数学物理方法1-1

存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin

z (cos i sin )
z e
i

指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e

表示到点2i和到 两点距离相 表示到点 和到-2两点距离相 和到 等点的轨迹。 等点的轨迹。既过原点的直线
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数

数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。

数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。

本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。

一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。

它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。

通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。

1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。

在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。

1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。

通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。

1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。

通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。

1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。

在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。

1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。

复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。

二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。

下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。

2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。

数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。

u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简