下载文档原格式
1500r和1800r曲率对比分析浅谈曲率的变化本文主要是关于1500r和1800r曲率的相关介绍，并着重对1500r和1800r曲率以及曲率数字的变化进行了详尽的阐述。
曲率计算公式设曲线的直接坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M 处的切线的斜率为，所以又，故曲线L在M点处的曲率为设曲线是由参数方程给出，利用参数方程求导法可得曲率圆与曲率半径曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作，则在点M处曲线的法线的某一侧上取一点D，使，并以D为圆心，以为半径作圆。
把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。
曲率圆具有以下性质：（1）曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率；（2）在点M邻近与曲线有相同的凹向；因此，在实际工程设计问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。
［2］意义曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。
一般意义下的曲率，请参照曲率张量。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。
因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。
1500r和1800r曲率对比分析“曲面”也可以说是近两年来显示行业最火爆的名词之一了，从到曲面手机，再到曲面显示器，无一不是当下显示行业中最热门的产品，足以可见曲面的发展势头，对于许多消费者而言，曲面产品都是他们的心头好。
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω − λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω − λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向⇔ ∃λ , ∋(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∋(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎠⎞(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2−a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2−d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积Κ，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3① 注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)Κ=|ω|=|Ω||g|=LN−M2EG−F2,(5.5) H= tr.ω2=LG− 2MF+NE2(EG−F2)．② 主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2− 2Hλ+Κ= 0 ；其中H 2−Κ= (κ1−κ2)24≥ 0 ．③ Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2−Κ , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 Κ ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = − r u •n v ≡ 0 , N = − r v •n v ≡ 0 ,于是Κ = LN − M 2 EG − F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a ′•l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E , κ2 ≡ 0 ．三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．图4-5定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ = d n •d n称为曲面S的第三基本形式．性质① n1×n2=Κr1×r2．② |Κ(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S , U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③ Ⅲ− 2HⅡ+ΚⅠ= 0 ．证明① 由Weingarten公式得n1×n2= [−(ω11r1+ω12r2)]×[−(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1×r2=Κr1×r2．② A(U) =∫∫r−1(U)| r1×r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =∫∫r−1(U) | n1×n2| d u1d u2=∫∫r−1(U)|Κ|| r1×r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使∫∫r−1(U) |Κ|| r1×r2| d u1d u2=|Κ (P*)|∫∫r−1(U)| r1×r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|Κ (P*)|=|Κ (P)|．③ 结论用系数矩阵等价表示为(Ω g−1)g(Ω g−1)T− 2HΩ+Κ g≡ 0⇔Ω g−1Ω− 2HΩ+Κ g≡ 0⇔Ω g−1Ω g−1− 2HΩ g−1+Κ I2≡ 0⇔ωω− (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j− (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j− (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22−ω12ω21)δi j≡ 0 ． □习 题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：① 主曲率κ1和κ2；② Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =∫2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌ 设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 − 2μH+μ2Κ> 0 ．按参数相同作对应曲面 S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：① S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；② S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2−μω )−1；③ S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式Κ* =Κ1 − 2μH+μ2Κ，H* =H−μΚ1 − 2μH+μ2Κ；④ S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍ 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎ 试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。
高斯曲率、法曲率、测地曲率的关系
高斯曲率、法曲率和测地曲率是描述曲面几何性质的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
首先，我们来看高斯曲率。
高斯曲率是描述曲面曲率的一个重
要指标，它表示了曲面在某一点处的曲率大小。
具体而言，高斯曲
率可以通过曲面上的测地线的角度变化来描述。
高斯曲率可以用于
判断曲面的性质，比如在高斯曲率为正的点附近，曲面呈现出“凸”的性质，而在高斯曲率为负的点附近，曲面呈现出“凹”的性质。
接下来是法曲率。
法曲率是描述曲面上曲线弯曲程度的一个概念。
在曲面上的任意一点，都存在无数个方向，而法曲率就是描述
了曲面在某一点上沿着某一方向的曲线的弯曲程度。
法曲率与曲面
的法向量和曲线的曲率之间存在着密切的联系。
最后是测地曲率。
测地曲率描述了曲面上的测地线的弯曲程度。
测地线是曲面上的一种特殊的曲线，沿着这样的曲线运动的物体在
没有外力作用下会保持匀速直线运动。
测地曲率可以用来描述曲面
的内禀几何性质，比如在测地曲率为零的曲面上，测地线是直线。
这三个概念之间的关系可以通过曲面的基本方程来描述。
具体而言，高斯曲率、法曲率和测地曲率之间存在着一定的数学关系，可以通过曲面的度量张量和克氏符来表达。
这些关系在微分几何和曲面理论中有着重要的应用，可以帮助我们理解曲面的几何性质和物理特性。
综上所述，高斯曲率、法曲率和测地曲率是描述曲面几何性质的重要概念，它们之间存在着密切的关系，通过这些概念我们可以更深入地理解曲面的几何性质和物理特性。
曲面上曲线的法曲率引言曲线的法曲率在几何学中是一个重要的概念。
它描述了曲线在给定点处的弯曲程度。
对于曲面上的曲线来说，法曲率则描述了曲线在曲面上的弯曲程度。
本文将深入探讨曲面上曲线的法曲率的相关概念、性质和计算方法。
一、曲线的法曲率和曲面的法曲率1. 曲线的法曲率曲线的法曲率是描述曲线在给定点附近的弯曲程度的量。
它可以通过曲线的切线和曲率圆来定义。
具体而言，曲线在点P处的法曲率是指在该点处的曲率圆的半径的倒数。
法曲率越大，曲线的弯曲程度就越大。
2. 曲面的法曲率曲面上的曲线是指沿着曲面走的路径。
曲面的法曲率则是描述曲面上曲线的弯曲程度的量。
与曲线的法曲率类似，曲面的法曲率也可以通过曲面上曲线的切平面和主曲率圆来定义。
曲面上的每个点都有两个主曲率，对应于曲面上的两个主曲率方向。
曲面的法曲率是主曲率的平均值，即两个主曲率之和的一半。
二、曲面上曲线的法曲率的计算方法曲面上曲线的法曲率的计算方法可以通过以下步骤来实现： 1. 给定曲线上的一点P。
2. 取曲线上的另外两个不同的点Q和R，使得P、Q和R共线。
3. 计算通过P、Q和R的切平面。
4. 根据切平面的法向量和主曲率圆的半径，计算曲线在点P 处的法曲率。
三、曲面上曲线的法曲率的性质曲面上曲线的法曲率具有以下性质： 1. 法曲率与曲线的切向量和曲面的法向量有关，可以通过切向量和法向量的叉乘来计算。
2. 法曲率的符号可以用来确定曲线向前弯曲还是向后弯曲。
3. 法曲率越大，曲面上的曲线就越弯曲。
4. 曲面上曲线的法曲率可以用于描述曲面的形状，例如，对于一个球面，曲线的法曲率是常数。
四、曲面上曲线的法曲率的应用曲面上曲线的法曲率在许多领域都有广泛的应用，例如： 1. 计算机图形学：曲面上的曲线的法曲率可以用来生成真实感的三维图形。
2. 机器人学：曲面上曲线的法曲率可以用来规划机器人的路径，使其能够避开障碍物。
3. 医学影像处理：曲面上曲线的法曲率可以用来分析器官的形状和结构。
曲率在微积分中的应用微积分是研究函数、曲线、曲面、空间等几何对象变化规律的数学分支学科，它是现代科学中最重要的数学工具之一。
在微积分的各个领域中，曲率是一种贯穿始终的概念，被广泛应用于解决许多实际问题。
一、什么是曲率？曲率是描述曲线或曲面弯曲程度的一个重要参数。
对于曲线而言，曲率是曲线在某一点处的转向速率，即曲线切线旋转的快慢程度；对于曲面而言，曲率是曲面在某一点处的弯曲程度，即曲面上的一段小曲线与其在该点处的切平面之间的夹角。
曲率的单位是每米（或每公里、每英里等长度单位）。
二、曲率的计算方法曲率的计算方法有很多，其中最常用的是曲率半径法。
曲率半径是指在曲线上的某一点处，满足切线不断旋转所形成的圆的半径。
通常记作R。
曲率半径的倒数称为曲率k，即：k=1/R。
曲率可以用数学公式表示为：在平面直角坐标系内，对于函数y=f(x)，曲线在点(x_0,y_0)处的曲率为：k=\frac{|f''(x_0)|}{(1+f'(x_0)^2)^{\frac{3}{2}}}在空间坐标系内，对于参数方程r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))，曲线在点(t_0)处的曲率为：k(t_0)=\frac{|r'(t_0) \times r''(t_0)|}{|r'(t_0)|^3}三、1. 空间曲线的计算在空间中，曲线通常由三个方向构成，分别为切向量、法向量和副法向量。
其中切向量表示曲线在某一点处的切线方向，法向量表示曲线在该点处垂直于切线的方向，副法向量则是切向量和法向量之积。
曲率的计算基于切向量和法向量的变化，可以用于计算空间曲线在某一点处的弯曲程度。
2. 求解极值在微积分中，求解函数的极值是一个重要的问题。
曲率可以提供有关函数的局部极值的信息，因为曲线在局部最大值或最小值处曲率为零。
因此，计算函数曲线在某一点处的曲率可以用于判断该点是否为函数的极值点。
3. 优化设计在工程设计的各个领域中，优化设计是一个核心问题。
曲率概念在SMT的8.4版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念。
为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识。
一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度。
二、三维欧氏空间中的曲线和曲面的曲率平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。
平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。
如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。
主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。
这两个曲率属性为主曲率。
他们代表着法曲率的极值。
高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。
三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况。
计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法。
根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价。
一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高。
ReFract 综合裂缝预测与建模软件2008-10-16 10:44:30| 分类：石油软件| 标签：|字号大中小订阅近年来，在油气勘探领域，对裂缝油藏的研究变的越来越重要。
ReFract应用模糊逻辑技术，对直接反映裂缝的测井数据和与裂缝关系密切的地震属性、地质数据进行多学科综合分析与描述，使我们大幅度提高对裂缝分布的认识，减低裂缝油藏的勘探与开发风险。
浅谈法曲率摘要：在我们学习微分几何的法曲率时，一般是先给出法截面和法截线的概念，然后再直接由法截线的的曲率给出法曲率的定义，不易理解，存在另一种比较容易理解的法曲率的介绍方法，从考虑曲线的曲率向量在曲面该点处的单位法向量上的投影方面来考虑法曲率，并给出了法曲率如何刻画曲面的弯曲性以及相应的例子；在此，我们着重学习这两种方法及法曲率的性质关键词：曲率；法曲率；主方向；全曲率；主曲率一．法曲率的学习方法方法一.我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究。
给出2C 类曲面S ：),,(v u r r =过曲面S 上点),(v u P 的任一曲线)(C 为：),(),(s v v s u u ==或[]),()(),(s r s v s u r r ==其中s 是自然参数。
我们以的α和β分别表示曲线)(C 的切向量和主法向量。
根据伏雷内公式有,βαk r ==⋅⋅⋅其中k 是曲线)(C 在P 点的曲率。
若以θ表示曲线)(C 的主法向量β和曲面法向量n 的夹角（图1），图1则θβcos k n k n r =⋅=⋅⋅⋅，另一方面，由于,2222I II =⋅==⋅⋅⋅ds r d n ds r d n r n 因此222222cos Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu k ++++=I II =θ （1） （1）式中的右端与第一、二类基本量和dvdu 有关。
且E 、F 、G 、L 、M 、N 都是参数),(v u 的函数，并且在曲面上一个给定点P 都具有确定的值，dvdu 为切方向，所以（1）式右端都有确定的值。
因此若在曲面上一个给定点相切的两条曲面曲线，在该点它们的主法线有相同的方向，则它们的角度θ也相同，所以根据（1），k 也相同。
对在曲面的任何曲线)(C 上一点P ，作通过)(C 在点P 的切线与主法线的平面（即密切平面），得到这个平面与曲面的截线，这条平面曲线与曲线)(C 具有相同的切线与主法线，所以曲率也相同。
则曲面曲线的曲率就可以转化为曲面上一条平面截线的曲率的讨论。
所以下面我们引入曲面上特殊的平面截线。
给出曲面S 上一点P 和P 点处一方向dv du d :)(=，设n 为曲面在P 点的法方向，于是)(d 和n 所确定的平面称为曲面在P 点的沿方向)(d 的法截面，这法截面和曲线S 的交线称为曲面在P 点的沿方向)(d 的法截线。
设方向dv du d :)(=所确定的法截线)(0C 在P 点的曲率为0k 。
对于法截线)(0C ，主法向量0,00=±=θβn 或π，所以由（1）知它的曲率00≥k 为,0III =±k 即,0III ±=k （2） 其中n 和)(0C 的主法向量0β的方向相同时取正号，反之取负号（如图2），即法截线向n 的正侧弯曲时取正号；反之，向n 的反侧弯曲时取负号（图2）。
考虑曲面上一点在一方向)(d 上的弯曲程度仅由00≥k 还不能完全确定，还要考虑曲面弯曲的方向才能全面刻画曲面上一点在方向)(d 上的弯曲性，因此我们再引入法曲率的概念。
定义 曲面在给定点沿一方向的法曲率为⎩⎨⎧-+=的反侧弯曲，，法截线向的正侧弯曲，，法截线向n k n k k n 00由公式（2）可得III =n k （3） 设曲面上一曲线)(C 和法截线)(0C 切于点P ，换言之，它们有相同的切方向dv du d :)(=，则从（1）和（3）可得,cos θk k n =根据这个关系式，所有关于曲面曲线的曲率都可以化为法曲率来讨论。
若设nn k R k R 1,1==，R 称为曲线)(C 的曲率半径，n R 称为曲线)(0C 的曲率半径也称为法曲率半径。
则上式又能写成θcos n R R =。
它的几何意义就是： 梅尼埃（Meusnier ）定理 曲面曲线)(C 在给定点P 的曲率中心C 就是与曲线)(C 具有共同切线的法截线)(0C 上同一个点P 的曲率中心0C 在曲线)(C 的密切平面上的投影。
方法二.为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们首先引进了du 和dv 的两个二次微分形式，即I 和∏，且有第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而∏刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，从直观上讲，它刻画了曲面在空间中的弯曲性。
但曲面在不同的方向弯曲程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。
因此，为使对弯曲的刻画更加确切，并使问题尽可能简化，我们借助于曲面上曲线的曲率，又引进曲面上法曲率的概念。
法曲率的引入第一基本形式I 是曲面上的切向量dr 的长度平方，即dr dr ⋅=I第二基本形式是n r d ⋅=∏2，在本质上它是曲面上任意一点的邻近点P 到该点切平面的有向距离的两倍。
特别是，两个基本形式之比n dr r d dr dr n r d ⋅=⋅⋅=I II 222是曲面上通过该点、以dr 为方向的曲线的曲率向量22drr d k =β在曲面该点处的单位法向量n 上的投影，它是仅依赖于曲面在该点的切方向的函数。
如果考虑曲面上由该点的切方向dr 和单位法向量n 所张成的平面（法截面），并且用该平面在曲面上截出一条曲线（法截线），根据伏雷内公式，则这条平面曲线以dr 为切向量，同时在该点的β和n 是共线的，所以该曲线在该点的曲率正好是I II ，我们把它称为曲面在该点沿切方向dr 的法曲率，记为n k 。
显然有θβcos k n k k n =⋅=III =【注 1】上式III 只是点和方向的函数,给定点处, 其值仅由方向dv du d :)(=决定. 因此, 对于过点P 且具有相同切线的诸多曲线而言, 尽管它们在P 点的曲率k 不同, 对应的θ也不相同,但乘积θcos k 却是个固定值。
【注 2 】θcos k 含有反映曲线弯 曲程度的曲率项,而III 有反映曲面弯曲程度的第二基本形式, 因此, 上式把曲线与曲面的弯曲性联系起来, 为我们利用曲线来研究曲面的弯曲程度提供了方便。
法曲率n k 的几何意义: 设θβ=∠),(n ，则θβαcos k n k n k n =⋅=⋅=⋅(k 为曲线)(:s r r =Γ的曲率)，由于βk 是与曲线)(:s r r =Γ的曲率k 有关的向量，我们称βk 为曲线)(:s r r =Γ的曲率向量，于是法曲率n k 就是曲率向量在曲面的单位法向量n 上的投影，这就是法曲率的几何意义。
一般说来，曲面在每一点由两个彼此垂直的切方向，使得法曲率n k 在这两个方向分别达到它的最大值和最小值，这两个切方向称为曲面在该点的主方向，相应的两个法曲率称为曲面在该点的主曲率。
特别的，如果曲面在某一点（脐点）处有第一、第二类基本量成比例，则每一个切方向都是主方向。
根据法曲率的Euler 公式，主曲率是法曲率的最大值和最小值.因此，计算主方向和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段.我们已经知道主方向和主曲率恰好是曲面在这一点的Weingarten 映射的特征方向和特征值。
因此求曲面主方向和主曲率的问题归结为求Weingarten 映射的特征方向和特征值。
现在把求主方向和主曲率的方法综述如下： 首先，按照公式22122FEG NE MF LG H k k -+-==+和2221F EG M LN K k k --==用曲面的第一基本量和第二基本量计算曲面的平均曲率H 和Gauss 曲率K ，并解二次方程022=+-K H λλ，得到曲面的主曲率21,k k ，其次，分两种情形来处理：在非脐点的情形时，21k k ≠，我们逐次将1k 和2k 分别代替线性方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ 中的λ，其相应的方程组系数矩阵的秩是1，因此对应与1k 的主方向是Fk M G k N E k L F k M v u 1111---=---=δδ 对应于2k 的主方向是Fk M G k N E k L F k M v u 2222---=---=δδ在脐点的情形，G N F M E L k k ====21，将1k （或2k ）代替线性方程组 ⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ 中的λ，其相应的方程组系数矩阵是零矩阵，此时任意的非零数组),(v u δδ都是方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ的解，即主方向是不定的。
法曲率的计算与弯曲性的刻画下面我们用不同的方法来求球面的法曲率例 1：求球面量的}{v R u v R u v R r sin ,sin cos ,cos cos =在一点的法曲率。
解：方法一：利用定义图3如图3，设法截线)(0C 在球面上P 点的曲率为0k ，则Rk 10=。
因为法截线)(0C 向n 的反侧弯曲，由法曲率的定义可得：R k k n 10-=-= 方法二：利用公式θcos k k n =计算设P 是球面上任一点，过此点的平面与球心的距离为d ，平面与球面的交线为)(C ，则)(C 为圆周，其曲率为221d R k -=如图2所示，假设ϕ=∠),(0PC PC ，则圆周的主法向量与平面的法向量的夹角为ϕπθ-=从而R d R 22)cos(cos --=--=θπθ，R R d R d R k k n 1)(1cos 2222-=---==θ 方法三：利用III =n k 计算 对于球面}{v R u v R u v R r sin ,sin cos ,cos cos =有22222cos dv R vdu R +=I ，)cos (222Rdv vdu R +-=∏所以球面上任意点),(v u 沿任何方向):(dv du 的法曲率为Rk n 1-=I II = 方法四：利用欧拉公式 因为球面上的点都是脐点，从而主曲率Rk k 121-==由欧拉公式知其法曲率Rk k k n 1sin cos 2221-=+=θθ下面我们结合例子来说明法曲率刻画了曲面的弯曲性。
例2：求平面、圆柱面和球面的法曲率，并说明它们的弯曲情况。
解：先考虑平面:设平面方程为{}0,,y x r =，则有0=I I ，故0=n k 平面不弯曲，平面上的点都是平点，平面上每一个方向都是主方向。
下面考虑圆柱面： 设圆柱面的方程为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=v a u a a u a r ,sin ,cos ，则有22dv du +=I ，21du a -=∏ 故)(222dv du a du k n +=。
