2008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）1.对多项式18+x 来说，不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件，故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。
2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。
3.设向量组（I ）的秩大于向量组（II ）的秩，则（I ）不能由（II ）线性表出。
4.设B A ,都是n 阶方阵，A 是对角矩阵，BA AB =，则B 也是对角矩阵。
5.设B A ,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。
6.设),2,1(s i V i =是n 维线性空间V 的子空间，n s <≤2，若{}0=j i V V()j i ≠，则s V V V +++ 21是直和。
7.实矩阵n m R A ⨯∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,，有AC AB =可推得C B =。
8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()( n x f x P x f x f V <∂∈=，则V 是一个线性空间，并且)()(:b ax f x f +→ϕ是V 上的一个线性变换。
9.)(λλA 矩阵-是可逆的当且仅当)(λA 的行列式0)(≠λA 。
10.在n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。
二、计算题（每小题10分，共40分）1.设()n j i a ji nj n i ij ,2,1,=--=βαβα，n 阶方阵()ij a A =，求A 的行列式A 。
2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=143021002A 的所有不变因子，初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。
3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换()()()()()x f x f x f x x f ++='''2ϕ的特征值，求最大特征值的特征向量。
南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数1、 (15分) 计算行列式5301212133215311210241210--=D 2、 (15分) 已知(1))(),(x h x f 为有理系数多项式；(2) )(),(x h x f 有公共根； (3) )(x h 在有理数域上不可约。
证明: )()(x h x f3、（15分）已知321,,ααα可由21,ββ线性表示, 证明321,,ααα线性相关.4、（30分）已知54321,,,,ααααα为欧氏空间V 的一组标正基，}0{321=++++=c b a c b a W ααα，（1）证明：W 是V 的子空间。
（2）求W 的一组基及维数。
（3）求W 的正交补。
5、（15分）计算行列式 444422221111d c b a d c b ad c b a D = 6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型： 32312123222232144822),,(x x x x x x x x x x x x f +---+=7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有52成为熟练工，设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记成向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x ， （1）求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x 的关系式并写成矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11； （2）验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141η，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112η是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。
（3）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111y x 时，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 。
