：
(2) 乘除运算——极坐标
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin y = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j
e2
cos
j sin
j
2
2
Im
j I
I
e j(
2
)
c
o
s
(
2
)
j
s i n (
2
)
j
e j( ) cos( ) j sin( ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im
0.707Im
Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) Im sin(wt y ) 2I sin(wt y )
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§2. 3 相量法的基础
一、正弦量的相量表示
复函数
A(t ) 2Ie j(wty )
2Icos(wt y ) j 2Isin(wt y )
电压有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
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2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt
y
)
dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T sin2 ( wt y ) dt
T 1 cos 2(wt y ) 1
第2章 正弦交流电路
§2.1 §2.2 §2.3
复数 正弦量 相量法的基础
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§ 2. 1 复数
复数及运算 1. 复数A表示形式：
Im
b
A
0
a Re
A a jb
Im
b
A
|A|
y
0
a Re
A A e jy | A | y
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2. 复数运算
(1) 加减运算——直角坐标 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳 态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U2
U
U1
41.9
30 60
Re
U
Im
U2
U1
60
0
Re
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
I jI
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§ 2. 2 正弦量
一. 正弦量的三要素：
i + u_
i(t)=Imsin(w t +y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
u, i
i
u
0
wt
u, i u i
0
= 90°
wt
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
规定： | | ( 180°)
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三. 有效值(effective value)
1. 定义
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。)