体育单招数学考试大纲完整版

普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业招生文化考试大纲（2021版）数学考试大纲I.考试性质普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业招生文化考试是由合格的高中毕业生或具有同等学力，具备二级运动员（含）以上运动技术等级称号的考生参加的选拔性考试。

高等学校根据考生的文化考试和体育专项成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。

因此，本考试应具有较高的信度、效度及必要的难度和区分度。

II.考试能力要求《普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业招生文化考试大纲（2021版）》数学科考试内容根据普通高等学校相关专业对新生文化素质的要求，依据《普通高中数学课程标准》规定的内容确定。

数学科考试按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力考查融为一体。

考试内容分为代数、立体几何、解析几何、概率四个分科。

关于考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求作如下说明。

一、知识要求对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握，灵活和综合应用。

1.了解：要求对所列知识内容有初步的、感性的认识，知道有关内容是什么，并能在有关的问题中识别它。

2.理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识、能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。

3.灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较复杂的或综合性的问题。

二、能力要求1.空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形和图表等手段形象揭示问题本质。

2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。

抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论。

3.推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的一连串的推理过程。

机密★启用前2021年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数 学一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑． 一．选择题（共10小题）1．已知集合{1,3,6}M =，{3,4,5}N =，则(M N = )A ．{1,4,6}B ．{1,4,5,6}C ．{3}D ．{1,3,4,5,6}2．已知数列{}n a 满足12a =，且13n n a a +=+则(n a = ) A ．2nB ．31n -C ．34n -D ．53n -3．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( ) A ．3y x = B ．5y x=C ．ln y x =D ．32y x x =-+4．若1sincos 222x x +=，则sin (x = ) A ．41-B ．31-C ．23-D ．34-5．sin168cos18sin102sin198︒︒-︒︒=( )A ．21-B ．0C ．12D ．16．函数2y =-( ) A ．[3,3]-B ．[9,9]-C ．[3,)+∞D ．(,3]-∞-7．以双曲线2291:61x y C -=的中心为顶点，C 的左焦点为焦点的抛物线方程为( )A ．220y x =B ．210y x =C ．210y x =-D ．220y x =-8．261()2x x-的展开式中常数项为( ) A ．158B ．1516C ．1516-D ．815-9．从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有( ) A ．12种B ．34种C ．35种D ．168种10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．下述四个结论： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；④若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥．其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．②④C ．①④D ．③④二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分． 11．若{}n a 是公比为3的等比数列，135a a +=，则5a = ． 12．函数||x y e =的最小值是 ． 13．不等式23100x x -->的解集是 ．14．若向量a ，b 满足||3a =，||5b =，||7a b +=，则a b = ．15．若椭圆C 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过1F 的直线交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为12，则C 的方程为 ．16．从数字1，2，3，4，5中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为 ．（结果用数值表示） 三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（18分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7a =，8b =，1cos 7B =，（1）求c ；（2）求ABC ∆的面积S ．18．（18分）已知22:()()4M x a y a -+-=．（1）当1a =时，求M 截直线20x y --=所得弦的长； （2）求点M 的轨迹方程．19．（18分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 为棱AB ，AD 的中点． （1）证明：直线//EF 平面11CB D ；（2）设2AB =，求三棱锥11B CB D -的体积．12021年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数 学参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑． 1．已知集合{1,3,6}M =，{3,4,5}N =，则(M N = )A ．{1,4,6}B ．{1,4,5,6}C ．{3}D ．{1,3,4,5,6}【解析】集合{1,3,6}M =，{3,4,5}N =，{3}M N ∴=．故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，比较简单，是一道基本题型． 2．已知数列{}n a 满足12a =，且13n n a a +=+则(n a = ) A ．2nB ．31n -C ．34n -D ．53n -【解析】数列{}n a 满足12a =，13n n a a +=+，所以13n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-，故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( ) A ．3y x =B ．5y x=C ．ln y x =D ．32y x x =-+【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键，属于基本知识的考查． 4．若1sincos 222x x +=，则sin (x = ) A ．41-B ．31-C ．23-D ．34-【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题． 5．sin168cos18sin102sin198︒︒-︒︒=( ) A ．21-B ．0C ．12D ．1【点评】本题主要考查三角函数值的求解，结合三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键，是基础题．6．函数2y =-( ) A ．[3,3]-B ．[9,9]-C ．[3,)+∞D ．(,3]-∞-【解析】由题意得：290x -，得33x -，故函数()f x 的定义域是[3,3]-，故选：A ． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．7．以双曲线2291:61x y C -=的中心为顶点，C 的左焦点为焦点的抛物线方程为( )A ．220y x =B ．210y x =C ．210y x =-D ．220y x =-【点评】本题考查双曲线的简单性质及抛物线的标准方程． 8．261()2x x-的展开式中常数项为( ) A ．158B ．1516C ．1516-D ．815-【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．9．从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有( ) A ．12种B ．34种C ．35种D ．168种【解析】法一：分3步来计算，①从7人中，任取4人做志愿者，分析可得，这是组合问题，共4735C =种情况； ②选出的4人都为女生时，有1种情况，③根据排除法，可得符合题意的选法共35134-=种；故选：B ．法二：从7人中，任取4人做志愿者，至少1名男生共有1322313434343412184C C C C C C +++=+=种；故选：B ．【点评】本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．下述四个结论： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；④若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥． 其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．②④C ．①④D ．③④【解析】①中，若//m α，//n β，//αβ，则//m n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，所以①不正确． ②中，若//m α，//n β，αβ⊥，则//m n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，所以②不正确． ③中，若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ，所以③正确．④中，若αβ⊥，设α，β的交线为l ，a α⊂，且a l ⊥，由面面垂直的性质可知，a β⊥，又n β⊥，则//a n ，又m a ⊥，则m n ⊥，所以④正确． 综上，③④正确，故选：D ．【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题． 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分． 11．若{}n a 是公比为3的等比数列，135a a +=，则5a =812．【点评】本题考查了等比数列的性质以及等比数列的通项公式的理解和应用． 12．函数||x y e =的最小值是 1 ．【解析】设||t x =，则0t ，而t y e =在[0,)+∞上单调递增，所以01t y e e ==，所以函数||x y e =的最小值是1，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数值域的求解，指数函数的单调性，是基础题． 13．不等式23100x x -->的解集是 {|5x x >或2}x <- ．【解析】由23100x x -->，得(2)(5)0x x +->，则解集为{|5x x >或2}x <-，故答案为：{|5x x >或2}x <-． 【点评】本题主要考查一元二次函数不等式，属于基础题目． 14．若向量a ，b 满足||3a =，||5b =，||7a b +=，则a b =152． 【解析】2222211[()](7322a b a b a b =+--=-【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．15．若椭圆C 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过1F 的直线交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为12，则C 的方程为 22198x y += ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．16．从数字1，2，3，4，5中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为 0.6 ．（结果用数值表示）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意事件概率计算公式的合理运用． 三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（18分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7a =，8b =，1cos 7B =，（1）求c ；（2）求ABC ∆的面积S ．）7a =，3=-（舍去））71cos B =，sin ∴【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（18分）已知22:()()4M x a y a -+-=．（1）当1a =时，求M 截直线20x y --=所得弦的长； （2）求点M 的轨迹方程．时，M 的方程为，则M 截直线的坐标为(,x 【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于基础题． 19．（18分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 为棱AB ，AD 的中点． （1）证明：直线//EF 平面11CB D ；（2）设2AB =，求三棱锥11B CB D -的体积．【解析】证明：（1）连接BD ，11//BB DD 且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，11//BD B D ∴，又E ，F 为棱AB ，AD 的中点，//EF BD ∴，11//EF B D ∴，又EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ，故）2AB =，112BC BB =⨯111113D BB C C V D C -==⨯【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于基础题．D 1D 1C 1B 1。

2020年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。

1.已知集合A={x|4<x<10},B={x|x=n2,n∈N},则A∩B=_____________A. ∅B.{3}C.{9}D.{4,9}答案：C解析：x=n2,n∈N, N为自然数，故x=0,1,4,9,16...求交集找相同，故A∩B={9},选C.2.1, 3的等差中项是______________A.1B.2C.3D.4答案：B解析：等差中项为：若A、B、C成等差数列，则有A+C=2B。

设1和3的等差中项为x, 则1+3=2x=4,故x=2,选B.3.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是_____________A.2πB.3π2C.π D.π2答案：C解析：f(x)=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x−sin2x=cos2x=2cos2x−12+12=12cos2x−12，T=2πω=2πz=π，故选C.4.函数f(x)=√3−4x+x2的定义域是____________A.RB.[1,3]C.(-oo,1]U[3,+oo)D.[0,1]答案：C解析：函数定义域根号下大于等于0,则3−4x+x2≥0, 解不等式可得解集｛x|x≤1或3≤x},故选C.5.函数y=√λ2−2x+2图象的对称轴为_____________A. x=1B. x=12C. x=−12D. x=-1答案：A解析：y=√x 2−2x+2=√(x−1)2+1，令x −1=0可得x=1为对称轴，故选A.6.已知tan x=−13，则sin 2x=___________ A. 35B.310C.−310D. −35答案：D解析：tan x=sin xcos x =−13，故cos x=-3sinx ，故cos 2x =9sin 2x ，sin 2x +cos 2x =1=10sin 2x ，故sin 2x =110，又sin 2x =2sin x cos x =−6sin 2x =−610=−35，故选D. 7.函数f(x)=ln(-3x2+1)的单调递减区间为___________ A.(0,√33) B.(−√33,0) C.(−√32,√32) D.(−√33,√33) 答案：A解析：f(x)=ln(-3x 2+1)是一个复合函数，复合函数求单调递减区间同增异减，f(x)=lnx 为单调递增函数，故求−3x 2+1的递减区间即可，所求递减区间为（0,+∞),又因为对数函数定义域−3x 2+1>0, 解得−√33<x <√33,故本题答案为（0, √33）故选A.8.若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为____________ A. 16B. 13C. 12D. 23答案：B解析：焦点三等分长轴即2a=3x2c=6c 则离心率e=ca =26=13故选B. 9.双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α和β,则cos α+β2=________A.1B.√32C. 12D.0答案：D解析：渐近线倾斜角为α与β,可知α+β=180°,则cos α+β2＝cos90°=0,故选D.10.已知a=0.20.3,b=0.30.3,c=0.2−0.2,则 ___________ A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. a<c<b答案：A解析：取特殊值计算比大小，如0.2°=0.3°=1,在指数函数比大小中，指数相同底数越大值就越大，底数相同且底数小于1则指数越小值就越大，故0.2−0⋅3>0.20=0.30>0.30.3>0.20.3即a<b<c, 故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

2024年河北单招考试数学大纲主要包括以下内容：一、考试性质河北单招考试数学科目旨在测试学生的中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力、归纳抽象、符号表示、运算求解以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。

二、考试内容1. 代数部分：包括集合、不等式、方程式、三角函数、数列、复数等。

2. 三角部分：包括三角函数及其变换、三角函数的图像和性质、解三角形等。

3. 平面解析几何部分：包括直线和圆的方程、圆锥曲线的方程和性质等。

4. 概率与统计初步部分：包括随机事件及其概率、统计初步等。

三、考试要求1. 知识要求：要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用。

2. 能力要求：要求考生具备逻辑思维能力，能够对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；具备运算能力，理解算理，会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；具备分析问题和解决问题的能力，能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，并能用数学语言正确地加以表述。

四、考试形式与试卷结构1. 考试形式：闭卷笔试。

2. 试卷结构：包括选择题、填空题和解答题等题型，分值分布根据知识点的难度和重要性会有所不同。

3. 时间安排：考试时间为两个小时左右，具体时间安排以准考证上的通知为准。

五、参考教材和资料1. 参考教材：中学数学教材（人教版或其它版本均可）。

2. 资料：相关的数学辅导书籍、习题集等。

六、其他注意事项1. 考生应携带准考证、身份证等有效证件参加考试，不得携带手机等通讯工具进入考场。

2. 考生应在规定时间内到达考场，按照考场要求进行签到和入场。

3. 考试期间，考生应保持安静，不得交谈和离开座位。

2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,12.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.23.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n - B.122n -C.112n-D.122n-8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为212.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷答案解析一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,1【分析】集合{}22|1A x x y =+=是x 的取值范围，{}2|B y y x ==是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x ===+∞A B = [][)[]1,10,+=0,1=-∞ 故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<【分析】先由221b b ->得，20b b ->，又由0b >，可得1b >，而log 0a b <，可得01a <<【详解】解：因为221b b ->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D 【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，可求出d ，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-= 秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C 【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-【答案】D 【解析】【分析】设向量OP与x 轴的夹角为α，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得cos ,sin ,cos(),454si (5n )αααα++︒︒，得到点P '的坐标，进而求得'OP.【详解】由题意，向量OP =，则OP =设向量OP与x 轴的夹角为α，则cos αα==，所以4545sin sin 452210cos()cos cos ααα︒︒-︒=-+=223104545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒=++=，可得cos()(14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n -B.122n -C.112n-D.122n-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴111011001(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑ ，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=【答案】D 【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到α和β，将α和β放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，∴111AA B D ⊥∵底面1111D C B A 是正方形∴1111B D AC ⊥又∵1111AA AC A ⋂=∴11BD ⊥平面1111D C B A ∴1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠∵11CD A B∥∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BA C β∠∵11A B B A =，11A O B O =，OA OB =∴11A BO B AO △≌△∴111=BA C AB O β∠∠=∵11B D ⊥平面1111D C B A ∴1B O OA⊥∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高【答案】BC 【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求得2ω=，6π=ϕ，进而求得()cos 4g x x =，()sin(26f x x π=+，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位后变为：sin 6x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后变为：sin 26x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()sin 26g x x ωπωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为()g x 的最小正周期为2π，所以222ππω=，解得：2ω=.所以()sin 43g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为()g x 为偶函数，所以,32ππφkπk Z +=+∈，所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ.所以()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()sin(26f x x π=+.对于选项A ，因为()sin 2()sin 0012126f πππ⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦，所以()y f x =图像关于点(,0)12π-对称，故A 正确.对于选项B ，因为x ∈5(0,)12π时，2,66x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设26t x π=+，则()sin ,,6f t t t ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为()f t 在,6π⎛⎫π⎪⎝⎭不是单调递增，所以()f x 在5(0,)12π不单调递增，故B 错误.对于选项C ，()cos 22x g x =，()sin(2)6f x x π=+，画出(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像如图所示:从图中可以看出：(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像有三个交点，所以()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解，故C 正确.对于选项D ，()cos 4g x x =在5()124ππ,的图像如图所示：从图中可以看出()g x 在5(124ππ,有且仅有2个极大值点，故D 选项错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及0FA FB FC ++=，可得122x x +=，从而可证得2FA FC FB += ；由A ，F ，C 三点共线，得121211y y x x =--，结合22112211,44x y x y ==，化简即可得到本题答案；设AC 的中点为00(,)M x y ，由AF CF AC +≥，结合1201122AF CF x x x +=+++=+，即可得到本题答案.【详解】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB = ，22(1,)FC x y =- ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++== ，即FA ，FB，FC 成等差数列，故B 正确；因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x x x x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭∴()ln f x x x x '⎛⎫=⎪⎝⎭∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数）∴()21ln 2f x x x bx=+∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =∴()211ln 22f x x x x =+∴()112f =，满足()011f <<∴C 正确∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴B 错误，A、D 正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交.【详解】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．【答案】32【解析】【分析】首先求,P Q 两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得2b a =，最后再求双曲线的离心率.【详解】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b ---++=，c b > ，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即52b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =.故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】(1).278sin cos θθ+(2).【解析】【分析】分别计算出OE 、OF ，相加可得EF 的长；设()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()f θ的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=，在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=，所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan27cos8sin8sin27cos8 sin cos sin cos sin cosfθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭=-+='=，令()00fθ'=，得327tan8θ=，得03tan2θ=，由22003tan2sin cos1sin0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin13cos13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当00θθ<<时，()0fθ'<；当02πθθ<<时，()0fθ'>.则()()min1313f fθθ===.故答案为：278sin cosθθ+；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.。

2024年体育单招考试大纲一、考试目标与要求体育单招考试旨在测试考生在体育方面的综合素质和专业能力，选拔具有潜力和才华的体育人才。

考试要求考生具备扎实的体育基础知识和技能，良好的身体素质和心理素质，以及较强的比赛和竞技能力。

二、考试内容与形式1. 身体素质测试：包括100米跑、立定跳远、800米跑等基础体能测试项目。

2. 技能测试：根据不同专项要求，进行相应的技能测试，如篮球、足球、游泳等。

3. 理论考试：考察体育基础知识和相关理论知识，采用闭卷笔试形式。

4. 实战比赛：根据不同专项要求，组织相应的实战比赛，以评估考生的比赛能力和竞技水平。

三、考试难度与时间安排1. 难度水平：根据不同专项和考试科目的要求，设定不同的难度水平，确保考试具有针对性和区分度。

2. 时间安排：身体素质测试和技能测试一般安排在同一天进行；理论考试和实战比赛根据不同专项的要求另行安排时间。

具体时间安排请参照准考证上的时间安排。

四、考试成绩评定考生的成绩将根据不同的科目进行评分，其中身体素质测试和技能测试占总成绩的70%，理论考试和实战比赛占总成绩的30%。

评分标准将按照体育单招考试的统一标准进行。

五、考试纪律与注意事项1. 考生应遵守考试纪律，不得作弊、抄袭、串通等违规行为。

2. 考生应按时到达考场，遵守考场秩序，服从考试工作人员的安排。

3. 考生应按照准考证上的要求，携带相关证件和考试用品参加考试。

4. 考生应注重安全，在考试过程中注意自身和他人的安全。

六、考试报名与准考证领取1. 报名时间：根据不同省份和院校的要求，报名时间会有所不同。

考生应及时关注当地招生考试部门和相关院校的官方网站，了解报名时间和要求。

2. 报名方式：考生可以通过当地招生考试部门或相关院校的官方网站进行在线报名，按照要求填写相关信息并上传相关证件和证明材料。

3. 准考证领取：考生在完成报名后，应及时关注当地招生考试部门或相关院校的通知，按照要求领取准考证。

全国普通高等学校体育院校系部分专业统一招生考试数学试卷时间：100分钟满分：150分一．每大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在题目的括号内。

1．下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为30的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为tan θ，则倾斜角为θ；④如果两直线平行，则它们的斜率相等(A )0个(B )1个(C )2个(D )3个2．若直线x =1的倾斜角为α，则α=（）0A ．0Bπ4Cπ2D 不存在3．直线l 1:2x +3y +1=0与直线l 2:3x +2y -4=0的位置关系是（）(A )平行(B )垂直(C )相交但不垂直(D )以上情况都不对4．．直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行，则a 的值等于(A )．-1或3（）(B )．1或3(C )．-3(D )．-15．正三棱锥的底面边长为2，体积为3，则正三棱锥的高是（）A. 2B. 3C. 4D. 66．已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（）A.3B.-2C. 2D.不存在7．直线l 1:ax +(1-a )y =3，l 2:(a -1)x +(2a +3)y =2互相垂直，则a 的值为（）3A.-3B.1C.0或2D.1或-3-8．如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有(A ).k 1<k 3<k2(B ).k 3<k 1<k 2(C ).k 1<k 2<k3(D )k 3<k 2<k19．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是()A. B.y-y1x-x1=y2-y1x2-x1 y-y1x-x1=y2-y1x1-x2C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=010．直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5;C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-5.二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。

1.考试方式：闭卷，笔试,试卷满分为 100 分，考试时间为 60 分钟.2.试题类型：填空题、单选题和解答题(1)填空题每小题 4 分， 5 小题，共 20 分.(2)单选题每小题 4 分， 12 小题，共 48 分.(3)解答题第 1 小题 10 分，第 2-3 小题各 11 分，共 32 分.(一)知识要求知识是指《普通高中数学课程标准 (实验) 》所规定的必修课程的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。

对知识的要求由低到高分为三个层次，挨次是知道 (了解、摹仿) 、理解 (独立操作)、掌握(运用、迁移)，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。

知道(了解、摹仿)：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样摹仿，并能(或者会)在有关的问题中识别和认识它。

这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别、摹仿，会求、会解等。

理解(独立操作)：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，猜测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。

掌握(运用、迁移)：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。

(二)能力目标能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试 数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M =*x |x >−1+,N =*x|x 2>1+,则M ∩N =（ ）A.*x|x >−1+B. *x|x >−1+或*x|x >1+C. *x|x >1+D. *x|−1<x <1+2.已知向量a ⃗=（1，2），b ⃗⃗=（1，-3），则|3a ⃗+b⃗⃗|=（ ） A.5 B.4 C.3 D.√53.点（1，-1）到直线x −2y −8=0的距离是（ ）A.5B. √5C.√55D.154.已知α=2kπ+π2(k ∈Z )，则tan α2=（ ） A.-1 B.−√22 C. √22 D.1 5.若2x+5>14，则x 的取值范围是（ ）A.（-7,+∞）B.（7,+∞）C.（-3,+∞）D.（3,+∞）6.已知圆锥的母线长为4，底面周长为2π，该圆锥的表面积是（ ）A. 4πB. 5πC. 8πD. 9π7.从1,2,3,4,5这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） A .34 B. 35C . 12 D. 25 8.记等差数列*a n +的前n 项和为S n ，若a 5+a 6+a 7=15，则S 11=（ ）A.110B.80C.55D.309.若方程x 2+y 2+4ax −2y +5a =0表示的曲线是圆，则a 的取值范围是（ ）A.（14,1）B. （−1,−14）C.（ −∞，14 ）∪（1，+∞）D. （ −∞，−1 ）∪（−14，+∞）10.函数f (x )=sin x cos x +cos 2x 的最大值是 （ ）A.√22B.1+√22C. √2D.1+√2二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.11.(1+2x )7的展开式中的系数是_________.(用数字作答)12.双曲线x 24−y 2=1的离心率是_________.13.已知*a n +是各项均为正数的等比数列，且a 3，3a 2，a 4，成等差数列，则的公比为14.在ΔABC 中，AC =2，BC =3，AB =4，则cos∠ACB =_________.15.已知二次函数f (x )=ax 2−3a 2x −1，若f (x )在(1,+∞)单调递增，则a 的取值范围是_________.16.已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，点P 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，且点P到直线AB的距离是3，则ΔPAC的面积为_________.三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【学子之家精品店出品haiwang103】17.（18分）已知ΔABC的内角A,B,C成等差数列.（1）求B；（2）求sinA+√3cos A的最大值.18.（18分）已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，焦距为4.（1）求C的方程（2）过点（-3，0）且斜率k的直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，当AO⊥BO时，求k的值。

数学考试旨在测试学生的数学基础知识、基本技能、基本方法、运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识、思想和方法，分析问题和解决问题的能力。

考试内容为代数、三角、平面解析几何、立体几何、概率与统计初步五个部分。

考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：基本技能：掌握计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能。

基本方法：掌握待定系数法、配方法、坐标法。

运算能力：理解算理，会根据概念、定义、定理、法则、公式进行正确计算和变形；能分析条件，寻求合理、简捷的运算方法。

数学思维能力：能依据所学的数学知识，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题有条理地进行思考、判断、推理和求解，并能够准确、清晰、有条理地进行表述；针对不同的问题(或需求)，会选择合适的模型 (模式) 。

空间想象能力：能依据文字、语言描述，或较简单的几何体及其组合想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或根据条件画出正确图形，并能对图形进行分解、组合、变形。

分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、数学思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。

1.集合集合的概念，集合的表示法，集合之间的关系，集合的基本运算。

要求：( 1 ) 理解集合的概念，掌握集合的表示法，掌握集合之间的关系 (子集、真子集、相等) ，掌握集合的交、并、补运算。

( 2 )理解符号 =、茫、、、、、、、∩、∪、U A、、一的含义，并能用这些符号表示集合与集合、元素与集合、命题与命题之间的关系。

2.方程与不等式配方法，一元二次方程的解法，实数的大小，不等式的性质，区间，含有绝对值的不等式的解法，一元二次不等式的解法。

要求：( 1 )掌握配方法，会用配方法解决有关问题。

( 2 )会解一元二次方程。

( 3 )掌握不等式的性质。

( 4 )会解一元一次不等式(组) ，会用区间表示不等式的解集。

(完整版)体育单招：数学考试大纲
体育单招:数学考试大纲
体育单招数学考试主要内容为代数、几何、解析几何三个分科，起考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求有一下内容：
(一）。

考试知识要求
对知识的要求由低到高分为三各层次：了解、理解和掌握、灵活和综合应用。

1、了解:要求对所学只是内容有初步的了解、感性认识，知道内容是什么,并在相关的问题中识别它。

2、理解和掌握：要求对所学只是有较深刻的掌握、能够推理、变形和推断，并能利用只是解决有关问题.
3、灵活和综合运用:要求系统地掌握只是的内在联系，能运用只是解决和分析教复杂的问题。

（二).考试内容
1、平面向量考试内容:向量、向量的加减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示，线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点的距离、平移
2、集合，简易逻辑考试内容：集合、子集、交集、补集、交集、并集
3、函数，映射、函数的单调性、奇偶性，反函数及图像关系，对数的运算、对数函数
4、不等式的基本性质、证明、解法，含绝对值的不等式
5、三角函数，单位圆中的三角函数、正余弦函数、正切函数及其图像，正弦定理、余弦定理。

6、数列:等差、等比数列及其通向公式，前N项和公式
7、直线和圆的方程，直线的倾斜角和斜率，点斜式和两点式、一般式平行线与垂直的关系，点到线的距离。

8、圆锥曲线方程：椭圆的几何性质和参数方程，双曲线、抛物线的标准方程和基本性质。

9、直线、平面、简单几何体，直线和平面的判定，距离,三垂线定理。

10、排列组合:排列、数列数公式,组合、组合数公式，二项式定理展开式。

11、概率，随机事件的概率、可能性事件的概率。

体育单招教材数学电子版1、二元一次方程组(1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

(3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

(4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

2、不等式与不等式组(1）不等式：①用符不等号(>、≠、<〉连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同个负数，不等号方向相反。

(2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

(3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

(4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个-元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。

3、函数(1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

(2）一次函数：①若两个变量y ,x间的关系式可以表示成y = kx+b (b为常数，k不等﹐于0）的形式，则称y是x的一次函数。

②当b=0时，称y是x的正比例函数。

(3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=k x的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k <0，b<o，则经2、3、4象限;当k <0，b >0时，则经1、2、4象限：当k >0，b<0时，则经1、3、4象限;当k >0，b >0时，则经1、2、3象限。

第一章 集合和简易逻辑第—节 集合〔1〕理解集合的概念。

〔2〕能正确判定元素与集合的关系，正确使用符号“∈〞“∉〞理解集合中元素的性质。

〔3〕熟记几种常见的集合。

〔4〕掌握集合的表示方法。

〔5〕理解空集、子集、真子集、集合相等之间的关系。

〔6〕掌用符号表示集合与集合之间的关系〔7〕理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的交、并、补运算方法〔单招考试重点知识〕。

〔8〕能熟练运用数轴和韦恩图进行集合的交、并、补运算单招感想集合是每次单招考试的必考内容。

本考点概念性强，考题一般以选择题形式出现，难度不大。

要把握元素与集合，集合与集合之间的关系。

弄清楚有关的术语和符号，特别要把集合中元素的属性分析清楚，该知识点为送分题。

请大家平常复习时把握几个集合符号并能理解符号的意思就可以。

第二节 简易逻辑理解命题的条件和结论，必要条件、充分条件、充要条件以及等价的意义。

第二章 不等式第—节 不等式概念〔1〕理解不等式的根本性质。

〔2〕掌握区间的概念。

〔3〕掌握一元二次不等式的解法。

〔单招考试重点考察知识点〕〔4〕理解绝对值的几何意义〔5〕掌握含绝对值不等式的根本思想和解法。

〔6〕了解含绝对值的不等式)0(><+c c b ax 的解法。

单招解读这个知识点在单招考试中每年都会涉及到。

考试难度不大，其中一元二次不等式及其解法是重点，请同学们在复习的时候注意。

第二节 绝对值不等式的解〔1〕理解绝对值不等式的集合意义。

〔2〕掌握解答含有绝对值不等式的根本思想和解法。

单招感想〔以一元二次不等式为主〕的解不等式常以选择题形式出现在单招考试中，且屡次与集合一起考查考生。

解答绝对值的不等式的关键在于去绝对值，将其转化为整式或分式不等式：假设不等式中含有两个或者两个以上绝对值符号，则可用区间分析法商量求解。

第三节 简单的线性规划〔1〕了解现实世界和一般生活中的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景。

〔2〕会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

2023版体育单招考试大纲
2023版体育单招考试大纲分为语文、数学、英语、政治四个科目，每科满分为150分。

其中，语文考试内容及范围主要包括语言知识和语言表达，考生应基本能够识记现代汉语普通话的字音，掌握一般的语言表达技能。

数学考试内容及范围主要包括数学基础知识，如代数、几何、概率统计等。

英语考试内容及范围主要包括英语基础知识，如词汇、语法、阅读理解等。

政治考试内容及范围主要包括政治学科基础知识，如马克思主义哲学、中国特色社会主义理论体系等。

考生需要注意，考试大纲只是对考试内容及范围进行了大致的描述，具体的考试题型和难度可能会有所不同。

因此，考生应该根据具体的考试要求和题型进行备考，以便更好地应对考试。

同时，考生还需要注意加强身体素质的锻炼，提高自己的体能水平，为顺利通过体育单招考试打下坚实的基础。

2015 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招统一招生考试数学一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分；在每小题给出地四个选项中，只 有一项为符合题目要求地，请将所选答案地字母在答题卡上涂黑72A { x | 0 x , x N} ，则 1、若集合 地元素共有（ ）A A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 无穷多个D. 222、圆 x y2y 7 0 地半径为（）6C. 2 2A. 9B. 8D. 3、下列函数中地减函数为 （）xxee 232yxy 2x x sin xA. y | x |yB.C.D. 2f (x) 2x x 4、函数 地值域为（）(,1) (1,) [0, 2][0, 1] A. B. C. D . y 3 sin 4 x 3 cos4x 地最小正周期与最小值分别为 5、函数 （）32 332 3与与D . A.与与B.C.22ABC BC 4 ， AC 4 3 ，则 B为钝角三角形， A 30 6.已知 ， （）A. 135B. 120C. 60D. 30l ， m ，平面 7.设直线 ， ，有下列 4 个命题：①若 l ， m ，则 l // m ②若 l // ， m // ，则 l // m ③若 l， l//m//m ////，则 ④若 ， ，则 其中，真命题为 （）A . ①③8.从 5 名新队员中选出 165 种 ②③①④D. ②④B. C. 2 人， 6 名老队员中选出 B. 120 种1 人，组成训练小组，则不同地组成方案共有（ ）C. 75 种D. 60 种2 2x ay b3 ，则此双曲线地离心率为地一条渐近线地斜率为 （）1 9、双曲线222 3 3A.B.C. 2D. 43x2x 2 x 0 时， f ( x)ln( x1 ) ，则当 x 0 时， f ( x) f ( x) 为奇函数，当 10、已知 （ ）2222x ln( x 1 x ) x ln( x 1 x ) A ． B. 2222xln( x1 x )xln( x1 x )C.D.二、填空题 : 本大题共 6 小题，每小题6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上；1 x2 x 3地解集为；0 11、不等式3 ，则该椭圆地标准方程为5( 3,0) ，(3,0) ，离心率为 ；12、若椭圆地焦点为 tan 213、已知 tan() 3 ， tan() 5 ，则 ；2 3a ，b 满足， 2 ， a b 14、若向量 | a | 1 ， | b | ，则 cos a, b ；4 315、 (2x1) 地展开式中 x 地系数为；(2a2log 1) log (3a) 0 ，则 a 地取值范围为；16、若 0 a 1 ，且 a a 三、解答题 : 本大题共 3 小题，共 54 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．3 417、某校组织跳远达标测验， 已知甲同学每次达标地概率为 .他测验时跳了 4 次，设各次为否达标相互独立 .（Ⅰ）求甲恰有 3 次达标地概率； （Ⅱ）求甲至少有 1 次不达标地概率； （用分数作答） 2x4y ，直线 l ： 18、已知抛物线 C ： x y m 0 ；与l m1 ；（ 1）证明： C 有两个交点地充分必要条件为 m 1，C 与 l y 轴于点 GAB （ 2）设 有两个交点 A ，B ，线段 地垂直平分线交 G ，求 面积地取值范AB 围；1CD 2P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， AB // CD ，且 AB19、如图，四棱锥 ， ADC 90 .PA 平面 ABCD PD M ， 为 地中点；P（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； （ 2）设 PAAD 2 AB ，求 PC 与平面 ABCD 所成角地正弦值MBCAD绝密★ 启用前2015 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学试题参考答案与评分参考评分说明：1．本解答指出了每题要考查地主要知识与能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生 地解法与本解答不同，可根据试题地主要考查内容比照评分标准制订相应地评分细则，2．对计算题，当考生地解答在某一步出现错误时，如果后继部分地解答未改变该题地内容与 难度，可视影响地程度决定后继部分地给分，但不得超过该部分正确解答应得分效地一半： 如果后继部分地解答有较严重地错误，就不再给分．3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得地累加分数． 4．只给整数分数，选择题与填空题不给中间分．选择题：本题考查基本知识与基本运算．每小题6 分，满分 60 分．( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) B （ 4） D （ 5） D( 6 ) B ( 7 ) A ( 8 ) D ( 9 ) C （ 10） A 1、考点：自然数概念，集合元素个数求法，集合地表示法－－描述法与列举法7 , x 2解：∵集合 A { x | 0 x N}={ 1,2,3} ，∴ A 地元素共有 3 个；选 B2、考点：圆半径求法 x2y2x2 （ y+1）22 y7 0 变形为 8 ，所以半径为 解：将圆方程 2 2 ，选 C. a)2b)2r 2地圆心为（ a ， b ），半径为 说明：圆方程( x ( y r3、考点：函数地单调性 x x x x 0解： A.y | x|当 x 0, y x 为增函数，当 x 0, y x 为减函数，不符合题意；3y x 为减函数符合题意；所以选B.B3x 地定义域为 说明：用函数单调性地定义判断：∵ 为任意两个实数，且 x x ，yx R ，∴设 x 1 , x 2 1 2 3333 3则△ xx 2 x 1 0 ，△ y ( x 2 ) ( x 1 )x1x20 ，所以 y x 在定义域内为减函数；4、考点：根式函数地定义域与值域地求法，一元二次不等式地解法，二次函数最大值求法； 2x解：由平方根地定义知(2 x ）x 0 x 2 ，当 x 0 ， x 2 时， 2 x 0 ，即 0 ，解得 y 0 ，当 2( x 1) 0 x 2 时 y1 地最大值为 1，22所以函数 f ( x)2 x x( x 1)1 地值域为 [ 0,1] 选 D.5、考点：三角函数最小正周期与最小值，三角函数加法公式解：用辅助角公式：a a2b a2b a2222a sin xb cos x ab (sin x cos x) ab sin( x) （ tan）b2b23 33因为y 3sin 4x 3cos 4x 2 3( sin 4x cos4 x)2231= 2 3( sin 4 x232224 cos 4x) = 2 3 sin(4 x ) ，T322 3所以函数y 3sin 4 x 3cos4 x 地最小正周期为、最小值为；故选 D26、考点：正弦定理与钝角三角形地概念解：∵已知ABC 为钝角三角形，BC 4 ，AC 4 3 ，A 30 ，4 sin 30 4332∴由正弦定理得，sin B ，0sin B000∴B 120 B 60 B 60 ABC（不符合题意，当时变为直角三角形，故舍去）选 B l，m，平面7.设直线，，有下列 4 个命题：①若l ，m l // m l // ，m // ，则l // m，则②若③若l ，l // m// m // //，则④若，，则其中，真命题为（）A. ①③②③①④ D. ②④B. C.考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面地位置关系；l m，则l // m 正确，垂直于同一平面地两直线平行；解：①若，l、m 可能平行、相交、异面，故结论错误，②若l // ，m // ，则l // m 错误，l，l //③若，则正确，垂直于同一直线地两平面平行；④若m// ，m// //，则错误，平行于同一直线地两平面可能平行、相交，故结论错误，因此①③正确，故选 A8.从5 名新队员中选出 2 人，6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，则不同地组成方案共有（）A.165 种考点：组合数，乘法原理B. 120 种C. 75 种D. 60 种解：因为从 5 名新队员中选出 2 人，6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，只有同时选出任务才算完成，542 1故用乘法原理，C5C6 660 （种），故选 D2x2 y2 3 ，则此双曲线地离心率为1地一条渐近线地斜率为（）9.双曲线22a b23B. 3A. C. 2 D. 43考点：双曲线渐近线方程地斜率，双曲线地离心率22x y b x ab a1 地一条渐近线方程为3 ，即解：双曲线y 3 ，双曲线地离心率为，其斜率为a2 b222c aabab 2 e1 ( ) a= 1 3 2 ，选 C 2x2x ) ，则当 x 0 时， x 0 时， 10.已知 f ( x) 为奇函数，当 f (x) ln( x1 f ( x) （ ）x 21 x 2) x 2x 2 ln( x ln( x 1 ) A ． B. x2 x 2x2x 2)ln( x1 )ln( x1 C.D.考点：奇函数性质，对数函数地运算x2x2解：∵ f ( x) 为奇函数，当 x 0 时， f ( x ) ln( x1) 且当 x 0 时 x 0222[ x2x )][( x)ln( x1 ( x) )] = ∴ f (x)f ( x) = ln( x1 22ln( (x 1 x )( x21 xx x))1 2xx2x2ln() 1 1 xx2x21= x2x 2) ，选 ln( 1 x) ln( x 1 A二．填空题：本题考查基本知识与基本运算．每小题6 分，满分 36 分．1 2 x 12地解集为 0 { x | 3 x } ；11、不等式x 3 考点：分式不等式1 2x 00 1 x 2x 3 00 1}2解：原不等式等价于或 解得 { x | 3 x x 3 x 2 25 y 2163 5，则该椭圆地标准方程为( 3,0) ， (3,0) ，离心率为1 ；12、若椭圆地焦点为 考点：椭圆地标准方程，椭圆地离心率3 5解：∵椭圆地焦点为 ( 3,0) ， (3,0) ，离心率为x 2y 23 5c ac 3， e∴设椭圆地标准方程为 1 (a b 0) ，由题知 ，22 a b∴ a5 ， b22a2c25 9 16 ，x 225 y 216∴该椭圆地标准方程为 1 ；4 7tan 213、已知 tan( ) 3 ， tan( ) 5 ，则 ；考点：正切函数加法公式 解：∵已知 tan() 3 ， tan( ) 5 tan( ) tan( ) tan( ) )3 54 7tan 2 tan[() ()]∴ 1 tan(1 3 52 ，则 31 3 a ， b 满足， | a | 1 ， | b |2 ， a bcos a, b14、若向量 ；考点：向量夹角公式2 3解：∵向量 a ， b 满足， 2 ，a b | a | 1 ， | b | ，2 3 2a b | a | | b | 1 3∴ cosa, b1 4315、 (2x 1) 地展开式中 32 x 地系数为 ；考点：二项式展开式及通项公式 r 4 r rrr 4 r 4 r解：由通项公式得 T r C 4(2x) ( 1)( 1) C 42x1 4(2 x 1) 地展开式中 3x 1 4 1 ∴当 r1 时，满足题意，故 地系数为 ( 1)C 23241 12log a (2a 1) log a (3a) 0 ，则 a 地取值范围为 0 a 1，且 ；( , ) 3 216、若 考点：对数函数地性质 解：∵ 0 a 1∴ f ( x )log a x 在定义域上为减函数2∵ log a (2a1) log a (3a) 0 log a 113 12 ( 1 , 1) 3 222a∴ a 地取值范围为 1 3a 1 ，解得 x，即 2a23a 1 13a (1)2a22a 2（不等式 解（ 1） 1 3a 1 等价于3a 1 0 ， (2 a 1)(a 1) 0 解(2)12 12）得 a，所以 3 1 1( , ) 3 2得 ） a 或 a 1 ，解（ a 地取值范围为 三．解答题：17.考点： n 重贝努力实验3 3 33 4 27 64 解：（Ⅰ）甲恰有 3 次达标地概率为 C 4( ) (14 3 41 ( ))9 分 175 256（Ⅱ）甲至少有 1 次不达标地概率为 18 分418.考点：直线与曲线有交点地判别法，根与系数地关系，中点坐标地求法，两点间距离公式，点到直线地 距离公式，求直线方程，三角形面积地计算及取值范围地确定； 2x4 ym 0解：（Ⅰ） C 与 l 地交点（ x ， y ）满足x y x2由第二个方程得 y m x ，代入第一个方程得4 x 4m 0① 4 分= 42△>0方程①地判别式△ 4( 4m) 16 16m 16(1 m)m1 ，故命题得证；C 与 l 有两交点8 分（Ⅱ）设 C 与 l 地交点 A( x 1 , y 1) B( x 2 , y 2 ) ，则 x 1, x 2 满足方程① x 1 x 24 ， x 1 x 24m，所以 22222(x 1 x 2 )( x 1 x 2 )4x 1 x 2 16(m 1)， ( y 1 y 2 )[( x 1 m) ( x 2 m)] = ( x 1 x 2 )222∴ x 2 ) = 4 2(m 1) ，AB( x 1 x 2 )( y 1y 2 )2( x 1 分12 y 1 y 2( x 1 x 2 ) 2m 4 2mx 1x 2 y 1 y 2Q 2,m 2 ，即 Q(, ) AB 中点 2 2AB 垂直地直线方程为 x y m 4 0 ， 过 Q 与 它与 y 轴地交点 G(0, m 4) 到直线 l 地距离0 m 4 md2 2 ，212所以 GAB 地面积 S ΔGAB d AB 8 m 11 m 1 ，所以 08 2 ，故 (0,8 2) 因为 S S GAB 地取值范围为 ；18 分GAB1CD 2P ABCD ABCD AB // CD AB ADC 90 19.如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，且 ， .PA 平面 ABCD 为 PD 地中点；， M P（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； M（ 2）设 PAAD 2 AB ，求 PC ABCD 所成角地正弦值与平面 19.考点：线面平行，线面所成地角BC1 MN / / CD ，2A解：（Ⅰ）取 PC 中点 N ，连接 BN 、 MN ；因为 1CD 由已知 AB ∥ AB MN ABNM ，所以 ∥ ，故四边形 为平行四边形；2DAM ∥ BN ， BN 平面 PBC ， AM 平面 PBC ，所以 AM ∥ PBC ；10 分（Ⅱ）设 PA ADa ，则 CD =2 AB = a ，连接 AC AC 为 PC 在平面 ABCD PCA 为；则 上地射影，PC 与平面 ABCD 所成地角；2AD 2CD2a 2a∵ PAC2a N2222PC所以PAAC a2a3aMCPA PCa 3a3 3Bsin PCA18 分AD19 题图。

体育单招数学大纲《我眼中的体育单招数学大纲》嗨，大家好！我是一个热爱体育又对单招数学大纲有些小见解的小学生呢。

你们可能会想，一个小学生懂啥体育单招数学大纲呀？嘿嘿，先别急着否定我，听我慢慢道来。

在我们学校啊，有个大哥哥，他就是准备走体育单招的路。

他呀，每天又要训练，又要学习数学，可忙乎了。

我就好奇呀，他学的数学和我们平时学的有啥不一样呢？于是，我就缠着他给我讲讲体育单招数学大纲的事儿。

体育单招的数学大纲啊，就像是一个神秘的宝藏地图。

它里面涵盖了好多数学知识呢。

这里面有函数，函数就像一个神奇的魔法盒。

你给它一个输入，它就会按照自己的规则给你一个输出。

比如说，一次函数就像一条笔直的大道，它的表达式就像大道的规则，x是你在大道上走的距离，y就是你走到那个位置看到的风景。

那二次函数呢，可就有趣多啦，它就像一座小山丘，有最高点或者最低点。

大哥哥说，在体育单招数学里，理解这些函数的性质，就像运动员理解比赛规则一样重要。

再说说数列吧。

数列就像一群排着队的小士兵。

有等差数列，那就是小士兵们按照固定的步伐在前进呢，这个固定的步伐就是公差。

等比数列就更酷了，就像小士兵们按照一定的倍数在变大或者变小，这个倍数就是公比。

大哥哥告诉我，在解决数列问题的时候，就像是在指挥这些小士兵做各种排列组合。

我就想啊，如果我是指挥官，我能指挥好这些数列小士兵吗？还有几何部分呢。

三角形啊，就像一个坚固的小帐篷。

直角三角形最特别啦，它的勾股定理就像帐篷的骨架，三条边按照这个定理紧紧地连接在一起。

四边形呢，就像一个多功能的场地。

长方形规规矩矩的，就像标准的操场跑道；平行四边形呢，有点调皮，它的对边平行且相等，就像两个小伙伴手拉手永远平行地走。

大哥哥说在体育单招里，几何知识可有用啦，有时候要计算场地的面积或者角度，都离不开这些知识。

大哥哥还说，概率也是大纲里的一部分。

概率就像抽奖一样。

比如说扔硬币，正面朝上和反面朝上的概率就像是两个选手在比赛，各有一半的机会获胜。