中考数学复习 利用辅助圆求解动点最值问题

5初中数学最值系列之辅助圆教案教学目标：1.熟练掌握辅助圆在数学中的概念和性质；2.能够运用辅助圆解决初中数学中的最值问题；3.培养学生观察问题、提出问题和解决问题的能力。

教学重难点：1.学习掌握辅助圆在求解最值问题中的应用方法；2.培养学生运用辅助圆解决问题的思维能力。

教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔和辅助圆的相关课件；2.提前准备好一些与辅助圆相关的练习题。

教学过程：一、引入新知1.教师简单介绍辅助圆的概念和作用，提出辅助圆在数学中的应用意义。

2.教师通过示意图向学生展示辅助圆的基本构造，帮助学生理解辅助圆的含义和作用。

二、辅助圆的性质1.教师向学生介绍辅助圆的性质，如辅助圆的半径等于问题中的其中一边的一半，辅助圆上的弦等于问题中的其中一边等等。

2.教师通过具体例子向学生展示辅助圆的性质，在黑板上进行解释和分析。

三、辅助圆在求解最值问题中的应用1.教师给学生出几个最值问题，如一张长方形纸片的四个角各剪去一块正方形纸片，求剩下的纸片所能构成的最大面积。

2.教师引导学生观察问题，提出问题，并运用辅助圆解决问题。

3.学生们根据教师的引导，利用辅助圆来求解最值问题。

四、练习巩固1.教师提供一些与辅助圆相关的练习题，让学生独立解答并进行讨论。

2.学生们互相交流，共同解决练习题，教师及时给予指导和帮助。

3.教师对学生的答题情况进行点评和总结，对错误的解答进行纠正和解释。

五、拓展思考1.教师鼓励学生进一步思考，提出一个新的问题，如圆的直径与圆的面积有何关系？2.学生们积极思考，讨论并提出自己的见解。

3.学生们将自己的思考结果与其他同学进行分享和讨论。

六、课堂总结1.教师帮助学生总结今天学到的知识和方法，强调辅助圆在求解最值问题中的重要作用。

2.学生们对今天的学习进行总结，并主动回答教师提出的问题，巩固所学知识。

七、作业布置1.教师布置一些与辅助圆相关的作业，例如写一篇关于辅助圆在求解最值问题中的应用方法的小短文。

辅助圆与最值问题辅助圆与最值问题一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内所有到定点距离相等的点构成的集合叫做圆。

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终相等，则其轨迹是圆。

例1：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是4.练：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△___沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是1.二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是180°。

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧。

基本图形：例2.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD 上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为1.练.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点，以CD为直径，作AD交圆O于点E，连BE，则BE的最小值为2.三、定边对等角圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对角都相等。

基本图形：∠P=30°∠P=45°∠P=60°∠P=135°例3：如图，在圆O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在的直线经过点D，若圆O的半径等于1，则OC的长不可能为2-3.练(19年中考题)：如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是1:2.检测题：D1.给定扇形OAB，圆心角为120°，半径为4.设P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△___的外心。

模型介绍【点睛1】触发隐圆模型的条件（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P 运动轨迹为过A 、B 、C 三点的圆备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等则A 、B 、C 、P 四点共圆备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点（1）求CM 最小值与最大值（2）求线段AB 扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高例题精讲考点一：定点定长构造隐圆【例1】．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为．解：∵AB ＝AC ＝AD ，∴B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD ＝2∠CBD ，∠BAC ＝2∠BDC ，∵∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°．故答案为：88°变式训练【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．B ．C ．D ．解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴＝，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2+2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝＝．故选：B ．【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝，∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案为：1+2．考点二：定弦定角构造隐圆【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：+1，∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．变式训练【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP 最短，则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，过P′作P′E⊥CD于点E，则P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案为：2．【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为．解：如图，以AB为直径作圆H，∵∠AEB＝90°，∴点E在这个⊙H上，延长DC至P，使CD＝PC，连接BE，EH，PH，过H作HM⊥CD于M，∵EF＝DF，CD＝PC，∴CF＝PE，Rt△AEB中，∵H是AB的中点，∴EH＝AB＝2，Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，∵PE≤EH+PH＝2+2，当P，E，H三点共线时，PE最大，CF最大，∴CF的最大值是+1考点三：对角互补构造隐圆【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四边形EFCB对角互补，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝变式训练【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF＝，∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．∴DE的最小值为．【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为．解：如图∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，∵DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADO＝90°，∴∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴四边形ABEO对角互补，∴A、B、E、O四点共圆，取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．则KB＝AK＝KE＝OK，∵BA＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝EC＝1，∴DF＝EC＝FC＝1，∴DE＝＝，∵△DFO∽△DEC，∴＝＝，∴＝＝，∴OD＝，OF＝，∵•DO•OF＝•DF•OM，∴OM＝，∴MF＝＝，∴CM＝1+＝，在Rt△OMC中，OC＝＝，故答案为．实战演练1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）A．（5，0）B．（2，0）C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴AC′＝5，AC＝5，∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C 重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14C．16D．14解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，∵∠AQB+∠ACB＝180°，∴点A、C、B、Q共圆，∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，∴BH＝CH＝3，在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，∴CQ＝7，当点C、Q、O共线时，OC最大，∴OC的最大值为OQ+CQ＝5+7＝12，故选：A．5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案为：88°．6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为．解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），则（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为2．解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB＝6，∴OB＝3，∵BC＝4，∴由勾股定理得：OC＝5，∴CP＝5﹣3＝2，故答案为：2．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠C＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，∵tan∠AFB＝＝，作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，∴tan∠AOE＝，∴OE＝4，OA＝＝，∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），∴+BC的最大值为×＝4．故答案为：．9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为2．10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为．解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即线段DP的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．11．如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，△DBC 的面积为8，则BC 长为．解：如图，作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ，取CD 的中点O ，连接OA ，OB ．∵DH ⊥BH ，∴∠DHC ＝90°，∴四边形DACH 对角互补，∴A ，C ，H ，D 四点共圆，∵∠DAC ＝90°，CO ＝OD ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OH ，∴A ，C ，H ，D 四点在以O 为圆心的圆上，∵AC ＝AD ，∴∠CHA ＝∠AHD ＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A 作AM ⊥DH 于M ，过点A 作AN ⊥BH 于N ，证明△AMD ≌△ANC ，推出AM ＝AN ，推出AH 平分∠MHN 即可）∵∠ABC ＝45°，∴∠BAH ＝90°，∴BA ＝AH ，∵∠BAH ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠HAD ，∵AC ＝AD ，AB ＝AH ，∴△BAC ≌△HAD （SAS ），∴BC ＝DH ，∴S △BCD ＝×BC ×DH ＝×BC 2＝16，∴BC ＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC，∴四边形AECD对角互补，∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．过点A作AM⊥DE于M点，则AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案为2．13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是．解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．∵四边形ACD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴四边形AFED对角互补，∴A，F，E，D四点共圆，∵DK＝KF，∴KA＝KD＝KF＝KE，∴∠DFE＝∠DAE＝45°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴DE＝EF，∵AF＝2，AD＝6，∴DF＝＝2，∴DE＝DF＝2，∵AF∥CD，∴＝＝，∴FG＝FM＝，∴GM＝FM＝，∴FH＝GH＝HM＝，∵EF⊥GM，∴GH＝HM＝，∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，∵MH∥DE，∴＝＝＝，∴EN＝EH＝，＝•EN•MH＝••＝．∴S△ENM故答案为．14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵点F是AB的中点，∴AF＝CD，∴，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝4，∴FM＝FG＝；∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD+∠DEF＝180°，∴点A，D，E，F四点共圆，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴DE＝EF＝DF＝2，连接GM，交EF于P，由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∴，∴PF＝EF＝，∴PE＝EF﹣PF＝，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，∴，∴，∴EN＝PE＝，在Rt△DEN中，，故答案为：；．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．（1）求证：AP⊥BP；（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．（1）证明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP；（2）解：如图，∵AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，当P，Q，E三点共线，且点P在EQ的延长线上时，PQ最小，∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4，∵E是AB的中点，Q是OA的中点，∴QE＝OB＝2，∵PE是圆E的半径，∴PE＝AB＝2，∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，∴PQ的最小值为2﹣2．17．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ 的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝6，C（0，6），∵A（﹣2，0），B（6，0），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），当x＝0时，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴顶点D的坐标为（2，8）；（2）由（1）知，C（0，6），设直线BC的表达式为y＝kx+t，将点B、C的坐标代入得6k+t＝0，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6；如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H，连接PB，PC，设P（x，﹣x2+2x+6），则H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，∵△PBC的面积为12，∴OB•PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，∴点P的坐标为（2，8）或（4，6）；（3）如图，取点E（5.5，0），∴BE＝0.5，∵AB＝8，BQ＝2，∴AB：BQ＝4：1，∵BE＝0.5，BQ＝2，∴BQ：BE＝4：1，∵∠ABQ＝∠QBE，∴△ABQ∽△QBE，∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，∴DQ+AQ＝DQ+QE，由两点间线段最短可知，当点D，Q，E三点共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，∴DE＝＝．即DQ+AQ的最小值为：．19．模型分析如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：连接OA；第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？结论：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC 的面积最小．证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？模型分析：证明：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，作OE⊥BC于E，设⊙O的半径为r，AD＝h，∴BC＝2BE＝2CE，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵OB＝OC，∴∠BOE＝∠BOC＝α，∴OE＝OB•cosα＝r•cosα，∵OA+OE≥AD，∴r+r•cosα≥h，∴r≥，∵BE＝OB•sinα＝r•sinα，∴BC＝2BE＝2r•sinα，∴当r最小时，BC最小，∴当r＝时，BC＝；最小自主探究：解：如图2，延长CB知E，使BE＝AB，延长BC至F，使CF＝AC，∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，作△AEF的外接圆O，作OH⊥EF于H，连接OA，OE，OF，在优弧EF上任取一点G （不在E和点F处），连接EG，FG，∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，∴OH＝r•sin，EF＝2EH＝2r•cos，∵OH+AD≤OA，∴r•sin+h≤r，∴（1﹣sin）r≥h，∴r≥，∴r＝，最小∴EF＝，最小∴△ABC的周长最小值为：．20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．解：（1）∵OA＝2OC＝4，∴A（4，0），C（0，2），将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，EF的最大值为2；（3）∵t＝2，∴E（2，3），F（2，1），设G（x，0），作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），∵MC＝MF＝r，∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，解得x＝4﹣，∴G（4﹣，0）．。

二次函数辅助圆求最值问题在学习二次函数时，我们经常会遇到求二次函数的最值问题。

这个问题对于很多学生来说是比较难的，特别是涉及到辅助圆的时候，更是让很多人感到头疼。

本文将讲解什么是二次函数辅助圆、如何利用二次函数辅助圆求最值以及一些需要注意的细节问题。

一、什么是二次函数辅助圆二次函数辅助圆，指的是二次函数图像与以函数自变量为横坐标，因变量为纵坐标的圆的交点。

在求最值问题中，通过分析二次函数与辅助圆的位置关系，我们可以方便地得到二次函数的最值。

因此，二次函数辅助圆也被称为“最值辅助圆”。

通常情况下，对于一般的二次函数y=ax2+bx+c，我们可以将其标准化为y=a(x-h)2+k的形式，其中h=-b/2a，k=c-ah2。

利用这个标准形式，我们可以将二次函数的最值问题转化为求解辅助圆与坐标轴和直线x=h的交点，从而求解得到最值。

二、如何利用二次函数辅助圆求最值下面以一个具体的例子来说明如何利用二次函数辅助圆求最值：求函数y=2x2-4x+1的最小值。

1.标准化二次函数首先将二次函数y=2x2-4x+1标准化为y=2(x-1)2-1的形式，这里h=1，k=-1。

2.画出辅助圆以点(h,k)为圆心，k的绝对值为半径，画出辅助圆。

3.求解交点将辅助圆与x轴、y轴和直线x=1求交点：与x轴交点为(0，1)，(2，1)；与y轴交点为(1，0)；与直线x=1交点为(1，-1)。

4.分析位置关系将二次函数图像与辅助圆的位置关系分为以下两种情况：情况一：二次函数与辅助圆的交点在y轴上，即h=0。

情况二：二次函数与辅助圆的交点在x轴上，即k=0。

对于这个例子，由于h=1不等于0且k=-1小于0，因此属于情况一。

在这种情况下，二次函数的最小值为辅助圆和二次函数的交点中y 值最小的点的纵坐标。

根据上面求出的交点，得到交点(2，1)和(0，1)处的函数值分别为5和1。

因此，二次函数y=2x2-4x+1的最小值为1，此时x=0。

辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。

二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

圆的最值问题知识储备最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变得简单了，比如：如右图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．类型一已知圆轨迹类典例分析【例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线L不经过点C，则AB的最小值为．【例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B． C．3 D．2【练习】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．194B ．245C ．5 D ．2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．3. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则线段MN 长的最大值为（ ）A. 5B. 25C. 25D.225类型二 由定义构造辅助圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧． 常见题型：折叠问题 【确定圆心半径的方法】 ①圆心:折痕中的定点;②半径:与定点(圆心)相连的(定)等长线段.典例分析【例2.1】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 ．【例2.2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。