•补充习题• 1. 设关系模式R=(U,F),U=ABCDEG,F={AB→D,DB→EG,AC→E,BE→A, A→B }，求所有候选码。
(AC,BCE,BCD)• 2. 设关系模式R=(U,F),U=ABCDEG,求下列函数依赖集F等价的最小函数依赖集Fmin.•（1）F={AB→CD,A→BE,D→E,B→D}1.F1={AB->C,AB->D,A->B,A->E,D->E,B->D}2.F2={AB->C,A->B, D->E,B->D}3.Fmin={A->C,A->B,D->E,B->D}•（2）F={ABC→D, AC→E, E→AB,B→D,CD→B}1.F1={ABC→D, AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B}2.F2={AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B}3.Fmin={AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B}•（3）F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,C E→AG}1.F1={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B, CG→D,ACD→B,CE→A, CE→G}2.F2={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,CG->D,ACD→B, CE→G}或者F2={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,CG->B,CE→G}3. {AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,CG->D,CD→B, CE→G}或者{AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,CG->B,CD→B, CE→G}• 3.判断并证明下列关系模式最高属于哪一级范式•（1）R1：U=ABCD, F={AB→C,C→D }( AB,2 )•（2）R2：U=ABCD, F={AB→C,D→A, D→B }(D,2)•（3）R3：U=ABCD, F={A→B,B→C,CD→A }(BD,CD,AD,3)•（4）R4：U=ABCD, F={ A→B,B→C }(AD,1)•（5）R2：U=ABCDE, F={AB→C, BC→D, AB→E, ABCD→DE, BED→BE}(AB,2)• 4. 把下列关系模式分解为无损连接和保持函数依赖的3NF：•（1）U=ABCD, F={AB→CD,D→C, CD→B}1.Fmin={AB->D,D->C,D->B}，码AD,AB2.分组U1=ABD,根据算法 后面合并成 U2=BCD3.吸收，得U1,U24. ADB中包含了码F1={ABD,AB->D,D->B}F2={BCD,D->B,D->C}•（2）U=ABCDEG, F={ B→CD,DE→A, E→C, C→A, BD→AC }1. Fmin={B->C,B→D, E→C, C→A}2.分组U1=BCD，U2=EC U3=CA，U0=G3.吸收，得U2,U3,U44.检查码F2={EC,E->C}F3={CA,C->A}F4={BCD,B->D,B->D},F4=(BEG. ф)• 5. 把下列关系模式分解为无损连接的BCNF： U=ABCD, F={A→C,B→AC, D→AC, BD→A}1.Fmin={A→C,B→A, D→A}2.码 BD，A->C不符合R1={AC,A->C} R2=(ABD,B->A,D->A)B->A不符合R3={AB,B->A} R4={BD, ф}得到R1，R3,R4•算法4b.3（求最小函数依赖集的算法）•1)求最简式：对F中所有右边为多属性形如X→ A1A2…A n的函数依赖用X→Ai，i=1,2, …,n来代替，得到函数依赖集F1，F1全由最简式组成。
•2）消除冗余函数依赖：对所有(X→A)∈F1逐个做①令G= F1-(X→A)；②对G求X+；③若A∈X+，则从F1中去掉X→A，否则不去掉；最终得到没有冗余函数依赖的函数依赖集F2。
•3左边最简化：对F2中所有左边为多属性的形如X(= A1A2…A n)→A的函数依赖，①i=1； ②若i>n则结束本函数依赖的处理，转入对F2中下一个这样的函数依赖的处理；否则X-=X-A i；③若X-为空，则结束本函数依赖的处理，转入对F2中下一个这样的函数依赖的处理；否则，对F2求X-+；④若A∈X-+，则F2= F2-(X→A)∪(X-→A),X=X-，i=i+1，转②；否则，i=i+1，转②。
•所有这样的函数依赖处理完成后，F2的函数依赖左边都最简化。
•最终得到的F2是一个最小函数依赖集F min 。
•例4b.4 设F={ AB→C,D→EG, C→A,BE→C,BC→D, CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求其Fmin。
•解：•（1）求最简式• F1＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,C E→A,CE→G}•（2）除冗余函数依赖•G=F1-(AB→C),对G的(AB)+={AB},C!∈(AB)+,所以AB→C不能去掉；•同理 D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D,ACD→B, CE→G都不能去掉；•G=F1-(CG→B),对G的(CG)+={CGDAB},B∈(CG)+,所以CG→B 要去掉；同理，CE→A 可去掉；•所以，F2＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B, CE→G}•（3）左边最简• F1＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,•CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}•D→E,D→G,C→A 左边是单属性，不能化简。
•对AB→C化简•对F2，(B)+={B},C!∈(B)+,所以A不能去掉；同理，B不能去掉；所以，AB→C不能化简。
•同理，BE→C,BC→D, CG→D, CE→G 都不能化简。
•对ACD→B化简•对F2，(CD)+={CDEGAB},B∈(CD)+,所以A可以去掉;•F2＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D,ACD→B, CE→G}•对F2，(D)+={DEG},B!∈(D)+,所以C不能去掉；同理，D不能去掉。
•所以，ACD→B化简为CD→B。
• F1＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,•CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}•因此，•F min＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D, CD→B, CE→G}•注意：由F求F min ，结果不是唯一的，不同的化简次序可能得到不同的结果。
如设F＝{A→B,B→C,A→C, B→A}; 先去掉B→C, F min＝{ A→B, A→C,B→A}；先去掉A→C, F min＝{ A→B,B→C, B→A}。
•1．函数依赖集在属性子集上的投影•定义4b.9 设R(U,F)是一个关系模式。
U i是U的一个属性子集，F i={X→Y|(X→Y)∈F+∧X是U i的子集∧Y是U i 的子集} 称为F在U i上的投影，记作F(U i)。
•例4b.5设R(U,F)是一个关系模式，U=ABCD, F={ A→B,C→B,BC→A, B→D}，U1=AD, U2=CBD,求F(U1)，F(U2)。
•解：•(1){A} + ={ABD},所以A→D∈F+,所以A→D∈F(U1)；{D}+={D},所以D→A!∈F+，所以D→A!∈F(U1)；因此F(U1)={ A→D}。
•(2) C→B∈F, B→D∈F, C→D被{C→B,B→D}所藴含，CBD能形成的其他非平凡又不被{C→B,B→D}所藴含的函数依赖都不属于F+，所以F(U2)={C→B,B→D}。
•5． 得到无损连接和函数依赖保持的3NF分解算法•算法4b.3•（1）求F的最小函数依赖集F min•（2）分组：对F min中的函数依赖中左边相同的各分为一组，设有以X1,X2, …,X m等为相同左边的m个组，每组中的属性组成的属性子集为U1,U2,…,U m，把不在F中的属性单独组成一个属性子集U0。
•（3）吸收：从U0,U1,U2,…,U m中去掉被其他属性子集所包含属性子集，得到U0,U1,U2,…,U k，k<=m。
•（4）分解：组成分解ρ={Ri(Ui, Fi)| Fi是F在Ui 的投影，i=0,1,2,…,k}，是保持函数依赖的得到3NF的分解。
•（5）形成无损连接：若ρ中各子模式的属性子集中都无R的码，则取R的一个码X，把Rx(X, Fx)加进ρ中，ρ就是无损连接的3NF的分解；否则，ρ已是无损连接的3NF的分解。
•定理4b.5：算法4b.3是可以终止的，且所得到的分解是全由3NF组成，也是无损连接和函数依赖保持的。
•这里不作证明。
•例4b.9• 设U=ABCDE, F={AB→C,A→B,D→BC,C→B},求R(U,F)的保持函数依赖且无损连接的3NF分解。
•解：（1）求Fmin•右边最简：F1={AB→C,A→B,D→B,D→C,C→B}•左边最简：A+(F1)=ABC,所以AB→C中B可去掉，F2={A→C,A→B,D→B,D→C,C→B}•去掉冗余函数依赖：{A→C, C→B}=> A→B,所以A→B 可去掉；{D→C,C→B}=>D→B,所以D→B可去掉；得Fmin={A→C, D→C,C→B}。
•（2）分组：U1＝AC, U2＝DC,U3＝CB, U0=E 。
•（3）吸收：U1,U2,U3互不包含，无需吸收。
•得到R的一个保持函数依赖的3NF分解•ρ={R0(E,ф), R1(AC, A→C),R2(DC,D→C),R3(CB,C→B)}•（4）检查码：ADE不在Fmin右边出现，(ADE)+=ADECB=U,所以ADE是R的唯一的码，不在U1＝AC, U2＝DC,U3＝CB, U0=E的任何一个中，所以增加R4(ADE,ф),但U4=ADE要吸收U0=E,所以ρ={R1(AC, A→C),R2(DC,D→C),R3(CB,C→B), R4(ADE,ф)}是保持函数依赖且无损连接的3NF分解。
•6．得到无损连接的BCNF的分解算法•算法4b.4•（1）求F的最小函数依赖集F min，令ρ={R(U, F min)}•（2）二项分解•①若ρ中所有子模式都属于BCNF，则算法结束；否则，进行②•②若ρ中存在R不是BCNF,则在R的F中存在函数依赖X→A,且X不是码，那就作二项分解：U1=X∪A, R1(U1,F(U1))；U2＝U-A， R2(U2, F(U2))•③ρ=ρ∪R1∪R2-R,转到①•定理4b.5：算法4b.4是可以终止的，且所得到的分解是全由BCNF组成，也是无损连接的。
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