最小生成树(MST)问题的扩展共40页

论中的最小生成树问题最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）问题是图论中的一个经典问题，研究的是在一个连通图中，找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。

一、最小生成树问题的定义在一个连通无向图G=(V, E)中，每条边都带有一个权值，要求找到一棵生成树T，使得T中包含图G中的所有顶点，且T上所有边的权值之和最小。

二、最小生成树问题的解法目前，已经有几种经典的算法来解决最小生成树问题，其中包括Prim算法和Kruskal算法。

1. Prim算法Prim算法是典型的贪心算法，其核心思想是从一个初始顶点出发，逐步将与当前树连接的边中，选择权值最小且未被访问过的边加入到最小生成树中，直到生成树包含图中所有的顶点。

具体步骤如下：（1）选择一个初始顶点v，将v添加到生成树中；（2）将与v相连的边按权值从小到大排序；（3）选择一条权值最小的边e，如果e的另一端的顶点不在生成树中，则将e加入到生成树中，并将该顶点也加入到生成树中；（4）重复步骤（3），直到生成树包含图中所有的顶点。

2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，其核心思想是先将图的所有边按照权值排序，然后按照权值从小到大的顺序逐条加入到最小生成树中，直到生成树中包含了图中的所有顶点，并且形成一个连通图。

具体步骤如下：（1）将图G的所有边按照权值从小到大排序；（2）从小到大遍历排序后的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入到最小生成树中，并合并这两个连通分量；（3）重复步骤（2），直到生成树中包含了图中的所有顶点，并且形成一个连通图。

三、最小生成树问题的应用最小生成树问题在实际生活中有许多应用。

例如，在网络规划中，可以将网络节点看作图中的顶点，节点之间的连接看作边，通过求解最小生成树问题，可以找到一个具有最小成本的网络连接方案。

另外，在电力系统规划中，也可以利用最小生成树算法来选择电力输电线路，以实现供电成本的最小化。

解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。

在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。

最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。

本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。

一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。

在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。

边的权值之和反映了边的权值大小。

因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。

算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。

然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。

当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。

这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。

接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。

如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。

如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。

重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。

二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。

通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。

在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。

2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。

在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。

最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。

Phyloviz（Phylogenetic Networks Visualization）是一种用于可视化和分析生物学系统进化关系的工具，通常用于展示物种、基因或其他生物实体之间的进化关系。

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是Phyloviz中一种用于呈现数据的方法，下面是对Phyloviz最小生成树的解读。

Phyloviz最小生成树解读步骤：1.数据准备：首先，你需要准备包含生物学实体之间进化关系的数据。

这通常是一种分子生物学的数据，例如基因序列或其他遗传信息。

2.输入数据到Phyloviz：将数据输入到Phyloviz中，并选择最小生成树作为展示数据的一种方式。

3.MST的构建： Phyloviz使用输入的数据构建一个最小生成树。

最小生成树是一种无向图，它连接了所有的节点，并且总权重最小。

在生物学的上下文中，节点通常代表不同的生物实体，边代表它们之间的进化关系。

4.节点和边的表示：在Phyloviz的最小生成树中，节点表示生物实体，边表示它们之间的进化关系。

通常，节点上可能包含有关生物实体的其他信息，例如物种名称、基因型等。

5.树的分析和解读：对生成的最小生成树进行分析和解读。

查看树的拓扑结构，了解节点之间的关系。

节点之间的距离可以表示它们之间的进化距离，这可以用于推测它们之间的共同祖先和演化关系。

6.进化路径和分支：最小生成树的分支和路径提供了有关生物实体进化路径的信息。

较短的分支表示较近的进化关系，而较长的分支表示较远的关系。

7.树的可视化： Phyloviz提供了直观的可视化界面，可以通过调整参数和样式来定制树的外观。

你可以选择不同的布局、颜色方案和标签显示方式，以便更好地呈现数据。

8.附加信息的显示： Phyloviz通常支持在树节点上显示额外的信息，例如置信度或其他测量。

这有助于进一步解释树的结构。

Phyloviz最小生成树的解读依赖于你的数据和问题背景。

最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。

在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。

本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。

其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。

具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。

二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。

它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。

算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。

2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。

3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。

4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。

Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。

它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。

算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。

2. 将图中的所有边按照权值进行排序。

3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。

4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。

Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。

例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。

这对于处理非标准的MST问题非常方便。

我们主要参考了文[7]。

在图论中，称无圈的连通图为树。

在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。

生成树上各边的权之和称为该生成树的权。

连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。

许多实际问题都可以归结为最小生成树。

例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。

为了说明问题,以下面的问题作为范例。

范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。

试求出使电话线总长度最小的架线方案。

为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。

MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。

其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。

图论算法二、最小生成树算法.什么是图的最小生成树（MST）？不知道大家还记不记得关于树的一个定理：N个点用N-1条边连接起来，形成的图形只可能是树，没有别的可能。

一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。

图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。

这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

.最小生成树用来解决什么问题？就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。

例如：城市公交网建设问题[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。

现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？.1.Prim算法根据图的基本定义，一个有n个点的图，它的最小生成树必定含有n个点，（n-1）条边。

prime算法所采取的是每条向树中添加的边，都采取贪心算法选取权值最小的进行。

2).算法时间复杂度：O (N算法描述：假设从s点开始生成最小生成树（一般s都设为1），dis[v]表示从v点到已生成的树的最短路径,w[I,j]表示i到j的距离，如果i，j不相连就设为无穷大。

pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

a)初始化：dis[v]=maxint(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; 起点s标记为未进入最小生成树; tot=0;b)For i:=1 to n1.在没有进入最小生成树的点中找一个到树的距离（dis[u]）最小的点u。

2.u标记为已经进入最小生成树3.tot = tot + dis[u];4.For 与u相连的每个未进入最小生成树的顶点v doif w[u,v]<dis[v] thenbegindis[v]:=w[u,v];pre[v]:=u;end；c)算法结束：tot为最小生成树的总权值；pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

最小生成树算法详解常见的最小生成树算法包括普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。

下面将详细介绍这两种算法的原理和步骤。

普里姆算法的基本思想是从一个顶点出发，每次选择与当前生成树相连的权重最小的边，直到生成树包含所有的顶点。

具体步骤如下：1.初始化一个空的生成树和一个空的候选边集合。

2.随机选择一个起始顶点，将其加入生成树中，并将与该顶点相连的边加入候选边集合。

3.从候选边集合中选择权重最小的边，如果该边的另一个顶点不在生成树中，则将该顶点加入生成树，并将与该顶点相连的边加入候选边集合。

4.重复步骤3，直到生成树包含所有的顶点。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是从所有边中选取权重最小的边，然后逐步扩展生成树，直到生成树包含所有的顶点。

具体步骤如下：1.初始化一个空的生成树和一个空的候选边集合。

2.将图中的所有边按权重从小到大排序，并加入候选边集合中。

3.从候选边集合中选择权重最小的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入生成树，并将其两个顶点合并到同一个连通分量中。

4.重复步骤3，直到生成树包含所有的顶点。

普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都能够求解最小生成树，它们的主要区别在于选择候选边的方式不同。

普里姆算法每次选择与当前生成树相连的权重最小的边，而克鲁斯卡尔算法每次选择整个图中权重最小的边。

因此，普里姆算法适用于稠密图，而克鲁斯卡尔算法适用于稀疏图。

总结起来，最小生成树算法是图论中的一种重要算法，用于求解连通图中的一棵权重最小的生成树。

普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常见的最小生成树算法，它们的主要区别在于选择候选边的方式不同。

这些算法的时间复杂度与图的边数有关，通常为O(ElogE)。

在实际应用中，可以根据具体问题选择适合的算法来求解最小生成树。

摘要：最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个基本概念，它在网络设计、数据结构、算法设计等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍最小生成树定理的定义、性质、算法以及在实际应用中的重要性。

一、引言在图论中，一个图由顶点和边组成。

如果这个图是一个连通图，那么它的任意两个顶点之间都存在一条路径。

最小生成树定理研究的是如何从一个连通无向图中选择一些边，使得这些边构成一个连通子图，并且所有边的权值之和最小。

二、定义1. 图：由顶点集合V和边集合E组成，记为G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集。

2. 连通图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若存在一条路径连接u和v，则称图G是连通的。

3. 无向图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若边(u,v)和边(v,u)同时存在，则称边(u,v)为无向边。

4. 权值：对于图G中的任意一条边(u,v)，可以赋予一个非负实数w(u,v)作为权值。

5. 最小生成树：对于图G的一个连通子图T，如果满足以下两个条件，则称T为G 的最小生成树：（1）T是连通的；（2）T中的边权值之和最小。

三、性质1. 存在性：对于任意一个连通无向图，都存在一个最小生成树。

2. 唯一性：对于任意一个连通无向图，其最小生成树是唯一的。

3. 极小性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最小。

4. 极大性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最大。

四、算法1. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）（1）将图G中的所有边按照权值从小到大排序；（2）初始化一个空的最小生成树T；（3）遍历排序后的边，对于每条边(u,v)：①检查边(u,v)是否与T中的任意一条边形成环；②若不形成环，则将边(u,v)加入T；（4）当T中的边数等于顶点数减1时，算法结束。

2. 普里姆算法（Prim's Algorithm）（1）从图G中选择一个顶点作为起始顶点v0；（2）初始化一个空的最小生成树T，并将v0加入T；（3）对于图G中的其他顶点v，初始化一个距离数组dist，其中dist[v]表示顶点v到T的距离，初始时dist[v]=∞（v≠v0）；（4）遍历T中的顶点，对于每个顶点v，更新其相邻顶点的距离；（5）从距离数组中选择距离最小的顶点u，将其加入T；（6）重复步骤（4）和（5），直到T中的边数等于顶点数减1。

说说最小生成树（MinimumSpanningTree）minimum spanning tree(MST)转自：/gsky1986/article/details/45149931 最小生成树是连通无向带权图的一个子图，要求能够连接图中的所有顶点、无环、路径的权重和为所有路径中最小的.graph-cut对图的一个切割或者叫切断，会使图分离成为两个不相连的顶点集.它基于树的两个基本属性：为树的任意两个节点间添加一条边，会在树中形成一个环.删去树中的一条边，会将原树分离成两棵不相连的树.crossing edge有了切断的概念，很容易就会问到，被切开的那些边是什么？切断造成了两个不相连的顶点集，而切断的操作施加在这些边上，那么这些边本身就横跨了两个顶点集.prim’s algorithm最常用的一种求MST的算法是普利姆算法它是一种贪心算法.它搜索的方向是从某一个顶点开始，对所有邻接的边进行考察，然后将最轻的边（权重最小的边）加入MST.决定它下一步搜索方向的，是最轻边的另一端的顶点，从这个顶点开始，它重复上一步，直到所有的顶点访问完毕.由于普利姆算法每次都贪心地找当前看来最轻的边，它不会综合考量全局，所以它是一种贪心算法.由于它从最轻边的另一个端点继续它的搜索之旅，所以每一步求出的在MST中的边都会自然地连成一颗树，直到最后长大为MST. PriorityQueue在普利姆算法中，一个重要的操作是挑选最轻边，所以一个优先队列可以对这个操作进行优化支持.优先队列通常基于堆来实现，比如二叉堆.它可以给我们对数级的时间返回队头元素，而这个队头元素具有最高的优先级.如果我们规定越轻的边的优先级越高，那么一个小根堆实现的升序优先队列就可以用在普利姆算法中.lazy prim普利姆算法在找到一条最轻边（v,w）后，这条边就不应该在以后的搜索中成为一个备选，同时点w也被加入了MST，那么优先队列中所有还未访问的但和点w连着的那些边都成了废弃边，它们不应该被再次考察.那么如何处理这种不再备选的边？我们可以删除这些边，但是删除这条边后，边的另一端顶点还没有访问，我们的删除操作会波及那些还没有访问的顶点.那么，一个比较懒而直观的方式是推迟对所有的废弃边的删除操作，任由它们在优先队列中，作为队列一员参与队列的每次调整操作.采取懒惰方式的普利姆算法的时间复杂度是O(ElogE).从这里看出，它对边比较稠密的图来说，是低效的.如果要了解懒惰方式的的普利姆算法，请参考：普利姆算法lazy 实现eager prim以懒惰方式处理不再备选的边，会使得算法多次考察这样的边,影响了效率.有没有方法对它进行改进？考虑一下，我们在找出一条最轻边并将它加入MST后，实际上使得其它的还没有被访问的边被访问的机会增加了.而我们只对最轻边感兴趣，所以在考察一个顶点时，只需要在优先队列中维护一条目前已知的到这个顶点的最短距离或最小权重就可以了.为了不将废弃边加入队列，我们需要以索引方式来组织优先队列.关于索引式的优先队列，请参考：索引式优先队列以积极方式队列废弃边的算法，请参考：普利姆算法eager实现普利姆算法的eager实现的时间复杂度是最差O(ElogV ) kruskal’s algorithm克鲁斯卡尔算法是求MST的另一种常用算法，它非常简单：1.每一步都挑选当前看来最轻的边.如果这条边的两个端点的加入，没有在mst中造成回路，将这条边加入mst.2.对所有的边重复上一步.算法中比较关键的一个操作是判断是否形成回路(cycle)，这可以借助并查集来做，请参考：快速并查集克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE).这里是一个完成的算法实现，请参考：克鲁斯卡尔算法实现综述最小生成树和最小生成森林（minimum spanning forest）技术，对于连通性考察很有意义.克鲁斯卡尔算法和懒惰方式的普利姆算法形式简单、易于理解，适合处理边不稠密的图.积极方式的普利姆算法,初次接触会不易理解.但它效率高于懒惰方式，平均适用性更好.求MST的贪心算法，都离不开优先队列或堆的支持，堆的操作效率决定了这些算法的效率.如果用斐波那契堆来实现优先队列，则decrease-key操作的摊还代价是O(1 )，普里姆算法将可优化到：O(E+VlogV ).。

最小生成树的两种方法最小生成树的两种方法________________________________________最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是指一个无向图G中的一棵子图T，它包含图G中全部n个顶点，且T中的边数正好是n-1条，而且这些边的权值之和是所有n个顶点的边的权值之和的最小值。

这样的树称为最小生成树。

一般来说，最小生成树的构造有两种方法：Prim算法和Kruskal算法。

### Prim算法Prim算法是从一个顶点开始，每次选择一条最短边，直到所有顶点都被加入到树中。

具体步骤如下：- 首先，从图中任取一个顶点作为初始顶点，将它加入到最小生成树的集合中。

- 接着，从图中取出一条权值最小的边，连接它的两个顶点都不在集合中，将这两个顶点加入到集合中，并将该边加入到最小生成树的集合中。

- 重复上述过程，直到所有的顶点都在集合中，即可得到最小生成树。

Prim算法的时间复杂度为O(n2)，它不能处理包含负权值的边，也不能处理包含负权回路的图。

### Kruskal算法Kruskal算法是从边中选择最小权值的边，直到所有顶点都在同一棵树中。

具体步骤如下：- 首先，将图中所有边按权值从小到大排序。

- 接着，将排序好的边依次取出，如果它连接的两个顶点不在同一棵树中，则将这两个顶点加入到同一棵树中，并将该边加入到最小生成树的集合中。

- 重复上述过程，直到所有的顶点都在同一棵树中，即可得到最小生成树。

Kruskal算法的时间复杂度为O(nlogn)，它能处理包含负权值的边，但不能处理包含负权回路的图。

总之，Prim和Kruskal算法都可以用来构造最小生成树，但是它们在时间复杂度和负权值的处理上都有所不同。

通常情况下，Prim算法会优先使用；而Kruskal算法会在图中存在负权值时使用。

最小生成树例题详解最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

下面是一个常见的最小生成树例题:给定一个由五只兔子和它们的家组成的奴隶图,如下图所示:```1 2 3 4 5/ / /6 7 8 9 10 11/ / /2 4 6 8 10 12```要求找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

首先,我们需要遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数等于该节点到其他节点的距离。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点。

接下来,我们需要计算每个节点到根节点的度数。

如果某个节点到根节点的度数大于等于它的度数,那么它就不是最小生成树的一部分,我们需要继续寻找。

最后,我们需要计算每个节点的边权值之和。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点,然后遍历该节点的邻居节点,计算它们的边权值之和。

以下是Python代码实现:```pythondef Minimum Spanning Tree(graph):# 遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数最小为0for node in graph:度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到最小生成树root = node = Nonefor node in graph.nodes():if root is None:if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreakelse:# 度数最小的节点来代替该节点if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreak# 计算该节点到根节点的度数度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到连接到该节点的所有边neighbors = [node for edge in graph.get_edges(node) if edge[1] >= 0]# 计算该节点的边权值之和neighbors_sum = sum(度数)# 找到边权值之和最小的节点if neighbors_sum < neighbors_sum.min():root = nodebreakreturn root```在此算法中,我们使用了邻接表(neighbors table)来维护每个节点的邻居节点。

数据结构最小生成树数据结构最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种常用的图算法，用来找到一个无向图中权重最小的连通子图，使得该子图包含图中的所有顶点，并且任意两个顶点之间的路径都是该子图中的边。

MST问题在许多实际应用中都有广泛的应用，例如电力传输网络、通信网络、交通网络等。

通过求解MST问题，可以找到一个连接所有节点且总权重最小的网络。

本文将介绍MST问题的定义、经典算法以及一些相关扩展。

MST问题的定义非常直观，即在一个加权无向图G=(V,E)中，找到一个子图T=(V,E')，其中V为图中所有节点的集合，E为图中所有边的集合，E'为E的子集，使得T满足以下条件：1.T是一个连通图，即任意两个节点之间都存在路径。

2.T中不包含回路，即不存在闭合的路径。

3.T的边权重之和最小。

典型的MST算法有Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是通过贪心策略逐步扩展子图T的边集合来构造最小生成树。

算法的基本思想是，从任意一个节点开始，选择一个权重最小的边，将其加入到T的边集合E'中。

然后，将新加入的边连接的节点加入到T的节点集合V中，并以它们为起点，选择与之相连的权重最小的边加入到E'中。

重复这个过程直到图中所有的节点都加入到V中。

Kruskal算法则是通过将图中的所有边按照权重排序，然后逐步将权重最小的边加入到T的边集合E'中，并保证E'中不存在回路，直到E'中的边数达到n-1（其中n为图中节点的个数）或者图中的所有边都加入完毕。

算法的关键在于判断新加入的边是否会形成回路，通常能够通过并查集等数据结构来帮助解决这个问题。

除了Prim和Kruskal算法之外，还存在其他一些改进或者特殊情况下的MST算法。

例如，如果图是稠密图，即边的数量非常多，可以使用优先队列等数据结构来快速找到权重最小的边，提高算法的效率。

如果图是带权的有向图，可以将其转化为无向图再求解MST。

最小生成树问题的拓展摘要本文主要论述最小生成树问题中的两类拓展——最小度限制生成树和次小生成树。

首先分别介绍了这两类拓展问题的模型，然后提出了求解这两类问题的算法，最后，通过一些例子分析其在实际问题中的应用。

关键字生成树拓展度限制正文最小生成树是信息学竞赛中的经典问题，但近年来，竞赛中的题目不再局限于这类经典模型，难度大大增加。

为解决这些问题，我们必须对这些经典模型加以拓展。

拓展的类型很多，本文主要论述其中的两类——最小度限制生成树和次小生成树。

1最小生成树1.1最小生成树的定义设G=(V,E,ω)是连通的无向图，G中权值和最小的生成树称为最小生成树。

1.2求解最小生成树的算法求最小生成树，比较常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

前者借助Fibonacci堆可以使复杂度降为O(Vlog2V+E)，后者一般应用于稀疏图，其时间复杂度为O(Elog2V)。

2、最小度限制生成树2.1、最小度限制生成树的定义对于一个加权的无向图，存在一些满足下面性质的生成树：某个特殊的结点的度等于一个指定的数值。

最小度限制生成树就是满足此性质且权值和最小的一棵生成树。

把它抽象成数学模型就是：设G=(V,E,ω)是连通的无向图，v0 ∈V是特别指定的一个顶点,k为给定的一个正整数。

如果T是G的一个生成树且d T(v0)=k，则称T为G的k度限制生成树。

G中权值和最小的k度限制生成树称为G的最小k度生成树。

2.2、求解最小度限制生成树的算法约定：T为图G的一个生成树，T+a-b记作(+a,-b)，如果T+a-b仍然是一个生成树，则称(+a,-b)是T的一个可行交换。

引理1：设T1,T2是图G的两个不同的生成树，E(T1)\E(T2)={a1,a2,……,a n},E(T2)\E(T1)={b1,b2,……,b n},则存在一个排序b i1,b i2,……,b in,使得T2+e j-f ij (j=1,2,……,n)仍然是G的生成树。