人教版九年级下册数学26.1.2《反比例函数的图象和性质》说课教学设计(全国一等奖)

人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。

本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。

通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。

同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。

三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。

3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数图象的绘制和分析。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。

六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。

让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。

同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。

操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。

教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。

通过对上节课的学习回顾，做好本节微课学习的知识准备，有利于学生顺利推进学习进程。
环节2：对比思考（对比一次函数的图象性质增减性的学习，结合反比例函数的图象，初步描述反比例函数图象的增减性）
【解说词】我们在学习一次函数的时候就知道，系数k不仅会影响函数图象的分布，还会影响到图象的上升和下降，也就是增减性。对于反比例函数而言，情况又会如何呢？请大家暂停视频片刻，结合反比例函数图象，独立思考后组织语言尝试描述，反比例函数图象的增减性。
【解说词】其实啊，两位同学的描述都抓住了反比例函数图象增减性的特点，不过还不够全面和准确，在这之前我们需要给出一个重要的前提：在同一象限内。所以最准确的反比例函数增减性的描述应该是：当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，图象“下降”；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而增大，图象“上升”。请同学们注意：“在每一象限内”这个前提条件必不可少。你明白了吗？
承接上一环节，学生有很多参差不齐的答案，教师在预设学生错误表达时，选取了两种具有代表性的错误描述语，供学生思考和分辨。学生通过思考、辨别、试举反例等思维活动，去判断学生代表的描述是否有误。这一过程中可能会有学生认同学生代表的说法，也有可能会发现其问题所在，不论结果如何，都需要让学生在此环节中充分的思考和判断。
通过对比学习，不仅回顾了一次函数的图象性质，同时可以参照一次函数的图像性质描述语，初步组织语言进行描述。学生的描述用语可能不规范、不正确，但通过该环节，能够引导学生进行思考、仿读、初步总结。结合图象也能够培养学生数形结合的数学思想。
环节3：交流讨论
微课中通过老师转述两名学生具有代表性的图象增减性描述语，引发学生的对比思考，模拟课堂中师生、生生互动的场景。
本环节是教师需要意识到的关键环节，面对学生的认知不一，需要教师在学生不准确的结论中提出反例或质疑，让学生重新回到起点进行思考：如何改进、更正才能使结论描述更加完善和准确？这其实也是给学生一个自我反思的机会，梳理疑惑，寻找更为准确的描述语。

26.1.2《反比例函数的图像和性质》教材分析众所周知，函数知识是中学代数的核心内容，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数之一，反比例函数这部分的体系和安排，基本上与一次函数部分相同，教学中要注意和一次函数，尤其是正比例函数对比，引导学生从函数的意义，自变量的取值范围，图象的形状等方面辨明相应的区别。

《反比例函数的图像和性质》在反比例函数这部分的第二小节，是在学生学习了反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的。

反比例函数图像与一次函数图像不同，研究方法更具有一般性和代表性。

《反比例函数的图像和性质》分两课时完成：第一课时，主要内容反比例函数的图像和性质；第二课时;反比例函数与一次函数的图像和性质对比，确定反比例函数的表达式，本课为第一课时主要内容为探究反比例函数的图像和性质。

学情分析此时学生已经学习了函数及其图像的初步知识，及系统的研究了一次函数和二次函数的概念，图像，性质以及简单应用。

学生研究函数的基本方法有一些初步的了解。

但是反比例函数图像分两支，与一次函数、二次函数图像有很大的差别，学生很容易走进误区。

教学目标分析知识与技能（1）进一步熟悉作函数图像的主要步骤和注意事项；（2）会用描点法画反比例函数图像；（3）理解反比例函数的图像与性质。

过程与方法(1)学生通过自己动手，列表，描点，连线，提高学生的作图能力；(2)通过观察反比例函数图像,分析、探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。

体会数形结合思想和分类讨论思想。

情感与态度通过对本节课的学习，让学生感受双曲线对称美，有限和无限思想，激发他们对数学学习的兴趣；教学重、难点分析基于本节课的教学内容和教学目标，结合学生学情。

确定本节课的重难点如下：重点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。

难点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。

教法学法分析学法：学生已经研究了一次函数、二次函数，对研究函数的图像和性质的思想方法有所了解，学生可以通过类比的方法学习，实现知识的迁移。

26.1.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）一、学情分析在知识储备层面，本阶段的学生已经学习了一次函数、二次函数，掌握了相关的图象特征和函数性质.在思维能力层面，学生已经历过观察、分析图象特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质的方法也有一定的了解，具备一定的观察能力和探索能力，但观察和表述的精确性、深入性、系统性、规范性仍有不足.用“描点”法画反比例函数图象时，常遇到如下问题：（1）“列表”选点时x的取值缺乏代表性，容易忽略x≠0的条件；（2）由于列表时只取了有限的几个点，因此在连线时学生容易只把这几点连线，只画出图象的一部分，有明显端点，没有画出双曲线的延伸趋势；（3）对双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解.教学时，应注意有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（x ≠0，y≠0，k≠0）、“式”（解析式中x，y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识.二、目标和目标解析１.目标（1）能用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k ＞0和k＜0时，图象的变化情况.（2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“类比”“分类讨论”“从特殊到一般”以及“数形结合”的数学思想.（3）通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质，培养直观想象、数学抽象的能力.2.目标解析达成目标（1）的标志是：会根据解析式使用“描点”法画出反比例函数的图象，分析图象特征，归纳得到反比例函数的性质.达成目标（2）的标志是：画反比例函数的图象时，类比画正比例函数的方法，分k＞0和k＜0两种情况；在画反比例函数图象、探究反比例函数性质时，体会“数”与“形”的相互转化；通过具体的图象并结合解析式，归纳得到反比例函数的性质.达成目标（3）的标志是：借助几个特殊的反比例函数图象，让学生认识到图象的位置和变化趋势；在利用图象探究反比例函数的性质的过程中，能通过一系列反比例函数的图象，抽象归纳出反比例函数的性质.三、教学思想素养源于实践，思维往往是从动手开始的.根据新课标所倡导的“自主探索、合作交流、动手实践”的学习方式和皮亚杰的“建构主义学习理论”，考虑到教学的实效性和高效率，本节课自觉摒弃填鸭式教学，以任务驱动学习，注重知识和技能在探索中的生成，以自主探索和合作交流为主，适当辅之启发式、探究式的讲解，充分体现“以学生为主体，教师为主导，探究为主线，思维为核心”的教学理念.四、课程资源根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用几何画板，快速、准确地绘制反比例函数图象.利用投屏软件，展示学生作图中存在的问题.五、内容和内容解析1.内容反比例函数的图象和性质.2.内容解析本节课是人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十六章第一节反比例函数的内容，本节分为三课时，这是第二课时的新授课. 反比例函数是这一学段教材安排的最后一类函数，与研究一次函数、二次函数的过程一样，我们得到反比例函数的概念后，研究它的图象和性质. 通过图象，可以直观地得到函数的性质，结合解析式，可以进一步认识函数的性质. 把图象和解析式结合起来研究函数的性质是数形结合的重要体现. 研究函数的图象，主要是研究函数的形状、位置；研究函数的性质，是对函数描述的变化规律的进一步认识.本节课类比正比例函数的研究方法，对于反比例函数的研究分别从k ＞0和k ＜0两种情况入手.在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如k ＞0时，先从具体的k 值：4，6，12等开始，逐步归纳k ＞0时，函数的图象特征和性质；此外，k ＜0时的情况又是类比k ＞0时的学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出一般反比例函数的图象特征和性质.六、教学重难点教学重点：画反比例函数的图象，并结合解析式，探究反比例函数的性质. 教学难点：对x ≠0的理解，以及结合解析式理解反比例函数的性质.七、教学方法教法：任务驱动、典例投屏、启发讲授；学法：实践操作、合作探究、交流展示.八、教学安排（一）情景引入课前播放关于反比例函数的一首歌《悲伤的双曲线》.【设计意图】课前活跃气氛，激发学生的兴趣，巧妙引出本节课的学习内容.（二）旧知回顾1. 正比例函数y =kx (k ≠0)的概念，图象，性质分别是什么？2. 反比例函数的定义是什么？师：函数的研究方法一脉相承，反比例函数也不例外，我们先来探究k ＞0时的情形.【设计意图】通过回顾正比例函数的图象和性质，为用类比的方法探究反比例函数的图象和性质做准备，同时明确本节课的学习任务，使学生的课堂学习更具有目的性.（三）探究新知活动1. 画出反比例函数xy 6=的图象. 师：对于xy 6=的图象，我们早在八年级下册学习描点法画函数图象时，就已经画过x ＞0时的图象了.师生活动：教师以微课的形式，用几何画板演示反比例函数图象的生成过程.【设计意图】由已知到未知，引导学生从熟悉的图象6(0)y x x=＞入手，通过教师示范作图，让学生回顾用描点法画函数图象的步骤以及画图时要注意的问题，以此引导学生形成对反比例函数图象的宏观认识.活动2. 画出反比例函数412y y x x==与 的图象. 师生活动：（1）小组内分工画图，教师巡视指导；（2）利用投屏软件展示学生所画图象，共同讨论所画图象存在的问题； （3）修正自己所画的图象.【设计意图】让学生独立画图，充分暴露学生存在的问题，再利用投屏展示学生画图过程中存在的问题，让学生发现问题，修正错误，进而培养学生的画图能力.图象是直观描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的过程，使学生对反比例函数有一个初步的感性认识.活动3．观察所画的反比例函数4y x =与xy 12=的图象，回答下列问题： （1）每个函数的图象是什么形状？（2）每个函数的图象分别位于哪些象限？（3）在每一个象限内，随着x 的增大，y 如何变化?（4）请你从解析式的角度解释上述两个结论.学生活动：先由学生独立思考，然后小组讨论交流，小组代表上台展示结论，其他同学补充或质疑.追问1：对于第三个问题的结论，为什么要强调“在每一个象限内”这个条件呢？追问2：观察列表，你有什么发现？【设计意图】函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上较容易整体感知函数的性质，但是难以深入地理解和把握；而解析式可以对函数性质进行无限“解读”，但又不够直观.本环节让学生观察函数图象，归纳得到函数的性质后，再引导学生从解析式、列表这两个角度去解释说明这些性质，这样，结合函数图4y x =x y 12=象、解析式、列表去研究函数的性质，既深化了学生对函数性质的认识，又引导学生体会到了数形结合的思想.追问3：对于任何一个k 值大于0的反比例函数，是否具有同样的性质呢？师：在k 值大于0的情况下，我改变k 值，图象的形状、位置以及增减性有没有发生改变？师生活动：教师演示课件，借助几何画板，赋予k＞0时不同的取值，观察所得到的不同的反比例函数的图象特征，引导学生发现“变化中的规律”.师：由此，我们可以归纳得出k＞0时一般反比例函数所具有的性质.【设计意图】通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的认识过程，归纳得到k＞0时，反比例函数的图象特征和性质.师：至此，我们的探寻之旅已经走完了一半，k＜0时反比例函数的性质又是怎样的呢？活动4. 在k＜0的条件下，取一个你喜欢的数，画出它的图象，然后以小组为单位，观察彼此所画的反比例函数图象，讨论k＜0时反比例函数的性质.学生活动：学生发言，学生补充，教师板书.形状：双曲线；位置：第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大.【设计意图】通过再次画出反比例函数的图象，使学生夯实作图能力，同时在教学中渗透类比思想,让学生类比k＞0时反比例函数性质的探究过程，归纳总结出k＜0时反比例函数性质，不但引导学生完成了学习任务，而且还学会了知识之间的有机结合，融会贯通，真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展”的育人理念.活动5. 以小组为单位，观察彼此所画的反比例图象，它们有什么共同特征，有什么不同点？追问：这些不同点是由什么决定的？学生活动：主要由学生观察发现，教师适时引导.共同特征：它们都由两条曲线组成，反比例函数的图象属于双曲线.预设：（1）曲线越来越接近坐标轴，但与坐标轴永不相交；（2）关于原点对称；（3）是轴对称图形，关于y=±x对称.不同特点：（1）位置不同；（2）增减性不同.【设计意图】反比例函数具有丰富的性质，而九年级学生思维能力强，适当放开，以同桌讨论的形式给学生充分交流，既激发了学生探究问题的主动性和热情，培养了学生的合作交流能力，又给了学生一个更广阔的思维空间.归纳: 反比例函数y =k x （k 为常数，k ≠0）的图象和性质.【设计意图】通过归纳总结，培养学生抽象概括能力,在教学中引导学生归纳总结，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．此环节不仅体现了教学的连贯性，也体现出数学知识的实用性.（四）目标检测1. 下列图象中是反比例函数图象的是（ ）．2. 反比例函数xy 5-=的图象在第____象限，在图象的每一支上，y 随x 的增大而_____．3. 已知A (-2，y 1)，B (-1，y 2)在反比例函数xy 6=的图象上，则y 1，y 2的大小关系为_____．变式1：已知点A (-2，y 1)，B (-1，y 2)，C (3，y 3)都在反比例函数xy 6= 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为___________．变式2：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)都在反比例函数xy 6=的图象上，其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为___________．学生活动：独立完成，根据答案进行批改，对于第3题及后面的两道变式题，由学生上台讲解思路.【设计意图】数学的意义在于训练思维，课堂重在激发学生的探究兴趣，提升学生的数学思维能力．通过由易到难的题目的练习，使学生对反比例函数的图象和性质有了进一步的认识，同时再次向学生渗透数形结合的思想方法．（五）课堂小结这节课你学了哪些主要内容？有什么疑惑？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．师：我们这节课探寻反比例函数图象和性质的思路是：类比前面研究正比例函数的方法，从k ＞0和k ＜0两种情况分类研究；探寻的方法是：选取特殊的反比例函数，用描点法画出函数图象，再通过对图象的探究，并结合解析式，用数形结合的思想方法，归纳得出一般反比例函数的性质.这个思维导图就是我们这节课的所得.【设计意图】学生通过对本节课的知识要点和探究方法的总结，对反比例函数的性质及探究过程和方法有一个较为全面地认识，也为以后类似的探究活动积累经验，同时，培养学生及时总结的良好的学习习惯．最后，以思维导图的形式让学生对本节课有系统、直观的把握.（六）分层作业必做：习题26.1 第3题和第8题；选做：请用“大家好，我是反比例函数，……”为开头，根据本节课学到的知识，写一段反比例函数的自述，文体、字数不限.【设计意图】据分层教学和因材施教的原则，将作业分成必做和选做两类，让不同能力的学生在数学上都得到充分的发展. 26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)1.解析式：(0)k y k x=≠ 2.图象和性质：k ＞0 k ＜0（1）形状： 双曲线 双曲线（2）位置：第三、第一象限 第二、第四象限（3）增减性：在每个象限内 在每个象限内y 随x 的增大而减小 y 随x 的增大而增大（4）轴对称性：关于直线y x =±对称。