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运筹学课件4.4 最小生成树

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最小生成树算法详解

最小生成树算法详解
问题描述
Kruskal算法应用案例
问题描述
最小生成树问题的求解算法除了Prim算法和Kruskal算法之外，还有基于动态规划的算法、基于回溯的算法、基于分治的算法等。
应用场景
例如，在计算几何中，可以通过基于动态规划的算法求解最小包围矩形、最小包围圆、最小包围球等问题；在数值计算中，可以通过基于回溯的算法求解一元高次方程的根等。
其他算法比较与择优
Kruskal算法
Prim算法
Boruvka算法
各算法优缺点比较
根据实际应用场景选择算法
03
Boruvka算法
时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数，空间复杂度为O(E)。
各算法时间复杂度与空间复杂度比较
01
Kruskal算法
时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数，空间复杂度为O(E)。
时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
Prim算法
总结词：Kruskal算法是另一种常用的最小生成树算法，其核心思想是通过将所有的边按照权值大小从小到大排序，然后依次选择每条边，如果这条边连接的两个顶点在已经生成的树中不构成环路，则将这条边加入到树中。详细描述：Kruskal算法的基本步骤如下将所有的边按照权值大小从小到大排序。初始化一颗空树作为生成的树的初始状态。从第一条边开始，遍历每条边，如果这条边连接的两个顶点在已经生成的树中不构成环路，则将这条边加入到树中。重复步骤3，直到所有的边都被遍历过。生成的树即为最小生成树。时间复杂度：Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
详细描述：Prim算法的基本步骤如下
1. 从一个任意顶点开始，将该顶点加入到已经访问过的顶点集合中。

运筹学课件 第二节 树

运筹学课件 第二节 树

年初（j-1年底）；
边(vi ，vj)上的数字表示第i年初购进设备一直使用 到第j 年年初（j-1年底）所需要支付的购买、维修 的全部费用；
23
运筹学教程
构造图
v1
v2
v3
v4
v5
v6
24
构造赋权图
40 28 12 v1 v2 19 13 v3
59
30
项目
第 1 年
第 2 年
第 3 年 13 23 8
21
运筹学教程
项目 购买费
第1年 第2年 11 12 1-2 6
第3年 13 2-3 8
第4年 14 3-4 11
第5年 14 4-5 18
服役年龄 0-1 维修费 5
残值：对 4 应的是使 用n年
3
2
1
0
22
运筹学教程
问题化为最短路问题 用点vi表示第i年初购进设备，虚设一个V6表示 第5年年底； 用边(vi，vj)表示第i年初购进设备一直使用到第j 年
T(v2)=∞
T(v4)=∞
T(v6)=∞ T(V6)=13
P(V6)=13;V5
T(v2)=4 P(v2)=4;V1
T(v4)=9
P(V4)=9;V2
v2
5
4 4
v4 7 5
9
v6
4
P(v1)=0
4 5
1 6 v8
T(v7)=∞ T(V7)=14
T(v8)=∞
v1 6
v3
T(v3)=∞
7
v5
T(v5)=∞ T(v5)=8
8
运筹学教程
第三步：比较所有具有T标号的点,把最 小者改为P标号,即 P ( v ) min T ( v )

数据结构15--最小生成树PPT课件

数据结构15--最小生成树PPT课件

proc Union(i,j,c:longint); /*合并i和j所在集合 */
Var x,y:longint;
{ x←top(i); y←top(j); 点j所在子树的根*/
/*分别取出顶点i和顶
if x<>y Then { inc(ans,c);f[y]←x;}; /*若i 和j分属于两棵子树，则该边权计入最小生成树的权和， 两棵子树合并*/
Writeln(ans);
显然, Kruskal算法的效率取决于边数m,因此适用与
稀疏图。
.
②、Prim算法
集合A中的边总是只形成单棵树，每次添加到 树中的边都是使树的权尽可能小的边。
.
设 d[i]—顶点i与生成树相连的最短边长； ba[i]—顶点i在生成树的标志； w[i,j]—（i,j）的边长。若图中不存在边 （i,j），则w[i,j]=∞ min—所有未在生成树的顶点的最小距离 值
top←f[i]; /*返回顶点i所在并查集的代表 顶点*/ };/*top*/
.
通过过程Union(i,j,c)合并顶点i和顶点j所 在的两棵树
现有边权为c的边（i，j）。若该边的两个端点 分属于两棵树，顶点i和顶点j所在子树的根分别 为x和v，则(i,j) 加入最小生成树，合并两棵树 （即顶点i和顶点j所在的并查集）。
for j←1 to n do
if not ba[j]and(d[j]<min) then { k←j；min←d[j] }； /*then*/
if min= maxint then { ans←-1；break；}；/*若这样的顶点不存 在，则无解退出*/
ans←ans+min；ba[k]←true；/*最小距离值min计入生成树的权和, 顶点k进入生成树*/

最小生成树算法讲解【精选】共34页

最小生成树算法讲解【精选】共34页
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
最小生成树算法讲解【精选】
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

最小生成树问题(共7张PPT)

最小生成树问题(共7张PPT)

个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3

最小生成树

最小生成树

Kruskal算法
– 每个步骤选择一条边加入生成树 – 贪心准则：不会产生环路，且耗费最小 – 可按耗费递增顺序考察每条边 • 若产生环路，丢弃 • 否则，加入
Kruskal 算法过程
8 4 a 8 h 1 构成环路 构成环路 构成环路 g 2 f b 2 i 7 6 10 c
7
d
9 e
11
4
14
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谢谢大家
后面的幻灯片作为补充，给出了并查集 ，最小堆的简单介绍，以及相关程序。 有精力的同学可以进一步学习研究。
最小生成树 MST (minimum spanning tree)
by nkzgm
最小生成树定义
对于一个无向连通图G=(V,E),其中V是顶点集合，E是边的集合，对 于E中每一条边(u,v),都有一个权值w(u,v)表示连接u和v的代价。我们希 望找出一个无回路的子集T(属于E),它连接了所有的顶点，且其权值之和
全部节点都被覆 盖，算法结束
Kruskal算法的性能
• Kruskal也需要进行V-1次选取操作，它的 选取范围是整个图，因而可以用O(ElgE) 的时间对所有的边进行排序。从这个有序 的排列依次选取，若选取的边的加入不能 构成回路，则加入。否则对排列的下一个 边进行相同操作。直到选取了V-1个边为 止。 • 在判断是否构成回路时需要用并查集。 Kruskal的运行时间为O(ElgE)。

最小生成树-数学建模.ppt

最小生成树-数学建模.ppt
用Kruskal算法可求出最小生成树，在前面 给出的Kruskal算法的MATLAB程序中，边权矩阵b 的值改为此处的边权矩阵，顶点数n改为9即可。
上一页 下一页 主 页
T= 7 8 15 12 39 46 47 45 13
c = 4.4300
机器的分组：{3， 9}，
{1，2，5}，
{4，6，7，8}。
返回
整理边权矩阵
初始化：j0, T, c0, k0； 对所有顶点i ,t(i)i .
B: 图的边权矩阵; T: 生成树的边集; C: 生成树的权; t: 顶点所属子树的编号
jj+1
t(B(1,j))t(B(2,j)) Y
N
TT(B(1,j),B(2,j)), cc+B(3,j),kk+1，i 0
i i+1
引例：计算机网络的线路设计
最小生成树
最大生成树 1) 一个完全图Kn有多少不同 的生成树？ 2) 如何求其最小生成树?
引例：计算机网络的线路设计
10个顶点的完全图，其不同的生成树就有 一亿棵。
一般地，n个顶点的完全图，其不同的生成 树个数为nn-2。
30 个 顶 点 的 完 全 图 就 有 3028 个 生 成 树 ， 求 最小生成树时用穷举法是无效的。
假设有13种零件，需在9台机器上 加工。在各台机器上加工的零件号在下 表中给出。
范例：制造系统的分组技术
机器 1 2 3 4 5 6 7 8 9
加工 2,3, 2,7, 1,6 3, 3,7, 5 4, 4, 6
的零 7,8, 8, 件 9, 11,1
12, 2
5, 8,9, 10 12,
13
10 10
3

最小生成树算法详解

最小生成树算法详解

Kruskal算法的核心是使用并查集来维护连通性，当一条边的两个顶点属于不同的 连通分量时，将这条边加入到生成树中，同时将两个连通分量合并为一个连通分 量，直到所有的连通分量都被合并为一个连通分量，生成树构建完毕。
算法步骤
初始化
将所有的边按照权值从小到大排序，初始化并查集和生成树。
选择边
从最小的边开始，依次选择每一条边，如果这条边的两个顶点属于不同的连通分量，将这 条边加入到生成树中，并将两个连通分量合并为一个连通分量。
最小生成树算法详解
xx年xx月xx日
目 录
• 最小生成树概述 • 普里姆算法（Prim算法） • 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法） • 最小生成树算法比较 • 最小生成树算法实践
01
最小生成树概述
定义与性质
定义
最小生成树是一个图的所有顶点连接起来形成的树，其所有 边的权重之和最小。
性质
最小生成树是一种最优树，它代表了从图中所有顶点中选择 一些顶点，使得这些顶点之间连接的边的权重之和最小。
重复选择
重复以上步骤，直到所有的边都被考虑过，生成树构建完毕。
Kruskal算法的拓展与优化
拓展
Kruskal算法适用于任何连通的带权图，不仅限于树和森林。
优化
在实现Kruskal算法时，可以通过优化查找和排序算法来提高效率。例如，使 用并查集的路径压缩和按秩合并优化来减少查找和合并操作的时间复杂度。
01
图论
最小生成树算法是图论中的一个经典问题，需要使用图的数据结构来
表示和解决问题。
02
并查集
并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，可以高效地解决最小
生成树算法中的连通性问题。
03

最小生成树MinimumSpanningTree

最小生成树MinimumSpanningTree
1
MST性质－大多数算法都利用了此性质
设G＝(V，E)是一连通图，U是V的真子集，若（u， v）是所有连接U和V-U的边中权最小的边（轻边）， 则一定存在G的一棵最小生成树包括此边。
Pf：设G的任何一棵最小生成树均不包括(u，v)；
u
v
u’
T
v’
U
V-U
T’
u
v
u’
v’
U
V-U
2
构造MST：
11
1、Prim算法
算法求精－调整候选轻边集
设轻边（u,v）涂红后加入到树边中，T[k..n-2]是待调整 的候选轻边集，则须根据新红点v调整T[k..n-2] 。
void ModifyCandidateSet ( AdjMatrix G, MST T, int k, int v) {
int i, d; //v是新红点 for (i=k; i<n-1; i++) { //遍历候选集
❖ 集合A上的关系R是对称的，若xRy，则yRx。其中，x，y ∈A。
❖ 集合A上的关系R是反对称的，若xRy，yRx,则必有x＝y.其中x,y ∈A。
❖ 集合A上的关系R是传递的，若xRy，yRz，则xRz。其中x,y,z ∈A。
❖ 例子：
数之间的相等关系，具有自反性，对称性，传递性，反对称性；
数之间的小于关系，具有传递性，反对称性；
int fromvex, tovex; //起点、终点 int len; //边长度，权值 } MST[n-1];
设邻接矩阵初值：不存在的边其权值为Infinity
9
1、Prim算法
算法求精－初始化
将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。 对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的 长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。 因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。

最小生成树算法详解(课堂PPT)

最小生成树算法详解(课堂PPT)

0 0 0 0 0 {v1,v3,v6,v4,v2,v5}
{}
21
普里姆算法求最小生成树
• 图采用邻接矩阵表示
6 v2
5 3
6 v5
v1 5
1 v4 5
v3 42
6 v6
1
2
graph. arac[][] =
3 4
5
6
123456
∞ 6 1 5∞∞ 6 ∞5∞3 ∞ 1 5∞5 6 4 5 ∞ 5 ∞∞ 2 ∞ 3 6 ∞∞ 6 ∞∞4 2 6 ∞
6
adjvex lowcost
v3 5
0
v6 2
v3 6
0
{v1,v3,v6}
{v2,v4,v5 }
4
adjvex lowcost
v3 5
0
0
v3 6
0
{v1,v3,v6,v4}
{v2,v5 }
2
adjvex lowcost
0
0
0
v2 3
0
{v1,v3,v6,v4,v2}
{v5 }
5
adjvex lowcost
(5) ｛V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 ｝ ｛ ｝
6
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树：从
V3
生成树中只有一个顶点开始，
到顶点全部进入生成树为止
V1
6
5
1
V2
V4
V3
V5
V6
步骤 (0) (1)
U
V-U
｛V1 ｝ ｛ V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 ｝ ｛V1 ,V3 ｝ ｛ V2 ,V4 , V5 ,V6 ｝

最小生成树算法详解

最小生成树算法详解

Prim算法
总结词
详细描述
时间复杂度
适用场景
Kruskal算法
01
02
03
04
03
Prim算法详解
01
Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法，通过不断添加边来构成最小生成树。
算法原理
02
Prim算法的基本思想是从一个点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到覆盖所有的顶点。
03
在每一轮迭代中，Prim算法选择当前生成树到未被覆盖的顶点中距离最短的边，并将其对应的顶点加入到生成树中。
O(ElogE)，其中E为边集合的长度。
空间复杂度
O(V)，其中V为顶点集合的长度。
时间复杂度与空间复杂度
04
Kruskal算法详解
Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法，其核心思想是按边权值从小到大选择边，并保证选择的边不构成环。
Kruskal算法的基本步骤是将原始图G的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择每条边，如果这条边连接的两个顶点在已选择的边的集合中没有公共的顶点，则将这条边加入到最小生成树中。
Prim算法应用案例
在一个连接了若干个顶点的无向图中，每个边都有一个与之相关联的权重，我们的目标是按照边的权重重小到大的顺序选择若干条边，使得选择的边的集合构成了一个连通图，并且总权重最小。
问题描述
例如，在物流运输中，如果每个节点代表一个仓库或中转站，边代表运输路径，那么Kruskal算法可以帮助我们找到用最少的运输成本将所有节点连接起来的最小生成树。
定义：最小生成树是一种用于图形数据结构的算法，它寻找一棵包含图中所有顶点的树，使得树的边的权值和最小。
特点
1
应用场景

最小生成树算法讲解共34页

最小生成树算法讲解共34页

▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
最小生成树算法讲解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
34
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5
矩阵计算结果
v4
6 5
v5
4
v1
5
1
7
3 4
v6
v2
2
v3
习题
第一版：

P. 265，第四章习题1、2。
第二版：

P. 284，第四章习题3、5。
5
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T
T T T T
v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
5
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
5
5
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T
T T T
v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
第二节 最小生成树
什么是树？ 构造生成树的方法 最小生成树问题 寻找最小生成树的方法
一、什么是树？
树：不含圈的连通图 树的基本性质
任意两点之间有且只有一条链 若树有p个顶点，则共有q=p-1条边 若图是连通的，且q=p-1，则该图不含圈， 因此是树 若图不含圈，且q=p-1，则该图联通，因此 是树。
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T v2 5 0 2 1 7 T v3 2 0 3 4 T v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
x
ij
n 1 S 1, S A
( i , j )S
x
ij
xij 0,1
四、寻找最小生成树的方法
Kruskal方法 破圈法 矩阵计算法
Kruskal方法
v4
6 5
v5
4
v1
5
1
7
3 4
v6
v2
2
v3
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4v5 v6 v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 T v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
5

二、构造生成树的方法
破圈法 避圈法
v4
2
v5
v1
1 3
4
v6
v2
v3
避圈法
v4
v1
v5
v6
v2
v3
三、最小生成树
最小生成树的定义 最小生成树的定理
v4
v1
水塔 6 1 5 7
5
v5
4 3 4
v6
v2
2
v3
最小生成树的数学模型
min
( i , j ) A
w
ij
xij
( i , j ) A