高中数学8.2.5几个常用的分布同步精练湘教版选修2_3【含答案】

8．2.4离散型随机变量及其分布[读教材·填要点]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．3．随机变量X的概率分布如果随机变量X的取值是x1，x2，…，x n，则{X＝x i}是事件，用p i＝P(X＝i)表示事件{X＝x i}的概率，则p i＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{p i}规律性不明显时，可用下面的表格表示X的分布.4.随机变量X①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[小问题·大思维]1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明．提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度．[例1](1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[例2] 个球，设X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的概率分布．[解] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 36＝120； X ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取． 所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；X ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；X ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.所以，随机变量X 的概率分布为：求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X 取每个值时的概率，最后列出表格即可．2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X 表示所得分数，求X 的概率分布列．解：由题意知X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝C 14C 19＝49，P (X ＝1)＝C 13C 19＝13，P (X ＝2)＝C 12C 19＝29.故X 的概率分布列为：[例3] 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求： (1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. [解] ∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4， (1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．3．某离散型随机变量的概率分布列如下：(1)求常数a ，k ； (2)求概率P (X ≤5)．解：(1)因为随机变量X 的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n 就可以求出常数a .所以n ＝23－(－4)(－1)－(－4)＋1＝273＋1＝10，a ＝1＋(10－1)(3－1)＝19.即k ＋3k ＋5k ＋…＋19k ＝1，求得k ＝0.01. (2)由加法公式，可以得到P (X ≤5)＝P (X ＝－4)＋P (X ＝－1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝k ＋3k ＋5k ＋7k ＝16k ＝0.16.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X 表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X 的概率分布．[尝试] [巧思] 若以A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1，…，6)，则当A k 发生时，第(8－k )只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k )只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P (A k )＝C 17－k C 28＝7－k28. [妙解] 设A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1,2，…，6)，则P (A k )＝C 17－kC 28＝7－k 28.∴P (X ＝0)＝P (A 0)＝728；P (X ＝1)＝P (A 1)＝628； P (X ＝2)＝P (A 2)＝528；P (X ＝3)＝P (A 3)＝428； P (X ＝4)＝P (A 4)＝328； P (X ＝5)＝P (A 5)＝228；P (X ＝6)＝P (A 6)＝128. 即X 的概率分布列为1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A ．取到的球的个数B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球或一个黑球解析：选B A 中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B 中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C 和D 叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝( ) A.35 B.1325 C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a ＝125，所以P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为X ，则X 的可能取值为________．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,35．随机变量X 的概率分布列如图所示：(1)x ＝________(2)P (X >3)＝________； (3)P (1<X ≤4)＝________.解析：(1)由X 概率分布的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0； (2)P (X >3)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＋P (X ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；(3)P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝0＋0.35＋0.1＝0.45. 答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝120＋520＝310.(2)由题意，知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(C)＝520＝1 4，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－14＝34.故X的分布列为一、选择题1．有下列四个命题：①某立交桥一天经过的车辆X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：选A①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C X的概率分布表为：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3＝310.∴n＝10.4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为()A.C.解析：选A X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生，则P(X＝0)＝C38C310＝715，“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P(X＝1)＝C12C28C310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的概率分布列为：二、填空题5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3007．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的概率分布为：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________. 解析：由分布列的性质可得， a (1＋2＋…＋n )＝1， 所以a ＝2n (n ＋1).答案：2n (n ＋1)三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X .解：(1)X 可取0,1,2.X ＝i ，表示取出的3个球中有i 个白球，3－i 个黑球，其中i ＝0,1,2. (2)X 可取3,4,5.X ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解:(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为。

基础巩固1已知X的分布列为：且E（X)＝7.5，则A等于( )A．5 B．6 C．7 D．8 2一射手对靶射击,直到第一次命中或子弹打光停止射击，每次命中的概率为0。

6.现有4发子弹，则停止射击后尚余子弹数目的均值为( ）A．2。

44 B．3。

376 C．2.376 D．2.43一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中随机取出2个,其中含有红球个数的数学期望是（）A.错误!B。

错误! C.错误!D.错误!4某种种子每粒发芽的概率都为0。

9,现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )A．100 B．200 C．300 D．4005某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的错误!,公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金为________元．6设l 为平面上过点(0,1）的直线，l 的斜率等可能地取－2错误!，－错误!，－错误!，0，错误!,错误!,2错误!。

用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的均值E(X)＝________。

7A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比实验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多,就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12。

(1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望．综合过关8设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值为（ ）A 。

12B ．0C ． 2D ．随p 的变化而变化9抛掷三个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中，成功次数n的数学期望为________．能力提升10为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的错误!、错误!、错误!.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(Ⅰ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望．参考答案1解析:由0.3＋0。

8．2.4离散型随机变量及其分布[读教材·填要点]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．3．随机变量X的概率分布如果随机变量X的取值是x1，x2，…，x n，则{X＝x i}是事件，用p i＝P(X＝i)表示事件{X＝x i}的概率，则p i＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{p i}规律性不明显时，可用下面的表格表示X的分布.4.随机变量X①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[小问题·大思维]1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明．提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度．[例1](1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[例2]个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的概率分布．[解]根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P(X＝3)＝C22 C36＝120；X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．所以，P(X＝4)＝C23C36＝320；X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P(X＝5)＝C24C36＝310；X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P＝(X＝6)＝C25C36＝12.所以，随机变量X的概率分布为：求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X取每个值时的概率，最后列出表格即可．2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X表示所得分数，求X的概率分布列．解：由题意知X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝C14C19＝49，P(X＝1)＝C13C19＝13，P(X＝2)＝C12C19＝29.故X的概率分布列为：[例3] 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求： (1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. [解] ∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4， (1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．3．某离散型随机变量的概率分布列如下：(1)求常数a ，k ； (2)求概率P (X ≤5)．解：(1)因为随机变量X 的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n 就可以求出常数a .所以n ＝23－(－4)(－1)－(－4)＋1＝273＋1＝10，a ＝1＋(10－1)(3－1)＝19.即k ＋3k ＋5k ＋…＋19k ＝1，求得k ＝0.01. (2)由加法公式，可以得到P(X≤5)＝P(X＝－4)＋P(X＝－1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝k＋3k＋5k＋7k＝16k＝0.16.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X的概率分布．[尝试][巧思]若以A k表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1，…，6)，则当A k发生时，第(8－k)只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k)只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P(A k)＝C17－k C28＝7－k 28.[妙解]设A k表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1,2，…，6)，则P(A k)＝C17－kC28＝7－k28.∴P(X＝0)＝P(A0)＝728；P(X＝1)＝P(A1)＝628；P(X＝2)＝P(A2)＝528；P(X＝3)＝P(A3)＝428；P(X＝4)＝P(A4)＝3 28；P(X＝5)＝P(A5)＝228；P(X＝6)＝P(A6)＝128.即X的概率分布列为1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球或一个黑球解析：选B A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C 和D 叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝( ) A.35 B.1325 C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a ＝125，所以P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为X ，则X 的可能取值为________．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,35．随机变量X 的概率分布列如图所示：(1)x ＝________(2)P (X >3)＝________； (3)P (1<X ≤4)＝________.解析：(1)由X 概率分布的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0； (2)P (X >3)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＋P (X ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；(3)P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝0＋0.35＋0.1＝0.45. 答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝120＋520＝310.(2)由题意，知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(C)＝520＝1 4，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－14＝34.故X的分布列为一、选择题1．有下列四个命题：①某立交桥一天经过的车辆X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：选A①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C X的概率分布表为：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3＝310.∴n＝10.4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为()A.C.解析：选A X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生，则P(X＝0)＝C38C310＝7 15，“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P(X＝1)＝C12C28C310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的概率分布列为：二、填空题5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3007．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的概率分布为：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________. 解析：由分布列的性质可得， a (1＋2＋…＋n )＝1， 所以a ＝2n (n ＋1).答案：2n (n ＋1)三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X .解：(1)X 可取0,1,2.X ＝i ，表示取出的3个球中有i 个白球，3－i 个黑球，其中i ＝0,1,2. (2)X 可取3,4,5.X ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解:(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为高中数学。

10个白球，5个红球。从袋中任取
2
个球，所取的2个球中恰有
1个白球，1个红球的概率为（
）
A．1
B.
11
10
D.
5
21
C.
21
21
５
.(x2
x
y)5的展开式中，
x5y2的系数为( )
（A）10
（B）20
（C）30
（D）60
６
.一个家庭中有两个小孩， 已知其中有一个是女孩，
则这时另一个小孩是男孩的概率为
x
14.已知随机变量
X服从二项分布
B n, p，若E
X 30，
V
DX 20
，则p
1
.
3
15.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的
,4位数，
其中偶数的个数为
.156
DE
16.有一小球从如图管道的入口
V处落下，在管道的每一个节A
B
C
点等可能地选择路径，则小球最后落到
C点处的概率是
3
（第16题）
11.
已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为
1，要使敌机
5
一旦进入这个区域内有
90%以上的概率被击中，至少需要布置高射炮的门数是（
）
（参考数据lg
2 0.301，lg3
0.4771
）
（A）8个
（B）9个
（C）10个
（D）11个
12.
某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个
红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的