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讲稿2(牛顿差分表及例题)

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牛顿法代数插值ndash差商表的求法

牛顿法代数插值ndash差商表的求法

牛顿法代数插值ndash 差商表的求法原文地址：牛顿法代数插值–差商表的求法作者：大关牛顿法代数插值–差商表的求法下面的求插商的方法并不是好的求插商的方式，因为他的效率并不是很高，不论是从空间效率还是时间效率，但是下面主要探讨的是一种将塔形的数据转换成一位数组的方式。

实际上求插商仅通过一个n个元素的一位数组就能解决，但本文强调的是一种思路，希望对大家有所借鉴。

牛顿插商公式：f[xi,xj]=(f(xj)– f(xi))/(xj– xi)f[xi,xj,xk]=(f[xj,xk]– f[xi,xj])/(xk– xi)….f[x0,x1,x2…,xn]=(f[x1,x2,…,xn]– f[x0,x1,…,xn-1])/(xn– x0)转换成均插表(或称差商表)形式如下：定义1：f[xi,xi+1,…xj]简记为f(i,j)其中i=0&&i=n&&j=0&&j=n&&i j；记f(xi)为f[xi,xi]即f(i,i)根据定义1可以推出：f[x0,x1]=f(0,1),f[x0,x1…xn]=f(0,n)….根据定义1：可以将插商表转换为如下形式。

根据上图，可以给出实际一维数组存储时的序列关系，如下图所示：此时f(0,0)位置是数组下标0，f(1,1)是数组下标为1….这样，我们从中找出相应的规律。

推论1：已知f(i,j)，n为变量的数目，令k=j– i。

当k不等于0时，f(i,j)在数组中的下标通过计算得：Index=k*n–((k-1)*k)/2+i当k等于0时Index=i。

推论1很容易证明(实际就是一个等差数列求和问题)这里证明略。

推论2：n为变量的数目，则一维数组的长度可以计算得((1+n)*n)/2推论2可以通过等差数列求和得以证明。

证明略。

推论3：各阶插商就是f(0,k)k=1,2….n.推论3：根据插商的定义和定义1可以直接推出。

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解【原创版】目录1.牛顿插值法简介2.牛顿插值法的基本原理3.牛顿插值法的例题解析4.牛顿插值法的优缺点5.总结正文一、牛顿插值法简介牛顿插值法是一种常用的数学插值方法，主要用于根据已知的函数值预测未知函数值。

牛顿插值法的基本原理是通过求解各阶差分来逼近未知函数值。

这种方法在增加插值节点时具有较好的计算稳定性，因此在实际应用中具有较高的价值。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法的基本思想是利用差商的概念，将函数在某区间中若干点的函数值用适当的特定函数表示。

通过求解各阶差分，可以得到这个特定函数的系数，从而得到插值多项式。

在给定的插值节点上，这个插值多项式可以取到已知的函数值，而在其他点上，则可以用这个多项式作为函数的近似值。

具体来说，牛顿插值法的求解过程分为以下几个步骤：1.设定插值多项式的形式，例如拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式等。

2.根据已知的函数值和插值节点，求解插值多项式的系数。

3.将求解得到的系数代入插值多项式，得到插值函数。

4.在给定的插值节点上，求解插值函数的值，作为预测的未知函数值。

三、牛顿插值法的例题解析假设我们有三个样本点：（1，-2），（2，-1），（3，2），我们希望通过这三个点求解一个二次函数。

我们可以用牛顿插值法来解决这个问题。

首先，我们设定插值多项式的形式为 y = ax^2 + bx + c。

然后，将三个样本点带入该方程，得到以下三个方程：- -2 = a(1)^2 + b(1) + c- -1 = a(2)^2 + b(2) + c- 2 = a(3)^2 + b(3) + c解这个方程组，我们可以得到 a = 1/2，b = 5/2，c = -3/2。

因此，我们得到插值函数为 y = 1/2x^2 + 5/2x - 3/2。

将x=1, 2, 3 代入该函数，我们可以得到 y=-2, -1, 2，与给定的样本点相符，说明我们的插值结果是正确的。

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解牛顿插值法是一种用于多项式插值的方法。

它利用给定数据点的函数值和差商的计算来构造一个多项式函数，从而在给定数据点之间进行插值。

以下是一个求解多项式插值的牛顿插值法的例题：假设有以下给定数据点与函数值：x: 0 1 2 4 y: 1 4 11 36现在要使用牛顿插值法，通过这些数据点拟合出一个多项式函数来进行插值。

解题步骤如下：1.计算差商表：x0 f[x0] 0 1 f[x0,x1] 1 4 f[x0,x1,x2] 2 11 f[x0,x1,x2,x3] 4 36差商的计算可以使用以下公式：f[xi,xi+1,...,xi+k] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+k] - f[xi,xi+1,...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)2.使用差商表计算插值多项式：插值多项式P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)P(x)的展开式为：P(x) = 1 + 3(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 2(x-0)(x-1)(x-2)3.使用得到的插值多项式进行插值计算。

例如，要计算在x=3 的位置的插值结果，将x 替换为3，计算P(3)：P(3) = 1 + 3(3-0) + 2(3-0)(3-1) + 2(3-0)(3-1)(3-2) = 1 + 9 + 12 + 6 = 28因此，使用牛顿插值法，给定数据点(0,1), (1,4), (2,11), (4,36)，在 x=3 的位置的插值结果为 28。

注意，此例仅为示例，实际问题中，使用牛顿插值法时可能需要更多的数据点和计算过程。

在实际应用中，还需要考虑插值误差、阶数选择以及数据点的分布等因素。

数值分析2-3(牛顿插值法)

数值分析2-3(牛顿插值法)

二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
§3
差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算
三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？

数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值

数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值

确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。

牛顿均差差值

牛顿均差差值
n+ f ( n+1) (ξ x ) f [ x , x 0 , ... , x n ]ω n +1 ( x ) = ω n +1 ( x ) ( n + 1) !
f ( n ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x n ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) n!
的函数表如下， 例 f(x)的函数表如下，用三次牛顿插值计算 的函数表如下 用三次牛顿插值计算f(0.596)的近似值 的近似值
←
y ← y+t*A(k,k) k ← k+1
N
k>N
Y
输出y 输出
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制. 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.首先介绍 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化. 差分概念. 差分概念. x −x 当节点等距分布时: 等距分布时 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) h =
0.62)+0.21303(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80) f(0.596) ≈N3(0.596)=0.63192
牛顿插值算法设计
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
f [ x 0 , x 1 , x 2 ,⋯ , x n] =

第二讲牛顿插值与分段线性插值

第二讲牛顿插值与分段线性插值

四、分段线性插值
我们已经知道插值有多种方法, 我们已经知道插值有多种方法 例 插值、 插值等. 如, Lagrange插值、 Newton插值等 插值 插值 插值等 的目的就是数值逼近的一种手段, 而数值逼近为 的目的就是数值逼近的一种手段 的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解, 的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解 那么是否插值多项式的次数越高, 那么是否插值多项式的次数越高 越能达到这个目 的呢? 观察n次插值多项式的余项 的呢 观察 次插值多项式的余项 f ( n +1) (ξ ) n
差商表
xi x0 x1 x2 x3 x4 ┊ f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┊ f(x0,x1) f(x1,x2 ) f(x2,x3 ) f(x3,x4 ) ┊ f(x0,x1,x2) f(x1,x2,x3 ) f(x2,x3,x4 ) ┊ 1阶 阶 2阶 阶 3阶 阶 4阶 阶
∆ 3 f ( x1 ) = ∆(∆ 2 f ( x1 )) = ∆ 2 f ( x2 ) − ∆ 2 f ( x1 )
∆3f(x0) ∆3f(x1) ┊ ∆4f(x0) ┊
……
计算规律: 任一个k(≥1) 阶差分的数值等于所求 计算规律 任一个 差分左侧的数减去左上侧的数. 差分左侧的数减去左上侧的数 注意: 差分表中, 注意 差分表中 对角线上的差分是构造差分形 式的牛顿插值公式的重要数据. 式的牛顿插值公式的重要数据
+ an ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅⋅⋅ ( x − xn−1 ).
它满足递推性: 它满足递推性
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 ).

【AP物理B和C】牛顿定律的讲解和例题

【AP物理B和C】牛顿定律的讲解和例题

Δ §2.1 牛顿运动定律
▲
第一定律（惯性定律）（First law，Inertia law）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，
除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
第一定律 的 意义：
定义了“惯性系”（inertial frame）
定性给出了“力”与“惯性”的概念
物体的加速度。 a：
F ma

▲
第三定律（Third Law）
m1
· F
12
F21
m ·
2
F12 F21
对牛顿定律的说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系； 而一般物体可认 2.牛顿定律是对质点而言的， 为是质点的集合， 故牛顿定律具有普遍意义。
s v t dv a dt

o
r rA rB
vA
A
s
B
x
v

vB
two-type problems
微分 积分
r v a
dr v dt
dv a dt
r v a v dt a dt

The two elephants exert action and reacti §2.2 SI单位和量纲 （书第二章§2.2 ）
▲
国际单位制（SI）的力学基本量和单位：
单 位 的 定 义
138Cs原子某特征频率光波周期的
量的 单位 单位 名称 名称 符号 时间 长度
秒
米
s
m
9 192 631 770 倍
光在真空中在（1/299 792 458）s 内所经过的距离 保存在巴黎度量衡局的“kg标准 原器”的质量

实验二 牛顿插值法

实验二 牛顿插值法

实验二 牛顿插值法
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。

2、 培养编程与上机调试能力。

二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =。

构造牛顿插值多项式)(u N n 。

输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。

为
的 一阶均差。

为
的 k 阶均差。

均差表：
1． 输入n 值及（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =；要计算的函数点x 。

2． 对给定的,x 由
[][][]
00010101201101
()()(),()(),,()
()
(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---
计算()n N x 的值。

3．输出()n N x 。

三：程序流程图：
四、实验内容
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数
2
2511
)(x
x f += 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
n i n i
x i ,,2,1,0,21 =+-=
选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数)(x L n 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

newton插值均差与差分

newton插值均差与差分

故(5.3.5)式成立。

现假设 k = m -1时(5.3.5)已成立，对 k = m 由均差定义及归纳假设有第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton 插值/均值与差分lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。

其缺点是，当节点 改变时，公式需要重建， 计算量大；如果还要根据精度要求， 选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出 L 1(x), L 2(X )等，并做误差试算，才可以做到，这当然 是不理想的。

为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是 顿)插值公式。

Newt on 插值公式通过均差和差分的记号来表达。

1.均差的概念及其性质 定义5.3.1设函数f 在互异节点X 0,X 1^ 上的值为f(X 0), f(Xj ,等，定义(3)递推地，f在x 0, x 1^ , x k 上的k 阶均差为f[X °,X 1，上，X k 」]- f[X 1,X 2，上,X k ] f [X °,X 1, ； ,X k ]-- — ---X 。

— X k同时规定f 在X j 上的零阶均差为f[X]b f(X i )性质1 k 阶均差可以表示成k 1个函数值的线性组合，即f (X j )(5.3.5)(X j - X-p (X j - X j 4)(X j - X j.J 上(X j - X k )证明：用数学归纳法。

当 k = 1时由均差定义有f (X -) - f (xj f(x 。

)f (xjNewto n(牛(1)f 在x , x j 上的1阶均差为 f 在X,X j ,X k 上的2阶均差为f (Xib f (X j ) X - X jf[X i ,X j ,X k ]二f[X 「X j ]- f[X j ,XjX 一 X kkf [X -,X 1» ,X k ]八j=0或记为"''「(X j ) (5.3.5b )f[X o ,xJ 二X 。

用牛顿定律解决问题课件

用牛顿定律解决问题课件

内滑下的路程x=60m，求滑雪人受到的阻力（包括摩擦
和空气阻ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
y
分析：
1.滑雪者受到哪些力的作用？你能 分析出合力的方向吗？
2.如何建立直角坐标系？
x
3.滑雪者运动的加速度为多大？方向 呢？
FN
F阻 Gx
θ
Gy
θ
G
例题2：一个滑雪的人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速度沿山坡 匀加速滑下，山坡的倾角θ=300，在t=5s的时间内滑下的路程
牛顿第 二定律
加速度 a
运动学 公式
物体运 动情况
例题2：一个滑雪的人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速 度沿山坡匀加速滑下，山坡的倾角θ=300，在t=5s的时间
内滑下的路程x=60m，求滑雪人受到的阻力（包括摩擦
和空气阻力）
例题2：一个滑雪的人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速 度沿山坡匀加速滑下，山坡的倾角θ=300，在t=5s的时间
N
1.物体的受力情况如何？
f
F
2.物体所受的合力如何？
G 3.物体的运动情况中已知哪些量？要求末速度和位移， 还差什么量？
Ｖ Ｏ =O
t=4s
Ｘ=?
Ｖ t=?
4.如何求加速度？ 借助于牛顿第二定律F合=ma，利用合力来求加速度。
解：由图知：F合=F－f=ma
N
f
F
a F f 6.4 4.2 m / s2 1.1m / s2
2、分析研究对象的受力情况，必要时画 受力的示意图。
3、分析研究对象的运动情况，必要时画 运动过程简图。
4、利用牛顿第二定律或运动学公式求加 速度。
5、利用运动学公式或牛顿第二定律进一 步求解要求的物理量。

牛顿差值法的原理及应用

牛顿差值法的原理及应用

牛顿差值法的原理及应用1. 牛顿差值法的原理牛顿差值法（Newton’s Divided-Difference Interpolation）是一种用于数据插值的数值方法，它是由英国科学家牛顿（Isaac Newton）在17世纪提出的。

牛顿差值法的原理基于以下两个关键思想： 1. 任意n个数据点可以通过一个n-1次多项式来精确插值。

2. 使用差商（divided differences）的概念，可以通过递推公式迭代计算差商及插值多项式的系数。

具体而言，牛顿差值法将数据点(x i,y i)表示为自变量的函数y=f(x)中的零次差商f[x i]，一次差商f[x i,x i+1]等等。

插值多项式的形式如下：$$P(x) = f[x_0] + (x-x_0)f[x_0,x_1] + (x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2] + \\ldots$$其中$f[x_0,x_1,\\ldots,x_n]$表示n阶差商。

通过递推公式计算差商，可以得到插值多项式。

2. 牛顿差值法的应用牛顿差值法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

下面列举了几个常见的应用场景：2.1 数据插值牛顿差值法最常见的应用就是对已知数据点进行插值，以估计在数据点之间的未知位置上的函数值。

通过插值多项式可以方便地计算未知位置的函数值，从而填补数据的缺失部分。

2.2 数值积分牛顿差值法在数值积分中也有出色表现。

通过构造插值多项式，可以近似计算函数在一段区间上的积分值。

这在实际问题中经常出现，特别是当无法解析求解积分时，牛顿差值法提供了一种有效的数值积分方法。

2.3 信号处理在信号处理中，牛顿差值法可以用于信号重构和信号平滑。

通过已知的零次差商和一次差商来恢复原始信号，并进行信号降噪和平滑处理。

这在图像处理和音频处理等领域中非常有用。

2.4 绘图插值对于绘制曲线的问题，牛顿差值法可以通过已知数据点插值计算出曲线上的其他点，从而绘制平滑的曲线。

第二章牛顿插值法

第二章牛顿插值法
Pn ( x) li ( x ) yi
i 0 n
(x xj ) 其中： l i ( x ) ( xi x j ) ji
n
f ( ) n1 ( x) 余项公式： Rn ( x ) (n 1)!
( n 1)
j 0
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
xi f [ xi ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ] x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]
k 0,1,, n 1
向前 k 1,2 ,, n 向后 差分算子 f k f k f k 1 不在函数表上，要用到 中心 为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分 函数表上的值
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
Newton插值公式及其余项
例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商
公式求 7 的近似值。 解： x i
xi
1
2
f [ xi , xi 1 ]
基函数
设插值节点为 xi ,
函数值为 fi , i 0,1,, n
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P( x)具有如下形式
h maxhi

2.4牛顿插值

2.4牛顿插值

f x x,,x x x x (( f [x x,,x x ]] f [ x0 , x1 ] f ,,x xx x1 )1 ) (b) 00 00 11
x f ( x) f ( x0 ) f f x,, x x00( (x x x x0 ) (a ) 0)
抵消
( x x0 )
即 f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
函数y=f(x)的一阶均差表
x0
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ] f [ x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ xk 1 , xk ]
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 ]
( xi x j ,
f ( x n ) 当i j )
由差商定义及对称性，得
x x0 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f x, x0 , x1 x x1 f [ x, x ] f [ x , x ] f x, x , x ( x x ) (b) 0 0 1 0 1 1 f x , x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 f x, x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c)

牛顿插值法

牛顿插值法

商的差商。一般地，如果已知一阶差商 f [xi−1, xi ], f [xi , xi+1] ，那么就可以计算二 阶差商
f [xi−1, xi , xi+1] =
f [xi , xi+1] − f [xi−1, xi ] xi+1 − xi−1
类似于上述过程不断地推导下去，可得
2
c3
=
f [x1, x2 , x3 ] − f [x0 , x1, x2 ] x3 − x0
⎧ ∆m ⎨⎩∇m
fi fi
= =
∆ m −1 ∇m−1
fi+1 fi+1
− ∆m−1 fi , − ∇m−1 fi ,
m = 2,3,LL
2.4.2 差商的性质
1) 差商与函数值之间存在关系：
∑ f [x0 , x1,L, xn ]
=
n i=0
f (xi ) ,
π
' n&其中ξ 是介于 x0 , x1,L, xn 之间的某个数。
教案二 牛顿插值法
基本内容提要 1 差分、差商的概念、性质和差商表的构造方法 2 牛顿插值法 教学目的和要求 1 掌握差分、差商的概念、性质和差商表的构造方法 2 掌握牛顿插值法的构造方法 3 理解距节点下和非等距节点下利用差分和差商工具进行插值的特点 教学重点 1 牛顿插值多项式的表达式及其构造过程 2 差分、差商的概念、性质及其计算 3 区别对待等距节点下和非等距节点下的插值方法 教学难点 1 利用重合节点的差商构造插值多项式的思想方法 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程
看成是估计 Nn−1(x) 的一种实用误差估计式。 与差商概念密切联系的另一个概念是差分，它是指在等距节点上函数值的

牛顿插值法

牛顿插值法

x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
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向前、向后差分表
-
)j
-
)j
例：在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B 从4000至11000区间的查表问题。

为节省计算机存储单元，采用每
500高斯存入一个at值，在利用差分公式计算。

从差分表中看到三阶差分近似于0，计算时只需二阶差分。

当4000≤B≤10500时用牛顿前插公
式；当10500≤B ≤11000时用牛顿后插公式；
例如，求f （5200）时取
2
00005000, 1.58,0.11,B f f f ==∆=∆=
，h=500,B=5200,t=0.4,取n=2，由公式
000(1)
()2!
n t t N x th f t f -+=+∆+
计算得：
(0.4)(0.
(5200) 1.58(0.4)(0.11)2
f -≈++
这个结果与直接查表得到的值相同，说明用此算法在计算机上求值是可行的。