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共轭解析函数积分公式的一个推广

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函数 的柯 西 积 分 公 式进 行 了 研 究 ． 特 别地 ， 文［ １ ］给 出 了 函 数 在 区域 内 只有 一 个 奇 点 时 的 柯 西 积 分 公 式 ， 文［ ２ ］ 讨论 了 有 界 区域 内 不 同奇 点个 数 时 的 柯 西 积 分 公 式 的推 广形 式 ． 解 析 函数 虽 然 能 解 决 平 面 无 源 无 旋 场 的 问 题 ， 但 对 于 有 源 场 和 有旋 场 就 无 能 为 力 了． １ ９ ８ ８年 ， 王 见 定 提 出 了 共 轭 解 析函数 ， 共 轭 解 析 函 数 可 以 用 来 解 决 解 析 函 数 所 能 解 决
Ｊ ｒ 芒 （ ： 一 ） — ｄ ｚ 一 （ ｎ — １ ） ！ “ （ Ｚ ｏ
特别地 ， 当
中ｐ ＿ ｌ ， ｇ＿【 】
ｆ （ ）在 Ｄ 内 共 轭 解 析 ， ： 。Ｅ Ｄ， Ｄ ＝ Ｄ ＋Ｆ， 则
时， 即为引理 １ ； 当 ｑ ＝０时 即 为 引 理 ２ ． 推 论 １设 ＿ 厂 （ ｚ ）在 以 为 圆 心 ， Ｒ 为半 径 的 区 域 Ｃ内共 轭 解析， 在 Ｃ内有 互 不 相 交 的 以 ， ｚ 为圆心 ， ｒ 。 ， ｒ 为 半 径 的 圆
法， 它 把 沿 闭 曲线 的 积 分 转 化 为 求 函数 的 函数 值 ， 从 而 简 单
巧妙 地 解 决 了大 量 复 积 分 的 计 算 问 题 ． 同 时 也 为 一 些 实 积 分 的 计算 提 供 帮 助 ， 比如 被 积 函 数 是 非 初 等 函 数 的 实 积 分
问题 ， 只 能 借 助 复 积 分 的 方 法 去 解 决． 已 有 很 多 学 者 对 解 析
厂 的 内部 ， 则
【 关键词 】共轭解 析函数； 奇 点； 积分 公式 【 中图分 类号】 Ｏ １ ７ ４ ． ５ 【 文献标识 码】 Ａ 【 基金项 目１国 家 自然 科 学 青 年 基金 资助 项 目（ Ｎ ｏ ．
６ １ ３ ０ ４ １ ４ ６ ） ， 贵 州 省 高校 优 秀 科 技 创 新 人 才 支持 计 划 资 助 项
（ ２ ）
同理 ， 由 于 （ ） ＝
【
在 ｃ 内共 轭 解 析 ， 则
Ｚ ． Ｊ‘ 一
＾ ２ （ ｚ一 １ ） （ 名一名 ２ ）
ｆ — — 生 一
ｄ ～ ｚ： ｆ
Ｊ ｃ ２ （ — ２ ）
— ｄ ｚ：
Ｊ ＝ 寺ｄ — ｚ 一手 １ ） （ ．
的几乎所有问题 ， 并 且 比解 析 函数 更 直 观 ， 方 便． 王 见 定 研 究 了 函 数 在 有 界 区域 只有 一 个 奇 点 时 的共 轭 解 析 函 数 的 积
分公 式 ：
得 ｆ ，
一
ｄ — ｚ ： ｆ ｃ Ｉ
） （ ２ Ｉ ） ．
—
＝ ｆ ． 寺
●
■一 ～
・
≮ ＿ ， － Ｉ ４ ｏ ≥ ’ ・
・
●
专 题 研 究
鞠
蔟辘藤褫 羧
【 摘 要 】柯 西积 分 公 式是 解析 函 数 的 积 分 表 达 式 ， 是我
们 研 究 解 析 函数 各 种 局 部 性 质 的 重 要 工 具 ， 是 联 系 函 数 及 其 积 分 的 桥梁 ． 本 文 主 要 研 究被 积 函数 在 有界 区域 内有 ２个 及 其 以上 奇 点 的情 形 ， 得 到 了 相 应 的 共 轭 解 析 函 数 的 积 分
把（ ２）、 （ ３）代 人 （ １ ）， 得
㈩
引理 ｌ 若 厂为 区域 Ｄ的 边 界 周 线 ， Ｆ （ ）＝
一
， 八 ）
Ｚ０
Ｊ ． （ ｚ 一 ） （ — ２ ） — ｄ ｚ 一耵 Ｌ （ Ｐ可 一 １ ） ！ 】 （ ｚ Ｉ ） ＋
柯 西 积分 公 式 是 复 变 函数 中 十 分 重 要 的 一 个 公 式 ， 既
其
ｆ—— ） Ｊ～
＝ 哿．
— ｄ ｚ ：ｆ—— Ｌ— — ｄ ｚ ＋
证 明 在 厂内 作 以 ， ： 为 圆心 ， ｒ ， ， ｒ 为 半 径 的 两个 互
不相交 的圆， 分别为 ｃ ， ， ｃ ： ． 由［ ７ ， 定理 ４ ］ ， 得
在 Ｄ内共轭解析 ， ∈ Ｄ． Ｄ ： Ｄ ＋Ｆ， 则
２ ｒ： 一 ｚ ０
ｆ丛 ｄ — ｚ： 一 ２ ７ ｒ ） ．
引理 ２ 若 ， 为 区域 ， Ｊ的边 界周 线 ， Ｆ（ ）＝＿ 兰
Ｌ Ｚ— Ｚ ０
可
，
） 】 ．
）＝
（ 一 ，ｊ （ 一 ，Ｊ
公式 ．
２ ．主 要 结 果
一食捶
５ ６ １ ０ ０ ０ ）
◎符 祖 理 学 院 ， 贵州 安顺
定 理 － ＝ ＝
１
若
Ｆ
为 简 单 闭 曲 线， Ｆ（ ｚ ） ＝
， ， （ ） 是 ， 内 的共 轭 解 析 函 数 ， 且 ， 在
有理论 价值 ， 又 有 实 际应 用 ， 它 的重 要 性 在 于 一 个 解 析 函数 在 区 域 内 部 的 值 可 以用 它 的边 界 上 的 值 通 过 积 分 来 表 示 ， 正 由于这一点 ， 柯 西 积 分 公 式 提 供 了计 算 复 积 分 的 重 要 方
ｆ
由于 （ ｚ ）＝ — 在 ｃ 内共 轭 解 析 ， 所 以 由引 理 １
』 Ｊ 筹 （ 一 ． ） （ — ｚ ， ） — ｄ ｚ 一 【 （ Ｐ 一 可 １ ） ！ １ ） ＋
可 １ ） （ 】 ．
目（ 黔教合 Ｋ Ｙ字 ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ０ １号 ） ， 贵州省 科技厅 、 安 顺 市 政 府、 安 顺 学 院 三 方联 合 基 金 （ 黔 科 合 Ｊ字 Ｌ Ｋ Ａ［ ２ ０ １ ３ ］ １ ９号 ） １ ． 引 言

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复变函数与积分变换公式

复变函数与积分变换公式

复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。

复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。

在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。

积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。

本文将介绍复变函数以及积分变换公式。

一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。

复变函数可以看作二元实函数的推广。

在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。

复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。

如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。

2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。

3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。

4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。

共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。

5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。

积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。

常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。

2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。

最优控制的计算方法

最优控制的计算方法

5
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
第1篇 复变函数论-第2章 复变函数积分

第1篇 复变函数论-第2章 复变函数积分

Anhui University 在上一章学习了复变函数，重点介绍了解析函数的许多性质，这些性质都是在可导和可微的基础上得出的。

第2章复变函数积分()(,)(,) 若函数在区域内解析则有：f z u x y iv x y D =+1. 解析函数的调和性：解析函数的实部与虚部均满足二维拉普拉斯方程：（由C-R 条件可证明）。

220,0.xx yy xx yy u u u u v v v v ∆≡∇=+=∆≡∇=+=2. 解析函数的共轭性：解析函数的实部与虚部由C-R 方程联系，称为解析函数的共轭性。

具体说只要知道解析函数的实部或者虚部就可求得解析函数。

3. 解析函数的实部与虚部是彼此相互正交的曲线。

0),(),(=∇⋅∇y x v y x u为了深入理解复变函数，本章用积分理论来分析复变函数积分。

基本内容：1、掌握复积分的概念、性质和计算方法；2、掌握解析函数的基本定理－Cauchy定理及其应用；3、掌握解析函数的基本公式－Cauchy公式及其应用2.1 复数函数积分一. 复积分的定义1max 0()lim ()k n k k n C k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫记作：()w f z l =为被积函数，为积分路径。

二. 复积分存在的条件1max 0()lim ()k n k kn l k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫由上式可知：一个复积分的实质是两个实积分的和。

实积分存在的条件：(,)(,)分段光滑，，在上连续l u x y v x y l因此复积分存在的条件：分段光滑，在上连续。

()l f z l注1：所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线。

注2：边界的正方向：规定当观察者沿曲线边界前进时，所围的区域始终在观察者的左手边，则前进的方向为正方向。

rzz<−单连通区域Rzzr<−<复连通区域正方向正方向三. 复积分的性质(1)()d ()d l lf z z f z z −=−∫∫反转积分路径：(2)()d ()d ;() l l kf z z k f z z k =∫∫为复常数(3)[()()]d ()d ()d ;l l l f z g z z f z z g z z ±=±∫∫∫121()(),,k n n k L l f z dz f z dz n l l l ==∑∫∫"（4），若曲线L由段线段组成被积函数的线性可叠加性积分路径的可叠加性(5)|()||()|||L L f z dz f z dz ≤⋅∫∫(6) , () () ()d ()d .设曲线的长度为函数在上满足那么l l l L f z l f z M f z z f z s ML ≤≤≤∫∫积分估值定理四. 计算方法1. 用定义计算2. 通过计算实积分结果表明：被积函数与积分路径有关。

复变函数论第五版3-4 调和函数与解析函数

复变函数论第五版3-4 调和函数与解析函数

第四节 解析函数与 调和函数的关系
调和函数 共轭调和函数
设f (z)=u+iv 在区域D内解析，则由C.-R.方程
ux vy , uy vx 再求偏导 uxx vyx , uyy vxy
由于连续，混合偏导数相等
uxx uyy 0 或
2u x2
2u y 2
0
同理
vxx vyy 0
或
2v 2v 0 x2 y2
称
2 2 x2 y2
为拉普拉斯算子
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程∆H=0， 则称H(x,y)为区域D内的调和函数.
定义3.6 在区域D内满足C.-R.方程
ux vy , uy vx
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 的共轭调和函数
记公式
已知u,求v
已知v,求u
dv(x, y) vxdx vydy du(x, y) uxdx uydy
C.-R.方程
C.-R.方程
dv(x, y) uydx uxdy du(x, y) vydx vxdy
例 1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为全平面上的调和
函数，并求以其实部的解析函数.
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
例 2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 1. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),