二项式公式大全

二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一 二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝ 当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二 二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三 二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数． 解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组 基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组 能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。

二项式定理公式在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。

二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。

通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。

本文将详细介绍二项式定理及其应用。

一、二项式定理的定义二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。

二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。

根据二项式定理，展开式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。

组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。

这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。

首先，展开(a + b)^2，我们有：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b去掉括号并简化：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。

接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。

假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：(a + b)^(n+1) = C(n+1,0)a^(n+1)·b^0 + C(n+1,1)a^n·b^1 +C(n+1,2)a^(n-1)·b^2 + ... + C(n+1,n)a^1·b^n + C(n+1,n+1)a^0·b^(n+1)通过展开(a + b)^(n+1)，我们发现可以将其拆分为两部分：(a + b)^(n+1) = (a + b)·(a + b)^n根据归纳假设，我们知道(a + b)^n可以展开为二项式系数的形式。

二项式定理十五大考点二项式定理可是高中数学里超有趣的一个部分呢，它的考点也是多种多样的。

一、二项式展开式的通项公式。

这可是二项式定理的核心内容哦。

通项公式就是T_r + 1=C_n^r a^n - rb^r。

这里的n是二项式的指数，r呢，表示第几项（要注意这里是从0开始计数的哦）。

比如说(a + b)^5，当我们要求第3项的时候，n = 5，r = 2（因为第3项对应的r是2），然后代入通项公式就能求出这一项啦。

这个公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开二项式展开式中每一项的大门呢。

二、二项式系数与项的系数。

这两个概念可不能混淆哦。

二项式系数就是C_n^r，它只跟n和r有关，就像是一个固定的身份标识。

而项的系数呢，是包括前面的符号以及数字的，是在二项式展开式中该项实际的系数。

比如说在(2x - 3y)^4的展开式中，某一项的二项式系数是C_4^2，但是这一项的系数可就不是单纯的C_4^2啦，要把2和- 3这些数字也考虑进去计算才行呢。

这就像二项式系数是一个人的名字，项的系数是这个人穿上了各种衣服鞋子之后的整体形象。

三、二项式展开式的性质。

1. 对称性。

二项式展开式的系数是对称的哦。

比如说(a + b)^n，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

就像照镜子一样，两边是对称的呢。

这让我们在计算一些系数的时候，如果知道了前面的系数，后面对称位置的系数就不用再重新计算啦，多方便呀。

2. 增减性与最大值。

当n是偶数的时候，中间一项（也就是第(n)/(2)+ 1项）的二项式系数最大；当n是奇数的时候，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n + 3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。

这就像是在一群小伙伴里找最突出的那个或者那几个，很有趣吧。

四、求特定项。

1. 求常数项。

我们就根据通项公式，令a和b的指数满足一定条件来求出常数项。

比如在(x+(1)/(x))^6中，我们要让x的指数和(1)/(x)的指数相互抵消，也就是令6 - 2r = 0（这里a=x，b = (1)/(x)，根据通项公式得到x的指数为6 - r，(1)/(x)的指数为r，相乘为x^6 - 2r），解得r = 3，然后再代入通项公式求出常数项。

第3讲 二项式定理1．二项式定理 (1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(2)通项：第k ＋1项为T k ＋1＝C k n an －k b k ． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n (k ＝0，1，2，…，n )． 2．二项式系数的性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r .( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( ) A ．240 B ．60 C ．192D ．180解析：选A.二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫1x 2r＝26－r C r 6x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，所以常数项为26－2C 26＝16×6×52×1＝240.(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80解析：选C.当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.⎝⎛⎭⎫1x ＋x n的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为________．解析：由题意得C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8.所以⎝⎛⎭⎫1x ＋x 8展开式的第4项为T 4＝C 38⎝⎛⎭⎫1x 3x 5＝56x 2. 答案：56x 2在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－ax 5的展开式中，x 的系数是－10，则实数a 的值为________． 解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝⎛⎭⎫－a x r＝(－a )r C r5x 10－3r . 当10－3r ＝1时，r ＝3，于是x 的系数为(－a )3C 35＝－10a 3＝－10，a ＝1.答案：1二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n 的值或参数的值．[典例引领]角度一 求展开式中的某一项⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38【解析】 ⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4(x 3)4－k·⎝⎛⎭⎫－2x k＝C k4(－2)k x 12－4k ， 令12－4k ＝0，解得k ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x8－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r8·x 8－2r ， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.【答案】 D角度二 求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35【解析】 (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.【答案】 C角度三 由已知条件求n 的值或参数的值(2016·高考山东卷)若(ax 2＋1x)5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．【解析】 (ax 2＋1x)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 【答案】 －2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．[通关练习]1．若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.T r ＋1＝C r n (x 6)n －r⎝⎛⎭⎫1x x r＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C. 2．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析：选A.(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.3．(2018·贵州省适应性考试)(x ＋1)(x ＋a )4的展开式中含x 4项的系数为9，则实数a 的值为________．解析：(x ＋1)(x ＋a )4＝x (x ＋a )4＋(x ＋a )4，对于x (x ＋a )4，T 2＝x ×C 14x 3a ，对于(x ＋a )4，T 0＝C 04x 4a 0，所以4a ＋1＝9，解得a ＝2.答案：2二项式系数的性质或各项系数和[典例引领](1)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第________项． (2)(2018·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．【解析】 (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.【答案】 (1)七 (2)1或－3本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.[通关练习]1．在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．120解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，所以展开式中共有7项， 所以n ＝6， 展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，则r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46＝15.2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 4二项式定理的应用[典例引领]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12【解析】 512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：因为n ∈N *，且n >2， 所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1， 故3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．易错防范(1)通项T k ＋1＝C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0，1，…，n )．1．(2018·广东测试)⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B.54 C ．－1516D.1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B.3．设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选C.x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 107x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i.4．(2018·昆明市教学质量检测)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32D ．16解析：选B.(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k (－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k ，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64，故选B.5．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：选B.⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ⎝⎛⎭⎫－1x x k＝C k 2n (－1)kx 4n －5k 2.令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，又k 为正整数，所以n 可取10. 6.⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选B.因为⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n ＝8，解得n ＝3， 所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫2x r＝2r C r3x 3－3r2，令3－3r 2＝0，则r ＝1，所以常数项为6.7．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m2m . 同理，b ＝C m ＋12m ＋1.因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！.所以m ＝6.8．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n －12C ．2n ＋1D.3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.9．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n (n ∈N *)的值为( )A ．2nB ．22n －1C ．2n －1D ．22n －1－1解析：选D.(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1，得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1，得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，可得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n2－1＝22n －1－1.10．(2018·湖北枣阳第一中学模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C.(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.11．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＋a 5的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1解析：选A.令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，① 再令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＝122，①－②2，可得a 1＋a 3＋a 5＝－121， 故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＋a 5＝－122121.12．(2018·石家庄教学质量检测(二))若a ＝2⎠⎛－33(x ＋|x |)d x ，则在⎝⎛⎭⎪⎫x －13x a的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有( )A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项解析：选C.因为a ＝2⎠⎛－33(x ＋|x |)d x ＝2[⎠⎛03(x ＋x )d x ＋⎠⎛－30(x －x )d x ]＝2x 2|30＝18，所以该二项展开式的通项T r ＋1＝C r 18(x )18－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r＝(－1)r C r 18x 9－5r 6(0≤r ≤18，且r ∈N )，当r ＝0，6，12，18时，展开式中x 的幂指数为整数，所以该二项展开式中x 的幂指数不是整数的项有19－4＝15项，故选C.13．(2018·广东省五校协作体联考)⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________． 解析：⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20.答案：－2014．已知⎝⎛⎭⎫1－1x (1＋x )5的展开式中x r (r ∈Z 且－1≤r ≤5)的系数为0，则r ＝________. 解析：依题意，(1＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x r ，故展开式为⎝⎛⎭⎫1－1x (x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1)，故可知展开式中x 2的系数为0，故r ＝2.答案：215．(2018·江西赣州十四县联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋13x n的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式为x 2的系数为________．解析：易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝⎛⎭⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫13x r＝C r83r ·x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.答案：562716．(2018·安徽“江南十校”联考)若(x ＋y －1)3(2x －y ＋a )5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为________．解析：令x ＝y ＝1⇒(a ＋1)5＝32⇒a ＝1，故原式＝(x ＋y －1)3(2x －y ＋1)5＝[x ＋(y －1)]3[2x＋(1－y )]5，可知展开式中x 的系数为C 13＋C 33(－1)3C 15·2＝－7.答案：－71．487被7除的余数为a (0≤a <7)，则⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，因为487被7除的余数为a (0≤a <7)， 所以a ＝6，所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r， 令6－3r ＝－3，可得r ＝3，所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320. 2．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5 D ．1 344x 2y 5解析：选C.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（7－r ＋1）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r≥7！（r ＋1）！（7－r －1）！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1解得⎩⎨⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.3．(2018·张掖市第一次诊断考试)设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫12x 3＝52x 3，因为f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，所以m ≥52x 2在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，所以m ≥⎝⎛⎭⎫52x 2max ＝5，所以实数m 的取值范围是[5，＋∞)．答案：[5，＋∞)4．(2018·山西太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． 解析：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中分别抽取2x ，2x ，1x ，1x，－1，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－1)＝－120；第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中都抽取－1，则此时的常数项为(－1)5＝－1；第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中分别抽取2x ，1x，－1，－1，－1，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－1)3＝－40，则展开式中常数项为－120－1－40＝－161. 答案：－1615．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n x n －k3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0， 即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )， 则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， 因为k ∈N ，所以r 应为偶数，所以r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， 所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 6．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)因为(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.。

二项式定理主讲教师：刘杨【知识概述】1.二项式定理二项式定理:(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)． 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C k n (k ＝0,1,2，…n )叫做二项式系数.式中的kk n k n b a C -叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即展开式的第 k+1项；T k+1＝k k n k n b a C -.2．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n ＋1项，C k n a n-k b k 是第k ＋1项．即k ＋1是项数，C k n a n －k b k是项． (2)通项是T k +1＝C k n a n-k b k (k ＝0,1,2，……，n)．其中含有T k +1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．3．二项式系数与展开式项的系数的异同在T k +1＝C k n a n -k b k 中，C k n 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；T k+1项的系数指化简后除字母以外的数，如a ＝2x ，b ＝3y ，T k+1＝C k n 2n-k ·3k x n-k y k ，其中C k n 2n-k 3k就是T k +1项的系数.4.赋值法：普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，根据题目中所给的特点，对题目中的某一个值或者某两个值进行赋值，使题目得到简化，随之将题目的答案能够计算出来.对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 【学前诊断】1. [难度]易在1041⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是______(用数字作答)．2. [难度]易若(x －1)4＝a 0＋a 1 x ＋a 2 x 2＋a 3 x 3＋a 4 x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．3． [难度]中(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【经典例题】例1.在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.例2． 已知n 为正偶数，且212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是___________.（用数字作答）例3． 在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．例4. 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.例5. (1)已知n∈N*，求1＋2＋22＋23＋…＋24n－1除以17的余数；(2)求(1.999)5精确到0.001的近似值．例6. (x y－y x)4的展开式中x3y3的系数是________，此项为第________项．【本课总结】1.通过本课的学习我们要掌握两个公式一个方法：（1）二项展开式:(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．（2）二项式定理的通项公式是T k+1＝C k n a n-k b k (k＝0,1,2，……，n)．（3）赋值法.2.本课中需要掌握的解题方法与技巧（1）通项公式最常用，是解题的基础．（2）对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．（3）求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．（4）性质1是组合数公式C k n＝C n－k的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调n性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．（5）因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．（6）二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用．3. 本课中需要防范的失误（1）要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．（2）根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错．（3）通项公式是第k＋1项而不是第k项．【活学活用】1． [难度]易若二项式(x －2x )n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为 ( )A ．6B ．10C ．12D ．152． [难度]中在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－1213． [难度]难已知⎝⎛⎭⎫x －ax 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28。

二项式定理公式展开式二项式定理，这可是高中数学里的一个重要知识点呢！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题。

咱先来说说二项式定理的公式展开式到底是啥。

它呀，形如$(a+b)^n$的式子，展开后就是一系列项的和。

具体的公式是：$(a+b)^n = C_{n}^0 a^n b^0 + C_{n}^1 a^{n-1}b^1 + C_{n}^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_{n}^n a^0 b^n$ 。

这里的$C_{n}^r$叫做二项式系数，计算公式是$C_{n}^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号和公式，感觉像天书一样，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们来玩个小游戏。

”我拿出了一袋子的糖果，说：“假设这里面有两种口味的糖果，草莓味和柠檬味。

咱们现在要从袋子里拿 n 颗糖，那有多少种拿法呢？”学生们开始七嘴八舌地讨论起来。

有的说一个一个数，有的说先分类再计算。

我引导他们：“其实呀，这就可以用二项式定理来解决。

把草莓味的糖果看成 a ，柠檬味的看成 b ，那拿糖的不同组合方式，不就是$(a+b)^n$的展开式嘛！”经过这么一解释，学生们好像有点开窍了。

咱们再深入讲讲二项式定理的应用。

比如说在概率统计中，它能帮我们计算某些随机事件的概率。

还有在数列求和中，也能发挥大作用。

而且，二项式定理还和我们的生活有点关系呢。

就像我们做选择的时候，比如你今天要决定穿什么衣服，有几件上衣和几条裤子可以选，那么总的搭配方式就可以用类似二项式定理的思路来计算。

在解题的时候，咱们得注意一些细节。

比如说计算二项式系数的时候，可别粗心大意算错了阶乘。

还有，展开式中各项的指数也要看清楚，别弄混了。

总之，二项式定理公式展开式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的规律，多做几道题练练手，就能把它变成我们解题的得力工具。

二项式展开公式详解二项式展开是指将形如(a + b)^n的二项式进行展开，其中a和b为任意实数或变量，n为非负整数。

展开后的结果是一个多项式，其包含n+1个项，每一项都是a和b的幂的乘积。

展开的公式可以使用二项式定理或者组合数学公式来推导。

首先，我们来看二项式定理的公式：(a + b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^(n-1) b^1 + C(n, 2) a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1) a^1 b^(n-1) + C(n, n) a^0 b^n.其中C(n, k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

组合数C(n, k)的计算公式为C(n, k) = n! / (k! (n k)!)，其中！表示阶乘。

另一种推导展开公式的方法是使用组合数学公式：(a + b)^n = Σ[C(n, k) a^(n-k) b^k]，其中k的取值范围是0到n。

接下来，我们可以通过具体的例子来演示二项式展开的过程。

以(a + b)^3为例：(a + b)^3 = C(3, 0) a^3 b^0 + C(3, 1) a^2 b^1 + C(3,2) a^1 b^2 + C(3, 3) a^0 b^3。

= 1 a^3 1 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + 1 1 b^3。

= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。

因此，(a + b)^3的展开结果为a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。

总结起来，二项式展开公式是一种重要的数学工具，通过二项式定理或组合数学公式可以得到展开的结果。

展开公式的应用十分广泛，涉及到代数、概率论、统计学等多个领域。

希望这个解答能够帮助你全面了解二项式展开的相关知识。

二项式通项公式二项式通项公式是数学中一个基本公式，其发源于17世纪的法国数学家古斯塔夫勒贝克。

他发现了二项式通项公式可以帮助他快速解决二项式的问题。

现在，它仍然是解决许多数学问题的重要工具。

二项式通项公式的定义是：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n或者简写为(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k，其中n是自然数，k 属于0~n范围内的整数，a和b是任意实数。

下面就详细介绍它的推导过程和应用。

二项式通项公式的推导有多种方法，在这里介绍常用的两种方法：基于定义和基于递推。

基于定义的推导是将(a+b)^n拆分成n个a和b的乘积。

假设(a+b)^n=a^n+b^n，现在要证明（a+b）^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k。

首先，假定n为偶数，则有：(a+b)^n=(a+b)^(n/2)*(a+b)^(n/2)=（a^(n/2)+b^(n/2)）*（a^(n/2)+b^(n/2)）=a^n+a^n_1b+a^n_2b^2++a^m b^(n-m)+b^n其中a^n_1,a^n_2,…,a^m是由偶数n中可构成的所有a的幂次的组合，这些幂次可以由从n中取出k个原子进行排列组合得到，所以有：(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k。

同理，当n为奇数时，也有：(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k。

因此，有：(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k，即二项式通项公式推导完毕。

基于递推的推导则是从n=0开始不断增加n，而不是从n=1开始，而且每次只增加1个n。

将n取值从0到n，将它们代入上述式子，有：(a+b)^0=1=C(0,0)(a+b)^1=a+b=C(1,0)a+C(1,1)b(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=C(2,0)a^2+C(2,1)a*b+C(2,2)b^2(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=C(3,0)a^3+C(3,1)a^2b+C(3,2)a*b^ 2+C(3,3)b^3...(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k从而证明了：(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k，即二项式通项公式推导完毕。

数学二项式公式
数学中的二项式公式是一个非常重要的公式，它在解决各种数学问题中都发挥着重要的作用。

二项式公式描述了一个二次多项式的展开式，它在计算和求解各种数学问题中都非常有用。

二项式公式的表达式为：
(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-
2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n
其中，a、b为常数，n为自然数，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中取k个元素的组合数，其计算公式为：
C(n,k) = n!/((n-k)!k!)
二项式公式的应用非常广泛，包括数学、物理、工程学等多个领域。

比如，在代数学中，二项式公式可以用于求解多项式的展开式，从而进行多项式的计算和简化；在几何学中，二项式公式可以用于计算平面多边形的面积和周长；在物理学中，二项式公式可以用于计算物体运动的加速度等等。

在数学的学习过程中，二项式公式的掌握非常重要。

它可以帮助我们更好地学习和理解各种数学问题，提高数学解题的能力和水平。

同时，学习二项式公式还可以培养我们的数学思维能力和逻辑思维能力，提高我们的学习兴趣和学习动力。

总之，二项式公式是数学中一个非常重要和有用的公式，它在解
决各种数学问题中都能够起到重要的作用。

因此，在学习数学过程中，我们需要认真学习二项式公式及其应用，从而更好地掌握各种数学知
识和技能，提高我们的数学素养和综合能力。